精品解析：四川省达州市宣汉县峰城中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟测试题

四川省达州市宣汉县峰城中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟测试题 一、选择题（每小题3分，30分） 1. 下列实数中的无理数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义求解即可． 【详解】， ，是有理数，是无理数.故选B. 【点睛】本题考查了无理数，解题的关键是掌握无理数的概念. 2. 为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意调查，再决定买哪种水果.下面的调查数据中，他最应该关注的是( ) A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数 【答案】A 【解析】 【分析】众数、中位数、平均数从不同角度反映了一组数据的集中趋势，但该问题应当看最爱吃哪种水果的人最多，故应当用众数． 【详解】此问题应当看最爱吃哪种水果的人最多，应当用众数． 故选A． 【点睛】本体考查了众数、中位数、平均数的意义，解题时要注意题目的实际意义． 3. 的三边为，且，则（ ） A. 边的对角是直角 B. 边的对角是直角 C. 边的对角是直角 D. 是斜三角形 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，根据平方差公式展开得到，由此判断． 【详解】解：由得，即， 所以a为斜边，a边的对角是直角， 故选A． 4. 若平面直角坐标系中，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），则点B的坐标为( ) A. （-1，2） B. （-1，-2） C. （1，2） D. （-2，1） 【答案】C 【解析】 【详解】试题考查知识点：对称点坐标值的关系 思路分析：关于x轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；也可画图得出结果 具体解答过程： 如图所示： △ABO关于x轴对称，O为原点，则A、B两点必关于x轴对称．故点B坐标为（1，2） 试题点评： 5. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平角的定义和平行线的性质即可得到结论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， 根据三角板可知，， ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 下列四个命题中，真命题有（ ） 两条直线被第三条直线所截，内错角相等； 如果和是对顶角，那么； 三角形的一个外角大于任何一个内角； 若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【详解】两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故①是假命题；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2，②是真命题；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，③是假命题；若a2=b2，则a=±b，④是假命题． 故选：A． 7. 如果，那么的算术平方根是（　　） A. 2 B. 3 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出，进而求出，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵9的算术平方根是3， ∴的算术平方根是3， 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，求一个数的算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 8. 如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与二元一次方程（组），掌握方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标成为解题的关键． 先利用确定交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可解答． 【详解】解：当时，，解得：，即两直线的交点坐标为， 所以关于x,y的方程组的解为． 故选：A． 9. 如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由题意易得，然后可得，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质结合折叠的性质可得出∠EOB=∠EBO，进而可得出OE=BE，设点E的坐标为（m，1），则OE=BE=3-m，CE=m，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式． 【详解】解：∵A（3，0），B（3，1），C（0，1），O（0，0）， ∴四边形OABC为矩形， ∴∠EBO=∠AOB． 又∵∠EOB=∠AOB， ∴∠EOB=∠EBO， ∴OE=BE， 设点E的坐标为（m，1），则OE=BE=3-m，CE=m， 在Rt△OCE中，OC=1，CE=m，OE=3-m， ∴（3-m）2=12+m2， ∴m=， ∴点E的坐标为（，1）， 设OD所在直线的解析式为y=kx， 将点E（，1）代入y=kx中， 得1=k，解得：k=， ∴OD所在直线的解析式为y=x． 故选C． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. _____，_____． 【答案】 ①. 3； ②. ． 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义解答即可． 【详解】解：， ， 故答案为：3；． 【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根和立方根；正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫a的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根． 