专题2.1 函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（湖南专用）

专题2.1 函数 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 5 考点一：函数的基本概念 5 考点二：函数定义域 7 考点三：函数解析式 10 考点四：函数值域 12 考点五：函数的单调性 15 考点六：函数的奇偶性 17 考点七：函数的实际应用 23 【考纲要求】 1. 理解函数的概念和三种表示法。 2. 理解函数的单调性和奇偶性。 3. 能运用函数的知识解决有关实际问题。 【考向预测】 主要以选择题和填空题的形式来考察函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，以解答题的形式来考察函数性质的综合运用。 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的基本概念 1.一般地，如果在某一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于某个范围内的每一个确定的值x，按照某个对应法则都有唯一确定的值y与之对应，那么称y是x的函数，x的取值范围叫做函数的定义域，所有函数值的集合叫做函数的值域。 2.函数的定义域和对应法则是构成函数的两要素。 3.函数的三种表示法：解析法，列表法，图像法。 函数相等：①定义域相同；②对应法则相同 2.函数的定义域 1. 定义域：函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值范围。（函数的定义域和值域都需要用集合或者区间表示） 2. 常见函数的定义域求法 （1） 分式形式的函数：分母不等于0； （2） 偶次根式被开方数≥0； （3） 整式函数的定义域为R； （4） 中的底数x≠0； （5） 分段函数的定义域是各段中x的取值的并集； （6） 由实际问题确定的函数，函数的定义域除使函数解析式有意义外，还要与问题实际意义相符。 3.函数的解析式 求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法。 4.函数的值域 1. 求函数值域的常用方法有配方法、数形结合法、单调性法、观察法等。 基本类型有平方型： ;分式型：; 根式型： 2. 几种常见函数的定义域和值域 （1） 一次函数的定义域为R，值域为R； （2） 反比例函数的定义域为，值域为。 （3） 二次函数的定义域为R，当时，值域为当时，值域为.（具体问题可以数形结合去分析） 5. 函数的单调性 1. 单调性概念：（D为函数的某个区间）,， ①若，那么此函数在D上是增函数；称D为单调递增区间。 ②若，那么此函数在D上是减函数；称D为单调递减区间。 2. 函数单调性判断： ①定义法步骤：1)在指定区间内任取两个自变量的值，且; 2) 作差：，通过因式分解、配方或有理化等方法对差进行变形； 3) 判断的符号，由定义得出单调性。 ②图像法 以上结论可概括为“同增异减” 6. 函数的奇偶性 1. 函数奇偶性定义： ①若，那么此函数为奇函数； ②若，那么此函数为偶函数； ③若且，那么此函数为非奇非偶函数。 2. 函数奇偶性的判定： （1） 先检查函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数； 若定义域关于原点对称，再考察函数值的关系。 （2）判断奇偶性的方法 ①定义法：若或，则为奇函数； 若或，则为偶函数。 ②图像法：奇函数：图象关于原点对称； 偶函数：图图象关于y轴对称。 3. 函数奇偶性的性质 ①若f(x)是奇函数且在x=0处有意义，则f(0)=0. ②单调性：奇函数在其对称的单调区间上具有相同的单调性；偶函数在其对称的单调区间上具有相反的单调性。 ③若,且定义域关于原点对称，当a=0时，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 当a≠0时，则f(x)是偶函数。 7. 函数的实际应用 函数的应用题解题策略 （1） 读题：了解问题背景，寻找实际问题与函数知识的结合点 （2） 审题：弄清题意，分清条件和结论，寻找题中的数量关系。 （3） 建模：将题中的文字语言转化为符号语言，将实际问题抽象为数学问题，从而建立该问题的数学模型。 （4） 求模：求解数学模型，得到数学结论。 （5） 检验：将上述结论返回到实际问题中，获得符合问题的实际意义的结论。 【考点分类剖析】 考点一：函数的基本概念 典例分析 例1．下列等量关系中，是的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数定义进行判断即可. 【详解】解：对于A，当x＝0时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项A错误； 对于B，当x＝1时，y＝±1，不符合函数的定义，故选项B错误； 对于C，满足函数的定义，故选项C正确； 对于D，当x＝2时，y＝±2，不符合函数的定义，故选项D错误. 故选：C. 例2．在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解. 