（十一）排列、组合与二项式定理-章节过关训练卷《河南省数学考纲百套卷》第106卷（原卷版+解析版）

编写说明：河南省《数学考纲百套卷》 依据河南省《数学考试标准》编写。本套试卷由三个部分116份试卷组成，第一部分针对考试标准中53个考点，每个考点1-2份试卷，共95份知识点训练卷；第二部分针对数学的11个章节，编写了11份章节过关训练卷；第三部分参考河南省历年职教高考真题，编写10份模拟训练卷。 本试卷是河南省《数学考纲百套卷》的第106卷，是章节过关训练卷，依据《数学考试标准》（十一）排列、组合与二项式定理的复习内容及要求编写，其复习内容及要求是： 1．了解排列和排列数的概念，掌握排列数公式； 2．了解组合和组合数的概念，掌握组合数公式，了解组合数性质； 3．会用排列、组合知识解决一些简单的应用问题； 4．掌握二项式定理及通项公式，会解决简单问题。 河南省《数学考纲百套卷》 第106卷 十一 排列、组合与二项式定理 章节过关训练卷 考试时间60分钟 满分100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则 （ ） A． B． C． D． 2．设M、N是两个非空集合，定义M⊗N={（a，b）|a∈M，b∈N}，若P={0，1，2 }，Q={1，2}，则P⊗Q中元素的个数是（　　） A．4 B．9 C．6 D．3 3．则 A．1 B． C．1023 D． 4．袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是 A． B． C． D． 5．哈六中戏剧节比赛，11——15班这5个班级安排在周一至周五的中午进行表演，每天中午安排一个班级，且14班要安排在周一中午或周二中午，则不同的安排方案有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 6．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（    ） A． B． C． D． 7．从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为（    ） A． B． C． D． 8．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（    ） A． B． C． D． 9．数学兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中任选2人参加校数学竞赛，则参赛学生中至少有1名男生的概率是 （    ） A． B． C． D． 10．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“•”表示乙组同学．从这10名同学中任取1人，记事件A=“该生是甲组学生”，事件B=“该生数学成绩高于80分”，则=（       ） A． B． C． D． 二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 11．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则 ． 12．若，则的值为 ． 13．计算： . 14．现有甲､乙等5人站成一排，若甲不站在队伍的最左边，且与乙相邻，则不同的站法共有 .种.（用数字作答） 15．在二项式的展开式中，含的项的系数是 ． 三、解答题 (本题共5小题，每小题9分，共45分) 16．（1）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？ （2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 17．计算：（用数字作答） (1)； (2). 18．现有个球，球的编号从1到，从中任取2个球，取法总数记为． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 19．已知，该展开式二项式系数和为32. (1)求n的值； (2)求的值. 20．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球， （1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：河南省《数学考纲百套卷》 依据河南省《数学考试标准》编写。本套试卷由三个部分116份试卷组成，第一部分针对考试标准中53个考点，每个考点1-2份试卷，共95份知识点训练卷；第二部分针对数学的11个章节，编写了11份章节过关训练卷；第三部分参考河南省历年职教高考真题，编写10份模拟训练卷。 本试卷是河南省《数学考纲百套卷》的第106卷，是章节过关训练卷，依据《数学考试标准》（十一）排列、组合与二项式定理的复习内容及要求编写，其复习内容及要求是： 1．了解排列和排列数的概念，掌握排列数公式； 2．了解组合和组合数的概念，掌握组合数公式，了解组合数性质； 3．会用排列、组合知识解决一些简单的应用问题； 4．掌握二项式定理及通项公式，会解决简单问题。 河南省《数学考纲百套卷》 第106卷 十一 排列、组合与二项式定理 章节过关训练卷 考试时间60分钟 满分100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用组合的性质即可得出结果. 【详解】由， 得， ； 故选：C. 2．设M、N是两个非空集合，定义M⊗N={（a，b）|a∈M，b∈N}，若P={0，1，2 }，Q={1，2}，则P⊗Q中元素的个数是（　　） A．4 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】利用乘法原理分析得解. 【详解】因为P={0，1，2}，Q={1，2}， 所以a有3种选法，b有2种取法， 根据乘法原理，可得P⊗Q中元素的个数是： 3×2=6（个）． 故选C． 【点睛】本题主要考查乘法原理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 3．则 A．1 B． C．1023 D． 【答案】D 【分析】令二项式中的，又由于所求之和不含，令，可求出的值，代入即求答案． 【详解】令代入二项式， 得， 令得， ， 故选D． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，一般在求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是进行求解本题属于基础题型． 4．袋中共有7个大小相同的球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至少有2个红球的概率是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出取3个球中正好有2个红球的概率，再求出取3个球中正好有3个红球的概率，相加即得所求． 【详解】取3个球中正好有2个红球的概率是 取3个球中正好有3个红球的概率是 故所取3个球中至少有2个红球的概率是 故选：B． 5．哈六中戏剧节比赛，11——15班这5个班级安排在周一至周五的中午进行表演，每天中午安排一个班级，且14班要安排在周一中午或周二中午，则不同的安排方案有（    ） A．