第1章 有理数【单元卷·考点卷】（14大核心考点）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第1章 有理数（14大考点）（考点卷） 考点一 有理数的概念与分类（共5题） 1．把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 2．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，1，，0，，，； 整数集合{                    ⋯}         分数集合{                     ⋯} 正有理数集合{                ⋯}         负有理数集合{                 ⋯} 3．把下列各数填在相应的集合里： ，2．5，，，0，49，，321，． 整数集合{　 　…} 负数集合{　 …} 4．将下列数字填入圈内：25，，，0，，95%． 5．把下列各数分别填入相应的大括号内： 自然数集合｛                      …｝； 整数集合｛                      …｝； 正分数集合｛                      …｝； 非正数集合｛                      …｝； 考点二 数轴上两点之间的距离（共3题） 1．点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 2．将直径为1的圆形纸片边缘上的一个标记点与数轴上的点重合，沿着数轴无滑动的滚动一圈后该标记点与点重合，若点表示的数是，则点所表示的数是 ．（结果保留） 3．如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左移动4个单位长度后，哪个字母所表示的数最小？是多少？ (2)将点C向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？ (3)怎样移动A、B、C中的两个点才能使三个点表示的数相同？有几种移法？ 考点三 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3题） 1．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．①④ 2．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列四个结论：①；②；③；④，正确的有 ． 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．那么在数轴上表示A、B两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题：    (1)在数轴上，如果表示的是，表示的是3，求两点之间的距离． (2)分别用字母表示数轴上m和2两点之间的距离以及n和两点之间的距离． (3)判断正负，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0． 考点四 数轴上的动点问题（共5题） 1．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 2．如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．    (1)点表示的数是______； (2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）． 3．已知数轴上有、、三点，分别对应有理数、、，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，同时，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． (1)当秒时，数轴上点对应的数为______，点对应的数为______，、两点间的距离为______，用含t的代数式表示数轴上点对应的数为______． (2)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），请用含的代数式表示、两点间的距离． (3)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），求当为何值时？ 4．点在数轴上所表示的数如图所示，将点向左平移2个单位长度，得到点的相反数，点是数轴上一动点． (1)点表示的数是_______； (2)若点在数轴上移动了个单位长度得到点，且，求的值； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段的长度；若发生变化，请你说明理由． 5．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 考点五 绝对值的化简（共3题） 1．若，，则 (   ) A．1 B． C．0 D．3 2．有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 3．如图，有理数a，b，c在数轴上，且． (1)判断正负（用“<”或“>”填空）：______0；______0；______0． (2)化简：． 考点六 绝对值的非负性 （共3题） 1．当______时，|有最大值，最大值是（    ） A．1， B．1， C．，10 D．，9 2．若与互为相反数，则 ． 3．已知与互为相反数，与互为倒数． (1)求，的值； (2)当时，求的值． 考点七 绝对值与数轴综合 （10题） 1．探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 2．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段___________； (2)数轴上点代表的数分别为和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 3．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 4．阅读下列材料，回答提出的问题． 我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，在数轴上，表示a这个数在数轴上所对应的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这正是绝对值的几何意义，比如说表示2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它是2，所以，表示这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为，但平时我们都写成，原因你明白． （1）若给定，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x； （2）实际上，对于数轴上任意两个数之间的距离我们也可以表示为，反过来，这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示与这两个数的点之间的距离， ①你能结合上面的叙述，解释的几何意义吗？ ②请按你的理解说明：． 拓展应用 （1）设点Р在数轴上对应的数为x，若 ，则_____． （2）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，若点Р在点M、N之间，则_____． 5．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 7．阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 8．阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 9．如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 10．数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 考点八 有理数的大小比较 （共3题） 1．下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 2．比较大小： ； （填“”“”或“”）． 3．比较下列各对数的大小： (1)和． (2)和． (3)和． (4)和． 考点九 有理数的四则混合运算 （共10题） 1．计算： (1)； (2) 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1) (2) 4．计算下列两道题． (1)； (2)． 5．计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 6．脱式计算 （1）； （2）； （3）． 7．计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 8．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点十 含乘方的有理数混合运算 （共10题） 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算：． 4．计算： (1)； (2)． 5．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 6．计算：． 7．计算： 8．计算： (1)； (2)． 9．计算： (1)； (2)． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点十一 有理数混合运算的实际应用 （共10题） 1．如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为． (1)问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？ (2)若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数． 