精品解析：广东省深圳市龙岗区2023-2024学年八年级上学期期末数学仿真模拟试题

2023-2024学年第一学期广东省深圳市龙岗区八年级期末数学仿真模拟试卷 一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. a2＋b2－c2＝0 B. a∶b∶c＝3∶4∶5 C. ∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D. ∠A＋∠B＝∠C 3. 如果在y轴上，那么点P的坐标是　　 A. B. C. D. 4. 若是关于x 、y的二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ） A. 3 B. 5 C. －3 D. －5 5. 如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 24 6. 在2021年元旦汇演中，10位评委给八年级一班比赛的打分如表格： 成绩/分 94 95 96 97 98 99 评委人数 2 1 3 1 2 1 则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，95 B. 96，96 C. 96，95 D. 96，97 7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝3，则AD等于（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 8. 函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ） A. 60厘米 B. 80厘米 C. 100厘米 D. 120厘米 10. 甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法： ①乙船的速度是40千米/时； ②甲船航行1小时到达B处； ③甲、乙两船航行0.6小时相遇； ④甲、乙两船距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 11. 的立方根是__________． 12. 某大学生招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算，已知小明数学得分为95分，物理得分为90分，那么小明的综合得分是____分． 13. 如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于，的方程组的解为_________． 14. AB两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发____小时后与乙相遇． 15. 如图，四边形是长方形纸片，，对折长方形纸片．使与重合，折痕为．展平后再过点B折叠长方形纸片，使点A落在上点N，折痕为，再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④P为线段上一动点，H是线段上的动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是______． 三、解答题（本大题共7题．其中16题6分，17题7分，18题7分，19题8分，20题8分，21题10分，22题9分，共55分） 16. 计算： （1） （2） 17. 解方程组： （1） （2） 18. 某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现随机抽查了八年级20位同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图．根据上述信息，回答下列问题： 捐款（元） 20 50 100 150 200 人数（人） 4 8 2 1 （1）______，______； （2）学生捐款数目的众数是_______元，中位数是_______元，平均数是______元； （3）若该校有学生1500人，估计该校学生共捐款多少元？ 19. 如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别点C、点F，CD＝BF.求证：AB∥DE. 20. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需元，1只A型节能灯和3只B型节能灯共需元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元． （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共只，要求购买A型号的节能灯a只，记购买两种型号的节能灯的总费用为W元． ①求W与a的函数关系式； ②当时，求购买两种型号节能灯的总费用是多少？ 21. 如图，直线L1： 与轴，轴分别交于A，B两点，点P（，3）为直线AB上一点，另一直线L2：经过点P． （1）求点A、B坐标； （2）求点P坐标和的值； （3）若点C是直线L2与轴的交点，点Q是轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标 22. [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC． [拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由． [应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期广东省深圳市龙岗区八年级期末数学仿真模拟试卷 一、选择题（本部分共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的算术平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根即可求出答案． 【详解】解：16的算术平方根为4， 故选：C． 【点睛】本题考查算术平方根，理解算术平方根的意义是解决问题的关键． 2. 下列不能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A. a2＋b2－c2＝0 B. a∶b∶c＝3∶4∶5 C. ∠A∶∠B∶∠C＝3：4∶5 D. ∠A＋∠B＝∠C 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：A.由，可得，故是直角三角形，不符合题意； B.可设，，，则，能构成直角三角形，不符合题意； C. ，所以∠C最大，，故不是直角三角形，符合题意； D.