24种 B．48种 C．96种 D．120种 【答案】B 【分析】利用特殊元素优先安排的原则，即可求解. 【详解】首先安排14班，再安排其他班级，共有种安排方法. 故选：B 6．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中，随机选取两个不同的数，其和等于18的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】随机选取两个不同的数，基本事件总数，利用列举法能求出其和等于18包含的基本事件有2个，然后按古典概型计算后即可做出判定. 【详解】解：在不超过18的素数2，3，5，7，11，13，17中， 随机选取两个不同的数， 基本事件总数， 其和等于18包含的基本事件有：，，共2个， 其和等于18的概率是. 故选：C. 【点睛】本题考查概率的求法，涉及古典概型的计算，组合数的应用，考查运算能力，是基础题. 7．从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，则甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】算出总的个数和满足所求事件的个数即可 【详解】从甲、乙、丙、丁四人中选取两人参加某项活动，总共有种情况 其中满足甲乙两人仅有一人入选的有种情况 所以甲、乙两人有且仅有一人入选的概率为 故选：B 【点睛】本题考查了古典概型的求法，组合问题的简单应用，属于基础题 8．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算一名男同学都没有的概率，再求至少有一名男同学的概率即可. 【详解】两名同学中一名男同学都没有的概率为，则2名同学中至少有一名男同学的概率是. 故选：A. 9．数学兴趣小组有3名男生和2名女生，现从中任选2人参加校数学竞赛，则参赛学生中至少有1名男生的概率是 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用超几何分布概率计算公式，结合对立事件分析，即可计算这个选取问题的概率. 【详解】根据题意，记取出的2人中至少有一名是男生为事件，其对立事件为取出的2人都为女生； 则，即， 故选：A. 10．甲、乙两个学习小组各有5名同学，两组同学某次考试的语文、数学成绩如下图所示，其中“+”表示甲组同学，“•”表示乙组同学．从这10名同学中任取1人，记事件A=“该生是甲组学生”，事件B=“该生数学成绩高于80分”，则=（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，找出数学成绩高于分的甲组同学的人数求解即可. 【详解】解：事件AB=“该生是数学成绩高于80分的甲组同学”， 根据图象可知，数学成绩高于分的甲组同学有人， 所以从中任取一人，该生是数学成绩高于80分的甲组同学的概率是. 故选：C. 二、填空题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 11．在的二项展开式中，若各项系数和为32，则 ． 【答案】5 【分析】令，则，解出即可. 【详解】令，，即，解得， 故答案为：5． 12．若，则的值为 ． 【答案】6或8 【分析】由组合数公式的性质即可直接求得答案. 【详解】因为，所以或，其中， 解得或，经检验符合题意， 故答案为：或. 13．计算： . 【答案】28 【分析】运用排列组合数的计算公式计算. 【详解】 故答案为：28. 14．现有甲､乙等5人站成一排，若甲不站在队伍的最左边，且与乙相邻，则不同的站法共有 .种.（用数字作答） 【答案】42 【分析】分情况讨论，再由分类加法计数原理得出答案即可. 【详解】若乙站在甲的左边，则有种不同的站法；若乙站在甲的右边， 则有种不同的站法，故共有42种不同的站法. 故答案为：42. 15．在二项式的展开式中，含的项的系数是 ． 【答案】 【分析】求出通项，根据的指数为1求出，然后可得. 【详解】展开式的通项， 令得，所以含的项的系数为. 故答案为： 三、解答题 (本题共5小题，每小题9分，共45分) 16．（1）利用0，1，2，4，5，7这六个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数有多少个？ （2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 【答案】（1）48；（2）1440 【分析】（1）按是否选0分2种情况讨论，先安排个位，再安排十位和百位，利用排列组合数计算即可； （2）从1，3，5，7中选3个数字，从2，4，6中选2个数字，再进行全排即可. 【详解】（1）不选0时，先从1，5，7中选一个数放在个位，然后剩下的4 个数中选2个排在十位和百位，则有个奇数； 选0时，先把0放在十位，然后从1，5，7中选一个数放在个位，再从剩下的3个数中选1个放百位，则有个奇数； 所以共有个奇数． （2）从1，3，5，7中任取3个数字，从2，4，6中任取2个数字， 一共可以组成个没有重复数字的五位数． 17．计算：（用数字作答） (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据排列数､组合数公式展开计算，即可得出答案. （2）根据组合数公式和组合数性质展开计算，即可得出答案. 【详解】（1） （2） . 18．现有个球，球的编号从1到，从中任取2个球，取法总数记为． (1)求数列的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）选取问题利用组合数公式即可得到通项公式； （2）利用组合数计算公式即可证明. 【详解】（1）由题意可得：． （2）证明：因为， 所以． 19．已知，该展开式二项式系数和为32. (1)求n的值； (2)求的值. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据题意，得，解方程即可求解. （2）根据题意，代入即可求解 【详解】（1）由题意，结合二项式系数的性质可得，，解得. （2）在展开式中令，得， 即. 20．一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球， （1）从中任取个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？ （2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？ 【答案】（1）115（2）186 【详解】（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个， 红球4个，取法有种， 红球3个和白球1个，取法有种； 红球2个和白球2个，取法有种； 根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种． （2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白. 第一种，4红1白，取法有种； 第二种，3红2白，取法有种， 第三种，2红3白，取法有种， 根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$