精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学2023-2024学年八年级下学期期末模拟数学试题A

2023-2024学年度八年级下期末模拟测试A（人教版） 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷（选择题）（共30分，每题3分） 涂卡 一、单选题 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 菱形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 对角线一定相等 C. 对角线平分对角 D. 是中心对称图形 3. 下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( ) A. B. C. D. 5. 直线向下平移2个单位长度得到的直线是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 8. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题）（共30分，每题3分） 二、填空题 11. 在平行四边形ABCD中，∠A=40°，则∠C大小为____． 12. 若有意义，则a的取值范围为_____ 13. 已知7，4，3，a，5这五个数的平均数是5，则a =______________ 14. 计算：=__________. 15. 把直线y=2x-1向上平移个单位，得到的直线解析式是______. 16. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______． 17. 如图，菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD=1∶2，则AO∶BO=____，菱形ABCD的面积S=____． 18. 如图，在四边形中，，对角线平分，，若，，则的长为______． 19. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为________． 20. 如图，矩形中，，延长交于点，延长交于点，过点作，交的延长线于点，，则=_________． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 先化简，再求值：，其中a，b满足． 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 23. 某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调整，井绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （Ⅲ）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数． 24. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形是矩形． 25. 某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ （2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？ 26. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴负半轴交于点C，且． （1）求线段长； （2）动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒），的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度八年级下期末模拟测试A（人教版） 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷（选择题）（共30分，每题3分） 涂卡 一、单选题 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 菱形不具备的性质是（ ） A. 四条边都相等 B. 对角线一定相等 C. 对角线平分对角 D. 是中心对称图形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A．菱形的四条边都相等，故本选项不合题意； B．菱形的对角线不相等，故本选项符合题意； C．菱形的对角线平分内角，故本选项不合题意； D．菱形是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及中心对称图形，掌握菱形的性质是解答本题的关键． 3. 下列曲线中，表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义进行判断即可． 【详解】解：在某一变化过程中，有两个变量x、y，一个量x变化，另一个量y随之变化，当x每取一个值，另一个量y就有唯一值与之相对应，这时，我们把x叫做自变量，y是x的函数，只有选项C中图象所表示的符合函数的意义， 故选：C． 【点睛】本题考查函数的定义，理解函数的定义，理解自变量与函数值的对应关系是正确判断的前提． 4. 在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察一次函数解析式，确定出k与b的符号，利用一次函数图象及性质判断即可． 【详解】解：∵一次函数y=x+1，其中k=1>0，b=1>0， ∴图象过一、二、三象限， 故选C． 【点睛】此题主要考查一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 5. 直线向下平移2个单位长度得到直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用一次函数平移规律进而得出答案． 【详解】解：直线向下平移2个单位，所得直线的解析式是：． 故选：D． 【点睛】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后k不变这一性质． 6. 如图所示，矩形ABCD中，AE平分交BC于E，，则下面的结论：①是等边三角形；②；③；④，其中正确结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形性质求出OD=OC,根据角求出 ∠DOC = 60°即可得出三角形DOC是等边三角形,求出AC= 2AB, 即可判断②,求出∠BOE= 75°，∠AOB = 60相加即可求出,∠AOE根据等底等高的三角形面积相等得出. 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD ∴OA=OD=OC=OB ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE=45°. ∵∠CAE=15°， ∴∠DAC=30°. ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠DAC=30°. ∴∠DOC=60°. ∵OD=OC， ∴△ODC是等边三角形. ∴①正确； ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°. ∴∠DAC=∠ACB=30°. ∴AC=2AB. ∵AC＞BC， ∴2AB＞BC. ∴②错误； ∵AD∥BC， ∴∠DBC=∠ADB=30°. ∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°， ∴∠DAE=∠BAE=45°. ∵AD∥BC， ∴∠DAE=∠AEB， ∴∠AEB=∠BAE， ∴AB=BE. ∵△DOC是等边三角形， ∴DC=OD. ∴BE=BO. ∴∠BOE=75°， ∵∠AOB=∠DOC=60°， ∴∠AOE=135°. ∴③正确； ∵OA=OC， ∴根据等底等高的三角形面积相等可知， ∴④正确； 故正确答案是C. 