专题2.1 不等式的性质（考点精讲）-【中职专用】2025年职教高考数学一轮复习讲练测（福建专用）

专题2.1 不等式的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：不等式的性质 2 考点二：基本不等式 6 【考纲要求】 1.了解不等式的基本性质，会用作差法比较实数大小。 2.理解区间的概念，会用区间表示连续的实数集和交并补运算。 【考向预测】 1.不等式的性质 2.基本不等式 【知识清单】 1．实数a，b的比较大小 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b＞0 a＞b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b＜0 a＜b 2.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． 3．等式的性质 (1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a； (2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc； (5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝. 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 5．基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数． (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 6．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【考点分类剖析】 考点一：不等式的性质 例1．若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD举反例即可判断；对于C，由不等式的性质直接判断即可. 【详解】对于A，若，则，但、（因为无意义）、不成立，故ABD错误； 由易得C项正确. 故选：C. 例2．如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】如果，， 对于A，，，故A错误； 对于B，，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，即，故D错误. 故选：C. 例3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A, 由于，,故A错误， 对于B，由于关系不确定，故不一定成立，故B错误， 对于C，由于，所以，C错误， 对于D，由于，则，故，D正确， 故选；D 例4．若，且，则下列各式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式性质推理判断即得. 【详解】由，得，而，则，C错误，D正确； 取，满足，且，而选项AB中不等式无意义，AB错误. 故选：D 例5．已知实数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过作差比较法可得排除A，通过举反例排除C,D两项即得. 【详解】对于A，B，由可得， 则由可得，即A错误，B正确； 对于C, D,不妨取，满足，但，故 C, D均错误. 故选：B． 例6．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对ACD举反例即可判断，对B根据不等式性质即可判断. 【详解】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误. 故选：B. 【变式探究】1．若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助不等式的性质可得A；举出反例可得B、C、D. 【详解】对A：由，，则，故A正确； 对B：取，，则有，故B错误； 对C：取，，则有，故C错误； 对D：取，，则有，故D错误. 故选：A. 2．已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可判断． 【详解】∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 3．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】AB选项，举出反例；CD选项，利用不等式的性质进行判断；C由，可得，即可判断出；D利用不等式的基本性质即可判断出. 【详解】A选项，若，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，不妨设，满足，但，B错误； C选项，，不等式两边同时减去一个数，不等号不变，所以，故C错误； D选项，∵，∴，平方得，D正确. 故选：D. 4．对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 5．是的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断. 【详解】当时，成立， 而当时，不一定成立， 如时，满足，而不成立， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 6．下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 【答案】C 【分析】对于AC，由一元二次方程的相关知识结合必要、充分条件的概念即可判断；对于B，由不等式的性质以及必要、充分条件的概念即可判断；对于D，直接由必要、充分条件的概念即可判断. 【详解】对于A，“”等价于“或”，所以“”是“”的必要非充分条件，故A不符合题意； 对于B，一方面：若“且”，则“”，另一方面：若，仍满足，但此时， 所以“且”是“”的充分非必要条件，故B不符合题意； 对于C，当时，“”是“方程有解”的既不充分也不必要条件，故C符合题意； 对于D，若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件，故D不符合题意. 故选：C. 考点二：基本不等式 例1．已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】取时成立，故充分性不成立； 当时，，当且仅当时，等号成立， 故必要性得证． 故选：B. 例2．设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解. 【详解】，等号成立当且仅当， 所以的最小值为4. 故选：B. 例3．设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 例4．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】由基本不等式即可求解. 【详解】由于，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为. 故选：B 例5．若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为都是正数，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值为. 故选：C. 例6．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的面积公式考虑设直角边为、，利用均值不等式解得最小值为. 【详解】设三角形的两条直角边长为、，可得， 三角形的周长为，当且仅当时取等号． 故选：C 【变式探究】1．已知a，，则“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由且，根据基本不等式的性质，得， 当，时，满足，不能够推出且， 故“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 2．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 3．已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 【答案】A 【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得. 【详解】因a，b为正实数，由可得， 即得，当且仅当时取等号， 即时，ab的最小值为4. 故选：A. 4．若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】，则，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求出，运用交集定义求出即可. 【详解】由得，解得， 当时，，当时等号成立， 所以，，则 故选：C. 6．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式可得，结合完全平方公式计算即可求解. 【详解】因为，即， 当且仅当时等号成立， 所以． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 不等式的性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：不等式的性质 2 考点二：基本不等式 4 【考纲要求】 1.了解不等式的基本性质，会用作差法比较实数大小。 2.理解区间的概念，会用区间表示连续的实数集和交并补运算。 【考向预测】 1.不等式的性质 2.基本不等式 【知识清单】 1．实数a，b的比较大小 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b＞0 a＞b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b＜0 a＜b 2.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab， 当且仅当a＝b时，等号成立． 3．等式的性质 (1) 性质1 如果a＝b，那么b＝a； (2) 性质2 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3) 性质3 如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4) 性质4 如果a＝b，那么ac＝bc； (5) 性质5 如果a＝b，c≠0，那么＝. 4．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b＜a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc. (5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d. (6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd. (7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)． 5．基本不等式 (1)有关概念：当a，b均为正数时，把叫做正数a，b的算术平均数，把叫做正数a，b的几何平均数． (2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 6．区间及有关概念 (1)一般区间的表示 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)特殊区间的表示 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【考点分类剖析】 考点一：不等式的性质 例1．若，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 例2．如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．若，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例4．若，且，则下列各式中，恒成立的是（    ） A． B． C． D． 例5．已知实数，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 例6．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若，，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 3．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．对于任意实数a，b，c，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．是的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 6．下列说法不正确的是（　　） A．“”是“”的必要非充分条件 B．“且”是“”的充分非必要条件 C．当时，“”是“方程有解”的充要条件 D．若是的充分非必要条件，则是的必要非充分条件 考点二：基本不等式 例1．已知a为实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2．设，且，则的最小值为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 例3．设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例4．已知，，，则的最小值为（    ）． A．4 B． C．6 D． 例5．若都是正数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例6．已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知a，，则“且”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 2．函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 3．已知a，b为正实数，，则（    ） A．ab的最小值为4 B．ab的最大值为4 C．ab的最小值为2 D．ab的最大值为2 4．若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 5．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知正数x，y满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$