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 例3．若，的值为 . 【答案】 【分析】代入及即可得. 【详解】因为， 则. 故答案为：. 例4．已知函数，若则a的值为 ． 【答案】-2或1 【分析】把a代入函数表达式解方程即可得出结果. 【详解】由，解得或者， 故答案为：-2或1. 变式探究 1．下列等量关系中，y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义逐一分析判断即可得出答案. 【详解】解：对于A，当时，，不符合函数的定义，故A错误； 对于B，当时，，不符合函数的定义，故B错误； 对于C，满足函数的定义，故C正确； 对于D，当时，，不符合函数的定义，故D错误. 故选：C. 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 3．设，若，则 ． 【答案】3 【分析】类比函数奇偶性思想方法解题即可 【详解】，则； . 故答案为：3. 4．已知函数的表达式，若，则实数 ． 【答案】 【分析】解方程即可得答案. 【详解】解：由题知，即，解得. 故答案为： 考点二：函数定义域 典例分析 例1．求下列函数的定义域： （1）；        （2）； （3）；    （4）. 【答案】（1）（2）且（3）（4）且 【分析】（1）直接根据解析式可得答案； （2）根据分母不为0可得答案； （3）根据偶次根式有意义列式可得结果； （4）根据偶次根式有意义以及分母不为0可求出结果. 【详解】（1）的定义域为； （2）由得， 所以的定义域为且. （3）由，得， 所以的定义域为. （4）由，得且， 所以的定义域为且. 例2．已知 （1）画出的图像； （2）求的定义域. 【答案】（1）答案见解析；（2）定义域为R，值域为[0，1]. 【分析】（1）结合二次函数与常数函数的图象直接作图； （2）由原函数解析式可得函数定义域，由图象得值域． 【详解】解：（1）画出分段函数的图象如图， （2）函数的定义域为． 【点睛】本题考查分段函数的图象及定义域和值域的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题． 变式探究 1．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意结合零次方底数不为0运算求解； （2）根据题意结合根式的意义分析求解； （3）根据题意结合分式的意义运算求解. 【详解】（1）要使函数有意义，需满足， 解得，所以的定义域为． （2）要使函数有意义，需满足解得． 所以函数的定义域为． （3）要使函数有意义，需满足，解得． 所以函数的定义域为． 2．已知函数． (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象； (2)写出此函数的定义域． 【答案】(1)图象见解析 (2)定义域为R，增区间为，减区间为、和，值域为 【分析】(1)结合的解析式作图即可；(2)结合解析式和(1)中图像即可求解. 【详解】（1）图象如图所示： （2）由的解析式可知，定义域为R． 考点三：函数解析式 典例分析 例1．已知一次函数满足，求函数的解析式； 【答案】 【分析】设出一次函数解析式，用待定系数法进行求解； 【详解】设，则， 即， 所以， 解得：， 所以； 例2．已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x). 【答案】. 【分析】设出的解析式，根据题意，待定系数即可求得结果. 【详解】因为f(x)是二次函数，所以设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f(2x＋1)＝a(2x＋1)2＋b(2x＋1)＋c＝4ax2＋(4a＋2b)x＋a＋b＋c. 因为f(2x＋1)＝4x2－6x＋5， 所以解得 所以f(x)＝x2－5x＋9(x∈R). 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，属简单题. 例3．已知，求的解析式． 【答案】． 【分析】可由配凑法等式右边用表达或换元法令求解； 【详解】解：法一：把的右边配成的表达式， 即，然后整体换成， 得：， 故的解析式为：． 法二：令，得代入得： ， 然后t换成x即， 故的解析式为：． 变式探究 1．已知二次函数满足，且．求的解析式； 【答案】 【分析】由题意设，再由已知得，根据多项式相等列方程求参即可. 【详解】由，设， 由，则， 整理得，则，解得． 所以． 2．已知f(x)是一次函数，且，求f(x). 【答案】或 【分析】利用待定系数法求解. 【详解】设， 则f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， ∴， ∴或， ∴或. 3．已知，求. 【答案】 【分析】利用配凑法求解. 【详解】因为， 所以. 4．已知函数满足.求的解析式； 【答案】；. 【分析】换元法求解函数解析式； 【详解】令，所以， 所以， 故的解析式为； 考点四：函数值域 典例分析 例1．求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出所有函数值即可得值域； （2）根据二次函数的性质即可得值域. 