【点睛】本题考查了矩形性质，平行线性质，角平分线定义，等边三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的综合运用. 7. 如图，四边形ABCD是萎形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°， AC⊥BD，可求∠ABD=65°，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，BO=OD，∠DAO=∠BAO=25°，AC⊥BD， ∴∠ABD=65°， ∵DH⊥AB，BO=DO， ∴HO=DO， ∴∠DHO=∠BDH=90°－∠ABD=25°． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，AD＝8，折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，则线段EF的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得BC=AD，∠B=90°，利用勾股定理可求出AC的长，根据折叠的性质可得AF=AB，∠B=∠AFE=90°，BE=EF，在Rt△CEF中利用勾股定理列方程求出EF的长即可得答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AD＝8， ∴∠B=90°，BC=AD=8， ∴AC＝＝10， ∵折叠该纸片，使得AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE， ∴BE＝EF，AF＝AB＝6，∠AFE=∠B=90°， ∴CF＝AC-AF=10﹣6＝4， 在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2+CF2＝CE2， ∴EF2+CF2=（BC-EF）2，即EF2+42=（8-EF）2， 解得：EF＝3， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答． 9. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形面积=对角线乘积的一半可求BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO=6，BO=DO，S菱形ABCD= =48， ∴BD=16， ∵DH⊥AB，BO=DO=8， ∴OH=BD=4． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题． 10. 甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示． 则下列结论： ①A，B两城相距300千米； ②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ③乙车出发后2.5小时追上甲车； ④当甲、乙两车相距50千米时，或． 其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】当不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离；甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时，确定甲，乙的函数解析式，求交点坐标；分甲出发，乙未动，距离为50千米，甲出发，乙出发，且甲在前50距离50千米，甲在后距离50千米，乙到大时距离为50千米四种情形计算即可． 【详解】∵（0，300）表示不动时，距离300千米，就是A，B两地的距离， ∴①正确； ∵甲匀速运动，走完全程用时5小时，乙走完全程用时3小时， ∴乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时； ∴②正确； 设， ∴300=5m， 解得m=60， ∴； 设， ∴ 解得， ∴； ∴ 解得t=2.5， ∴2.5-1=1.5， ∴乙车出发后1.5小时追上甲车； ∴③错误； 当乙未出发时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲后面时，， 解得t=； 当乙出发，且在甲前面时，， 解得t=； 当乙到大目的地，甲自己行走时，， 解得t=； ∴④错误； 故选B． 【点睛】本题考查了函数的图像，一次函数的解析式确定，交点的意义，熟练掌握待定系数法，准确捕获图像信息是解题的关键． 第II卷（非选择题）（共30分，每题3分） 二、填空题 11. 在平行四边形ABCD中，∠A=40°，则∠C大小为____． 【答案】40°. 【解析】 【分析】由平行四边形的性质：对角相等，得出∠C＝∠A． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠A＝40°． 故答案为40°. 【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握平行四边形的对角相等． 12. 若有意义，则a的取值范围为_____ 【答案】且 【解析】 【分析】根据平方根和分数有意义的条件，列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】要使有意义，4-a，且a+2，即且. 【点睛】本题主要考查学生对平方根和分数有意义的条件的掌握，同时能够正确地解不等式也是关键. 13. 已知7，4，3，a，5这五个数的平均数是5，则a =______________ 【答案】6 【解析】 【分析】运用平均数公式即可解答． 【详解】由题意知，平均数＝（7＋4＋3＋a＋5）÷5＝5， ∴a＝25−7−4−3−5＝6． 故填6． 【点睛】本题考查的是样本平均数的求法．熟记公式是解决本题的关键． 14. 计算：=__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法运算法则计算即可. 【详解】= . 故答案 . 【点睛】本题考查二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握二次根式的乘法运算法则. 15. 把直线y=2x-1向上平移个单位，得到的直线解析式是______. 【答案】y=2x+2 【解析】 【分析】根据上面平移k不变，b值加减即可． 【详解】∵把直线y=2x-1向上平移个单位， ∴平移后解析式为： y=2x-1+3，即y=2x+2． 故答案为：y=2x+2． 【点睛】考查了图形的平移和函数解析式之间的关系，解题关键是熟记平移规律“左加右减，上加下减”． 16. 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为_______． 【答案】3＋ 【解析】 【详解】过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°． ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°， ∴CD＝BD． ∵∠A＝30°，， ∴， ∴． 由勾股定理得：， ∴． 故答案是：3＋ 17. 如图，菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AC∶BD=1∶2，则AO∶BO=____，菱形ABCD的面积S=____． 