新课预习衔接：数学广角——数与形 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角——数与形 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【算术中的规律知识点归纳】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1＝1； 11×11＝121； 111×111＝12321； 1111×1111＝1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11＝1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101＝5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法． 一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上． 如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960． 这种情况可以概括为“添0补半” 一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000． 如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000． 【数列中的规律知识点归纳】 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 【“式”的规律知识点归纳】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【数与形结合的规律知识点归纳】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【列方程解应用题（两步需要逆思考）知识点归纳】 列方程解应用题的步骤： ①弄清题意，确定未知数，并用x表示． ②找出题中数量之间的相等关系． ③列方程，解方程． ④检查或验算，写出答案． 列方程解应用题的方法： ①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知． ②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知． 【长方体和正方体的表面积知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【长方体和正方体的体积知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第二部分 典型例题 例题1：先完成下面的计算，再探索规律，回答问题。 前2个奇数的和：（    ） 前3个奇数的和：（    ） 前4个奇数的和：（    ） 前5个奇数的和：（    ） …… （1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由。 （2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前n个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和。 【答案】4；9；16；25 （1）奇数；偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方。 （2）前n个奇数的和为n2；7396 【分析】先直接计算出算式的结果；再观察规律； （1）可得规律为：求前几个奇数的和等于个数的平方，前9个奇数的和是：9×9＝81；前100个奇数的和是：100×100＝10000；据此解答； （2）前n个奇数的和的规律为：n2，将n＝86代入算式计算出结果即可。 【详解】前2个奇数的和：1＋3＝（4） 前3个奇数的和：1＋3＋5＝（9） 前4个奇数的和：1＋3＋5＋7＝（16） 前5个奇数的和：1＋3＋5＋7＋9＝（25） （1）前9个奇数的和是奇数；前100个奇数的和是偶数；理由：求前几个奇数的和等于个数的平方，9×9＝81，81是奇数；100×100＝10000，10000是偶数。 （2）前n个奇数的和的规律为：n2 当n＝86，86×86＝7396 【点睛】此题考查了数与形的知识，关键能够结合算式找出规律。 例题2：下图是由三角形构成的．     (1)填写下表．     图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 黑色三角形个数 (2)照这样的规律画下去，第10个图形中有多少个白色三角形、多少个黑色三角形？ 【答案】(1) 图号 ① ② ③ ④ 白色三角形个数 0 1 3 6 黑色三角形个数 1 3 6 10 (2) 45个   55个 【详解】(2)白色三角形：0＋1＋2＋…＋9＝45(个) 黑色三角形：1＋2＋3＋…＋10＝55(个) 例题3：下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？ 照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？ 【答案】40个 【分析】观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝8×1，图②的最外圈正方形个数＝8×2，图③的最外圈正方形个数＝8×3，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝8n，据此可得第5个图形最外圈有多少个小正方形。 【详解】图①的最外圈正方形个数：8＝8×1 图②的最外圈正方形个数：16＝8×2 图③的最外圈正方形个数：24＝8×3 …… 图n的最外圈正方形个数：8n 当n＝5时， 8n ＝8×5 ＝40（个） 答：第5个图形最外圈有40个小正方形。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 例题4：小明用小棒搭房子，搭2间用9根，搭3间用13根，照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？ 【答案】41根 【详解】根据图示， 2间房：5＋4＝9（根） 3间房：5＋4＋4＝13（根） …… 10间房：5＋4×（10﹣1）＝41（根） 答：搭10间房子，需要用41根小棒。 第三部分 高频真题 1．观察下面图中的点群，请回答： 方框内的点群包含多少个点？推测第10个点群中包含多少个点？前10个点群中，所有点的总数是多少？ 2．某机器有依次排列的5盏灯，每盏灯可发出红色的光（用■表示），不同位置上的灯光表示一个具体的数，下面是四种情况所表示的数。 ■□□□□→1；□■□□□→2；■■■□□→7＝1＋2＋4；■□■□■→21＝1＋4＋16 （1）通过观察比较发现：5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是（    ）。 （2）根据上面的规律，算出下面两种情况所表示的数。（直接填结果） □□■■■→（    ）■■□■□→（    ） （3）根据下面数的大小，涂出相应红灯的位置。 □□□□□→6      □□□□□→13 3．一条马路长180米，小明和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发．当小明走到马路的时，小狗已经到达马路的终点．然后返回与小明相向而行，遇到小明以后再跑向终点，达到终点以后再与小明相向而行……直到小明到达终点．小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 4．小红用元的硬币摆了一个正方形方阵，最外层每边都有6枚硬币。最外层一共有多少枚硬币？ 5．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 ①              ②                ③ （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 （2）以此类推，如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是多少？ 6．把一张纸剪成6块，从中取几块，将每一块又剪成6块，再任取几块，又将每一块剪成6块……如此剪下去，经过有限次后，能否恰好剪成2009块？说明理由。 7．下列图案由边长相等的黑、白两色小正方形按一定规律拼接而成． 照这样画下去，第12个图形中分别有多少个黑色小正方形和白色小正方形？ 8．观察下图，按要求完成下列各题。 (1)这4个图形中分别有多少个三角形？请依次写出。 (2)按照这种规律画下去，第6个图形中有多少个三角形呢？第9个图形中有多少个三角形呢？ (3)仔细观察图形，你能发现什么规律？请推测第n个图形中有多少个三角形。 (4)根据上面的规律，请计算下图中一共有多少个三角形。 9．一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？ 10．用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放： ①第5个图形中有多少颗黑色棋子？ ②第几个图形中有2013颗黑色棋子？ 11．下面都是由边长为1厘米的小正方形拼成的大正方形。 …… （1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 周围正方形个数（个） 8 12 （2）以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有多少个小正方形吗？ 12．玲玲把一些一元的硬币如图摆放。 （1）照这样摆下去，摆6层用了多少枚硬币？ （2）如果用了45枚硬币摆成，这个等边三角形每条边上摆几枚硬币？ 13．观察下面点阵中的规律，回答下面的问题： ①方框内的点阵包含了（   ）个点。 ②照这样的规律，第12个点阵中应包含多少个点？ 我是这样想的： 14．画一画，填一填。 （1）根据上面的图形与数的规律接着画出第四个图形并填空。 （2）这样排列下去，第5个图形有（    ）个点，第10个图形的方框里有（    ）个点。 1        3           6             10                    15．请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填． 16．这样排列下去，第12个数是( )． 17．为庆祝国庆，某学校举行用火柴棒摆“金鱼”比赛，如下图所示。 (1)按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要( )根火柴棒，摆n条“金鱼”需要( )根火柴棒。 (2)如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备( )根火柴棒。 (3)准备88根火柴棒最多能摆( )条这样的“金鱼”。 18．小林、小强、小芳、小兵和小刚5人进行象棋比赛，每2人之间都要下一盘，小林已经下了 4盘，小强下了3盘，小芳下了2盘，小兵下了1盘，小刚下了几盘？分别是和谁下的？ 19．在一个正方形的每条边上摆4枚棋子，四条边上最多能摆多少枚？最少能摆多少枚？（用画图的方法表示出来即可） 20．请在横线上画出第4幅图，并算出第4幅图有多少个正方形。 21．一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人，照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张桌子才能坐下？ 22．牛牛突然他想起今天中午吃饭的时候，餐厅贴出来的菜单： 水 煮 鱼 水 煮 鱼 水 煮 鱼 水 煮 …… 宫 保 鸡 丁 宫 保 鸡 丁 宫 保 鸡 …… 如图所示，每列上、下两个字组成一组，例如，第一组是“水宫”，第二组是“煮保”，请写出第45组是什么？ 23．下面从A地到F地开通了高铁，到每站都要停靠．那么车站要制定多少种不同的车票来满足不同客户的需求？ 24．用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律,拼成若干个图案。 第1个　　　　　第2个　　第3个 第4个图案中有白色地砖多少块?第9个图案呢?第n个图案呢? 25．火柴棍如图摆放．如果按照这个模式继续摆放，那么图12需要多少根火柴棍？ （1）            （2）                （3） 26．如图，第二个图形是由第一个图形连接三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连接三边中点而得到的，以此类推……分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形中的三角形个数．如果第n个图形中的三角形个数为8057，n是多少？ 27．观察下面按规律排成的一列数：   ，，，，，，，，，，，，，，，，… (1)若将左起第m个数记为f（m），当f(m)=时，求m的值和这m个数的积．     (2)在数列中，未经约分且分母为2的数记为a，它后面的一个数记为b，若存在这样的a和b，使ab=20100，求a和b． 28．用同样长的小棒摆正方形，如图： （1）填一填。（每空1分，共2分） 正方形个数 1 2 3 4 5 … 小棒根数 1＋3×1 1＋3×2 1＋3×3 … （2）这样摆7个正方形，需要多少根小棒？ （3）现有31根小棒，能摆多少个这样的正方形？ 29．搭建如图（1）的单顶帐篷需要17根钢管，若这样的帐篷按图（2）、图（3）的方式串起来搭建，则可节省结合处的钢管，那么串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管？ 30．用小棒按下面的方法摆图形． 　　　 　 　  … 三角形个数：(　　)   (　　)   (　　) 　 (　　)… 小棒根数：  (　　)   (　　)   (　　) 　 (　　)… （1）完成上面的填空． （2）拼成的三角形的个数与所用的小棒数之间有什么关系？ 31．甲乙两人从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，AB两地之间的距离是18（千米），甲在走到0.5小时时休息了半小时，继续前行到达B地．乙晚出发半小时，直接汽车到达B地．下面那个是描述甲的，哪个是描述乙的？为什么？ 32．有一根弯曲的铁丝如下图1．按下面的虚线剪切，把铁丝分成几段． （1）在括号里填写适当的数． 图1 （4）段 　 　段 　 　段 （2）剪切5次，把铁丝分成几段？剪切10次呢？ （3）猜想：按照上面的方法剪切多少次时，铁丝分成70段？ 33．一条马路长200米，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已经到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行……直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？ 34．先填表,再作答． (1)将表格补充完整． 多边形 … 边数 3 4 5 6 … 内角和 180° 360° … (2)用式子表示多边形内角和与边数之间的关系． (3)一个八边形的内角和是多少度? 35．看图解答。 1             3                6                   10 请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填。 如果不画，这样排列下去，第10个数是多少？ 36．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人(如图所示)，请你结合这个规律解决问题． 1．8张桌子可坐多少人？ 2．n张桌子可坐多少人？ 37．把4个完全相同的乒乓球标上数字2，3，4，5，然后放到一个不透明的口袋中，第一次任意摸出一个球（不放回），第二次再任意摸出一个球。 （1）请补充完整下面的连线图。 （2）根据上图计算，两次摸出的球所标数字之和是7的可能性是多少？ 38．如图两条直线相交只有1个交点，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，……那么，11条直线相交最多有多少个交点？ 39．用黑、白两种正方形的瓷砖拼成大的正方形图形，要求中间用白瓷砖，四周一圈用黑瓷砖。（如图所示） （1）填写下列表格。想一想，这些数量之间有什么关系？ 大正方形每边的块数 3 黑瓷砖块数 8 （2）如果所拼的图形中，用了64块白瓷砖，那么，黑瓷砖用了多少块？ 40．探究与发现。 请观察前面3道算式与图形之间的对应关系，完成下面题目。 …… ①2＝1×2 ②2＋4＝2×3 ③2＋4＋6＝3×4 ④2＋4＋6＋8＝（    ）×（    ） （1）请在④号算式上面的方框里画出对应的图形。 （2）根据规律把算式补充完整。 ①（         ）； ②（       ）。 参考答案： 1．25个；100个；385个 【分析】观察前4幅图，发现其排列规律为自然数的平方数，故第5幅图包含25个点；第10幅图包含100个点；再把前10幅图的点累计起来，就是所有点的总数。 【详解】5×5＝25（个）； 10×10＝100（个）； 1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64＋81＋100 ＝285＋100 ＝385（个） 答：所有点的总数为385个。 【点睛】学习了平方的知识点之后，对于这样呈现的图形就不陌生了，所以本题关键是解读点的排列规律。 2．（1）4；（2）28；11；（3）见详解 【分析】（1）由已知的四种情况可知有以下规律：左起第一盏发出红光表示1，后面每一盏灯发出红光时表示的数是前一盏灯的2倍，当几盏灯同时发出红光时表示的数是这几盏灯分别表示的数的和； （2）根据第（1）题的规律，第1个涂色表示1，第2个涂色表示2，第3个涂色表示4，第4个涂色表示8，第5个涂色表示16，根据此规律按题目要求把已经涂色的红灯表示的数相加即可得解； （3）根据6＝2＋4，把第2个和第3个涂色，根据13＝1＋4＋8，把第1个、第3个和第4个方框涂色，据此解答即可。 【详解】（1）1×2＝2 2×2＝4 4×2＝8 8×2＝16 所以5盏灯中最中间的一盏灯为红色时表示的数是4。 （2）4＋8＋16＝28 1＋2＋8＝11 所以□□■■■→28，■■□■□→11。 （3）6＝2＋4 13＝1＋4＋8 所以发红光的灯的位置如下： □■■□□→6 ■□■■□→13 【点睛】解答此题的关键在于通过已知的例子找出每盏灯发红光时表示的数，再根据规律解答。 3．540米 【详解】180÷＝540（米） 4．20枚 【分析】最外层每边硬币数减1的差，再乘4等于最外层的硬币数。 【详解】（6－1）×4 ＝5×4 ＝20（枚） 答：最外层一共有20枚硬币。 【点睛】熟练掌握方阵相关知识是解答本题的关键。 5．（1）见详解；（2）78.5平方厘米 【分析】（1）观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝4×2，图②的最外圈正方形个数＝4×3，图③的最外圈正方形个数＝4×4，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝4×（n＋1），因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等，所以图n的阴影部分的边长为n厘米，据此求出图④的最外圈正方形个数和图④的阴影部分边长。 （2）观察题意可知，图⑩的阴影部分边长为10厘米，要在这个正方形内画一个最大的圆，则圆的直径是10厘米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×（10÷2）2即可求出这个圆的面积。 【详解】（1）图①的最外圈正方形个数：8＝4×2 图②的最外圈正方形个数：12＝4×3 图③的最外圈正方形个数：16＝4×4 …… 图n的最外圈正方形个数：4×（n＋1）＝（4n＋4）个 因为图号和对应的阴影部分边长的厘米数相等， 所以图n的阴影部分的边长为n厘米， 当n＝4时， 4×4＋4 ＝16＋4 ＝20（个） 图④的阴影部分边长为4厘米，最外圈正方形个数为20个。 如下表： 图号 ① ② ③ ④ … 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 … 最外圈正方形个数（个） 8 12 16 20 … （2）图⑩的阴影部分边长为10厘米， 3.14×（10÷2）2 ＝3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 答：如果在图⑩的阴影部分内画一个最大的圆，这个圆的面积是78.5平方厘米。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。 6．不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1 【分析】根据题意可知，每次增加操作后，纸张的数量都增加了5的整数倍，纸张的数量为被5除余1的整数。据此判断即可。 【详解】2009÷5＝401……4 2009被5除余4，所以不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块。 答：不能经过有限次操作，将一张纸恰好剪成2009块，因为2009被5除余4，余数不是1。 【点睛】本题考查了带余除法的灵活应用，明确纸张增加的规律是解答本题的关键。 7．12个   63个 【详解】第12个图形中有12个黑色小正方形，有12×5＋3＝63(个)白色小正方形． 8．（1）1个；3个；6个；10个； （2）21个；45个； （3）见详解；（1＋2＋3＋4＋…＋n）个； （4）55个 【分析】从图中可知： （1）有1个三角形； 有2个小三角形和1个大三角形，一共是2＋1＝3（个）三角形； 有3个小三角形，相邻2个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有3＋2＋1＝6（个）三角形； 有4个小三角形，相邻2个小三角形组成3个三角形，相邻3个小三角形组成2个三角形，有1个大三角形，共有4＋3＋2＋1＝10（个）三角形； （2）按照这种规律画下去， 第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） （3）由此得出规律：若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）数出单个小三角形的个数，再按规律计算即可。 【详解】（1）1个 2＋1＝3（个） 3＋2＋1＝6（个） 4＋3＋2＋1＝10（个） 答：第1个图形有1个三角形；第2个图形有3个三角形；第3个图形有6个三角形；第4个图形有10个三角形。 （2）第6个图形：6＋5＋4＋3＋2＋1＝21（个） 第9个图形：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45（个） 答：第6个图形有21个三角形；第9个图形有45个三角形； （3）答：我发现图中有几个小三角形就从1开始依次加到n。若图形中的单个小三角形个数为n，则图形中三角形的总个数就是（1＋2＋3＋4＋…＋n）个。 （4）10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 答：图中一共有55个三角形。 9．解：（I）n=1时，可坐4人，可以写成2×1+2 n=2时，可坐6人，可以写成2×2+2 n=3时，可坐8人，可以写成2×3=2 … 所以当n=10时，可坐2×10+2=22人 答：10张桌子并成一排可坐22人． （II）2n+2=26 2n=24 n=12 答：如果有26人，需要12张桌子． 【详解】【分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人．由此规律即可解决问题．主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 10．①18颗 ②第670个图形 【分析】观察图形可知，后一个图形中黑色棋子数比前一个多3，由此可得出第n个图形有3（n＋1）个棋子，据此解答。 【详解】①3×（5＋1） ＝3×6 ＝18（颗） 答：第5个图形中有18颗黑色棋子。 ②解：设第x个图形中有2013颗黑色棋子。 3x＋3＝2013 x＝670 答：第670个图形中有2013个棋子。 【点睛】此题主要考查了数与形，找出图形的变化规律是解题关键。 11．（1）3；4；5 16；20；24 （2）40个 【分析】通过观察图可知：阴影部分边长×4，可求出阴影部分四边的正方形个数，再加上4个角上的4个小正方形，就是周围正方形个数。 【详解】（1）观察图形，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ ⑤ 阴影部分边长（厘米） 1 2 3 4 5 周围正方形个数（个） 8 12 16 20 24 （2）9×4＋4 ＝36＋4 ＝40（个） 以此类推，你知道图⑨中涂色部分的周围共有40个小正方形。 【点睛】通过观察图得出规律是解答此题的关键。 12．（1）21个 （2）9枚 【分析】观察图形可知，硬币的数量是从1开始的连续整数的和，整数的个数等于层数。而连续整数的和，等于整数的个数，乘第一个数与最后一个数的和，再除以2，据此规律计算即可。 【详解】（1）第六层有： 1＋2＋3＋4＋5＋6 ＝6×（1＋6）÷2 ＝6×7÷2 ＝21（个） 答：摆6层用了21个硬币。 （2）因为，45×2＝90＝9×10＝9×（9＋1） 所以这个等边三角形有9层，也就是每个边上摆9个硬币。 答：这个等边三角形每条边上摆9枚硬币。 【点睛】本题主要考查了数与形结合的规律，根据图形找出数的计算方法，再根据总数与层数的关系，确定有多少层，是本题解题的关键。 13．①13； ②34个；我是这样想的：竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34（个）。 【分析】①第（1）个点阵有1个点，第（2）点阵有4个点，第（3）个点阵有7个点，第（4）个点阵有10个点，从第（2）开始，每一个点阵比前一个多3个点，则第（5）有10＋3＝13个点。 ②竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34 （个）。 【详解】①方框内的点阵包含了13个点。 ②12＋11＋11＝34 （个）；我是这样想的：竖直方向的点与序列号相同，两个斜线上的点数比序列号少1，所以第12个点阵中应包含12＋11＋11＝34 （个）。 【点睛】本题主要考查学生的观察和分析问题的能力。 14．（1）；1＋4×3 （2）17；37 【分析】（1）根据图示，后一个图形比前一个图形多4各圆点，即每个角上多1个点，据此作图即可。 （2）根据圆点的排列规律，写出第n个图形圆点的个数表达式，再分别将n＝5和n＝10代入求解即可。 【详解】由分析可得： （1）如图： 点子数量关系式：1＋4×3 （2）第n个图形圆点的个数是： 1＋4×（n－1） ＝1＋4n－4 ＝4n－3（个） n＝5时 4×5－3 ＝20－3 ＝17（个） n＝10时 4×10－3 ＝40－3 ＝37（个） 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 15． 16．78 【解析】15．略 16．略 17．(1) 38 6n＋2 (2)200 (3)14 【分析】（1）根据题意分析可得：摆1条金鱼需8根火柴棒，此后，每条金鱼都比前一条金鱼多用6根，故按照上面的规律，摆n条“金鱼”需用火柴棒的根数为8＋（n－1）×6根；据此解答。 （2）根据（1）求出8条金鱼需要多少根火柴棒，即一组需要多少根火柴棒，进而求出4组需要的火柴棒。 （3）我们需要用88根火柴棒减去2根火柴棒，因为第一条金鱼用的是8根火荣棒。其余都是用的6根。所以减去第一条多的2根，再除以6，就可以得到88根火柴最多可以摆多少这样的金鱼。当剩下不足6根火柴棒是不能组成一条“金鱼”。 【详解】（1）8＋（6－1）×6 ＝8＋5×6 ＝8＋30 ＝38（根） 8＋（n－1）×6 ＝8＋（6n－6） ＝8＋6n－6 ＝（6n＋2）根 按照上面的规律，摆6条“金鱼”需要38根火柴棒，摆n条“金鱼”需要（6n＋2）根火柴棒。 （2）当n＝8时， 6n＋2 ＝6×8＋2 ＝48＋2 ＝50（根） 50×4＝200（根） 如果要摆4组“金鱼”，每组摆8条，按照上面的摆法，需要准备200根火柴棒。 （3）（88－2）÷6 ＝86÷6 ≈14（条） 准备88根火柴棒最多能摆14条这样的“金鱼”。 18． 小刚下了2盘，分别是和小林、小强下的． 【详解】这道题的关键在于“每两个人都要下1盘”,而且,比赛尚在进行中．由“小林下了4盘”可知小林与小强、小芳、小兵、小刚各下了1盘,说明小刚已经与小林下过1盘．“小兵下了1盘”说明小兵只与小林下过1盘，未与其他人下过．‘小强下了3盘",由于小兵只与小林下过,所以小强只能与小林、小芳、小刚各下过1盘，由此可知,小刚又与小强下了1盘．那么小芳的2盘分别是与小林、小强下的． 由以上的分析可看出,小刚只与小林、小强各下了1盘,所以小刚-共下了2盘,分别和小林与小强各下了1盘． 19．见详解 【分析】四个角都不放时，需要的棋子数最多，利用每边枚数乘4即可；四个角都放时，需要的棋子数最少，根据每边棋子数×4－4解答即可。 【详解】4×4＝16（枚）； 4×4－4＝12（枚）； 【点睛】此题考查了空心方阵中四周点数＝每边点数×4－4的计算应用，一定要注意顶点不放时，需要的个数最多。 20．见详解 【分析】观察图形发现每条边上小正方形的个数增加1，正方形的总个数增加每条边上小正方形个数的平方倍，据此规律解题即可。 【详解】 ＝30（个） 【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并发现里面的规律。 21．42人；9张 【详解】9×4＋6＝42（人） 38－10＝28（人）   28÷4＝7（张）   7＋2＝9（张） 答：并成一排可以坐42人；如果一共有38人，需要并9张桌子才能坐下。 22．鱼宫 【分析】观察表格可知，第一排是按照水、煮、鱼⋯⋯3个一组循环排列的；第二排是按照宫、保、鸡、丁⋯⋯4个一组循环排列的，用45分别除以3和4，余数是几就从左边数几即可。 【详解】45÷3＝15（组） 45÷4＝11（组）⋯⋯1（个） 答：第45组上面的字是鱼，下面的字是宫。 【点睛】本题考查循环数列，明确上、下几个字为一组是解题的关键。 23．15种 【详解】AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF等15种． 24．18块  38块  (4n+2)块 【详解】4×4+2=18(块)　4×9+2=38(块)　(4n+2)块 25．39根 【详解】图形①需要6根火柴棍，可以写成3×2； 图形②需要9根火柴棍，可以写成3×3； 图形③需要12根火柴棍，可以写成3×4，… 则图形n需要3×（n+1）=3n+3根火柴棍， 当n=12时，需要火柴棍：3×12+3=39（根）. 26．解：第一个图形中三角形个数：1个； 第二个图形中三角形个数：1×4+1=5（个）； 第三个图形中三角形个数：2×4+1=9（个）； 第四个图形中三角形个数：3×4+1=13（个）； 第n个图形中三角形个数： （n-1）×4+1=（4n-3）（个） 4n-3=8057，n=2015． 答：n是第2015个图形． 【详解】由已知图形中三角形个数推出三角形个数与图形个数之间的数量关系式，再根据题意代入数据计算即可解答． 27．(1)2003003，；(2)，2001 【详解】解：（1）因为从左起分别以1个数，2个数，3个数…为一组，每组的乘积为1，组内分子以1为公差递增，分母以1为公差递减．   所以f(m)=为2002组内第二项， 是第1+2+3+…+2001+1=2003002个数，m=2003003， 积为1×1×1…1××=； 答： m的值是2003003，这m个数的积是. （2）设a为，b=x+1即（x+1）x=2001000×2，   解得x1=﹣2002（舍），x2=2000， b=x+1=2000+1=2001， a==； 答：a是，b是2001. 28．（1）见详解 （2）22根 （3）10个 【分析】观察图形分析表格，找出第n个图形小棒的根数＝1＋3n，根据规律代入求值即可解答。 【详解】（1） 正方形个数 1 2 3 4 5 … 小棒根数 1＋3×1 1＋3×2 1＋3×3 13 16 … 4个正方形小棒根数：1＋3×4＝13（根） 5个正方形小棒根数：1＋3×5＝16（根） （2）1＋3×7＝22（根） 答：摆7个正方形，需要22根小棒。 （3）解：设31根小棒，能摆n个这样的正方形。 1＋3n＝31 3n＝31－1 3n＝30 n＝30÷3 n＝10 答：31根小棒，能摆10个这样的正方形。 【点睛】分析图形和表格找到小棒和图形个数的关系是解答本题的关键。 29．226根 【分析】通过观察发现：帐篷的左侧面需要6根钢管。图（1）需要6＋11＝17（根）钢管；图（2）需要6＋11×2＝28（根）钢管；图（3）需要6＋11×3＝39（根）钢管；……由此发现规律：图（n）需要（6＋11n）根钢管。据此求串搭20顶这样的帐篷需要多少根钢管列式为6＋11×20。 【详解】6＋11×20 ＝6＋220 ＝226（根） 答：串搭20顶这样的帐篷需要226根钢管。 【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。 30．（1）1；2；3；4　 3；5；7；9 （2）用n代表三角形个数，拼n个三角形所用小棒数为2n+1. 【解析】略 31．第一幅图是甲的，第二幅图是乙的 由题意可知，甲直接出发，且走了0.5小时时休息半小时，所以第一幅图符合题意．乙晚半小时出发，且中间没有休息，所以第二幅图符合图意． 【详解】略 32．（1）7，10；（2）剪切5次，把铁丝分成16段，剪切10次可分成31段． （3）按照上面的方法剪切23次时，铁丝分成70段． 【详解】试题分析：（1）查出每次剪完后，可剪的段数，再进行填空． （2）根据观察剪的段数是：剪的次数减1乘3的积再加4的和，就是剪的段数可用式子：y=4+3（x﹣1）来表示． 可求出剪5次，剪10次可剪的段数． （3）根据y=4+3（x﹣1）可求出剪的次数． 解答：解：（1） （2）4+3×（5﹣1） =4+3×4 =4+12 =16（段） 4+3×（10﹣1） =4+3×9 =4+27 =31（段） 答：剪切5次，把铁丝分成16段，剪切10次可分成31段． （3）当y=70时， 70=4+3（x﹣1） 70=4+3x﹣3 3x=69 x=23 答：按照上面的方法剪切23次时，铁丝分成70段． 故答案为7，10． 点评：本题的关键是找出规律再进行解答． 33．400米 【分析】根据题意，可得小狗的速度是小亮速度的2倍，所以同样时间内小狗的路程也是小亮的2倍。据此解题。 【详解】200×2＝400（米） 答：小狗一共跑了400米。 【点睛】本题考查了行程问题，能根据题意找出小狗和小亮的速度关系是解题的关键。 34．(1)540°；720° (2)(n-2)×180° (3)1080° 【解析】略 35．见详解；55 【分析】观察图形可知： 第1个图形中有1个圆，表示的数是1； 第2个图形中有3个圆，表示的数是3，3＝1＋2； 第3个图形中有6个圆，表示的数是6，6＝1＋2＋3； 第4个图形中有10个圆，表示的数是10，10＝1＋2＋3＋4； …… 第n个图形中有圆的个数与表示的数是（1＋2＋3＋4＋…＋n）。 【详解】如图： 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 ＝（1＋10）×10÷2 ＝11×10÷2 ＝55 答：第10个数是55。 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 36．1. 8×2＋2＝18(人)　答：可坐18人． 2.  2n＋2　答：n张桌子可坐(2n＋2)人． 【详解】略 37．（1）如下图所示： （2）共有12种情况，和为7的有4种情况，可能性为。 【详解】略 38．55个 【分析】三条直线交点最多为1＋2＝3个； 四条直线交点最多为1＋2＋3＝6个； 五条直线交点最多为1＋2＋3＋4＝10个； 则11条直线交点最多为10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个）。 【详解】10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝55（个） 【点睛】先从相交直线条数较少的开始分析，发现其一般规律，并应用到11条直线相交的情况中。 39．（1）4，5，6，7   12，16，20，24 （2）36块 【分析】（1）大正方形每边的块数每增加1块，所用的黑瓷砖块数就增加4块； （2）白瓷砖的总块数是每个边上的块数的平方，而黑瓷砖的总数量是白瓷砖一边的数量加1的四倍。 【详解】（1） 大正方形每边的块数增加1块，所用的黑瓷砖数就增加4块； （2）64＝8×8； （8＋1）×4 ＝9×4 ＝36（块）； 答：黑瓷砖用了36块。 【点睛】解答本题的关键是根据图形找到规律，再根据规律来求解。 40．（1）见详解； （2）①2＋4＋6＋8＋10； ②50×51 【分析】（1）第1个图形有2个圆圈，第2个图形有（2＋4）个圆圈，第3个图形有（2＋4＋6）个圆圈，第4个图形有（2＋4＋6＋8）个圆圈……在第3个图形外面画上8个黑色的圆圈，圆圈的总个数为从2开始连续偶数的和，等于偶数的个数乘个数加1的乘积； （2）①“5×6”表示从2开始连续5个偶数的和，即2＋4＋6＋8＋10； ②，一共有50个偶数，则50×51，据此解答。 【详解】（1） …… ①2＝1×2 ②2＋4＝2×3 ③2＋4＋6＝3×4 ④2＋4＋6＋8＝4×5 （2）①分析可知，2＋4＋6＋8＋10＝5×6； ②50×51。 【点睛】理解从2开始连续偶数的和等于偶数的个数与（偶数的个数＋1）的积是解答题目的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$