2．为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 3．初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）． 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？ 4．股民小李上星期五记录某公司股票收盘价为每股元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元（（注：股市星期一至星期五开市，星期六、星期日休息） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)已知小李买进股票时付了总交易额的手续费，卖出时还要付成交额（读作千分之1）的手续费，如果小李以上周五的收盘价买入股，并以本周五收盘价全部卖出股票，他赚了或赔了多少钱？（温馨提示：股市有风险，入市需谨慎） 5．刘明的爸爸上周买进股票1000股，每股27元，下表为本周每天该股票的涨跌情况．（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)若刘明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 6．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，若规定向东行驶为正，则他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： (1)将小李下午的出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发地有多远？在出发地的哪个方向？ (2)如果该出租车的耗油量为升/千米，那么这天下午共耗油多少升？ 7．粮库3天内进出库的吨数记录如下（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，， (1)经过3天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？增多了还是减少了多少？ (2)经过3天，粮库管理员结算时发现粮库里还存480吨粮食，那么3天前粮库里的存量有多少吨？ (3)如果进库出库的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付出多少装卸费？ 8．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 9．某快递员骑摩托车从快递公司点出发，在一条东西向的街道上来回送包裹．先向东骑行到达点，继续向东骑行到达点，然后向西骑行到达点，最后回到点． (1)以点为原点，规定向东为正方向，请在数轴上表示出、、点的位置（用一个单位长度表示）； (2)点在出发点的什么位置？ (3)如果摩托车每千米耗油0.04升，出发前摩托车油箱有1升汽油，快递员能否回到出发点？ 10．为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ (4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议． 考点十二 有理数四则运算的巧算 （共10题） 1．用简便方法计算： (1) (2)． 2．简便计算： (1) (2) 3．用简便方法计算： (1)； (2)． 4．速等式计算（能简便的可简便计算） (1)； (2)． 5．用简便方法计算： (1) (2) (3) 6．用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 7．简便计算 (1) (2) (3) 8．用简便方法计算： (1)； (2) 9．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 10．阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式 ． (1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______． (2)根据以上解题技巧进行计算：． 考点十三 科学记数法 （共3题） 1．红细胞是人体血液中数量最多的血细胞，它的主要功能是运输氧气和二氧化碳，人体中约有个红细胞，用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．据悉，截至2023年5月底，全国建成开通基站170万个，移动电话用户数达到4.28亿户，流量占移动流量比重达到．用科学记数法表示4.28亿户为 户． 3．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102000000000000千米． (1)用科学记数法表示出天鹅座第61颗暗星到地球的距离； (2)如果光线每秒可以行300000千米，那么你能计算出天鹅座第61颗暗星发出的光线到达地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来． 考点十四 程序流程图 （共3题） 1．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 2．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 3．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数（14大考点）（考点卷） 考点一 有理数的概念与分类（共5题） 1．把下列各数分类，并填在表示相应集合的大括号内： ，，，，，，，， （1）整数集合：{ …}； （2）分数集合：{ …}； （3）非正数集合：{ …}； （4）负有理数集合：{ …}． （5）自然数集合：{ …}． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4）；（5）． 【分析】（1）根据整数的定义进行分析，即可； （2）根据分数的定义进行分析，即可； （3）根据非正数的定义进行分析，即可； （4）根据负数，有理数的定义进行分析，即可； （5）根据自然数的定义进行分析，即可． 【详解】（1）整数集合：； （2）分数集合：； （3）非正数集合：； （4）负有理数集合：； （5）自然数集合：． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的分类． 2．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，1，，0，，，； 整数集合{                    ⋯}         分数集合{                     ⋯} 正有理数集合{                ⋯}         负有理数集合{                 ⋯} 【答案】，1，0；，，，；，1，，；， 【分析】根据有理数的分类将个数填在相应的表示集合的大括号里． 【详解】解：整数集合{，1，0，…} 分数集合{，，，，…} 正有理数集合{，1，，，…} 负有理数集合{，，…} 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 3．把下列各数填在相应的集合里： ，2．5，，，0，49，，321，． 整数集合{　 　…} 负数集合{　 …} 【答案】，，0，49，321；，，， 【分析】根据有理数的分类：从整数分数情况，有理数包括整数和分数；从正负情况，有理数包括正数、负数和0，对各数据判断后填入即可． 【详解】解：整数集合{，，0，49，321…}； 负数集合{，，，…}． 【点睛】本题考查有理数的两种不同的分类标准．填入时对各数据按照从左到右的顺序判断后依次填入，避免重填或漏填． 4．将下列数字填入圈内：25，，，0，，95%． 【答案】见解析 【分析】根据非正数就是负数和0，非负数就是正数和0，整数包含正整数，负整数和0解决即可． 【详解】解：答案如图所示： 【点睛】本题主要考查有理数的分类，熟练掌握非负数、整数、非正数的定义是解题关键． 5．把下列各数分别填入相应的大括号内： 自然数集合｛                      …｝； 整数集合｛                      …｝； 正分数集合｛                      …｝； 非正数集合｛                      …｝； 【答案】0，10； －7，0，10，； 3.5，，0.03； －7，－3.1415，0，，. 【分析】先化简，再根据自然数，整数，正分数，非正数的定义可得出答案． 【详解】自然数集合：0，10； 整数集合：－7，0，10，； 正分数集合：3.5，，0.03； 非正数集合：－7，－3.1415，0，，. 故答案为0，10； －7，0，10，； 3.5，，0.03； －7，－3.1415，0，，. 【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、自然数、整数、分数、正数、负数、非正数的定义与特点，注意整数和自然数的区别，注意0是整数，但不是正数． 考点二 数轴上两点之间的距离（共3题） 1．点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度，一只蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点，则点B表示的数是（　　） A． B．6 C．或6 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，以及用数轴上的点表示有理数，由“点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度”得到点A表示的数（注意考虑在原点左侧或右侧两种情况），再根据向右爬了2个单位长度到达B点，得到点B表示的数，即可解题． 【详解】解：因为点A为数轴上一点，距离原点4个单位长度， 所以点A表示的数是4或， 又因为蚂蚁从A点出发，向右爬了2个单位长度到达B点， 所以点B表示的数是：或． 故选：C． 2．