【答案】 ①. 1：2 ②. 4 【解析】 【分析】根据菱形性质得出AC⊥BD，AB=BC=CD=AD=，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO，即可求出AO：BO，根据勾股定理得出方程，求出x的值，求出AC、BD，根据菱形面积公式求出即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD=，AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO， ∵AC：BD=1：2， ∴AO：BO=AC：（BD）=AC：BD=1：2； 设AO=x，则BO=2x， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：x2+（2x）2=（）2， 解得：x=1（负数舍去）， 即AO=1，BO=2， ∴AC=2，BD=4， ∴菱形ABCD的面积是S=×AC×BD=×2×4=4， 故答案为：1：2，4． 【点睛】本题考查了菱形的性质的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半． 18. 如图，在四边形中，，对角线平分，，若，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】过点C作于E，首先证明，得，，在中，由勾股定理，求得，又在中，由勾股定理，得，即，求得，即可由求解． 【详解】解：过点C作于E， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 在中，由勾股定理，得 ，即， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 19. 如图，矩形中，，点E是边上一点，连接，把沿折叠，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】4或 【解析】 【分析】当为直角三角形时，有两种情况： ①当点F落在矩形内部时，如答图1所示．连接，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到，所以点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处，则，可计算出； ②当点F落在边上时，如答图2所示．此时为正方形，根据勾股定理计算出． 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点F落在矩形内部时，如答图1所示． 连接， 在中，， ∴， ∵沿折叠，使点B落在点F处， ∴， 当为直角三角形时，只能得到， ∴点A、F、C共线，即沿折叠，使点B落在对角线上的点F处， ∴， ∴； ②当点F落在边上时，如答图2所示． 此时为正方形， ∴， ∴． 综上所述，的长为4或． 故答案为：4或． 【点睛】本题考查折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．解题的关键是要注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解． 20. 如图，矩形中，，延长交于点，延长交于点，过点作，交的延长线于点，，则=_________． 【答案】 【解析】 【分析】通过四边形ABCD是矩形以及，得到△FEM是等边三角形，根据含30°直角三角形的性质以及勾股定理得到KM，NK，KE的值，进而得到NE的值，再利用30°直角三角形的性质及勾股定理得到BN，BE即可． 【详解】解：如图，设NE交AD于点K， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC=90°， ∴∠MFE=∠FCB，∠FME=∠EBC ∵， ∴△BCE为等边三角形， ∴∠BEC=∠ECB=∠EBC=60°， ∵∠FEM=∠BEC， ∴∠FEM=∠MFE=∠FME=60°， ∴△FEM是等边三角形，FM=FE=EM=2， ∵EN⊥BE， ∴∠NEM=∠NEB=90°， ∴∠NKA=∠MKE=30°， ∴KM=2EM=4，NK=2AN=6， ∴在Rt△KME中，KE=， ∴NE=NK+KE=6+， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABE=30°， ∴BN=2NE=12+， ∴BE=， ∴BC=BE=， 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含30°直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用30°直角三角形的性质． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据平方差公式进行变形，再根据分式混合运算法则进行计算，再根据平方差公式的性质和二次根式的性质进行求解，即可得到答案. 【详解】解：原式 ， ∵a，b满足， ∴，， ，， 原式． 【点睛】本题考查平方差公式和二次根式的性质，解题的关键是掌握平方差公式和二次根式的性质. 22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图1中以格点为顶点画一个面积为10的正方形； （2）在图2中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2、、； （3）如图3，点A、B、C是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的定义画出图形即可； （2）利用数形结合的思想画出图形即可． （3）对图形进行点标注，连接、，如图，由勾股定理可得，由此可得是等腰直角三角形，继而得到结果． 【小问1详解】 解：如图1的正方形的边长是，面积是10； 【小问2详解】 如图2的三角形的边长分别为2，，； 【小问3详解】 如图3，对图形进行点标注，连接， ，， ， ， 是等腰直角三角形， 即． 【点睛】本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 某学校为了了解本校1200名学生的课外阅读的情况，现从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调整，井绘制出如下的统计图①和图②，根据相关信息，解答下列问题： （Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为______，图①中的值为______； （Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数； （Ⅲ）根据样本数据，估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数． 【答案】（Ⅰ）40；25；（Ⅱ）众数为5；中位数是6；平均数是5.8；（Ⅲ）估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数约为360人． 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据各组频数之和等于总数即可求出接受调查人数，用第三组频数除以总数得出百分比即可求出m； （Ⅱ）根据“众数是出现次数最多的数”、“数据排序后，第20和21个数的平均数”、“加权平均数计算公式”计算即可； （Ⅲ）由扇形图得课外阅读时间大于的占比20%+10%=30%，用1200×30%即可求解． 【详解】解：（Ⅰ）6+12+10+8+4=40；，∴m=25； （Ⅱ）∵这组样本数据中，5出现了12次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为5； ∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为6，则， ∴这组数据的中位数是6； 由条形统计图可得， ∴这组数据的平均数是5.8； （Ⅲ）（人） 答：估计该校一周的课外阅读时间大于的学生人数约为360人． 