，，故是直角三角形，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 3. 如果在y轴上，那么点P坐标是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在y轴上，可知P的横坐标为0，即可得m的值，再确定点P的坐标即可． 【详解】解：∵在y轴上， ∴ 解得， ∴点P的坐标是（0，-2）． 故选B． 【点睛】解决本题的关键是记住y轴上点的特点：横坐标为0． 4. 若是关于x 、y二元一次方程ax－2y＝1的解，则a的值为（ ） A. 3 B. 5 C. －3 D. －5 【答案】B 【解析】 【分析】把代入ax-2y=1计算即可． 【详解】解：把代入ax-2y=1得， a-4=1， 解得a=5， 故选：B． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组的解，掌握把方程组的解代入二元一次方程是解题关键． 5. 如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5，利用勾股定理即可解答． 【详解】设旗杆的高度为m，则ACm，AB=m，BC=5m， 在中，， ， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，利用勾股定理与方程的结合解决实际问题． 6. 在2021年元旦汇演中，10位评委给八年级一班比赛的打分如表格： 成绩/分 94 95 96 97 98 99 评委人数 2 1 3 1 2 1 则这组数据的众数和中位数分别是（　　） A. 95，95 B. 96，96 C. 96，95 D. 96，97 【答案】B 【解析】 【分析】由表格及众数、中位数的概念可直接进行排除选项． 【详解】解：由表格可得： 众数为96，中位数为中间两个数的平均数，即； 故选B． 【点睛】本题主要考查众数及中位数，熟练掌握求众数及中位数是解题的关键． 7. 如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝3，则AD等于（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长． 【详解】解：连接BD， 在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°． ∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E， ∴AD＝BD，DE⊥AB， ∴∠ABD＝∠A＝30°， ∴∠DBC＝30°， ∵CD＝3， ∴BD＝2CD＝6， ∴AD＝6． 故选：D． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 8. 函数与（，）在同一坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象判断出b的符号，然后根据b的符号判断出正比例函数的图象经过的象限，即可做出判断． 【详解】解：A、由一次函数（，）图象可知：，． ∴函数图象应该经过一、三象限，故A正确； B、由一次函数（，）图象可知：，． ∴函数图象应该经过二、四象限，故B错误； C、由一次函数（，）图象可知：，． ∴函数图象应该经过一、三象限，故C错误； D、由一次函数（，）图象可知：，． ∴函数图象应该经过二、四象限，故D错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数和正比例函数，熟记一次函数和正比例函数的性质是解题的关键． 9. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是60厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是（ ） A. 60厘米 B. 80厘米 C. 100厘米 D. 120厘米 【答案】D 【解析】 【分析】设小长方形的长为x厘米，小长方形的宽为y厘米，根据题意列出二元一次方程组求解即可； 【详解】设小长方形长为x厘米，小长方形的宽为y厘米， 根据题意可得：， 解得：， ∴每个小长方形的周长是 （厘米） 故选D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确计算是解题的关键． 10. 甲、乙两船沿直线航道AC匀速航行．甲船从起点A出发，同时乙船从航道AC中途的点B出发，向终点C航行．设t小时后甲、乙两船与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图．下列说法： ①乙船的速度是40千米/时； ②甲船航行1小时到达B处； ③甲、乙两船航行0.6小时相遇； ④甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段是0≤t≤2.5．其中正确的说法的是（　　） A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】结合图形，分从乙走的全程及时间得出乙的速度；从而可知t＝0.6时，乙走的路程，进而得出甲走的路程，从而可知甲的速度；根据题中对d与时间t的关系可判断甲乙两船航行0.6小时是否相遇；由前面求得的甲乙速度可判断甲、乙两船的距离不小于10千米的时间段． 【详解】解：乙船从B到C共用时3小时，走过路程为120千米，因此乙船的速度是40千米/时，①正确； 乙船经过0.6小时走过0.6×40＝24千米，甲船0.6小时走过60﹣24＝36千米，所以甲船的速度是36÷0.6＝60千米/时， 开始甲船距B点60千米，因此经过1小时到达B点，②正确； 航行0.6小时后，甲乙距B点都为24千米，但是乙船在B点前，甲船在B点后，二者相距48千米，因此③错误； 开始后，甲乙两船之间的距离越来越小，甲船经过1小时到达B点，此时乙离B地40千米， 航行2.5小时后，甲离B地：60×1.5＝90千米，乙离B地：40×2.5＝100千米，此时两船相距10千米，当2.5＜t≤3时，甲乙的距离小于10，因此④正确； 综上所述，正确的说法有①②④． 故选：C． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是根据函数图像得到路程与时间的关系． 二、填空题（本部分共5小题，每小题3分，共15分，请将正确的答案填在答题卡上） 11. 的立方根是__________． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可得． 【详解】解：∵（﹣2）3=﹣8， ∴﹣8的立方根是﹣2， 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 12. 