将直径为1的圆形纸片边缘上的一个标记点与数轴上的点重合，沿着数轴无滑动的滚动一圈后该标记点与点重合，若点表示的数是，则点所表示的数是 ．（结果保留） 【答案】或 【分析】本题考查了数轴．根据圆的周长为，可知，由点表示的数是，即可得到点所表示的数是或． 【详解】解：圆的周长为， ， 点表示的数是， 点所表示的数是或． 故答案为：或． 3．如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题： (1)将点B向左移动4个单位长度后，哪个字母所表示的数最小？是多少？ (2)将点C向左移动6个单位长度后，这时点B表示的数比点C表示的数大多少？ (3)怎样移动A、B、C中的两个点才能使三个点表示的数相同？有几种移法？ 【答案】(1)点B表示的数最小，是； (2)点B表示的数比点C表示的数大2； (3)见解析 【分析】（1）找出移动后点A、B、C表示的数，比较后即可得出结论； （2）找出移动后点C表示的数，作差后即可得出结论； （3）分情况讨论，把其中两个点移动到第三个点即可． 【详解】（1）解：移动后， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为2， ∵， ∴点B表示的数最小，是； （2）解：移动后，点B表示的数为， 点C表示的数为， ∵， ∴点B表示的数比点C表示的数大2； （3）解：有三种方法： ①点A向右移动1个单位，点C向左移动4个单位； ②点A向右移动5个单位，点B向右移动4个单位； ③点B向左移动1个单位，点C向左移动5个单位． 【点睛】本题考查了数轴，根据数轴找出点表示的数是解题的关键． 考点三 根据点在数轴的位置判断式子的正负（共3题） 1．有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①② B．①④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，学会根据点在数轴上的位置来判断数的正负以及代数式的值的符号． 在数轴上，右边的数总大于左边的数．原点右边的表示正数，原点左边的表示负数． 【详解】解：①根据图示知，，故①正确； ②根据图示知，，故②错误； ③根据图示知，、，则．故③错误； ④根据图示知，，，则，，所以．故④正确． 综上所述，正确的结论是①④． 故选：B． 2．实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列四个结论：①；②；③；④，正确的有 ． 【答案】④ 【分析】本题考查了利用数轴比较式子的值，根据越在数轴的右边的数越大，进行作答即可． 【详解】解：由数轴可知 ∴④是正确的； ∴，①是错误的； ∴，②是错误的； ∵ ∴③，③是错误的； 故答案为：④ 3．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，我们把在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．那么在数轴上表示A、B两点之间的距离记为，请你利用数轴回答问题：    (1)在数轴上，如果表示的是，表示的是3，求两点之间的距离． (2)分别用字母表示数轴上m和2两点之间的距离以及n和两点之间的距离． (3)判断正负，用“＞”或“＜”填空：______0，______0，______0． 【答案】(1)8 (2)，； (3)＞；＜；＞ 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题的关键． （1）求两个数的差的绝对值即可； （2）利用绝对值的定义，再根据数轴上两点的距离解答即可； （3）根据、、在数轴上的位置判断出其符号及绝对值的大小，再判断出各式的符号即可． 【详解】（1）解：如果表示的是，表示的是3，则两点之间的距离为； （2）解：m和2两点之间的距离为，n和两点之间的距离为； （3）解：由题意可知，，， ，，． 故答案为：＞，＜，＞． 考点四 数轴上的动点问题（共5题） 1．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得、、的长． 【详解】（1） ， 解得：， 是最小的正整数 ， 故答案为：，， （2）点A与点C的中点对应的数为： 点B到2的距离为1,所以与点B重合的是： 故答案为：3 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动。 秒钟过后，点A表示为，点B表示为，点C表示为， ， ， ， 故答案为：，，． 2．如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．    (1)点表示的数是______； (2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）根据数轴两点间的距离即可求解； （）根据数轴两点间的距离即可求解； （）根据数轴上点的运动特征即可求解； 此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的特点． 【详解】（1）设表示的数为， ∵点到点、点的距离相等， ∴，解得：， ∴点表示的数为， 故答案为：； （2）∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为， ∴， ∴运动时间， 故答案为：； （3）∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动过程中点表示的数是， 故答案为：． 3．已知数轴上有、、三点，分别对应有理数、、，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，同时，动点从出发，以每秒个单位的速度向终点移动，设点的移动时间为秒． (1)当秒时，数轴上点对应的数为______，点对应的数为______，、两点间的距离为______，用含t的代数式表示数轴上点对应的数为______． (2)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），请用含的代数式表示、两点间的距离． (3)在点运动到点的过程中（点运动到点后停止运动），求当为何值时？ 【答案】(1)，，， (2)或或 (3)当时， 【分析】本题考查了数轴，代数式，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离，对进行分类讨论． （1）根据题意，可以计算出当秒时，点和点对应的数，然后用大数减去小数就是两点间的距离，用点对应的数加上点移动的距离即可表示数轴上点对应的数； （2）先计算、相遇的时间，点到达终点的时间，点到达终点的时间，然后分类写出、两点间的距离； （3）分为、相遇前和相遇后进行讨论，用含有的式子分别表示出、相遇前、后的、，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：当秒时， 数轴上点对应的数为：， 点对应的数为：， 、两点间的距离为：， 用含t的代数式表示数轴上点对应的数为：， 故答案为：，，，； （2）设点追上点所用的时间为， ， 解得：， 点到达终点的时间为：（秒）， 点到达终点的时间为：（秒）， 当时，， 当时，， 当时，， 或或； （3）①、相遇前， ， ，即， 解得：，不符合题意，舍去； ②、相遇后， ，， ，即， 解得：， 综上所述，当时，． 4．点在数轴上所表示的数如图所示，将点向左平移2个单位长度，得到点的相反数，点是数轴上一动点． (1)点表示的数是_______； (2)若点在数轴上移动了个单位长度得到点，且，求的值； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段的长度；若发生变化，请你说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)线段的长度不变，且为3，见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，数轴上的平移，熟练掌握两点间的距离是解题的关键， （1）根据点表示的数是4，平移左减2两个单位得到的数是2，其相反数即为点B表示的数． （2）根据点表示的数是4，，确定点C表示的数，再计算平移单位数即可． （3）分，，三种情况计算即可． 【详解】（1）∵点表示的数是4， ∴平移左减2两个单位得到的数是2， 其相反数即为点B表示的数． ∴点B表示的是， 故答案为：． （2）∵点表示的数是4，， ∴， ∴或， 解得或， ∵点B表示的是， ∴向右平移或 故或． （3）设点P表示的数是，点D表示的数是，点E表示的数是， ∵点B表示的是，点表示的数是4， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 故线段的长度不变，且为3． 5．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 【答案】(1) (2) (3)①3；②9 【分析】（1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点； （3）①先判断每次滚动后点的位置，再根据所得结果判断点距离原点最近和点距离原点最远的出现的次数； ②根据正方形结束运动时，点C的位置得出其所表示的数即可． 此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点4向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以在滚动过程中，点经过数轴上的数； 故答案为：； （3）①因为5次运动后，点依次对应的数为： ； ； ； ； 所以第3次滚动后，点距离原点最远； ②由①可得: 当正方形结束运动时, 此时点表示的数是， ∴点表示的数为：， 故答案为：①3；②9． 考点五 绝对值的化简（共3题） 1．若，，则 (   ) A．1 B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用以及绝对值的化简问题. 【详解】解：∵，且， ∴三个数中有两个正数一个负数， ∴， 故选：． 2．有理数a，b，c，d使，则的最大值是 ． 【答案】2 【分析】根据绝对值的运用判断出有理数，，，中负数的个数，然后分别讨论求出最大值．