【详解】（1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 例2．求二次函数在区间上的值域． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】由， 则当时，，当时，， 所以函数的值域为. 变式探究 1．求下列函数的值域. (1)，. (2)，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的知识求得正确答案. （2）结合二次函数的性质求得正确答案. 【详解】（1）， 所以的值域为 （2）二次函数的开口向下，对称轴为， 所以时，取得最大值为， 时，取得最小值为， 所以的值域为. 2．求下列函数的值域： （1）f（x）=3x+1， （2）f（x）= 2x，（） 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）将自变量的取值代入函数解析式即可求解； （2）利用二次函数的性质即可求解. 【详解】解：（1）因为f（x）=3x+1，， 所以时，，时，，时，， 时，，时，， 所以函数的值域为； （2）因为f（x）= 2x，（），对称轴为， 所以在上单调递减，在单调递增， 又，，， 所以函数的值域为. 3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）图像见解析，定义域为R，值域为R； （2）图像见解析，定义域为，值域为； （3）图像见解析，定义域为R，值域为R； （4）图像见解析，定义域为R，值域为 【解析】根据正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的性质求解定义域、值域，画图象的方法直接画图即可. 【详解】解：（1）定义域为R，值域为R，函数图象如图（1）所示； （2）定义域为，值域为，函数图象如图（2）所示； （3）定义域为R，值域为R，函数图象如图（3）所示； （4）定义域为R，值域为，函数图象如图（4）所示.         【点睛】本题考查了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的定义域、值域、图象，属于基础题. 考点五：函数的单调性 典例分析 例1．函数，的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性直接计算即可. 【详解】由二次函数的性质可知的对称轴为，开口向上， 所以其单调区间为. 故答案为：. 例2．函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】画出函数图象，数形结合得到答案. 【详解】画出函数的图象，如下：    故单调递减区间为. 故答案为： 例3．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数单调性得到不等式，求出答案. 【详解】由题意得，解得. 故答案为： 例4．判断，在上的单调性，并用定义法加以证明. 【答案】在上单调递增，证明见解析. 【分析】根据单调性定义，令并应用作差法比较的大小，即可证. 【详解】在上单调递增，证明如下， 令，则 ， 由，故，所以，即. 所以在上单调递增. 变式探究 1．已知在上是增函数，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于在上是增函数， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 2．函数的单调增区间是 . 【答案】 【分析】由函数解析式作出图像，结合图像判断单调区间. 【详解】函数的图像如下： 由图像其单调递增区间是, 故答案为：. 3．函数的增区间为 . 【答案】 【分析】配方后结合开口方向和对称轴，求出单调递增区间. 【详解】，开口向上，对称轴为， 故单调递增区间为. 故答案为： 4．已知函数．试判断函数在区间上的单调性，并证明； 【答案】(1)在区间上单调递增，证明见解析 【分析】利用定义法证明单调性即可； 【详解】易知， 设，且， 则， 又由，则，，， 所以，即在区间上单调递增； 考点六：函数的奇偶性 典例分析 例1．下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义和在上的单调性易得. 【详解】由奇函数的定义，函数的定义域关于原点对称，排除D项， 又由，排除A项， 因在上单调递减，故排除B项， 而是奇函数，在上单调递增，符合要求. 故选：C. 例2．已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数定义，列式计算即得. 【详解】由函数是奇函数，得，则，解得， 函数定义域为，是奇函数， 所以. 故选：A 例3．已知定义在上的奇函数满足，则的值为（    ） A．－l B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据为奇函数，得到，根据，得到的周期为4，进而运用周期求解. 【详解】由为定义在上的奇函数，得，得， 由得，所以的周期为4， 所以 故选：B. 例4．