精品解析：福建省福州市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题二

福建省福州市2023-2024九年级数学模拟试题二 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是一个圆柱切去一部分得到的几何体，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 3. 科学家在“嫦娥五号”带回的月球土壤中发现了氦三，而这是可控核聚变最理想的材料．若月球表面的110万吨氦三作为核聚变材料的话，可供全人类使用一万年． 其中数据“110万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 某校30名教师参加了“捐书有你，书香筑梦”公益活动，捐书情况如下表，则30名教师捐书的众数为（　　） 捐赠数量/本 10 20 30 50 人数/人 8 10 7 5 A. 10本 B. 20本 C. 30本 D. 50本 5. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 如果代数式，那么代数式的值等于（　　） A B. C. D. 7. 如图，为直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 创新考法·数学文化 8. 《九章算术》是中国古代数学专著，李老师将其中一道题改编如下：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，若让甲先从长安出发3日，乙才从齐国出发，设乙经过x日与甲相逢，可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，过点作于点，为上一点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 10. 星期六下午，小明爷爷吃完晚饭后匀速前往公园散步，在公园停留一段时间后，再沿原路步行回家．如图，反映了小明爷爷离家的路程（单位：km）与时间（单位：h）之间的对应关系，则下列说法正确的是（　　） A. 小明爷爷家距公园 B. 小明爷爷在公园停留的时间为 C. 小明爷爷从公园返回时的速度是 D. 小明爷爷从离开家到返回家中整个过程共用了 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 12. 在，，，这四个数中，最大的数是___． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为___． 14. 如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为___． 15. 如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为___． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中是的根． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①在上求作一点，使得点到的距离等于点到的距离； ②作交于点； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 18. 为推进全民阅读，我国将孔子诞生日9月28日定为我国的“全国读书节”，为了解全校师生的阅读情况，某校通过发放问卷的形式进行调查（问卷如下），并从中抽取一部分数据进行统计分析，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 调查问卷（单选） 1．你平时主要阅读的图书类型是（　　） A．小说　　B．历史　　C．散文　　D．天文 2．你平时每周用于阅读的时间t（h）为（　　） a．　　b．　　c．　　d． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次问卷调查中，阅读时间至少为3h的人数占被调查人数的　　　； （2）已知该校师生共有 2280人，请估计平时主要阅读的图书类型是“散文”的师生有多少人？ （3）若你是调查组的成员，为使调查的数据更有代表性，你会如何发放调查问卷？ 19. 如图，小君参加一个闯关游戏，共有两关，两关均有四个完全相同的按钮，第一关有两个是闯关成功按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有一个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮．进行闯关时，每一关任选一个按钮，规则如下： 第一关闯关失败后，游戏失败； 第一关闯关成功后，进入第二关，若第二关闯关失败，则游戏失败，若两关均闯关成功，则游戏获胜； 闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮． （1）若小君第一关不使用“提示”功能，则他第一关闯关成功的概率是　　　； （2）若小君决定在第二关使用“提示”功能，用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求游戏获胜的概率． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点D是反比例函数上一点，过点D作轴交直线于点E，记点D的横坐标为a，当时，求a的值． 创新考法·阅读理解 21. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径， ∴． ∵是的直径，∴（__________）， ∴，∴__________． ∵，∴__________． ∵，∴∽， ∴（__________）， ∴． 　　　　 任务： （1）请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； （2）如图③，已知是直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 22. 如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线，当无人机飞越坡底上空时即点D，与地面的距离为20米． （1）求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当无人机飞行水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d； （3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 23. 