本题主要考查了绝对值的运用，采用分类讨论的思想进行解题． 【详解】解：， 有理数，，，中负数为奇数个． ①若有理数，，，有一个负三个正， 则； ②若有理数，，，有三个负一个正， 则； 所以的最大值是2． 故答案为：2． 3．如图，有理数a，b，c在数轴上，且． (1)判断正负（用“<”或“>”填空）：______0；______0；______0． (2)化简：． 【答案】(1)<；=；> (2)0 【分析】（1）本题考查数轴，由a、b、c在数轴上的位置，即可判断和求解； （2）本题考查绝对值的概念，由绝对值的概念即可化简． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， 故答案为：<，=，>； （2）解：∵，，， ∴ ． 考点六 绝对值的非负性 （共3题） 1．当______时，|有最大值，最大值是（    ） A．1， B．1， C．，10 D．，9 【答案】B 【分析】根据绝对值具有非负性可得，据此可得，继而可得出答案． 【详解】， ， ， ∴当时，|有最大值， 即当时，|有最大值，最大值是． 故选：B． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 2．若与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查相反数的概念及绝对值的知识．根据互为相反数的两个数的和为0，可得与的和为0，再根据绝对值和偶次方的非负性即可分别求出，． 【详解】与互为相反数 ， ， ， ． 故答案为：． 3．已知与互为相反数，与互为倒数． (1)求，的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，非负性．熟练掌握非负数的和为，则每个非负数均为是解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义求解即可，“只有符号不同的两个数互为相反数，相乘等于的两个数互为倒数”； （2）根据绝对值以及平方的非负性，求得、的值，即可求解． 【详解】（1）解：与互为相反数，与互为倒数， ，； （2），，， ， ，， 解得：，， ． 考点七 绝对值与数轴综合 （10题） 1．探索材料1（填空）：数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和的两点距离为________； 则的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数________和________这两点的距离； 探索材料2（填空）： ①如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ ②如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点A，B，C，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C三点的距离之和最小？ ③如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点A，B，C，D，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在________才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小？ 结论应用（填空）： ①代数式的最小值是________； ②代数式的最小值是________； ③代数式的最小值是________． 【答案】探索材料1（填空）：，6，，，． 探索材料2（填空）：：与之间，处，之间 结论应用（填空）：，， 【分析】本题考查数轴上两点间的距离的意义，绝对值化简，通过数形结合，分别得到数轴上有2个点，3个点，4个点时，动点在什么位置，到这几个点的距离之和最小，并会求最小的距离之和是解决本题的关键． 探索材料1（填空）：按照化简绝对值的求法即可得到数3和的两点距离；将化为，将化为，再根据数轴上两点间的距离的意义可知其表示哪两个点之间的距离； 探索材料2（填空）： ①通过观察，比较可得点P设在与之间时，可P到A的距离与P到B的距离之和最小，为线段长； ②通过观察，比较可得点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和最小，为线段的长； ③通过观察，比较可得点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和最小，为的长； 结论应用（填空）： ①结合（2）中的①，可得最小距离为4和之间的距离； ②结合（2）中的②，可得最小距离为和2之间的距离； ③结合（2）中的③，可得最小距离为和5，和2的距离之和． 【详解】解：探索材料1（填空）： ， 的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离； 的意义可理解为数轴上表示数和这两点的距离； 故答案为：，6，，，． 探索材料2（填空）： ①由题知， 材料供应点P应设在的左侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在B的右侧时，P到A的距离与P到B的距离之和； 材料供应点P应设在与之间，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小为； ②材料供应点P应设在处时，P到A，B，C三点的距离之和为最小； ③材料供应点P应设在之间，才能使P到A，B，C，D四点的距离之和为最小； 故答案为：与之间，处，之间． 结论应用（填空）： ①代数式表示x到的距离与x到的距离之和， 的最小值是； ②代数式表示x到的距离与x到与x到的距离之和， 的最小值是； ③代数式表示x到的距离与x到与x到与x到的距离之和， 的最小值是． 故答案为：，，． 2．阅读理解： 数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，例如图，线段；线段；线段 问题： (1)数轴上点代表的数分别为和1，则线段___________； (2)数轴上点代表的数分别为和，则线段___________； (3)数轴上的两个点之间的距离为5，其中一个点表示的数为2，则另一个点表示的数为，求． 【答案】(1)10 (2)3 (3)7或 【分析】本题考查数轴上两点之间线段长度的求法，数轴上线段的长度可以用线段端点表示的数进行减法运算得到，熟记运算公式是解决问题的关键． （1）根据点代表的数分别为和1，可得线段； （2）根据点代表的数分别为和，可得线段； （3）根据一个点表示的数为2，另一个点表示的数为，即可得到． 【详解】（1）解：∵点代表的数分别为和1， ∴线段， 故答案为：10； （2）解：∵点代表的数分别为和， ∴线段； 故答案为：3； （3）解：由题可得，则或，解得或， ∴值为7或． 3．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8；16； 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质得一元一次方程进行解答便可； （4）当时化简绝对值方程便可求得的最小值．当时便可求得的最小值． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 4．阅读下列材料，回答提出的问题． 我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，在数轴上，表示a这个数在数轴上所对应的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这正是绝对值的几何意义，比如说表示2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它是2，所以，表示这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为，但平时我们都写成，原因你明白． （1）若给定，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x； （2）实际上，对于数轴上任意两个数之间的距离我们也可以表示为，反过来，这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示与这两个数的点之间的距离， ①你能结合上面的叙述，解释的几何意义吗？ ②请按你的理解说明：． 拓展应用 （1）设点Р在数轴上对应的数为x，若 ，则_____． （2）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，若点Р在点M、N之间，则_____． 【答案】（1）或；（2）①表示在数轴上表示5的点到表示2的点的距离，这个距离是3；②表示在数轴上表示5的点到表示的点的距离，这个距离是7；拓展应用：（1）或；（2） 【分析】此题考查数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可得出答案； （2）①根据数轴上两点间的距离及绝对值的几何意义进行判定即可得出答案； ②根据数轴上两点间的距离及绝对值的几何意义进行判定即可得出答案； 拓展应用：（1）根据题意可得，，即可即可得出答案； （2）根据的几何意义进行判定即可得出答案 【详解】解：（1）表示x这个数在数轴上所对应的点到原点的距离是3， 故或； （2）①表示在数轴上表示5的点到表示2的点的距离，这个距离是3， 所以； ②表示在数轴上表示5的点到表示的点的距离，这个距离是7， 所以； 拓展应用 （1）∵， ∴或， ∴或； （2）∵点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，点Р在点M、N之间， ∴， 故答案为． 5．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【分析】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【详解】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 6．