12. 在平面直角坐标系中，点 (－3，4) 关于y轴对称的点的坐标是__________． 【答案】（3，4） 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中关于y轴成轴对称的点的坐标特点解答． 【详解】解：∵点P(m，n)关于y轴对称点的坐标P′(−m，n)， ∴点P(−3，4)关于y轴对称的点的坐标为(3，4)． 故答案为（3，4）． 13. 已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，该直线的表达式是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，利用k、b表示出的面积是解题的关键． 设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，则用b可表示B的坐标，从而可表示出的面积，则可求得k、b的值即可解答． 【详解】解：设直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∵直线经过点， ∴， ∴，即， 在中，令可得， ∴， ∴， ∵， ∴，即，解得：或， ∴或， ∴直线表达式为或． 故答案为：或． 14. 已知是二元一次方程的解，则的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是把代入方程组，求出n，m的值，即可． 【详解】由题意得： 得：，解得： 把代入①得： ∴ 故答案为：． 15. 如图，在中，，、两点分别在、上，是的平分线，，若，，则的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行和角平分线可得∠EDB=∠EBD，可得DE=BE，又由AB=AC，DE∥AB可得∠DEC=∠C，可得DE=DC，则可求出三边长，求出△CDE的周长． 【详解】解：∵DE∥AB，BD平分∠ABC， ∴∠EBD=∠ABD=∠EDB， ∴DE=BE=5cm， ∵AB=AC，DE∥AB， ∴∠C=∠ABE=∠DEC， ∴DC=DE=5cm，且CE=3cm， ∴DE+EC+CD=5cm+3cm+5cm=13cm， 即△CDE的周长为13cm， 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，由条件得到DE=DC=BE是解题的关键． 16. 如图，AE⊥EF于点E，BF⊥EF于点F，连接AB交EF于点D．在线段AB上取一点C， 使EB=EC=AC，若∠EBF=54°，则∠ABF= ______． 【答案】18° 【解析】 【分析】根据AE⊥EF于点E，BF⊥EF于点F，得到AE∥BF，根据平行线的性质得到∠A=∠ABF，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEC，∠BCE=∠CBE，由三角形的外角的性质得到∠BCE=∠A+∠AEC=2∠A，等量代换即可得到结论． 【详解】∵AE⊥EF于点E，BF⊥EF于点F，∴AE∥BF，∴∠A=∠ABF，∵EB=EC=AC， ∴∠A=∠AEC，∠BCE=∠CBE，∵∠BCE=∠A+∠AEC=2∠A，∴∠ABE=2∠A=2∠DBF， ∴∠ABF=∠EBF=18°.故答案为18°. 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，熟练掌握这些知识并结合图形灵活运用是解答此题的关键. 三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和二次根式的混合运算， （1）先化简绝对值、乘方、化简二次根式，再计算加减即可； （2）先化简二次根式，再计算加减法，最后计算乘法即可． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 18. 解方程组：(1)；(2). 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）用加减消元法解答即可； （2）整理后用加减消元法解答即可． 【详解】解：（1）， ①+②得： 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为：； （2）原方程组整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 19. 如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是（﹣2，﹣2）． （1）在图中建立正确的平面直角坐标； （2）根据所建立的坐标系，分别写出“相”、“炮”和“兵”的坐标． 【答案】 （1）建立坐标系如图所示： （2）“相”（3，2）、“炮”（﹣3，0）、“兵”（3，﹣2） 【解析】 【分析】（1）根据“士”的坐标向右移动两个单位，再向上移动两个单位，可得原点，据此可得坐标系； （2）根据所建立的平面直角坐标系及点的坐标的定义可得． 【详解】解：（1）略 （2）由坐标系知，“相”的坐标为（3，2）、“炮”的坐标为（﹣3，0）、“兵”的坐标为（3，﹣2）． 【点睛】考查了坐标确定位置，利用“士”的坐标得出原点的位置是解题关键． 20. 学校举行广播操比赛，八年级三个班的各项得分及三项得分的平均数如下（单位：分）． 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 二班 三班 根据表中信息回答下列问题： （1）学校将“服装统一”、“队形整齐”、“动作规范”三项按的比例计算各班成绩，求八年级三个班的成绩； （2）由表中三项得分的平均数可知二班排名第一，在（）的条件下，二班成绩的排名发生了变化，请你说明二班成绩排名发生变化的原因． 【答案】（1）一班的成绩为分，二班成绩为分，三班成绩为分； （2） 二班最后的成绩排名由第名变成了第名，原因是：按照的比例计算成绩时， ∵“队形整齐”与“动作规范”两项所占权重较大，而二班这两项得分较低， ∴最后的二班成绩排名发生了变化． 【解析】 【分析】（）根据加权平均数的计算公式依次计算可得； （）根据加权平均数中“权”的分析即可； 本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的求法和“权重”的理解是解题的关键． 【小问1详解】 一班的成绩为（分）， 二班成绩为（分）， 三班成绩为（分）； 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：． 