某大学生招生考试只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占60%，物理占40%计算，已知小明数学得分为95分，物理得分为90分，那么小明的综合得分是____分． 【答案】93 【解析】 【详解】根据题意得，95×60%+90×40%=93. 故答案为93. 13. 如图，一次函数的图象与一次函数的图象相交于点，则关于，的方程组的解为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由图象可知点P(a,2)既在一次函数的图象上，也在一次函数的图象上，因此点P(a,2)的坐标是方程组的解，所以把P(a,2)代入一次函数的解析式中求出a的值即可. 【详解】解：依题意，得： -a+3=2 解得：a=1 ∴方程组的解是. 故答案为. 【点睛】本题考查了一次函数的交点坐标与二元一次方程组之间的关系，求两个一次函数的交点坐标就是将它们联立组成一个二元一次方程组求解即可. 14. AB两地相距20km，甲从A地出发向B地前进，乙从B地出发向A地前进，两人沿同一直线同时出发，甲先以8km/h的速度前进1小时，然后减慢速度继续匀速前进，甲乙两人离A地的距离S（km）与时间t（h）的关系如图所示，则甲出发____小时后与乙相遇． 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度，然后根据相遇问题的等量关系列方程求解即可. 【详解】解：由函数图象可得：甲减速后的速度为：（20－8）÷（4-1）＝4km/h， 乙的速度为：20÷5＝4km/h， 设甲出发x小时后与乙相遇， 由题意得：8+4(x-1)+4x＝20， 解得：x=2， 即甲出发2小时后与乙相遇， 故答案为：2. 【点睛】本题考查了从函数图象获取信息以及一元一次方程的应用，能够根据函数图象求出甲减速后的速度和乙的速度是解题的关键. 15. 如图，四边形是长方形纸片，，对折长方形纸片．使与重合，折痕为．展平后再过点B折叠长方形纸片，使点A落在上的点N，折痕为，再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：①；②；③是等边三角形；④P为线段上一动点，H是线段上的动点，则的最小值是．其中正确结论的序号是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】①连接，易得是等边三角形，得到，进而得到，推出，从而得到；②根据所对的直角边是斜边的一半，求出；③由①即可得到是等边三角形；④点与点关于对称，，当三点共线时，的值最小为的长，过点作，交于点，交于点，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：①连接， ∵对折长方形纸片．使与重合，折痕为， ∴， ∵过点B折叠长方形纸片，使点A落在上的点N，折痕为， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；故①正确； ②∵，， ∴；故②错误； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形；故③正确； ④由题意，得：点与点关于对称， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， 过点作，交于点，交于点，此时最小， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴的值最小为；故④正确； 综上：正确的是①③④； 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，含的直角三角形，利用轴对称解决线段和最小问题．本题的综合性较强，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 三、解答题（本大题共7题．其中16题6分，17题7分，18题7分，19题8分，20题8分，21题10分，22题9分，共55分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简计算即可； （2）利用平方差公式，二次根式的性质计算即可． 小问1详解】 解： 小问2详解】 解： 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ①－②可得，，解得， 将代入可得，解得， 则． 【小问2详解】 解： 由可得， 将代入可得， 解得， 将代入可得， 则． 【点睛】此题考查了二元一次方程的求解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的求解方法． 18. 某中学在一次爱心捐款活动中，全体同学积极踊跃捐款．现随机抽查了八年级20位同学捐款情况，并绘制出如下的统计表和统计图．根据上述信息，回答下列问题： 捐款（元） 20 50 100 150 200 人数（人） 4 8 2 1 （1）______，______； （2）学生捐款数目的众数是_______元，中位数是_______元，平均数是______元； （3）若该校有学生1500人，估计该校学生共捐款多少元？ 【答案】（1），； （2）50，50，74 （3）111000元 【解析】 【分析】（1）根据捐款50元人数8人÷总人数20人得所占百分比，可求得得值，本次接受随机抽样调查的学生人数20人减去表格中的已知数据，可求得得值； （2）利用众数、中位数的意义和求法分别得出答案即可，根据加权平均数计算公式即可得出答案； （3）用（2）得到的平均数乘以1500即可求解． 【小问1详解】 捐款50元所占百分比：， ∴，． 【小问2详解】 ∵在这组数据中，50出现了8次，出现的次数最多， ∴学生捐款数目的众数是50元； ∵按照从小到大排列，第10、11个数据都是50， ∴中位数为50元； 这组数据的平均数为：（元）． ∴学生捐款数目的平均数是74． 【小问3详解】 元 答：估计该校学生共捐款111000元． 【点睛】本题考查扇形统计图，用样本估计总体，加权平均数，中位数，众数等，熟练掌握扇形统计图特点和各个概念是解题的关键． 19. 如图，D、C、F、B四点在一条直线上，AB＝DE，AC⊥BD，EF⊥BD，垂足分别为点C、点F，CD＝BF.求证：AB∥DE. 【答案】见详解. 【解析】 【分析】利用“HL”定理可证明，由全等可得易证AB∥DE. 【详解】解：AC⊥BD，EF⊥BD CD＝BF 在和中 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形特殊的判定方法“HL”定理是解题的关键. 20. 