【点睛】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合运用、平均数、众数、中位数、用样本估计总体等知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 24. 如图，点C是的中点，四边形是平行四边形． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，求证：四边形矩形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质以及点C是BE的中点，得到AD∥CE，AD=CE，从而证明四边形ACED是平行四边形； （2）由平行四边形的性质证得DC=AE，从而证明平行四边形ACED是矩形． 【详解】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC． ∵点C是BE的中点， ∴BC=CE， ∴AD=CE， ∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=DC， ∵AB=AE， ∴DC=AE， ∵四边形ACED是平行四边形， ∴四边形ACED是矩形． 【点睛】本题考查了平行四边形和矩形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 25. 某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛，计划购买甲、乙两种奖品共30件．其中甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元． （1）如果购买甲、乙两种奖品共花费800元，那么这两种奖品分别购买了多少件？ （2）若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，如何购买甲、乙两种奖品，使得总花费最少？ 【答案】（1）甲购买了20件，乙购买了10件；（2）购买甲奖品8件，乙奖品22件，总花费最少 【解析】 【分析】（1）设甲购买了x件乙购买了y件，利用购买甲、乙两种奖品共花费了800元列方程组，然后解方程组计算即可； （2）设甲种奖品购买了a件，乙种奖品购买了（30-a）件，利用购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍，然后列不等式后确定x的范围即可得到该校的购买方案． 【详解】解：（1）设甲购买了x件，乙购买了y件， ， 解得， 答：甲购买了20件，乙购买了10件； （2）设购买甲奖品为a件．则乙奖品为（30-a）件，根据题意可得： 30-a≤3a， 解得a≥， 又∵甲种奖品每件30元，乙种奖品每件20元， 总花费=30a+20（30-a）=10a+600，总花费随a的增大而增大 ∴当a=8时，总花费最少， 答：购买甲奖品8件，乙奖品22件，总费用最少. 【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式以及一次函数应用，解题的关键是找出等量关系. 26. 如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F， （1）证明：PC=PE； （2）求∠CPE的度数； （3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE，理由见解析 【解析】 【分析】(1)根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论； (2)根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案； (3)首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠DEP，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE． 【详解】(1)证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°， 又∵ PB=PB， ∴△ABP ≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC， ∵PA=PE， ∴PC=PE； (2)解：由（1）知，△ABP≌△CBP， ∴∠BAP=∠BCP， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠E， ∴∠DCP=∠E， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°； (3)AP＝CE 理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP， 在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB， ∴△ABP≌△CBP（SAS）， ∴PA=PC，∠BAP=∠BCP， ∵PA=PE， ∴PC=PE， ∴∠DAP=∠DCP， ∵PA=PE， ∴∠DAP=∠DEP， ∴∠DCP=∠DEP， ∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等）， ∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠DEP， 即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°， ∴△EPC是等边三角形， ∴PC=CE， ∴AP=CE． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点A、B，直线与轴负半轴交于点C，且． （1）求线段的长； （2）动点P从点C出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t（秒），的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； （3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据一次函数的性质求出点的坐标即可； （2）分两种情况：当点P在点O的左侧时，当点P在点O的右侧时，分别表示出的长即可； （3）设BC的函数解析式为，代入点，，求出BC的函数解析式，再分两种情况讨论即可，这两种情况分别是：当时，过点D作轴，垂足为G，与当时，过点D作轴，垂足为点H． 【小问1详解】 解：把代入，， ∴， 把代入，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 当点P在点O的左侧时，， 即， 当点P在点O的右侧时，，， 即， 故； 【小问3详解】 设BC的函数解析式为， 其图象经过点，， ∴， 解得， ∴直线BC的解析式为， 当时，过点D作轴，垂足为G， ∵是等腰直角三角形，∴， 又∵， ∴， ∴ 把代入，， ∴， ∴， 即， 当时，过点D作轴，垂足点H， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 设， ∴，把代入，，则， ， 则，，，即． 综上所述，t的值为或 ． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合问题，掌握几何图形的性质求出函数具体解析式是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$