【答案】 证明：∵在中，，， ∴． ∵平分， ∴． ∵． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出，由角平分线的定义得出，从而得出，即可得证． 【详解】略 22. 小刚与小慧两人相约周末登东舰峰，人距地面的高y（米）与登山时间x（分）之间函数图象如图所示，根据图象所提信息解答下列问题： （1）小刚登山上升的速度是每分钟 　 　米，小慧在A地距地面的高度b为 　 　米； （2）若小慧提速后，登山上升速度是小刚登山上升速度的3倍，请求出小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式； （3）登山多长时间后，两人距地面的高度差为70米？ 【答案】（1）10；30 （2） （3）登山3分钟、10分钟或13分钟时，小刚、小慧两人距离地面的高度差为70米 【解析】 【分析】（1）根据速度计算公式计算即可； （2）当时，得到，当时，得到，即可得解； （3）设解析式为，把和代入解析式求解，在进行分类计算即可； 【小问1详解】 小刚登山上升的速度是（米/分钟）， ； 故答案是：10；30． 【小问2详解】 当时，得到； 当时，； ∴小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为； 【小问3详解】 小刚登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式， 把和代入解析式得：， 解得：， ∴小刚登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴登山3分钟、10分钟或13分钟时，小刚、小慧两人距离地面的高度差为70米． 【点睛】本题主要考查了一次函数一次函数的应用，准确分析和计算是解题的关键． 23. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 【答案】 （1）①证明：平分 ∴∠ABD=∠DBC ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ADB， ； ②， 平分 （2） 理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE， ，∠DBC=∠ABC， 又 又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE ∴∠BDC+∠ABC=∠ACE， ∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC， ∴． 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键． 24. 在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（2，a），B（3，﹣3）. （1）求直线AB的函数表达式； （2）求a的值； （3）求△AOP的面积. 【答案】（1）y=﹣2x+3；（2）a=﹣1；（3）4.5. 【解析】 【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式； （2）利用一次函数图象上点的坐标即可求出a值； （3）设AB与y轴交于点D，将x=0代入直线AB的解析式中求出点D的坐标，再根据S△AOP=S△AOD+S△POD利用三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）设直线AB的函数表达式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入得：， 解得：k=﹣2，b=3，所以直线AB的函数解析式为y=﹣2x+3； （2）把P（2，a）代入y=﹣2x+3得：a=﹣1； （3） ∵把x=0代入y=﹣2x+3得：y=3， ∴直线y=﹣2x+3与y轴的交点为（0，3），即OD=3， ∵P（2，﹣1）， ∴△AOP的面积=△AOD的面积+△DOP的面积=+=4.5. 故答案为（1）y=﹣2x+3；（2）a=﹣1；（3）4.5. 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征. 25. 预备知识：（1）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，设点M为线段的中点，则点M的坐标为． （1）①设，点M为线段的中点，则点M的坐标为 ； ②设线段的中点为点N，其坐标为，若端点C的坐标为，则端点D的坐标为 ； （2）如图1，四边形中，，点E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：；（S表示面积） 问题探究：如图2，在已知锐角内有一定点P，过点P任意作一条直，分别交射线于点M、N将直线绕着点P旋转的过程中发现，的面积存在最小值，请问当直线在什么位置时，的面积最小，并说明理由； 结论应用：如图3，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在第一象限，且，若点P的坐标为，过点P的直线l分别交于点M、N，求三角形面积的最小值． 【答案】（1）①；②； （2）证明：∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴； 问题探究：当点P是的中点时最小；理由： 如图2，过点P的另一条直线交于点E． F， 设，过点M作交于G， 由预备知识（2）可以得出当P是的中点时，． ∵， ∴， ∴当点P是的中点时最小； 结论应用：． 【解析】 【分析】（1）①根据线段的中点坐标公式即可解答；②将相关坐标代入中点坐标公式即可解答； （2）根据可以求得，进而得到就可以得出结论即可解答；问题探究：根据问题情境的结论可以得出当直线旋转到点P是的中点时最小，过点M作交EF于G．由全等三角形的性质即可得出结论；结论应用：如图3，由问题探究当点P是MN的中点时最小，根据勾股定理的逆定理得到，求得轴，得到N点的横坐标为3，设，根据线段的中点坐标公式得到，过M作于C，根据相似三角形的性质得到，得到，进而完成解答． 