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上，两数所对的点，之间的距离，记作，如的几何意义：表示与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，几何意义可理解为与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离可表示为____________；如果，求出的值； (2)探究：是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1)，或 (2)存在，最小值是7 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离以及绝对值的意义． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）分三种情况，当时，当时和当时，按照绝对值的意义求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者．， 故答案为： （2）存在，最小值是7 理由如下： 当时， ， 当时， ， 当时， ， ∴存在最小值，最小值为7． 7．阅读材料：点，在数轴上分别表示有理数，，，两点之间的距离可表示为．例如：与两数在数轴上所对应的两点之间的距离表示为，的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离．这种数形结合的方法，可以用来解决一些问题．如图，已知数轴上两点、对应的数分别为和，数轴上另有一个点对应的数为有理数． (1)请根据阅读材料填空：点、之间的距离________（用含的式子表示）；若该距离为，则________． (2)根据几何意义，解决下列问题： ①若点在线段上，则________． ②若，求点表示的有理数． 【答案】(1)，或3 (2)①3；②或3 【分析】（1）由题意知，点、之间的距离，当时，计算求解即可； （2）①由点在线段上，可得，计算求解即可；②由题意知，当时，，计算求出满足要求的解即可；当时，，舍去；当时，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点、之间的距离， 当时， 解得，或， 故答案为：，或3； （2）①解：∵点在线段上， ∴， 故答案为：3． ②解：由题意知，当时，， 解得，； 当时，，舍去； 当时，， 解得，； 综上所述，点表示的有理数为或3． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值等知识．熟练掌握在数轴上表示有理数是，数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，绝对值方程，化简绝对值是解题的关键． 8．阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1)表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点到 所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得．这样的整数x有 ． 【答案】(1)4，1 (2)5， (3)，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识， （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，得到x在到2之间，，即可得出结论． 掌握两点间的距离公式，是解题的关键． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； （2）表示数轴上有理数x所对应的点到5所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； （3）表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． 9．如图： (1)数轴上点A表示的数是___________，点B表示的数是___________； (2)若点C与点O(原点记为点O)的距离记为，有，则___________； (3)若数轴上M，N两点所表示的数分别为x，y，则___________(结果不含绝对值符号)． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了数轴的认识及两点间距离的计算，绝对值的意义； （1）由图可知，数轴上、所表示的数，分别为：，； （2）由图知，点的坐标原点，点的坐标点的坐标； （3）由（2）可得，点的坐标点的坐标； 【详解】（1）解：由图可知，数轴上点表示的数是；点表示的数是； （2）由图可得，点表示的点为，所以，， 又点表示的点为，所以； （3）由图可得，数轴上、两点所表示的数分别为、，则． 10．数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数2和5的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为；由此可知的意义可理解为数轴上表示数6和这两点的距离；的意义可理解为数轴上表示数x和这两点的距离； (1)如图1，在工厂的一条流水线上有两个加工点A和B，要在流水线上设一个材料供应点P往两个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小？ (2)如图2，在工厂的一条流水线上有三个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往三个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到三点的距离之和最小？ (3)如图3，在工厂的一条流水线上有四个加工点，要在流水线上设一个材料供应点P往四个加工点输送材料，材料供应点P应设在_________时，才能使P到四点的距离之和最小？ (4)①的最小值是_________，此时x的范围是_________； ②的最小值是_________，此时x的值为_________； ③的最小值是_________，此时x的范围是_________． 【答案】(1)、之间 (2)点 (3)之间 (4)①，；②，；③， 【分析】本题考查了绝对值的性质、数轴上两点之间的距离，采用分类讨论是解此题的关键． （1）分三种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点点点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （2）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在点时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）分五种情况：当点在点左边时；当点在、之间时；当点在之间时；当点在之间时；当点在点的右边时；分别表示出距离即可得出答案； （3）①根据（1）的结论即可得出答案；②根据（2）的结论即可得出答案；③根据（3）的结论即可得出答案． 【详解】（1）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点点点的右边时，， 当点在、之间时，才能使P到A的距离与P到B的距离之和最小； （2）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在点时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在点时，才能使P到三点的距离之和最小 （3）解：当点在点左边时，， 当点在、之间时，， 当点在之间时，， 当点在之间时，， 当点在点的右边时，， 当点在之间时，才能使P到四点的距离之和最小； （4）解：①由（1）可得：当时，有最小值，最小值为， 的最小值，此时x的范围是； ②由（2）可得：这是在求点到，，三点的最小距离， 当时，有最小值，最小值为； ③由（3）可得：这是在求点到，，，四点的最小距离， 当时，由最小值，最小值为． 考点八 有理数的大小比较 （共3题） 1．下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数比较大小，有理数大小比较的法则：（1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数；（2）两个负数比较大小，绝对值大的反而小．据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C 2．比较大小： ； （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号、求绝对值，根据有理数的大小比较方法：正数都大于0，负数都小于0，正数都大于负数，两个负数进行比较，绝对值大的反而小，比较即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 故答案为：，． 3．比较下列各对数的大小： (1)和． (2)和． (3)和． (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数大小比较、相反数以及绝对值，掌握有理数大小比较的法则是解答本题的关键． （1）正数大于负数； （2）根据相反数的定义化简后，再根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可； （3）根据两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小判断即可； （4）根据相反数和绝对值的性质化简后，再比较大小即可． 【详解】（1）解： （2）解： ，， （3）解：，， ； （4）解：， 考点九 有理数的四则混合运算 （共10题） 1．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）根据乘法分配律将原式展开，然后进行有理数的乘法运算，最后进行加减运算即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的减法，然后计算乘法，最后进行加减运算； 掌握相应的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ． 