若函数，是偶函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】利用奇偶函数的定义域关于原点对称，可求的值. 【详解】因为函数，是偶函数， 所以定义域关于原点对称，所以，解得. 故答案为：. 例5．二次函数为偶函数的充要条件是 ． 【答案】 【分析】由偶函数图像对于轴对称的性质即可得出答案. 【详解】因为偶函数的图象关于轴对称， 所以二次函数的对称轴为轴， 即. 又，所以. 当时，函数为偶函数， 故答案为： 例6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， 求函数的解析式，并作出简图； 【答案】，作图见解析； 【分析】利用奇函数定义求出时，再用分段函数表示出即可. 【详解】函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，则，而， 所以，函数的图象，如图： 例7．设函数． (1)判断函数奇偶性并证明； (2)用单调性定义证明：函数在上单调递增． 【答案】(1)为奇函数，证明如下. (2)证明如下. 【分析】(1)用奇函数的性质证明即可. (2)用定义证明单调性即可. 【详解】（1）为奇函数； 证明：由题意知的定义域关于原点对称， 且，故得证； （2）证明：设任意的， 则因为， 所以， 故函数在上单调递增 变式探究 1．下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义和指数函数与幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于，根据幂函数的图像和性质，知是偶函数，图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数，故正确； 对于，是偶函数，图象关于轴对称，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是偶函数，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是奇函数，图象关于原点对称，故错误. 故选：. 2．若函数是偶函数，则实数 ． 【答案】1 【分析】根据偶函数的定义得出恒等式即可求解. 【详解】由题意显然的定义域为全体实数，它关于原点对称， 恒成立， 即，即，解得. 故答案为：1. 3．设是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，结合函数解析式易得. 【详解】依题意，. 故答案为：. 4．已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】根据偶函数的定义及性质直接可得解. 【详解】由题设，函数的定义域关于原点对称， 即， 解得或， 故答案为：或. 5．设m为实数，函数是偶函数，求m的值. 【答案】 【分析】根据偶函数的定义，列方程，求解参数． 【详解】根据题意，函数是偶函数， 则， 即， 变形可得：， 所以. 6．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求a的值； (2)求在R上的解析式； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由奇函数性质有，即可求参数； （2）利用奇函数性质求时的解析式，即可得在R上的解析式； 【详解】（1）由题设，即. （2）由（1）知：时，， 若，则，而， 综上，. 7．已知函数为定义在R上的奇函数，求实数的值. 【答案】 【分析】)利用以及求得的值； 【详解】由于是定义在R上的奇函数， 所以，所以， 由于是奇函数，所以， 所以， 即，所以. 考点七：函数的实际应用 典例分析 例1．直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)50元 (2)55元， 450元 【分析】（1）结合题意列出等式即可. （2）化为顶点式即可求. 【详解】（1）设每件售价应定为元，则每件的销售利润为元， 日销售量为件， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：每件售价应定为50元； （2）设每天的销售利润为元.依题意，得： 整理得：，化成顶点式得， ∴当时.每天的销售利润最大，最大利润是450元. 例2．中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间． (1)求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式； (2)若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？ 【答案】(1)且； (2)每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元. 【分析】（1）根据题意有，展开并确定其定义域，即得解析式； （2）利用二次函数性质求最大值，确定每间房的住宿费用和当日收入即可. 【详解】（1）由题意，且. （2）由（1），， 所以，当时，元， 故每间房的住宿费用可定为元，当日收入为元. 变式探究 1．