数学活动课上，老师与同学们一起研究矩形纸片的折叠问题，并鼓励同学们探究其中的奥妙． 动手操作 如图①，四边形是一张矩形纸片，，，点E，F分别在边上，连接，且将，分别沿折叠，点A，C分别落在点，处． 数学思考 （1）当四边形为菱形时，求出的长度； （2）如图②，若点，落在矩形的对角线上，（连接，） （I）判断四边形的形状并说明理由； （II）求出折痕的长度； 猜想探究 （3）如图③，折叠过程中，和交于点G，与交于点H，连接，当时，请直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省福州市2023-2024九年级数学模拟试题二 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分． 全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，根据积的乘方和幂的乘方的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选：B． 2. 如图是一个圆柱切去一部分得到的几何体，该几何体的左视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三视图，根据左视图是从左面看到的图形，进行判断即可，注意，存在看不见的用虚线表示． 【详解】解：由题意，左视图为： 故选：D． 3. 科学家在“嫦娥五号”带回的月球土壤中发现了氦三，而这是可控核聚变最理想的材料．若月球表面的110万吨氦三作为核聚变材料的话，可供全人类使用一万年． 其中数据“110万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：110万 故选：B． 4. 某校30名教师参加了“捐书有你，书香筑梦”公益活动，捐书情况如下表，则30名教师捐书的众数为（　　） 捐赠数量/本 10 20 30 50 人数/人 8 10 7 5 A. 10本 B. 20本 C. 30本 D. 50本 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求众数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，进行判断即可． 【详解】解：由表格可知，捐赠20本的人数最多， 故众数为：20本． 故选B． 5. 如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形的相似比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形， ∴， ∴； 故选A． 6. 如果代数式，那么代数式的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，代数式求值，利用完全平方公式和整式加减运算法则，将代数式进行化简，整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选：D． 7. 如图，为的直径，为的弦，D为上一点，且，连接，若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形判定和性质，连接，交于点，易得垂直平分，利用勾股定理求出的长，得到为等腰直角三角形，得到，圆周角定理，得到，，利用三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∴； 故选C 创新考法·数学文化 8. 《九章算术》是中国古代的数学专著，李老师将其中一道题改编如下：甲从长安出发，5日到齐国．乙从齐国出发，7日到长安，若让甲先从长安出发3日，乙才从齐国出发，设乙经过x日与甲相逢，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，根据相遇时，两人的路程和等于总路程，列出方程即可． 【详解】解：设乙经过x日与甲相逢，由题意，得：； 故选D． 9. 如图，在中，，过点作于点，为上一点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，证明，得出，从而推出，再由等腰三角形的性质得出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 星期六下午，小明爷爷吃完晚饭后匀速前往公园散步，在公园停留一段时间后，再沿原路步行回家．如图，反映了小明爷爷离家的路程（单位：km）与时间（单位：h）之间的对应关系，则下列说法正确的是（　　） A. 小明爷爷家距公园 B. 小明爷爷在公园停留的时间为 C. 小明爷爷从公园返回时的速度是 D. 小明爷爷从离开家到返回家中整个过程共用了 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数图象，根据题意和函数图象中数据可以判断各个选项的说法是否正确，从图象获取信息是解题的关键． 【详解】解：、根据图象可知小明爷爷家距公园，原选项不符合题意； 、根据图象可知小明爷爷在公园停留的时间为，原选项不符合题意； 、根据图象可知小明爷爷从公园返回时的速度是，原选项不符合题意； 、由上可知，小明爷爷从公园返回时的速度是， ∴返回的时间为， ∴小明爷爷从离开家到返回家中整个过程共用了，符合题意； 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接提取公因式2，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解： =2（x2+4x+4） =． 故答案：． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 12. 在，，，这四个数中，最大的数是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数比较大小，根据夹逼法求出的范围，进而确定四个数中的最大数即可． 【详解】解：∵，，且， ∴在，，，这四个数中，最大的数是； 故答案为： 13. 如图，在平面直角坐标系中，点，点，将沿射线平移得到，与相交于点，当的周长为时，点的坐标为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与平移，解直角三角形，设，根据平移的性质，利用三角函数求出的长，根据的周长为，求出的值，进而求出点的坐标即可． 