3．计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先把除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律进行计算即可求解； （）按照有理数的运算法则进行计算即可求解； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ， ， ； （2）解：原式 ， ， ． 4．计算下列两道题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则与运算顺序是解题的关键． （1）先计算除法，再计算减法即可； （2）先计算乘方，再计算乘除，最后许加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2)0.08 (3)6 (4)0 (5) (6)0 (7) (8) (9) (10) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．熟练掌握运算顺序和法则，简便运算，是解决问题的关键． （1）异号二数相乘积得负，绝对值相乘； （2）同号二数相乘积得正，绝对值先约分，再相乘； （3）同号二数相乘积得正，绝对值先化成假分数，约分，再相乘； （4）任何数和0相乘积得0； （5）负因数的个数是奇数个积为负，绝对值是带分数的化成假分数，约分后相乘； （6）几个因数中有一个为0的积为0； （7）负因数的个数是奇数个积为负，绝对值是带分数的化成假分数，小数化成分数，约分后相乘； （8）负因数的个数是一个积得负，绝对值是带分数的化成假分数，约分后相乘； （9）先确定两部分积的正负号，再逆用分配律计算； （10）先确定两部分积的正负号，再作乘法，后作减法． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）． 6．脱式计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）16；（2）18；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、有理数的乘法运算律等知识点，掌握有理数的混合运算法则成为解题的关键． （1）先化除为乘、然后运用乘法分配律解答即可； （2）先根据乘法运算律等量变换，然后再运用乘法结合律运算即可； （3）先算小括号，再算中括号，最后算其他即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 7．计算． (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用有理数的加减运算的法则进行运算即可； 先算除法，乘法，再算加减即可； 先算乘方，绝对值，再算乘法，最后算加减即可； 先算乘方，再算括号里的运算，除法转为乘法，接着算乘法，最后算加减即可； 先算乘方，乘法的分配律，再算加减即可； 先算乘方，除法转为乘法，再算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 8．计算 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1)5 (2) (3)1 (4) (5) (6) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决本题的关键. （1）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （2）根据有理数的加减法运算法则计算即可； （3）先将除法转化为乘法运算，再进行乘法运算即可； （4）先将除法转化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可； （5）先计算乘法和乘方运算，再根据有理数的加减法运算法则计算即可； （6）先计算乘方、括号内的式子和乘法运算，再根据有理数的加减法运算法则计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： （5）解： （6）解： 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算， （1）原式将一、三和二、四分组，分别进行加法和减法运算，最后进行加法运算即可； （2）原式根据乘除运算法则运算即可； （3）原式利用乘法分配律计算即可得到结果； （4）原式先计算乘方运算，然后是绝对值，再计算乘除运算，最后算加减运算即可； 熟练掌握运算法则及性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)18 (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加、减、乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再算加减即可； （2）先去括号，求绝对值，再将分数合并，整数合并，再计算加减即可； （3）根据有理数乘法运算律计算即可； （4）根据有理数乘法运算律去括号，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点十 含乘方的有理数混合运算 （共10题） 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)20 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数的混合运算，关键是熟记运算法则与运算顺序，注意每步的符号确定，容易在符号上出问题． （1）先根据乘方法则计算乘方，再根据乘除法则计算乘除法； （2）先根据乘方法则计算乘方，再根据乘除法则计算乘除． 【详解】（1）解： ； （2） ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可得到结果； （2）先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 3．计算：． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，注意运算顺序和运算结果的符号判定．先算乘方和括号里面的除法，再算加法，再算乘方，再算乘法，最后算减法． 【详解】解： ． 4．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”， 记作，读作：“的圈4次方”．一般地，把n个a相除记作aⓝ，读作“a的圈n次方”． (1)直接写出计算结果：___________，___________． (2)关于除方，下列说法错误的是 ___________． A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1 C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 (3)算一算：． 【答案】(1) (2)C (3) 【分析】（1）分别按公式计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）分别按公式计算即可． 本题考查的是正数与负数、有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的计算公式逐步计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：A．任何非零数的圈2次方表示的是两个相同非零数的商，结果都等于1，正确，不符合题意； B．对于任何正整数n，1的圈n次方表示的是n个1相除，都等于1，正确，不符合题意； C. ， ， 故，错误，符合题意； D．负数的圈奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数，负数的圈偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，正确，不符合题意； 故选C． （3） ． 6．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先计算乘方，再计算括号里面的，然后计算乘除，最后计算加减即可，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． 【详解】解： ． 7．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算， 先计算乘方，化简绝对值，再算除法，最后再计算加减法． 【详解】解： 8．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序，掌握运算方法是解题关键 （1）根据乘法分配律，求出算式的值即可． （2）首先计算乘方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】（1）解： （2） ． 9．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）先算乘方，再算乘除法，最后算加减法即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算减法即可． 本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解：（1） ； （2）解： ． 10．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 考点十一 有理数混合运算的实际应用 （共10题） 1．如图1是1个纸杯和6个叠放在一起的纸杯的示意图，量得1个纸杯的高为，6个叠放在一起的纸杯的高为． (1)问2个叠放在一起的纸杯的高是多少？ (2)若一批这样的纸杯按照图2的方式叠放，测得总高度为，求纸杯个数． 【答案】(1) (2)101个 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）根据图1中的数据求出每增加一个纸杯增加的高度即可； （2）根据总高度求出纸杯的个数即可． 