温州市出租车的票价按下列规则制定： （1）2公里以内（含2公里），票价6元； （2）超过2公里的部分，每公里收费1.6元. 请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式. 【答案】 【分析】先设里程数为x公里，票价为y元，再根据2公里以内（含2公里），票价6元，超过2公里，每公里收费1.6元求解即可. 【详解】解：设里程数为x公里，票价为y元， ∵2公里以内（含2公里），票价6元，超过2公里，每公里收费1.6元， ∴当0<x≤2时，，当时，， 2．用一根长为12米的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为x米. (1)所围成的矩形面积S能否大于8平方米，若能，请求出x的取值范围，若不能，请说明理由； (2)求所围成矩形的面积S的最大值. 【答案】(1)能， (2)最大值为9平方米 【分析】(1)由矩形的面积公式表示出矩形的面积，再由矩形面积S大于8平方米，建立不等式解出 x的取值范围. (2)通过配方法求出矩形的面积S的最大值即可. 【详解】（1）设矩形的一边长为x米，则矩形的另一边长为米， 故矩形的面积， 假设所围成的矩形面积S大于8平方米， 故， 解得， 所以所围成矩形的面积能达到8平方米，x的取值范围是. （2）由（1）可知， 所以当时，S取最大值为9， 即当矩形的一边长为3米时，所围成矩形的面积S的最大值为9平方米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 5 考点一：函数的基本概念 5 考点二：函数定义域 6 考点三：函数解析式 7 考点四：函数值域 8 考点五：函数的单调性 10 考点六：函数的奇偶性 11 考点七：函数的实际应用 13 【考纲要求】 1. 理解函数的概念和三种表示法。 2. 理解函数的单调性和奇偶性。 3. 能运用函数的知识解决有关实际问题。 【考向预测】 主要以选择题和填空题的形式来考察函数的定义域、值域、奇偶性和单调性，以解答题的形式来考察函数性质的综合运用。 【知识导图】 【知识清单】 1.函数的基本概念 1.一般地，如果在某一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于某个范围内的每一个确定的值x，按照某个对应法则都有唯一确定的值y与之对应，那么称y是x的函数，x的取值范围叫做函数的定义域，所有函数值的集合叫做函数的值域。 2.函数的定义域和对应法则是构成函数的两要素。 3.函数的三种表示法：解析法，列表法，图像法。 函数相等：①定义域相同；②对应法则相同 2.函数的定义域 1. 定义域：函数的定义域是使函数的解析式有意义的自变量取值范围。（函数的定义域和值域都需要用集合或者区间表示） 2. 常见函数的定义域求法 （1） 分式形式的函数：分母不等于0； （2） 偶次根式被开方数≥0； （3） 整式函数的定义域为R； （4） 中的底数x≠0； （5） 分段函数的定义域是各段中x的取值的并集； （6） 由实际问题确定的函数，函数的定义域除使函数解析式有意义外，还要与问题实际意义相符。 3.函数的解析式 求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法。 4.函数的值域 1. 求函数值域的常用方法有配方法、数形结合法、单调性法、观察法等。 基本类型有平方型： ;分式型：; 根式型： 2. 几种常见函数的定义域和值域 （1） 一次函数的定义域为R，值域为R； （2） 反比例函数的定义域为，值域为。 （3） 二次函数的定义域为R，当时，值域为当时，值域为.（具体问题可以数形结合去分析） 5. 函数的单调性 1. 单调性概念：（D为函数的某个区间）,， ①若，那么此函数在D上是增函数；称D为单调递增区间。 ②若，那么此函数在D上是减函数；称D为单调递减区间。 2. 函数单调性判断： ①定义法步骤：1)在指定区间内任取两个自变量的值，且; 2) 作差：，通过因式分解、配方或有理化等方法对差进行变形； 3) 判断的符号，由定义得出单调性。 ②图像法 以上结论可概括为“同增异减” 6. 函数的奇偶性 1. 函数奇偶性定义： ①若，那么此函数为奇函数； ②若，那么此函数为偶函数； ③若且，那么此函数为非奇非偶函数。 2. 函数奇偶性的判定： （1） 先检查函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则一定是非奇非偶函数； 若定义域关于原点对称，再考察函数值的关系。 （2）判断奇偶性的方法 ①定义法：若或，则为奇函数； 若或，则为偶函数。 ②图像法：奇函数：图象关于原点对称； 偶函数：图图象关于y轴对称。 3. 函数奇偶性的性质 ①若f(x)是奇函数且在x=0处有意义，则f(0)=0. ②单调性：奇函数在其对称的单调区间上具有相同的单调性；偶函数在其对称的单调区间上具有相反的单调性。 ③若,且定义域关于原点对称，当a=0时，则f(x)既是奇函数又是偶函数； 当a≠0时，则f(x)是偶函数。 7. 函数的实际应用 函数的应用题解题策略 （1） 读题：了解问题背景，寻找实际问题与函数知识的结合点 （2） 审题：弄清题意，分清条件和结论，寻找题中的数量关系。 （3） 建模：将题中的文字语言转化为符号语言，将实际问题抽象为数学问题，从而建立该问题的数学模型。 （4） 求模：求解数学模型，得到数学结论。 （5） 检验：将上述结论返回到实际问题中，获得符合问题的实际意义的结论。 【考点分类剖析】 考点一：函数的基本概念 典例分析 例1．下列等量关系中，是的函数的是（　　） A． B． C． D． 例2．在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 例3．若，的值为 . 例4．已知函数，若则a的值为 ． 变式探究 1．下列等量关系中，y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 3．设，若，则 ． 4．已知函数的表达式，若，则实数 ． 考点二：函数定义域 典例分析 例1．求下列函数的定义域： （1）；        （2）； （3）；    （4）. 例2．已知 （1）画出的图像； （2）求的定义域. 变式探究 1．求下列函数的定义域： (1)； (2)； (3)． 2．已知函数． (1)请在给定的坐标系中画出此函数的图象； (2)写出此函数的定义域． 考点三：函数解析式 典例分析 例1．已知一次函数满足，求函数的解析式； 例2．已知二次函数f(2x＋1)＝4x2－6x＋5，求f(x). 例3．已知，求的解析式． 变式探究 1．已知二次函数满足，且．求的解析式； 2．已知f(x)是一次函数，且，求f(x). 3．已知，求. 4．已知函数满足.求的解析式； 考点四：函数值域 典例分析 例1．求下列函数的值域： (1)； (2)． 例2．求二次函数在区间上的值域． 变式探究 1．求下列函数的值域. (1)，. (2)，. 2．求下列函数的值域： （1）f（x）=3x+1， （2）f（x）= 2x，（） 3．画出下列函数的图象，并说出函数的定义域、值域： （1）； （2）； （3）； （4）. 考点五：函数的单调性 典例分析 例1．函数，的单调递减区间为 ． 例2．函数的单调减区间是 ． 例3．若函数在上是严格增函数，则的取值范围是 ． 例4．判断，在上的单调性，并用定义法加以证明. 变式探究 1．已知在上是增函数，则a的取值范围是 ． 2．函数的单调增区间是 . 3．函数的增区间为 . 4．已知函数．试判断函数在区间上的单调性，并证明； 考点六：函数的奇偶性 典例分析 例1．下面函数中既是奇函数又是上单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数是奇函数，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 例3．已知定义在上的奇函数满足，则的值为（    ） A．－l B．0 C．1 D．2 例4．若函数，是偶函数，则的值为 ． 例5．二次函数为偶函数的充要条件是 ． 例6．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，， 求函数的解析式，并作出简图； 例7．设函数． (1)判断函数奇偶性并证明； (2)用单调性定义证明：函数在上单调递增． 变式探究 1．下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．若函数是偶函数，则实数 ． 3．设是定义在R上的奇函数，当时，，则 ． 4．已知定义在上的函数是偶函数，则实数的值为 ． 5．设m为实数，函数是偶函数，求m的值. 6．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，． (1)求a的值； (2)求在R上的解析式； 7．已知函数为定义在R上的奇函数，求实数的值. 考点七：函数的实际应用 典例分析 例1．直播购物逐渐走进了人们的生活.某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件.通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件. (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元？ (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 例2．中秋国庆双节期间，全国各地景区景点游客逐渐增多，旅游市场回暖升温．某景区山下的海景酒店有50间海景房，若每间房一天的住宿费用为600元时，房间恰好住满；若将每间房一天的收费标准提升元()，则入住的房间数会相应减少x间． (1)求该温泉酒店每天的收入y元关于x的函数解析式； (2)若要使该海景酒店每天的收入最多，则每间房的住宿费用可定为多少元？当日收入为多少元？ 变式探究 1．温州市出租车的票价按下列规则制定： （1）2公里以内（含2公里），票价6元； （2）超过2公里的部分，每公里收费1.6元. 请根据题意，写出票价与里程之间的函数关系式. 2．用一根长为12米的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为x米. (1)所围成的矩形面积S能否大于8平方米，若能，请求出x的取值范围，若不能，请说明理由； (2)求所围成矩形的面积S的最大值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$