【详解】解：∵平移， ∴， ∴轴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴，， 设， 则：， ∵的周长， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在扇形中，，，点为的中点，连接，，交点为，点为的中点，连接，，，则图中阴影部分的面积为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，用扇形的面积减去三角形的面积得到弓形阴影的面积，再加上两个三角形阴影的面积，求解即可． 【详解】解：∵在扇形中，，，点为的中点， ∴，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为； 故答案为：． 15. 如图，在等边中，，D，E 分别是边上的动点（不与的顶点重合），连接相交于点F，连接，若，则的最小值为___． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，结合，得到，对顶角相等，得到，进而得到点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，连接，则：，证明，得到为含30度角的直角三角形，进行求解即可． 【详解】解：∵等边， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为圆心，的长为半径，且的圆弧上运动，如图，连接，则：， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即：的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求圆外一点到圆上一点的最值，解题的关键是确定点的运动轨迹． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 先化简，再求值：，其中是的根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解一元二次方程，先通分，计算括号内，再将除法变乘法，约分化简，求出一元二次方程的解，选择使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵是的根， ∴或， ∵， ∴， ∴原式． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）； ①在上求作一点，使得点到的距离等于点到的距离； ②作交于点； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作角平分线、垂线，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①作的角平分线即可；②过点作的垂线即可； （2）设，则，，由平行线的性质得出，作于，再解直角三角形即可得解． 【小问1详解】 解：①如图，点即为所求； ②如图，即为所求， 【小问2详解】 解：∵，， ∴设，则，， ∴， ∵， ∴， 作于， 在中，， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴． 18. 为推进全民阅读，我国将孔子诞生日9月28日定为我国的“全国读书节”，为了解全校师生的阅读情况，某校通过发放问卷的形式进行调查（问卷如下），并从中抽取一部分数据进行统计分析，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 调查问卷（单选） 1．你平时主要阅读的图书类型是（　　） A．小说　　B．历史　　C．散文　　D．天文 2．你平时每周用于阅读的时间t（h）为（　　） a．　　b．　　c．　　d． 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次问卷调查中，阅读时间至少为3h的人数占被调查人数的　　　； （2）已知该校师生共有 2280人，请估计平时主要阅读的图书类型是“散文”的师生有多少人？ （3）若你是调查组的成员，为使调查的数据更有代表性，你会如何发放调查问卷？ 【答案】（1）10 （2）840人 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合应用： （1）用1减去其他阅读时间所占的百分比，进行求解即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可； （3）根据抽样调查的代表性，进行作答即可． 【小问1详解】 解：； 故答案为：10； 【小问2详解】 （人）； 【小问3详解】 向不同年级的学生随机发放数量相同的问卷（答案不唯一）． 19. 如图，小君参加一个闯关游戏，共有两关，两关均有四个完全相同的按钮，第一关有两个是闯关成功按钮，其余两个是闯关失败按钮；第二关有一个是闯关成功按钮，其余三个是闯关失败按钮．进行闯关时，每一关任选一个按钮，规则如下： 第一关闯关失败后，游戏失败； 第一关闯关成功后，进入第二关，若第二关闯关失败，则游戏失败，若两关均闯关成功，则游戏获胜； 闯关前，允许任选一关使用“提示”功能，使用后，会去掉一个闯关失败按钮． （1）若小君第一关不使用“提示”功能，则他第一关闯关成功的概率是　　　； （2）若小君决定在第二关使用“提示”功能，用列表法或画树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求游戏获胜的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）用表示成功按钮，用表示失败按钮，画出树状图进行求解即可． 【小问1详解】 解：第一关闯关成功的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：用表示成功按钮，用表示失败按钮，由题意，第一个有2个成功按钮，2个失败按钮，第二个用掉一个“提示功能”剩下1个成功按钮，2个失败按钮，画出树状图如图： 共有12种等可能的结果，成功的结果有2种， ∴； 故答案为：． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）点D是反比例函数上一点，过点D作轴交直线于点E，记点D的横坐标为a，当时，求a的值． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题： （1）根据，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点坐标，进而得到的长，根据，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴为的中点， ∵，点在轴上，点在轴上， ∴， ∴， ∴， 把，代入中，得： ， 解得：， ∴； 综上：一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为，且点在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 将检验，或均是原方程的解， ∵， ∴或． 创新考法·阅读理解 21. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径， ∴． ∵是的直径，∴（__________）， ∴，∴__________． ∵，∴__________． ∵，∴∽， ∴（__________）， ∴． 　　　　 任务： （1）请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理依据； （2）如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 【答案】（1）直径所对圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例； （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程； （2）先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明，则，进而求得即可求解． 【小问1详解】 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径， ∴． ∵是的直径，∴（直径所对的圆周角相等）， ∴，∴． ∵，∴． ∵，∴∽， ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∴． 　　 故答案为：直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例； 【小问2详解】 解：图3中，连接，， ∵， ∴设，，，则， ∵是的切线，是割线， ∴由割线定理得，则， 解得（负值舍去）， ∴，，，则， ∵是的直径，是的切线， ∴， ∴； ∵，， ∴，则， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解切割线定理，掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 22. 如图是一个东西走向近似于抛物线的山坡，以地面的东西方向为x轴、西侧的坡底为原点建立平面直角坐标系，山坡近似满足函数表达式，无人机从西侧距坡底O为10米处的B点起飞，沿山坡由西向东飞行，飞行轨迹近似满足抛物线，当无人机飞越坡底上空时即点D，与地面的距离为20米． （1）求无人机飞行轨迹的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，求无人机与山坡的竖直距离d； （3）由于山坡上有障碍物，无人机不能离山坡过近．当无人机与山坡的竖直距离大于9米时，无人机飞行才是安全的，请判断无人机此次飞行是否安全，并说明理由． 【答案】（1）， （2）无人机与山坡的竖直距离d为13米 （3）无人机此次飞行是安全的，见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用； （1）把点，代入，即可求出无人机飞行轨迹的函数表达式，令，求出x，可得自变量x的取值范围； （2）根据已知求得无人机与山坡的竖直距离，把代入求得即可； （3）无人机与山坡的竖直距离，d的最小值与9比较即可得解． 【小问1详解】 解：由题意可知，点，，将B，D坐标分别代入， 得：， 解得：， 无人机飞行轨迹的函数表达式为； 令，则， 解得：，， 的取值范围为； 【小问2详解】 当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，， 无人机与山坡的竖直距离， 当时，， 答：当无人机飞行的水平距离距起点为30米时，无人机与山坡的竖直距离d为13米； 【小问3详解】 无人机此次飞行是安全的，理由如下： 由（2）知，， ， 时，d有最小值， ∵， 无人机此次飞行是安全的． 23. 数学活动课上，老师与同学们一起研究矩形纸片的折叠问题，并鼓励同学们探究其中的奥妙． 动手操作 如图①，四边形是一张矩形纸片，，，点E，F分别在边上，连接，且将，分别沿折叠，点A，C分别落在点，处． 数学思考 （1）当四边形为菱形时，求出的长度； （2）如图②，若点，落在矩形的对角线上，（连接，） （I）判断四边形的形状并说明理由； （II）求出折痕的长度； 猜想探究 （3）如图③，折叠过程中，和交于点G，与交于点H，连接，当时，请直接写出四边形的面积． 【答案】（1）；（2）（I）四边形是平行四边形，理由见解析； （II）；（3） 【解析】 【分析】（1）设，在中，由勾股定理列方程求解即可； （2）（I）证明四边形是平行四边形得，再证明得，进而可证四边形是平行四边形； （II）设，则，先在中求出x的值，再在中求出的长度； （3）在中，求出，再求出可证明四边形是矩形；证明得，进而可证，求出，然后求出即可求解． 【详解】（1）当四边形是菱形时，设，则． 在中，由勾股定理得， ，即， 解得． ∴当四边形是菱形时，； （2）（I）∵四边形是一张矩形纸片， ∴，， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由折叠知，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （II）设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形是矩形， ， 由轴对称的性质可知， ， ， ． ∵中，， 在中，， ， ， ∴四边形是矩形． 连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴，， ∴， ， ， ∵， ， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ， ； 同理． 又在中，， ， ∵， ， ∴，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形的面积 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，难度较大，属中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$