【详解】（1）根据题意得： ， ， 则2个叠放在一起的纸杯的高是； （2）根据题意得： （个）， 则纸杯个数为101个． 2．为了增强学生身体素质，激发学生体育锻炼热情，某校七年级班学生在体育课上进行了一次跳绳比赛．以分钟跳个作为标准，超过的部分记为正数，不足的部分记为负数．某小组名同学分钟跳绳个数记录如下： ，，，，，，，，，（单位：个）． (1)求这个小组分钟每人平均跳绳的个数？ (2)为增强学生竞争意识，及时评出优胜小组进行奖励，本次活动采取积分制，每超过标准个记“”分，每不足个记“”分，刚好达到标准记“”分，积分最高的小组获得最终奖励，求这个小组的总积分？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合计算是解题的关键； （1）根据平均数的意义，可得答案； （2）根据题意列式计算求出该班的总积分即可． 【详解】（1）解：由题意得： 答：这个小组分钟每人平均跳绳的个数个 （2）解：由题意得： 答：这个小组的总积分为分 3．初夏逢盛会，冰城万象新．2024年第三十三届哈尔滨国际经济贸易洽谈会，吸引了众多采购商和消费者的目光，让海内外宾朋收获颇丰，也给哈尔滨市的旅游行业带来了新的生机，某出租车驾驶员在一条东西向的道路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）． 第一批 第二批 第三批 第四批 第五批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，那么在连续接送5批客人的过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费9元，超过的部分每千米加元收费，在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费多少元？ 【答案】(1)在公司东面，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)一共收到车费56.4元 【分析】本题考查正负数的意义以及有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练运用正负数的意义． （1）根据有理数加法即可求出答案． （2）根据题意列出算式即可求出答案． （3）根据题意列出算式即可求出答案． 【详解】（1）解：由行驶路程记录得： ， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司东面，距离公司6千米； （2）解：由行驶路程记录得： （升）， 答：在连续接送5批客人的过程中共耗油6升； （3）解：由行驶路程记录得： （元）， 答：在连续接送5批客人的过程中，该驾驶员一共收到车费元． 4．股民小李上星期五记录某公司股票收盘价为每股元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元（（注：股市星期一至星期五开市，星期六、星期日休息） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期四收盘时，每股是多少元？ (2)已知小李买进股票时付了总交易额的手续费，卖出时还要付成交额（读作千分之1）的手续费，如果小李以上周五的收盘价买入股，并以本周五收盘价全部卖出股票，他赚了或赔了多少钱？（温馨提示：股市有风险，入市需谨慎） 【答案】(1)星期四收盘时，每股是元； (2)本周五收盘价全部卖出股票，他赚了元． 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，理解题意，准确分析并正确列出算式是解答的关键． （1）根据要求列出算式求解即可； （2）先求得星期五的收盘价，再算出买进1000股花费的钱数，然后算出周五卖出股票后所剩余的钱数，将两数相减即可求解． 【详解】（1）解：由题意：（元）， 答：星期四收盘时，每股是元； （2）解：（元）， （元）， （元）， （元）， 答：本周五收盘价全部卖出股票，他赚了元． 5．刘明的爸爸上周买进股票1000股，每股27元，下表为本周每天该股票的涨跌情况．（星期六、日股市休市）（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 (1)星期三收盘时，每股是多少元？ (2)若刘明爸爸按本周五的收盘价将股票全部卖出，你认为他会获利吗？获利多少？ 【答案】(1)星期三收盘时，每股是28元 (2)获利，他获利了3000元 【分析】本题考查了正负数的实际应用和有理数的混合运算，正确理解题意并正确列出算式是解题关键． （1）根据题意列出算式，计算即可求解； （2）根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得：（元， 则星期三收盘时，每股是28元； （2）根据题意得：（元． 故他获利了3000元 6．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的路上进行的，若规定向东行驶为正，则他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： (1)将小李下午的出发地记为0，他将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午的出发地有多远？在出发地的哪个方向？ (2)如果该出租车的耗油量为升/千米，那么这天下午共耗油多少升？ 【答案】(1)小李距下午的出发地有2千米远，在出发地的西方 (2)这天下午共耗油22升 【分析】本题主要考查正负数的应用，熟练掌握正负数的加减计算是解题的关键． （1）根据正负数的意义列式计算即可； （2）根据正负数的意义列式计算即可． 【详解】（1）解：（千米）， ∴小李距下午的出发地有2千米远，在出发地的西方． （2）解：（升）． 答：这天下午共耗油22升． 7．粮库3天内进出库的吨数记录如下（“”表示进库，“”表示出库）： ，，，，， (1)经过3天，粮库里的粮食是增多了还是减少了？增多了还是减少了多少？ (2)经过3天，粮库管理员结算时发现粮库里还存480吨粮食，那么3天前粮库里的存量有多少吨？ (3)如果进库出库的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付出多少装卸费？ 【答案】(1)经过3天，粮库里的粮食是减少了，减少了45吨 (2)3天前粮库里的存量有525吨 (3)这3天要付出825元装卸费 【分析】本题主要考查有理数的加减混合运算，正负数的实际运用，掌握有理数的混合运算是解题的关键． （1）计算出3天的进出库量，根据有理数的加减运算即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算即可求解； （3）先计算出总的吨数，再根据有理数的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过3天，粮库里的粮食是减少了，减少了45吨； （2）解：由（1）可知，经过3天，减少了45吨， ∴3天前的存量为：（吨）， ∴3天前粮库里的存量有吨； （3）解：（吨）， ∴（元）， ∴这3天要付出825元装卸费． 8．某淘宝商家计划平均每天销售某品牌儿童滑板车100辆，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有差距.下表是本周每天的销售情况（超额记为正、不足记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差额（辆） (1)本周前三天销售儿童滑板车______辆，销售量最多的一天比最少的一天多销售______辆； (2)通过计算说明，本周实际销售总量是否达到了计划量？ (3)该店铺实行每日计件工资制，每销售一辆车可得40元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖15元；若未完成计划，则少销售一辆扣20元，那么该店铺销售人员本周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)315；29 (2)本周实际销售总量达到了计划量 (3)该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用； （1）根据记录的数据列式计算即可得到结论； （2）把增减的量都相加，然后根据有理数的加法运算法则进行计算，即可得出结论； （3）先计算每天的工资，再相加即可求解． 理解题意并列出式子是解题的关键． 【详解】（1）解：本周前三天销售儿童滑板车：（辆）， 根据记录的数据可知销售量最多的一天为星期六，销售量最少的一天为星期五，销量之差为： （辆）； 故答案为：315；29． （2）解：， ∵ ∴本周实际销售总量达到了计划量． （3）解： （元）， 答：该店铺的销售人员这一周的工资总额是28825元． 9．某快递员骑摩托车从快递公司点出发，在一条东西向的街道上来回送包裹．先向东骑行到达点，继续向东骑行到达点，然后向西骑行到达点，最后回到点． (1)以点为原点，规定向东为正方向，请在数轴上表示出、、点的位置（用一个单位长度表示）； (2)点在出发点的什么位置？ (3)如果摩托车每千米耗油0.04升，出发前摩托车油箱有1升汽油，快递员能否回到出发点？ 【答案】(1)见解析 (2)点在出发点的正西方向处 (3)快递员能回到出发点 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，数轴表示有理数，有理数的混合运算的应用，解题关键是理解题意，列出正确的算式． （1）根据题意，在数轴上描出点A，B，D即可； （2）规定向东行驶为正，向西行驶为负，把摩托车行驶的路程记录下来，求出到点A的总路程，然后判断即可； （3）先求出摩托车行驶的总路程，再求出行驶这些路程需要耗油多少，然后根据摩托车里的油进行判断即可． 【详解】（1）解：如图，、、点即为所求； （2）， 答：点A在出发点的正西方向处； （3）， （升）， ， ∴快递员能回到出发点． 10．