午练第四节圆的标准方程及一般方程——2025届高三数学一轮复习

江苏省泗阳实验高级中学2024-2025学年高三一轮复习精品午练专题训练篇 编号0065 圆的标准方程及一般方程专题训练 一单选题（共8小题，每题5分，满分为40分） 1.设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0<a<1，则原点与圆的位置关系是（ ）． A原点在圆外 B原点在圆内 C原点在圆上 D以上都不正确 2.在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A、B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为（ ）． A x＋4y－3＝0 B 4x＋y－3＝0 C x＋y－3＝0 D x＋y－4＝0 3.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为( )． A 3 B4 C 2 D 4.方程|x|－1＝所表示的曲线是________. A一条直线 B两个半圆 C 圆 D线段 5已知A(－，0)，B(，0)，C(0,3)，则△ABC外接圆的方程为(　　) A. (x－1)2＋y2＝2 B. (x－1)2＋y2＝4 C. x2＋(y－1)2＝2 D. x2＋(y－1)2＝4 6. 实数x、y满足x2＋(y＋3)2＝4，则(x－3)2＋(y－1)2的最大值为（ ）． A35 B49 C47 D24 7．若圆心在第一象限的圆过点，且与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为( ) A.1 B. C.2 D. 8.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________． A2 B2 C200 D10 二多选题（共3小题，每题6分，满分为18分） 9.已知x2＋y2－4x＋6y＝0表示圆，则下列结论正确的是(　　) A. 圆心坐标为C(－2, 3) B. 圆心坐标为C(2, －3) C. 半径r＝13 D. 半径r＝ 10．已知直线与圆，则( ) A.直线l与圆C相离 B.直线l与圆C相交 C.圆C上到直线l的距离为1的点共有2个 D.圆C上到直线l的距离为1的点共有3个 11在平面直角坐标系内，已知A(－1,0)，B(1,0)，C是平面内一动点，则下列条件中使得点C的轨迹为圆的是(　　) A. ||＝|| B. ||＝2|| C. ·＝0 D. ·＝2 三填空题（共3小题，每题5分，满分为15分） 12.若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为________． 13.已知圆内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A(5，1)，B(－3，－5)，则这个圆的标准方程为________． 14．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为.若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是__________. 四解答题（共2小题，每题15分，满分为30分） 15. 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y＝0的距离为，求该圆的方程． 16.已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q两点． (1) 求圆C的方程； (2) 过点(0，1)作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，求四边形PMQN面积的最大值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 圆的标准方程及一般方程专题训练答案 1答案：A 解析：将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，因为0<a<1，所以(0＋a)2＋(0＋1)2－2a＝(a－1)2>0，即>，所以原点在圆外． 2答案：C 解析：设圆心为C，由题知kAB·kCP＝－1，又kCP＝＝1，∴ kAB＝－1，∴ 直线AB的方程为y＝－(x－1)＋2，即x＋y－3＝0. 3答案：D 解析：由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1，1)到直线l的距离减去半径，即－＝. 4答案：B 解析：由题意，得 即 或 故原方程表示两个半圆． 5【解析】 设△ABC外接圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，则解得则△ABC外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝4. 6答案：B 解析：(x－3)2＋(y－1)2表示圆x2＋(y＋3)2＝4上动点(x，y)到点(3，1)距离d的平方，因为圆心(0，－3)到点(3，1)距离为5，所以d的最大值为5＋2＝7，所以d2的最大值为49. 7答案：D 解析：由题设可设圆心为，，则圆的半径为a.故圆的方程为，再把点代入得，解得，故圆的方程为，故所求圆的圆心为，故圆心到直线的距离.故选D. 8答案：D 解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r＝，由题意知AC⊥BD，且|AC|＝2，|BD|＝2＝2，所以四边形ABCD的面积为S＝|AC|·|BD|＝×2×2＝10. 9【解析】 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圆心坐标是C(2，－3)，半径r＝. 10答案：BD 解析：由圆，可知其圆心坐标为，半径为2， 圆心到直线的距离，所以可知选项B，D正确，选项A，C错误. 故选：BD 11【解析】 设点C的坐标为(x，y) 则＝(x＋1，y)，＝(x－1，y)．对于A，由||＝||，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2＋y2，即x＝0，故A错误；对于B，由||＝2||，得(x＋1)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，整理得3x2＋3y2－10x＋3＝0，即2＋y2＝，故B正确；对于C，由·＝0，得(x＋1)(x－1)＋y2＝0，即x2＋y2＝1，故C正确；对于D，由·＝2，得(x＋1)(x－1)＋y2＝2，即x2＋y2＝3，故D正确． 12答案：1 解析：因为圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1，2)，所以3×(－1)＋2＋a＝0，解得a＝1. 13答案： (x－1)2＋(y＋2)2＝25 解析：由已知得圆心为AB的中点，坐标为(1，－2)，半径为AB＝＝5，故所要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25. 14答案： 解析：圆C的标准方程为，圆心为，则题中条件可转化为圆C的圆心到直线的距离不大于2，则，整理得， 解得.故k的最大值是. 15解：设圆P的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|. 由题设知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，知圆P截x轴所得的弦长为r.故2|b|＝r，得r2＝2b2. 又圆P被y轴所截得的弦长为2，由勾股定理得r2＝a2＋1，得2b2－a2＝1. 由P(a，b)到直线x－2y＝0的距离为， 得d＝＝，即有a－2b＝±1， 综上得或 解得或于是r2＝2b2＝2. 所求圆的方程是(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，或(x－1)2＋(y－1)2＝2. 16解：(1) 设圆心C(a，a)，半径为r，因为圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，所以|AC|＝|BC|＝r， 即＝＝r，解得a＝0，r＝2.故所求圆C的方程为x2＋y2＝4. (2) 设圆心C到直线l、l1的距离分别为d、d1，四边形PMQN的面积为S. 因为直线l、l1都经过点(0，1)，且l1⊥l，根据勾股定理，有d＋d2＝1. 又|PQ|＝2×，|MN|＝2×， 所以S＝|PQ|·|MN|， 即S＝×2××2× ＝2 ＝2 ≤2 ＝2＝7， 当且仅当d1＝d时，等号成立． 所以四边形PMQN面积的最大值为7. 学科网（北京）股份有限公司 $$