为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需元，1只A型节能灯和3只B型节能灯共需元． （1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元． （2）学校准备购买这两种型号的节能灯共只，要求购买A型号的节能灯a只，记购买两种型号的节能灯的总费用为W元． ①求W与a的函数关系式； ②当时，求购买两种型号的节能灯的总费用是多少？ 【答案】（1）1只A型节能灯5元，1只B型节能灯7元； （2）①；②元． 【解析】 【分析】（1）设1只A型节能灯x元，1只B型节能灯y元，根据题意列方程组即可得到答案； （2）①根据费用等于单价乘以数量列函数解析式并写出取值范围即可；②将代入函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设1只A型节能灯x元，1只B型节能灯y元，由题意可得， 解得， 答：1只A型节能灯5元，1只B型节能灯7元； 【小问2详解】 ①解：由题意可得， A型号的节能灯a只，则B型节能灯有只，由题意可得， ， ∴W与a的函数关系式是； ②解：当时，代入①得， ， 答：当时，购买两种型号的节能灯的总费用是元． 【点睛】本题考查二元一次方程组解决销售利润问题，一次函数解决销售利润问题，解题的关键是根据题意找出等量关系式． 21. 如图，直线L1： 与轴，轴分别交于A，B两点，点P（，3）为直线AB上一点，另一直线L2：经过点P． （1）求点A、B坐标； （2）求点P坐标和的值； （3）若点C是直线L2与轴的交点，点Q是轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求出点Q的坐标 【答案】（1）A（2，0），B（0，2）；（2）P（－1，3），k＝1；（3）Q（－6，0）或（－2，0） 【解析】 【分析】(1)对于直线L1： y=−x+2 ，令y＝0求出x的值，确定A的坐标，令x＝0，求出y的值，确定B的坐标； (2)将P代入直线y＝﹣x＋2中，求出m的值，确定点P坐标，再将点P的坐标代入直线L2： y=kx+4 ，求出k的值． (3)先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式，△CPQ的面积等于3时，求出底边CQ的长度，再确定点Q的坐标． 【详解】解：如图 （1）由题意可知，直线AB的关系式为y＝﹣x＋2， 令y＝0， ∴﹣x＋2＝0， ∴x＝2， ∴A（2，0）， 令x＝0，则y＝2， ∴B（0，2） （2）∵P点在直线y＝﹣x＋2上 ∴－m＋2＝3 ∴m＝－1 ∴P点（－1，3） ∵直线y＝kx＋4经过点P． ∴－k＋4＝3 ∴k＝1 （3）由（2）知直线L2关系式为y＝x＋4 ∵点C是直线L2与x轴的交点 令y＝0， ∴x＋4＝0， ∴x＝－4， ∴C（－4，0） S△CPQ＝CQ•yP＝×CQ×3＝3 ∴CQ＝2 ∴Q（－6，0）或者（－2，0） 【点睛】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与坐标轴的交点，以及三角形面积求法，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键. 22. [发现]：（1）如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH=BC． [拓展]：（2）如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由． [应用]：（3）在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠DCE的度数为90°，CE+2AH=CD，理由见解析；（3）或． 【解析】 【分析】发现：根据同角的余角相等可得∠CAH=∠B，根据AAS证明三角形全等，再根据全等三角形的对应边相等即可得结论； 拓展：证明△ADB≌△AEC，即可得∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系； 应用：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，过A作AD垂直于AP，交PB于点D，可得△APC≌△ADB，得BD=CP=1，根据DP=BP-BD=6-1=5，AH⊥DP，即可得点A到BP的距离；同理如图4，过点A作AH⊥BP于点H， 连接AP，将△APC绕点A顺时针旋转90度到△ADB，可得DP=BP+BD=6+1=7，进而可得点A到BP的距离． 【详解】解：发现：（1）证明： ∵AH⊥BC，∠BAC=90°， ∴∠AHC=90°=∠BAC． ∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°． ∴∠CAH=∠B， 在△ABH和△CAH中， ， ∴△ABH≌△CAH．（AAS）． ∴BH=AH，AH=CH． ∴AH=BC． 拓展：∠DCE的度数为90°， 线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD， 理由如下： ∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵AD=AE，AB=AC， ∴△ADB≌△AEC（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，∠BAC=90° ∴∠ABC=∠ACB=45°， ∴∠ABD=135°， ∴∠DCE=90°； ∵D、B、C三点共线， ∴DB+BC=CD， ∵DB=CE，AH=BC， ∴CE+2AH=CD． 应用：点A到BP的距离为：或． 理由如下： 如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D， ∴∠BAC=∠DAP=90°， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD=CP=1， ∴DP=BP-BD=6-1=5， ∵AH⊥DP， ∴AH=DP=； 如图4，过点A作AH⊥BP于点H， 作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D， ∴∠BAC=∠DAP=90°， ∴∠BAD=∠CAP， ∵∠BAC=90°，∠BPC=90°， ∴∠ACP+∠ABP=180°， ∴∠ACP=∠ABD， ∵AB=AC， ∴△APC≌△ADB（AAS）， ∴BD=CP=1 ∴DP=BP+BD=6+1=7． ∵AH⊥DP， ∴AH=DP=． 综上所述：点A到BP的距离为：或． 【点睛】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$