为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在20吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取；超过20吨且不超过30吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的1.5倍收取；超过30吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的1.8倍收取．为节约用水量，小高记录了1~7月份他家每月1号的水表读数． 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 水表读数（吨） 433 450 468 485 500 514 535 (1)直接写出小高家1月份的用水量__________吨及1~6月平均每月用水量为____________吨． (2)已知小高家2月份的水费为36元，试求他家6月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比6月份多用水14吨，试求小高家7月份需缴纳水费多少元？ (4)为节约水资源，请你提出一条生活中节约用水的合理建议． 【答案】(1)17，17 (2)43元 (3)88元 (4)见解析 【分析】本题考查有理数运算的实际应用： （1）用2月的数据减去1月的数据，求出1月份的用水量，用表格中最后一个数据减去第一个数据，再除以6求出平均用水量； （2）根据小高家2月份的水费为36元，求出一级用水价格，进而求出6月份需缴纳水费即可； （3）根据收费标准，列式计算即可； （4）提出一条节约用水的建议即可． 【详解】（1）解：（吨），（吨）； 故答案为：17，17； （2）解：小高家二月用水量为：（吨）， 由题意，得：一级用水价格为：（元）， 小高家6月用水量为：吨， ∴他家6月份需缴纳水费为（元）； （3）解：七月份用水量为：（吨）， （元）； （4）解：淘米水浇花（合理即可）． 考点十二 有理数四则运算的巧算 （共10题） 1．用简便方法计算： (1) (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． （1）直接逆用乘法的分配律进行简便运算即可； （2）把原式化为，再利用分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数计算中的简便运算： （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）利用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 3．用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数乘法，关键是熟记有理数乘法法则与运算定律． （1）根据有理数乘法法则与乘法的结合律进行简便运算； （2）运用乘法的结合律与分配律进行简便运算便可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．速等式计算（能简便的可简便计算） (1)； (2)． 【答案】(1) (2)91 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用有理数的运算律成为解题的关键． （1）先取括号，然后再运用加法交换律即可解答； （2）先把小数化成分数、然后再化除为乘，然后再运用乘法结合律即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 5．用简便方法计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)； (3)； 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算律： （1）（2）（3）根据有理数的乘法分配律的逆运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 6．用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【答案】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 7．简便计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了乘法分配律： （1）先把百分数化为小数，然后利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （2）先把百分数和分数化为小数，然后利用乘法分配律的逆运算法则求解即可； （3）先把原式变形为，进而得到，再利用乘法分配律求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 8．用简便方法计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算． （1）将和为整数的两个数，分别结合为一组求解； （2）先去绝对值符号和括号，再将分母相同的两个数，分别结合为一组求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．阅读与思考 下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的计算． 逆用乘法分配律解题 我们知道，乘法分配律是，反过来．这就是说，当中有相同的a时，我们可以逆用乘法分配律得到，进而可使运算简便．例如：计算，若利用先乘后减显然很繁琐，注意到两项都有，因此逆用乘法分配律可得，这样计算就简便得多 计算： (1)； (2)； (3)． (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，逆用分配律简便计算是关键； （1）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （2）逆用分配律把原式化为，再计算即可； （3）逆用乘法分配律计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： = = =． 10．阅读下面的解题过程，并解决问题． 计算：． 解：原式 ． (1)第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______． (2)根据以上解题技巧进行计算：． 【答案】(1)去括号，省略加号；加法交换律、结合律 (2) 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加减运算，运用有理数的加减运算进行计算，即可． （1）根据有理数的加减运算步骤，进行计算，即可； （2）根据（1）中的运算法则，进行计算，即可． 【详解】（1）由解题过程可知，第①步去括号，省略加号；第②步运用加法交换律、结合律计算， 故答案为：去括号，省略加号；加法交换律、结合律． （2） ． 考点十三 科学记数法 （共3题） 1．红细胞是人体血液中数量最多的血细胞，它的主要功能是运输氧气和二氧化碳，人体中约有个红细胞，用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：． 2．据悉，截至2023年5月底，全国建成开通基站170万个，移动电话用户数达到4.28亿户，流量占移动流量比重达到．用科学记数法表示4.28亿户为 户． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 【详解】用科学记数法表示4.28亿户为． 故答案为：． 3．德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距离地球102000000000000千米． (1)用科学记数法表示出天鹅座第61颗暗星到地球的距离； (2)如果光线每秒可以行300000千米，那么你能计算出天鹅座第61颗暗星发出的光线到达地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来． 【答案】(1)千米 (2)需要秒 【分析】（1）根据科学记数法的表示方法进行表示即可； （2）利用时间等于路程除以速度，进行计算即可． 【详解】（1）102000000000000千米千米； （2）秒． 答：需要秒． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 考点十四 程序流程图 （共3题） 1．如图所示是计算机某计算程序，若开始输入，则输出y值为1．若输出的y值为4，那么输入的x的值为（　　） A．10 B．10或1 C．10或3 D．10或3或1 【答案】B 【分析】本题考查流程图，解题的关键是看懂流程图，根据流程图的过程进行计算．根据开始输入，则输出y值为1，求出，把y值为4代入求解即可． 【详解】解：∵开始输入，则输出y值为1 ∴ ， 解得， 令， 解得：， 令， ， 解得或（舍去） 综上所述，或． 故选：B 2．如图所示是计算机程序计算，若开始输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了程序框图与有理数的运算，根据程序列出算式进行计算是解题的关键．先将代入，根据程序进行计算得出结果为，再把代入计算程序中得到，即可求解． 【详解】解：把代入计算程序中得：， 把代入计算程序中得：， 则最后输出的结果是． 故答案为：． 3．小明同学在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序． (1)若输入的数是，那么执行了程序后，输出的数是多少？ (2)若输入的数是2，那么执行了程序后，输出的数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，解决此类问题的关键是理解题目中所给的程序，当计算的结果的绝对值小于100时，要从头再输入，直到绝对值大于100才可以输出结果． （1）根据题意，把输入，得，其绝对值大于100，所以就是输出的数． （2）根据题意，把2输入，得，其绝对值小于100，所以再把从头输入，计算输出的数． 【详解】（1）解：． 答：输出的数是． （2）解：把2输入，得， ∵， ∴再把从头输入，得． 答：输出的数是． 学科网（北京）股份有限公司 $$