【详解】解：（1）①∵，点M为线段的中点， ∴，即， 故答案为：； ②设，由中点坐标公式得：，解得： ∴； 故答案为：； （2）略 问题探究：略 结论应用：如图3，由问题探究当点P是的中点时最小， ∵， ∴， ∴， ∴轴， ∴N点的横坐标为3， 设， ∵点P的坐标为， ∴，解得：， 如图：过M作于C， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为：，则有，解得：， ∴设直线的解析式为：， ∵点M在直线上， ∴， ∴，即：； ∵， ∴设直线的解析式为：， 则，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵N点的横坐标为3， ∴N点的纵坐标为， ∴， ∴三角形面积的最小值是． 【点睛】本题主要考查了中点坐标公式、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，正确作出辅助线以及数形结合思想成为解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市宣汉县峰城中学2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟测试题 一、选择题（每小题3分，30分） 1. 下列实数中的无理数是( ) A. B. C. D. 2. 为了筹备班级元旦联欢晚会，班长打算先对全班同学爱吃什么水果进行民意调查，再决定买哪种水果.下面的调查数据中，他最应该关注的是( ) A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 加权平均数 3. 的三边为，且，则（ ） A. 边的对角是直角 B. 边的对角是直角 C. 边的对角是直角 D. 是斜三角形 4. 若平面直角坐标系中，△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，-2），则点B的坐标为( ) A. （-1，2） B. （-1，-2） C. （1，2） D. （-2，1） 5. 如图，将直尺与含角的三角尺摆放在一起，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 下列四个命题中，真命题有（ ） 两条直线被第三条直线所截，内错角相等； 如果和是对顶角，那么； 三角形的一个外角大于任何一个内角； 若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如果，那么的算术平方根是（　　） A. 2 B. 3 C. 9 D. 8. 如图，已知函数和图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是（ ）. A. B. C. D. 9. 如图，△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，连接BD，则BD的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，A（3，0），B（3，1），C（0，1），将△OAB沿直线OB折叠，使得点A落在点D处，OD与BC交于点E，则OD所在直线的解析式为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 11. _____，_____． 12. 在平面直角坐标系中，点 (－3，4) 关于y轴对称的点的坐标是__________． 13. 已知直线经过点，且与坐标轴所围成的三角形的面积为6，该直线的表达式是_______． 14. 已知是二元一次方程的解，则的值是____． 15. 如图，在中，，、两点分别在、上，是的平分线，，若，，则的周长是______． 16. 如图，AE⊥EF于点E，BF⊥EF于点F，连接AB交EF于点D．在线段AB上取一点C， 使EB=EC=AC，若∠EBF=54°，则∠ABF= ______． 三、解答题（本题共9小题，满分72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组：(1)；(2). 19. 如图所示的象棋盘上，若“士”的坐标是（﹣2，﹣2）． （1）在图中建立正确的平面直角坐标； （2）根据所建立的坐标系，分别写出“相”、“炮”和“兵”的坐标． 20. 学校举行广播操比赛，八年级三个班的各项得分及三项得分的平均数如下（单位：分）． 服装统一 进退场有序 动作规范 动作整齐 一班 二班 三班 根据表中信息回答下列问题： （1）学校将“服装统一”、“队形整齐”、“动作规范”三项按的比例计算各班成绩，求八年级三个班的成绩； （2）由表中三项得分的平均数可知二班排名第一，在（）的条件下，二班成绩的排名发生了变化，请你说明二班成绩排名发生变化的原因． 21. 如图，在中，，，平分交于点，点是边上一点，若，求证：． 22. 小刚与小慧两人相约周末登东舰峰，人距地面的高y（米）与登山时间x（分）之间函数图象如图所示，根据图象所提信息解答下列问题： （1）小刚登山上升的速度是每分钟 　 　米，小慧在A地距地面的高度b为 　 　米； （2）若小慧提速后，登山上升速度是小刚登山上升速度的3倍，请求出小慧登山全程中，距地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式； （3）登山多长时间后，两人距地面的高度差为70米？ 23. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 24. 在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（2，a），B（3，﹣3）. （1）求直线AB的函数表达式； （2）求a的值； （3）求△AOP的面积. 25. 预备知识：（1）线段中点坐标公式：在平面直角坐标系中，已知，设点M为线段的中点，则点M的坐标为． （1）①设，点M为线段的中点，则点M的坐标为 ； ②设线段的中点为点N，其坐标为，若端点C的坐标为，则端点D的坐标为 ； （2）如图1，四边形中，，点E为的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：；（S表示面积） 问题探究：如图2，在已知锐角内有一定点P，过点P任意作一条直，分别交射线于点M、N将直线绕着点P旋转的过程中发现，的面积存在最小值，请问当直线在什么位置时，的面积最小，并说明理由； 结论应用：如图3，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴上，点B在第一象限，且，若点P的坐标为，过点P的直线l分别交于点M、N，求三角形面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $