第1章 有理数（7大题型）（42道压轴题专练）-2024-2025学年六年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第1章 有理数（7大题型）（42道压轴题专练） 压轴题型一 数轴上的动点问题 1．如图，线段，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，； (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动，N为的中点，下列两个结论： ①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 【答案】(1)6秒 (2)24 (3)①，12 【分析】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴的两点间的距离，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． （1）分两种情况讨论，①点P在点B左边，②点P在点B右边，分别求出t的值即可． （2）表示出后，化简即可得出结论． （3），分别表示出的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：如图1， 设出发秒后， 当点P在点B左边时，， 由题意得，， 解得：； 当点P在点B右边时，， 由题意得：，方程无解； 综上可得：出发6秒后． （2）解：∵， ∴； （3）解：选①； 如图2， ∵， ∴①（定值）； 或者②（变化）． 2．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 【答案】(1)，， (2) (3)，， 【分析】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． （1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）先求出对称点，即可得出结果； （3）利用题意结合数轴表示出A、B、C三点表示的数，进而可得、、的长． 【详解】（1） ， 解得：， 是最小的正整数 ， 故答案为：，， （2）点A与点C的中点对应的数为： 点B到2的距离为1,所以与点B重合的是： 故答案为：3 （3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动。 秒钟过后，点A表示为，点B表示为，点C表示为， ， ， ， 故答案为：，，． 3．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点在数轴位置如图所示，则到点的距离为4的点表示的数是______． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是______．若此数轴上两点之间的距离为2023（在的左侧）．且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是______，点表示的数是______． (3)在数轴上，到三点距离之和为12，求点对应数轴上的有理数． 【答案】(1)或6 (2)1，， (3)3或 【分析】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是数轴上两点之间的距离公式． （1）根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）根据对称的性质可得对称点的坐标； （3）根据数轴上两点之间的距离，分情况进行讨论，求解即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知：点A、B、C表示的数分别是2，， 与点A的距离为4的点表示的数是或． 故答案为：6或； （2）解：∵将数轴折叠，使得A点与C点重合， ∴与自身对称的点表示的数为：， ∴与点B重合的点表示的数是：； ∴M表示的数是：， N表示的数是：． 故答案为：1，，； （3）解：当在之间，， 不可能等于12， 当在点右侧时，， 解得， ∴点对应的有理数是3， 当在点左侧时，， 解得， ∴点对应的有理数是， ∴点对应的有理数是3或． 4．点在数轴上所表示的数如图所示，将点向左平移2个单位长度，得到点的相反数，点是数轴上一动点． (1)点表示的数是_______； (2)若点在数轴上移动了个单位长度得到点，且，求的值； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段的长度；若发生变化，请你说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)线段的长度不变，且为3，见解析 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，数轴上的平移，熟练掌握两点间的距离是解题的关键， （1）根据点表示的数是4，平移左减2两个单位得到的数是2，其相反数即为点B表示的数． （2）根据点表示的数是4，，确定点C表示的数，再计算平移单位数即可． （3）分，，三种情况计算即可． 【详解】（1）∵点表示的数是4， ∴平移左减2两个单位得到的数是2， 其相反数即为点B表示的数． ∴点B表示的是， 故答案为：． （2）∵点表示的数是4，， ∴， ∴或， 解得或， ∵点B表示的是， ∴向右平移或 故或． （3）设点P表示的数是，点D表示的数是，点E表示的数是， ∵点B表示的是，点表示的数是4， 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 当时，，， ∴； 故线段的长度不变，且为3． 5．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 【答案】(1) (2) (3)①3；②9 【分析】（1）根据正方形滚动1周后点的位置得出点对应的数； （2）根据正方形滚动的规律，得到经过数轴上的数的点； （3）①先判断每次滚动后点的位置，再根据所得结果判断点距离原点最近和点距离原点最远的出现的次数； ②根据正方形结束运动时，点C的位置得出其所表示的数即可． 此题主要考查数轴的特点，解题的关键是根据题意得到正方形滚动一周，正方形的顶点移动4个单位． 【详解】（1）由题可得，正方形向左滚动一周，正方形的顶点4向左移动4个单位， 所以正方形向左滚动一周后，点对应的数为：， 故答案为：； （2）∵ 所以在滚动过程中，点经过数轴上的数； 故答案为：； （3）①因为5次运动后，点依次对应的数为： ； ； ； ； 所以第3次滚动后，点距离原点最远； ②由①可得: 当正方形结束运动时, 此时点表示的数是， ∴点表示的数为：， 故答案为：①3；②9． 6．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 【答案】(1)，； (2)不变，理由见解析； (3)或或． 【分析】（）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （）根据题意求出点，，向右移动后表示的数，然后根据数轴上两点间距离公式出表示，的值，最后再进行计算即可； （）分三种情况讨论，点在点处，点在点的右边，点在点的右边； 本题考查了列代数式，数轴，熟练掌握用数轴上两点间距离表示线段长是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）不变，理由： 因为：经过秒后，，，三点所对应的数分别是，，， 所以：，， ∵， ∴，， ∴，， 所以：， 所以的值不会随着时间的变化而改变； （3）经过秒后，，两点所对应的数分别是，， 当点追上点时，， 解得：， 当时，点在还点处， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 当时，点在点的右边， 所以：， 综上所述，、两点间的距离为或或． 压轴题型二 化简绝对值 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴确定代数式的正负、绝对值的化简等知识点，掌握利用数轴确定代数式的正负成为解题的关键． （1）先根据数轴取得a、b、c的大小关系，然后再确定所求代数式的正负即可； （2）根据（1）所的代数式的正负取绝对值，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：由数轴可得：， 则． 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴ ． 8．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 【答案】(1)1； (2) (3)3或或1或 【分析】本题考查了绝对值的意义、分类讨论的思想方法： （1）直接根据绝对值的性质求解即可； （2）可知三个数中必需有两个正数，一个负数，可设，，解答； （3）分a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵, ∴； ∵， ∴, ∴． 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴三个数中必需有两个正数，一个负数，可设 ∴，，， ∴原式； （3）解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数或两个正数，一个负数或三个都为负数． ①当a，b，c都是正数，即时， 则：； ②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设， 则：； ③当a，b，c有两个为正数，一个为负数时，设， 则： ； ④当a，b，c三个数都为负数时， 则： ； 综上所述：的值为3或或1或． 9．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【答案】(1)3，7 (2)2或 (3)c的值为或或或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． （1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当时，，，然后分当时；当时；当时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：3，7； （2）解：由题意知，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：2或； （3）解：当时，，， 当时，，则， 解得，； 当时，，则， 解得，； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，c的值为或或或 ． 10．解答下列问题 （1）若有理数、满足，且，求的值． （2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．    【答案】（1）6或8． （2）． 【分析】（1）根据绝对值的性质解得x，y的值，分情况讨论得出符合条件的x，y的值，即可解． （2）根据数轴可以判断a、b、c的正负情况，从而可以将绝对值符号去掉，本题得以解决． 【详解】（1）∵，， ∴或，或， ①当，时，（舍去）， ②当时，， ③当时，， ． ④当时，， ． 则②3④满足，则或8． （2）由题得：， ∴ ． 【点睛】考查数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点，可以将绝对值符号去掉，利用数形结合的思想解答． 11．如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d． （1）若c与d互为相反数，则a________； （2）若d2b8，那么点C对应的数是________； （3）若abcd0，ab0求的取值范围． 【答案】（1）；（2）2；（3）20＜＜23． 【分析】（1）由c与d互为相反数，CD之间的距离为4，所以CD的中点为原点，点A到原点的距离为8，位于原点的左侧，即a=-8； （2）由BD=7，d-2b=8得点B到原点的距离为1，且位于原点的左侧，点C位于原点的右侧，距离2个单位长度，即点C对应的数为2； （3）由a+b＞0得a＞0＞b，且|a|＞|b|，-1.5＜a＜0，再由abcd＜0求得d＞c＞b＞0＞a，再根据数轴上点的位置得b=a+3，c=a+6，d=a+10，最后去绝对值，合并同类项，求解不等式得． 【详解】（1）解：（1）如图所示： ∵c与d互为相反数， ∴CD=4，O为原点， ∴|OA|=8， ∴a=-8； （2）如图2所示： ∵BD=7，即，又， ∴b=-1， ∴点B向右移动一个单位长度是原点， 又∵OC=2，点C在原点的右侧， 所以 c=2 （3）∵且 ∴且 又∵ 原式 ∵ ∴． 【点睛】本题综合考查了数轴的三要素，数轴上的点与实数的对应关系，去绝对值的方法，数轴上何意两点对应两个数的和差值的正负性，求代数式的取值范围等相关知识点，难点是求代数式的取值范围． 12．）(1) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图， 化简：； (2) 两个非零有理数a，b满足=2a－3b，求的值． 【答案】（1）；（2）-5或10. 【分析】(1)根据题图，计算各个绝对值的值，然后根据绝对值得非负性，化简计算即可； (2)化简=2a－3b，然后代入求值即可. 【详解】解：（1）由题目可知：，，， ∴ （2）∵两个非零有理数a，b满足=2a－3b， 当时，=2a－3b 可化为： ∴ ∴ 当时，=2a－3b 可化为：. ∴ ∴ 故的值为：-5或10. 【点睛】此题考查了数轴，以及绝对值，正确判断出绝对值里边式子的正负是解本题的关键． 压轴题型三 数轴与绝对值综合 13．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)的值分别为1，， (2)的值为7或 (3)存在， 【分析】（1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点的距离公式，即可求解； （3）表示出，的长度，即可求解． 本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． 【详解】（1）∵满足， ∴且． 解得，． ∴． ∴的值分别为1，，． （2）由（1）得， ， ∴点表示的数为7或， ∴的值为7或； （3）假设存在常数，使得不随运动时间的改变而改变． 则依题意得：表示的数为，点表示的数为， ， ， ∴当时，不随运动时间的改变而改变，此时． 14．设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段MN上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上， ①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，， ①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 【答案】(1)①0,2；②或 (2)①4；②的最小值为0，此时或． ． 【分析】本题主要考查了列式计算、取绝对值等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）①根据对称指标的定义即可解答；②根据对称指标的定义列绝对值方程求解即可； （2）①先根据已知条件确定n的值，再根据线段关于点A的对称指标的定求解即可；②先用m表示出n，然后根据线段关于点A的对称指标的定求解即可． 【详解】（1）解：①， 故答案为：0，2； ②∵， ∴，即， ∴，解得：或， ∴或， 故答案为：或； （2）解：①∵，，， ∴，解得：， 设B为上一点，记为， ∴， ∴， ∴当时，即时，有最大值4， ∴， ②∵，， ∴，解得：， 设B为上一点，记为 ∴， ∴， 当，即或时，， 则当时，，即的最大值为，即，即的最小值为0，此时； 当时，，即的最大值为，即，即的最小值为0，此时； 当，即时，， 当，，即的最大值为，即，即的最小值为0，此时（不符合题意，舍去）； 当，，即的最大值为，即，即的最小值为0，此时， 综上， 的最小值为0，此时或． 15．阅读材料： 如图，点A在数轴上表示数3，我们知道：表示3到原点的距离．因为原点O所表示的数为0，同时，因此规定：表示3到0的距离，点A与点O之间的距离记作． 根据以上信息，解答下列问题： (1)依据材料完成下表： 结果 4 表示 表示6到2的距离 (2)若，则_______（直接写出答案）； (3)点B在数轴上表示数，设点P在数轴上对应的数是x，当时，求x的值． 【答案】(1)4，8，表示到2的距离，到的距离，,表示a到b的距离． (2)8或2 (3)或． 【分析】本题主要考查实数与数轴、绝对值的几何意义、数轴上两点间的距离、绝对值方程等知识点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义直接求解即可； （2）由题意可得或； （3）根据绝对值的几何意义可知，则或，然后分、两种情况分别解绝对值方程即可． 【详解】（1）解：，，表示到2的距离， 表示到的距离，表示a到b的距离． 故答案为：4，8，表示到2的距离，到的距离，表示a到b的距离． （2）解：∵， ∴或． 故答案为：8或2． （3）解：∵点B在数轴上表示数，设点P在数轴上对应的数是x， ∴， ∴， ∵3与的距离是5， ∴，则点P不在上， ∴或， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴x的值是或． 16．阅读下列材料，回答提出的问题． 我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，在数轴上，表示a这个数在数轴上所对应的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这正是绝对值的几何意义，比如说表示2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它是2，所以，表示这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为，但平时我们都写成，原因你明白． （1）若给定，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x； （2）实际上，对于数轴上任意两个数之间的距离我们也可以表示为，反过来，这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示与这两个数的点之间的距离， ①你能结合上面的叙述，解释的几何意义吗？ ②请按你的理解说明：． 拓展应用 （1）设点Р在数轴上对应的数为x，若 ，则_____． （2）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，若点Р在点M、N之间，则_____． 【答案】（1）或；（2）①表示在数轴上表示5的点到表示2的点的距离，这个距离是3；②表示在数轴上表示5的点到表示的点的距离，这个距离是7；拓展应用：（1）或；（2） 【分析】此题考查数轴及绝对值，熟练掌握数轴及绝对值的几何意义进行求解是解题的关键： （1）根据绝对值的几何意义进行求解即可得出答案； （2）①根据数轴上两点间的距离及绝对值的几何意义进行判定即可得出答案； ②根据数轴上两点间的距离及绝对值的几何意义进行判定即可得出答案； 拓展应用：（1）根据题意可得，，即可即可得出答案； （2）根据的几何意义进行判定即可得出答案 【详解】解：（1）表示x这个数在数轴上所对应的点到原点的距离是3， 故或； （2）①表示在数轴上表示5的点到表示2的点的距离，这个距离是3， 所以； ②表示在数轴上表示5的点到表示的点的距离，这个距离是7， 所以； 拓展应用 （1）∵， ∴或， ∴或； （2）∵点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，点Р在点M、N之间， ∴， 故答案为． 17．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数______两点间的距离； (2)表示数轴上数与数______两点间的距离； (3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和； (4)满足的所有整数的值是______． 【答案】(1) (2) (3)，2 (4)，，，0，1，2 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）根据绝对值的几何意义即可解答； （4）根据与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，使得成立的整数可以是和2之间的任意一个整数（包括和2），由此可解． 【详解】（1）解：由题意可知，表示8与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：5； （2）解：由题意可知，，表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 故答案为：； （3）解：由题意可知，表示x与两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 表示数轴上数与数的距离和数与数2的距离的和， 故答案为：，2； （4）解：由题意知，表示数轴上有理数x所对应的点到和数与数2的距离之和为5， ， ， 满足等式成立的所有整数x的值为：，，，0，1，2， 故答案为：，，，0，1，2． 18．探究与应用 【阅读材料】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索分析】 （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是________． （2）若，则在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为________，________． 【操作应用】小明在纸上画了一条数轴进行操作探究． （3）折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合，则4对应的点与________对应的点重合． （4）折叠纸面，若4对应的点和对应的点重合，则： ①8对应的点和________对应的点重合； ②若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B左侧，两点间的距离为且A，B两点经折叠后重合，试求a，b的值． 【答案】（1）6；（2）1；或；（3）；（4）①；②a，b的值为， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数．熟练掌握绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）根据绝对值的意义进行求解作答即可； （3）由题意知，对称点为，进而可得4对应的点与对应的点重合； （4）①由题意知，对称点为，根据8对应的点和对应的点重合，计算求解即可；②由题意知，点A、点B到对称点的距离相等，且为，然后根据点A表示的数为，点B表示的数为，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，数轴上表示5和的两点之间的距离是， 故答案为：6． （2）解：∵， ∴在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为1， ∴或， 故答案为：1；或． （3）解：∵折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合， ∴对称点为， ∴4对应的点与对应的点重合， 故答案为：； （4）①解：∵折叠纸面，4对应的点和对应的点重合， ∴对称点为， ∴8对应的点和对应的点重合， 故答案为：； ②解：∵两点间的距离为，且A，B两点经折叠后重合， ∴点A、点B到对称点的距离相等，且为， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴a，b的值为，． 压轴题型四 绝对值中的最值 19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求 的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 【答案】(1)4，3，2或 (2)8 (3)，8 (4)11 【分析】（1）根据数轴上两点间距离公式进行计算即可； （2）表示数a到和3两点的距离之和，然后根据表示数a的点的位置求解即可； （3）表示x到，，3三个点的距离之和，结合数轴可知， 当时，有最小值，由此可求解； （4）先根据已知式子可得，求出x、y的范围，再求出的最大值即可． 【详解】（1）数轴上表示6和2的两点之间的距离为； 表示和2两点之间的距离为； ∵表示数a和的两点之间的距离是3， ∴， ∴或， ∴或， 故答案为：4；3；2或； （2）表示数a到和3两点的距离之和， ∵表示数a的点位于与3之间， ； （3）表示x到，，3三个点的距离之和， ∵当时，有最小值，且当时，有最小值， ∴当时，有最小值， 最小值为， 故答案为：，8； （4）， ∴， ∵， ， ， ∴当时有最大值， 最大值为， 故答案为：11． 【点睛】本题主要考查了绝对值与数轴的综合运用，解题的关键是理解绝对值的几何意义． 20．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5和1的两点之间的距离是_____． ②数轴上表示和的两点之间的距离是______． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是_____． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．比如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离．    （3）应用： ①如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么______． ②若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． ③当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①，②，③  （3）①或  ②  ③时，最小值是7 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）①根据两点间的距离公式，可得答案；②根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案；③根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【详解】解：（1）①数轴上表示5和1的两点之间的距离是， ②数轴上表示和的两点之间的距离是， ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：①，②，③； （3）解：①如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：， 则或， ∴或， 故答案为：或； ②若数轴上表示数a的点位于与3之间，则； ③∵表示数轴上数a和数，1，3之间的距离之和， 当数a在数左侧时，， 当数a在数3右侧时，， ∴时距离的和最小， ∴． ∴时，的值最小，最小值是7． 【点睛】本题考查了绝对值，利用了两点间的距离公式，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小． 21．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 【答案】（1）5，x，4；（2）或；（3）①的最小值为6；②的最小值为7 【分析】（1）根据绝对值的意义即有理数的加减法法则计算即可； （2）利用绝对值的双值性建立方程求解即可； （3）根据材料正确理解计算即可． 【详解】解：（1）， 表示表示数x和数4这两点的距离， 故答案为：5，x，4； （2）， ， 或， 解得：或； （3）①由探究材料3得，当时，有最小值，最小值为6． ， ∴最小值为6． ②由探究材料3得，这是在求点x到、、三点的最小距离， ∴当时，有最小值，最小值为7， ． 的最小值为7． 【点睛】本题考查数轴上点与点之间的距离，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于及分类思想的应用． 22．同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 【答案】(1)7；数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离， (2)2， (3)超市的位置应在B，C两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小 【分析】（1）根据题中给出的例子可得出结论； （2）使成立的所有整数，就是−5到数轴上任意一点的距离都等于7的点都符合，找出此点即可； （3）由题意可知，，所以超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【详解】（1）如图（1）可以利用数轴理解为数轴上与2这两个数所对的两点之间的距离，    （2）∵使成立的所有整数，就是数轴上到表示的点距离为7的点所表示的数， ∴如图（2）所示，使成立的所有整数有2，，    （3）由题意可知，且， ∴超市的位置应在两个村庄之间使得各村庄到超市的距离和最小． 【点睛】本题考查的是绝对值，熟知绝对值的几何意义是解答此题的关键． 23．（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    【答案】（1） （2）的最小值是6 （3）把复印店开设在之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，理解和应用数轴上两点间的距离公式是解题的关键. （1）根据数轴上两点间的距离求解即可. （2）分三种情况：当点P在点A左侧时，得；当点P在点B右侧时，；当点P在点A，B之间时（包括端点A，B），．即可得出答案. （3）以小浩家O为原点，向东（右）为正方向，所在直线为轴，建立数轴，则A表示，B表示180，C表示240．当点P在之间时，；当点P在之间时，；当点P在点之间（含端点O，B）时，；即可求解. 【详解】解：（1）． （2）PA的值为，的值为， 则． 如图，当点P在点A左侧时，．    如图，当点P在点B右侧时，．    如图，当点P在点A，B之间时（包括端点A，B），．    因为，所以， 所以的最小值是6，即的最小值是6． （3）如图，以小浩家O为原点，向东（右）为正方向，所在直线为轴，建立数轴，则A表示，B表示180，C表示240．    当点P在之间时，， 当点P在之间时，， 当点P在点之间（含端点O，B）时，， 此时，的值最小，最小值是． 所以，小浩把复印店开设在OB之间（含端点O，B）处，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，最小值是480米． 24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而；表示和2两点之间的距离是5：而；表示和两点之间的距离是3，而，一般地，数轴上表示m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么　 　 (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间，求的值：    (3)当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．    【答案】(1)10或 (2)； (3)时，的值最小，最小值是7． 【分析】（1）根据两点间的距离公式，可得答案； （2）先求得和的符号，再化简绝对值，再计算即可求解； （3）根据线段上的点到线段两端点的距离的和最小，可得答案． 【详解】（1）解：如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：， 则或， 那么或， 故答案为：10或； （2）解：若数轴上表示数a的点位于与3之间， ，， 则； （3）解：∵表示数轴上数a和数，1，3之间的距离之和， ∴时距离的和最小， ∴． ∴时，的值最小，最小值是7． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小． 压轴题型五 有理数中的规律探索问题 25．（23-24七年级上·江苏泰州·开学考试）用递等式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6)已知，，按这样的规律，请计算：． 【答案】(1) (2)100000 (3)8.3 (4) (5)47.8 (6) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算： （1）先计算乘除，再计算减法，即可求解； （2）根据有理数的乘法运算律计算，即可求解； （3）先计算乘除，再计算减法，即可求解； （4）先计算小括号内的，再计算中括号内的，然后计算括号外的，即可求解； （5）利用有理数乘法分配律计算，即可求解； （6）先把原式变形为，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： 26．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）（1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 【答案】（1）  （2）见解析  （3） 【分析】本题考查数字规律问题，观察发现上述运算的结果和加数首尾两个数的和的一半的平方有关是解题的关键． （1）直接运算即可解题； （2）根据（1）得计算结果得到结论即可； （3）运用结论计算解题． 【详解】解：（1）； ； ； ； 故答案为：； （2）规律：上述运算和结果，规律是首，尾两个加数和的一半的平方； （3） 27．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 28．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握等式的规律，利用裂项法，进行求解，是解题的关键． （1）利用规律，将转化为进行计算即可； （2）利用规律，将转化为进行计算即可； （3）将转化为，再利用规律解题即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． 29．（23-24七年级上·江西吉安·期中）观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，找到规律是关键． （1）依据规律即可完成； （2）由（1）得出的规律，按照有理数的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，，．（n为正整数） 故答案为：，， （2）解： ． 30．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 压轴题型六 有理数的复杂四则运算 31．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)9 【分析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （2）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （3）先运算乘除，然后加减解题即可； （4）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （5）应用乘法分配律，求出每个算式的值各是多少即可． （6）先运算括号内的加减，然后运算除法解题即可； （7）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （8）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题． 此题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 32．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)100 (3)1 (4)5050 【分析】本题考查了乘法公式的有理数混合运算，含乘方有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为，再将算式变为，根据乘法分配律，将算式变为，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为，约分可得，再根据带符号搬家，得，然后计算出结果即可； （2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为，然后将化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为进行简算即可； （3）先把382拆分为，然后根据乘法分配律，将算式变为，，加上括号，变为，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的算式，约分可得结果为1； （4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n为自然数），将算式变为，然后首尾依次相加，将算式变为进行简算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 33．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题考查了乘法运算律分配律的运用；根据题目特点正用或逆用是解题的关键； （1）把分母中拆成，然后运用分配律即可； （2）把被除数中带分数化为假分数，再逆用分配律，最后约分即可． 【详解】（1）解： = = = ； （2）解： ． 34．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数加减混合运算法则计算即可； （2）先将带分数拆成整数和分数两部分，然后利用加法的交换律和结合律，整数和整数相结合，同分母分数相结合，进行计算即可． （3）将带分数转化为假分数再进行有理数加减乘除运算即可； （4）乘方后，计算小括号部分，再运算乘除即可； （5）将带分数转化为假分数再进行有理数乘除运算即可； （6）先计算前两项，再与后一项运算即可． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握分数与小数的转化是关键． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 35．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 【答案】 【分析】利用拆项法将分数拆成整数和分数的和差形式，把整数与整数部分、分数与分数部分分别加在一起，然后把每个分数分别拆成两个分数相减的形式，通过分数的加减，相互抵消，求出结果． 【详解】解： 【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，正确利用分数的性质化简是解题关键． 36．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 【答案】①；② 【分析】观察阅读材料中的运算过程，得到拆项规律，将所求式子变形，计算即可得到结果． 【详解】解：①， ， ， ②， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据题意发现规律进行解答． 压轴题型七 有理数的应用压轴题 37．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1) (2) (3)42天 【分析】本题考查了有理数乘方的应用； （1）根据题目信息直接进行计算即可； （2）根据二进制转十进制的方法列式计算即可； （3）根据满五进一可知，类似于五进制数，然后仿照二进制转十进制的方法列式计算即可． 【详解】（1）解：将二进制数“10110”转化为十进制数是， 故答案为：； （2）将八进制数“4372”转化为十进制数； （3）因为从右向左绳结的数量依次为2，3，1， 所以孩子已经出生的天数为天． 38．（23-24七年级上·广东茂名·期中）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况 （单位：万件） (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期______；最少的一天是星期______；最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 【答案】(1)四，三，14 (2)22万件 【分析】（1）由超出最多的与不足最多的可得分拣包裹数量最多的一天，最少的一天，再利用超出最多的数量减去不足的数量可得答案； （2）由分拣包裹总量除以时间可得平均数． 【详解】（1）解：该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期四；最少的一天是星期三；最多的一天比最少的一天多分拣万件包裹； （2） （万件） 答：该仓库本周实际平均每天分拣22万件． 【点睛】本题考查的是正负数的实际应用，减法运算的应用，混合运算的实际应用，理解题意，列出正确的运算式是本题的关键． 39．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且． (1)填空： ， ； (2)如图②所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距10个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子鼠从对应的点E沿数轴向右运动，当电子鼠遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回……设机器猫每秒运动4个单位长度，电子鼠每秒运动3个单位长度，当机器猫与电子鼠同时运动到点E处停止运动，求电子鼠运动的路程． 【答案】(1)，20 (2)10或30 (3)60或30 【分析】（1）根据绝对值的非负性，进行求解即可； （2）根据对称性确定点表示的数，根据点E与点A之间相距10个单位长度，得到点表示的数，再根据对称性，得到点表示的数即可； （3）分两种情况，结合路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，又， ∴， ∴， 故答案为：，20； （2）∵该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合， ∴点表示的数为：， ∵点E与点A之间相距10个单位长度， ∴点表示的数为：或， ∴点表示的数为：或； 故答案为：10或30； （3）①当点表示的数为，点表示的数为时，则：， 由题意，得：机器猫到达点所用的时间为：秒， 在这10秒内，电子鼠一直在运动， ∴电子鼠运动的路程为：个单位长度； ②当当点表示的数为，点表示的数为时，则：， 由题意，得：机器猫到达点所用的时间为：秒， 在这20秒内，电子鼠一直在运动， ∴电子鼠运动的路程为：个单位长度； 综上：电子鼠运动的路程为60或30． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的非负性，有理数乘除的实际应用．熟练掌握绝对值的非负性以及数轴上两点间的距离公式，是解题的关键． 40．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）在东西向的马路上有一个巡岗亭，巡岗员甲从岗亭出发以的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 4 3 已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭． (1)求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭的东边还是西边，相距多远； (2)直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米； (3)巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长； (4)巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时． 【答案】(1)巡岗员甲得位置在岗亭的西边处 (2) (3)(小时) (4)小时 【分析】（1）把前面4次记录相加，根据和的情况判断第4次结束时小张的位置即可； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）①求出所有记录的绝对值的和，再除以20计算即可得解 （4）求出距离的和，再除以20计算即可得解． 【详解】（1）解：依题意， ∴巡岗员甲得位置在岗亭的西边处， （2）解：依题意， ∴第五次巡逻应记为； （3）， (小时)； （4）解：依题意，在2千米范围内的路程为， （小时）， 答：他与小李可以正常通话的时间有小时． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法与除法的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 41．（2023七年级上·全国·专题练习）某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 【答案】(1)13.6千米 (2)租往返的车比较划算，63.24元 【分析】（1）根据出租车的收费标准，列式计算即可； （2）根据收费标准可知，3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，选择往返最划算，列式计算即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：小华家到动物园有13.6千米． （2）3千米以上往返的单价要比单程的单价便宜，所以应该租往返的车比较划算． （千米） （元） 答：租往返的车比较划算，她至少要付出租车费63.24元． 【点睛】本题考查有理数运算的实际应用．解题的关键是理解并掌握出租车的收费标准，正确的列出算式． 42．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）小张上星期天买进某公司股票2000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 （注：正号表示每股价格比前一天上涨，负号表示每股价格比前一天下跌．） (1)星期二收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)请用折线统计图表示该股市这几天的股票涨跌情况． (4)已知小张买进股票时付了1%的手续费，卖出时需付成交额的1.5%的手续费和1%的交易税，如果小张在星期六将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 【答案】(1)星期二收盘时，每股是24.5元 (2)本周内最高价是每股27元，最低价是每股23.5元 (3)见解析 (4)小张盈利了元 【分析】此题主要考查正负数及有理数的运算在实际生活中的应用及折线统计图． （1）由图可以算出星期二收盘的价格； （2）先进行计算每天的收盘价，再进行判断即可； （3）由（2）的数据画出图形即可； （3）收益卖股票收入买股票支出卖股票手续费和交易税买股票手续费，代入求值即可． 【详解】（1）（元， 答：星期二收盘时，每股是24.5元； （2）星期一收盘价：（元， 星期二收盘价：（元， 星期三收盘价：（元， 星期四收盘价：（元， 星期五收盘价：（元， 星期六收盘价：（元， 所以本周内最高价是每股27元，最低价是每股23.5元； （3） （4）（元， （元， （元． 所以小张盈利了元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 有理数（7大题型）（42道压轴题专练） 压轴题型一 数轴上的动点问题 1．如图，线段，动点P从A出发，以2个单位/秒的速度沿射线运动，M为的中点． (1)出发多少秒后，； (2)当P在线段上运动时，试说明为定值． (3)当P在延长线上运动，N为的中点，下列两个结论： ①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值． 2．如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最小的正整数，且、、满足 (1)__，__，__； (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与表示数____的点重合； (3)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为则_____，______，______用含的代数式表示 3．根据给出的数轴及已知条件，解答下面的问题： (1)已知点在数轴位置如图所示，则到点的距离为4的点表示的数是______． (2)若将数轴折叠，使得点与点重合，则与点重合的点表示的数是______．若此数轴上两点之间的距离为2023（在的左侧）．且当点与点重合时，点与点也恰好重合，则点表示的数是______，点表示的数是______． (3)在数轴上，到三点距离之和为12，求点对应数轴上的有理数． 4．点在数轴上所表示的数如图所示，将点向左平移2个单位长度，得到点的相反数，点是数轴上一动点． (1)点表示的数是_______； (2)若点在数轴上移动了个单位长度得到点，且，求的值； (3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若不发生变化，请你求出线段的长度；若发生变化，请你说明理由． 5．如图所示，已知正方形的边长为1，在数轴上的位置如图所示，点A表示的数为0，点D表示的数为． (1)将正方形从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点A表示的数是 ； (2)将正方形从如图所示位置沿数轴向右滚动，则数表示的点与点 重合； (3)将正方形从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第 次滚动后，点A离原点最远； ②当正方形结束滚动时，点D表示的数是什么？ 6．阅读：如图，已知数轴上有、、三个点，它们表示的数分别是，，．到的距离可以用表示，计算方法：，或．根据阅读完成下列问题：    (1)填空： ， ． (2)若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，试探索：到的距离与到的距离的差（即）的值是否随着时间的变化而改变？请说明理由． (3)现有动点、都从点出发，点以每秒个单位长度的速度向右移动，当点移动秒时，点才从点出发，并以每秒个单位长度的速度向右移动．设点移动的时间为秒（），直接写出、两点间的距离（用含的代数式表示）． 压轴题型二 化简绝对值 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示． (1)用“＞”“＜”或“＝”填空： ______0，______0，______0． (2)化简：． 8．请利用绝对值的性质，解决下面问题: (1)已知a，b是有理数，当时，则 ；当时，则 . (2)已知a，b，c是有理数，，，求的值. (3)已知a，b，c是有理数，当时，求的值. 9．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 10．解答下列问题 （1）若有理数、满足，且，求的值． （2）已知有理数、、的在数轴上的位置如图所示，请化简：．    11．如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d． （1）若c与d互为相反数，则a________； （2）若d2b8，那么点C对应的数是________； （3）若abcd0，ab0求的取值范围． 12．）(1) 有理数a，b，c在数轴上的位置如图， 化简：； (2) 两个非零有理数a，b满足=2a－3b，求的值． 压轴题型三 数轴与绝对值综合 13．已知有理数在数轴上对应的点分别为，且满足，． (1)分别求的值； (2)若点在数轴上对应的数为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为（提示：点在点的右侧时，．，请求出的值； (3)若点和点分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为秒，是否存在一个常数，使得的值在一定时间范围内不随运动时间的改变而改变？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 14．设有理数a，b在数轴上所对应的点为A，B，记为，，将称为点A，B的对称指标，记为，即．对于定点A，若动点B在线段MN上，将的最大值称为线段关于点A的对称指标，记为． (1)点，，，在数轴上， ①__________，__________． ②若，则__________． (2)点，，在数轴上，，， ①当时，__________． ②当线段在数轴上运动时，直接写出的最小值及此时m的值． 15．阅读材料： 如图，点A在数轴上表示数3，我们知道：表示3到原点的距离．因为原点O所表示的数为0，同时，因此规定：表示3到0的距离，点A与点O之间的距离记作． 根据以上信息，解答下列问题： (1)依据材料完成下表： 结果 4 表示 表示6到2的距离 (2)若，则_______（直接写出答案）； (3)点B在数轴上表示数，设点P在数轴上对应的数是x，当时，求x的值． 16．阅读下列材料，回答提出的问题． 我们知道：一个数a的绝对值可以表示成|a|，它是一个非负数，在数轴上，表示a这个数在数轴上所对应的点到原点的距离（距离，当然不可能是负数），这正是绝对值的几何意义，比如说表示2这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它是2，所以，表示这个数在数轴上所对应的点到原点的距离，它也是2，所以说，严格来说，在数轴上，一个数a在数轴上所对应的点到原点（原点对应的数为0）的距离应该表示为，但平时我们都写成，原因你明白． （1）若给定，要找这样的x，请按照上面材料中的说法，解释它的几何意义并找出对应的x； （2）实际上，对于数轴上任意两个数之间的距离我们也可以表示为，反过来，这个绝对值的几何意义就是：数轴上表示与这两个数的点之间的距离， ①你能结合上面的叙述，解释的几何意义吗？ ②请按你的理解说明：． 拓展应用 （1）设点Р在数轴上对应的数为x，若 ，则_____． （2）如图，点M，N，P是数轴上的三点，点M表示的数为4，点N表示的数为，动点P表示的数为x，若点Р在点M、N之间，则_____． 17．同学们知道，表示8与3的差的绝对值，也可理解为数轴上表示数8与3两点间的距离．试探索： (1)表示数轴上数8与数______两点间的距离； (2)表示数轴上数与数______两点间的距离； (3)表示数轴上数与数______的距离和数与数______的距离的和； (4)满足的所有整数的值是______． 18．探究与应用 【阅读材料】表示3与1的差的绝对值，也可理解为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看做，表示3与的差的绝对值，也可理解为3与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索分析】 （1）数轴上表示5和的两点之间的距离是________． （2）若，则在数轴上有理数x对应的点与对应的点之间的距离为________，________． 【操作应用】小明在纸上画了一条数轴进行操作探究． （3）折叠纸面，若1对应的点与对应的点重合，则4对应的点与________对应的点重合． （4）折叠纸面，若4对应的点和对应的点重合，则： ①8对应的点和________对应的点重合； ②若点A表示的数为a，点B表示的数为b，点A在点B左侧，两点间的距离为且A，B两点经折叠后重合，试求a，b的值． 压轴题型四 绝对值中的最值 19．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示6和2的两点之间的距离为＝　 　；表示和2两点之间的距离为＝　 　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于，如果表示数a和的两点之间的距离是3，那么a＝　 　． (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间(包括与3两点)，求 的值； (3)当　 　时，的值最小，最小值为　 　． (4)当x，y满足时，的最大值为 　 　． 20．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）探究： ①数轴上表示5和1的两点之间的距离是_____． ②数轴上表示和的两点之间的距离是______． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是_____． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．比如的几何意义是数轴上表示数的点与表示数1的点之间的距离．    （3）应用： ①如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么______． ②若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． ③当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 21．（1）探索材料1（填空）： 数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．例如数轴上表示数3和6的两点距离为；数轴上表示数3和的两点距离为______；代数式的意义可理解为数轴上表示数______和数______这两点的距离． （2）探索材料2：的意义可理解为数轴上表示数x的点到数2的点的距离为5，由于数轴上数和数7到数2的距离为5，故使成立的x的值为或7．求使成立的x的值． （3）探索材料3：代数式的意义可理解为数轴上表示数x的点到数的点的距离和数x的点到数2的点的距离之和，不妨记数轴上数2为点A，数x为点B，数为点C．若要求的最小值，即求的最小值．结合数轴可知，当点B在A点和C点之间时，最小，最小值为．综上，的最小值为5． ①求代数式的最小值； ②求代数式的最小值． 22．同学们都知道，表示5与2之差的绝对值，也可以利用数轴理解为数轴上5与2这两个数所对的两点之间的距离，如图（1）所示．试回答：    (1)______，这个算式利用数轴可理解为______； (2)求使成立的所有整数； (3)如图（2），在笔直的公路一侧有A，B，C，D四个村庄，且，现要在公路上开一家超市，使各村庄到超市的距离之和最小，则超市的位置应在哪两个村庄之间？ 23．（1）若数轴上M，N两点分别表示数m与数n，则M，N两点之间的距离是，例如：表示2和在数轴上对应的两点之间的距离．数轴上x和的两点之间的距离可表示为______． （2）如图，数轴上的点A表示的是，点B表示的是4，P是数轴上任意一点，且点P表示的是x，求的最小值．    （3）古城某条街上有3家新开的自习室A，B，C．小浩是大学生，小浩参与了大学生创业计划，在政府的支持下，小浩想在自习室附近开设一家复印店，为来自习室学习的学生提供方便，复印店记为点P．如图，小浩家在O处，自习室A在小浩家西边60米处，B在小浩家东边180米处，C在小浩家东边240米处．请问：小浩把复印店开设在什么地方，复印店到三个自习室和家的距离之和最小，即的值最小？最小值是多少？    24．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是3：而；表示和2两点之间的距离是5：而；表示和两点之间的距离是3，而，一般地，数轴上表示m和数n的两点之间的距离等于．如果表示数a和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么　 　 (2)若数轴上表示数a的点位于与3之间，求的值：    (3)当a取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．    压轴题型五 有理数中的规律探索问题 25．（23-24七年级上·江苏泰州·开学考试）用递等式计算，能简算的要简算． (1) (2) (3) (4) (5) (6)已知，，按这样的规律，请计算：． 26．（22-23七年级上·四川德阳·阶段练习）（1）计算下列各式并且填空： （    ）； （    ）； （    ）； （    ）； …… （2）细心观察上述运算和结果，你会发现什么规律？ （3）你能很快算出等于多少吗？ 27．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 28．（23-24七年级上·安徽铜陵·期中）问题情境：数学活动课上，王老师在黑板上写了一串等式： ，，，， 【独立思考】（1）在等式中寻找规律，并利用规律计算： 【实践探究】（2）数学活动小组同学对上述问题进行一般化研究之后，将分母中的两个因数的差改为2．并提出新的问题：，请你计算； 【问题拓展】（3）求的值． 29．（23-24七年级上·江西吉安·期中）观察下面算式的演算过程： …… (1)根据上面的规律，直接写出下面结果： ， ， ．（n为正整数） (2)根据规律计算：． 30．（23-24七年级上·湖南岳阳·期中）观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 压轴题型六 有理数的复杂四则运算 31．（23-24七年级上·河南郑州·开学考试）计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 32．（24-25七年级上·全国·假期作业）用灵活而合理的方法计算． (1) (2) (3) (4) 33．（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 34．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 35．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）计算： 36．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 因为：，，… 所以： 问题： 计算： ①； ②． 压轴题型七 有理数的应用压轴题 37．（23-24七年级上·福建福州·阶段练习）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一， 例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一， 例：二进制数10010转化为十进制数： ； 其他进制也有类似的算法… (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“10110”转化为十进制数是________； (2)【迁移】按照上面的格式将八进制数“4372”转化为十进制数； (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 38．（23-24七年级上·广东茂名·期中）科技改变世界．快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓库计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓库10月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 分拣情况 （单位：万件） (1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期______；最少的一天是星期______；最多的一天比最少的一天多分拣______万件包裹； (2)该仓库本周实际平均每天分拣多少万件包裹？ 39．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图①，点A、B在数轴上对应的数分别为a、b，且． (1)填空： ， ； (2)如图②所示，现将该数轴沿着点C折叠，使得点A、点B能重合．已知点D也为该数轴上的一点，沿着点C进行同样的折叠后，与数轴上的点E重合．若点E与点A之间相距10个单位长度，则点D所表示的数为 ； (3)在（2）的条件下，有一机器猫从点D沿数轴向左运动，同时一电子鼠从对应的点E沿数轴向右运动，当电子鼠遇到机器猫立刻返回到点E再向右运动，遇到机器猫再返回……设机器猫每秒运动4个单位长度，电子鼠每秒运动3个单位长度，当机器猫与电子鼠同时运动到点E处停止运动，求电子鼠运动的路程． 40．（23-24七年级上·河北唐山·阶段练习）在东西向的马路上有一个巡岗亭，巡岗员甲从岗亭出发以的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 4 3 已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭． (1)求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭的东边还是西边，相距多远； (2)直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米； (3)巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长； (4)巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时． 41．（2023七年级上·全国·专题练习）某市出租车收费标准如下表： 种类 里程（千米） 收费（元） 起步价 3千米以内（包括3千米） 10.00 单程 3千米以上，每增加1千米 3.00 往返 3千米以上，每增加1千米 2.20 (1)一次小华乘出租车从家去动物园，下车时付出租车费41.8元.小华家到动物园有多少千米？ (2)若小华从家去动物园拍一张照片，接着立即赶回，应该怎样乘坐出租车最划算？她至少要付出租车费多少元？ 42．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）小张上星期天买进某公司股票2000股，每股25元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元） 星期 一 二 三 四 五 六 每股涨跌 （注：正号表示每股价格比前一天上涨，负号表示每股价格比前一天下跌．） (1)星期二收盘时，每股是多少元？ (2)本周内最高价是每股多少元？最低价是每股多少元？ (3)请用折线统计图表示该股市这几天的股票涨跌情况． (4)已知小张买进股票时付了1%的手续费，卖出时需付成交额的1.5%的手续费和1%的交易税，如果小张在星期六将全部股票卖出，他的收益情况如何？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$