3.4函数的应用同步分层作业-2024-2025学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

3.4 函数的应用 ※知识梳理 用数学的方法获得实际问题的数学描述，就得到了问题的数学模型.一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型都是常用的数学模型，也称函数模型. ※知识过关 1． 选择题（共6小题） 1．一辆30万元的轿车，每年按照20%的折旧率折旧，设x年后该汽车的价值为y万元，则y与x之间的关系式可以表示为（　　） A．y＝30×0.2x（x∈N*） B．y＝30×（1﹣0.2）x（x∈N*） C．y＝30×（1+0.2）x（x∈N*） D．y＝20×0.3x（x∈N*） 2．某城市的出租车收费标准为3公里以内（包含3公里）8元，若超过3公里，则超过部分按照2元/公里计费（不足1公里的按照1公里计费），某人乘坐出租车行驶5.3公里．则他需要支付的费用为（　　） A．14元 B．12元 C．10元 D．8元 3．某种产品每件定价80元，每天可售出30件，若每件定价120元，则每天可售出20件，已知售出件数y（件）是定价x（元）的一次函数，则这个函数解析式为（　　） A． B． C． D． 4．利用200m的篱笆围成一个矩形养鸡场，则围成养鸡场的最大面积是（　　） A．625m2 B．1600m2 C．800m2 D．2500m2 5．某公司销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为L＝﹣x2+200x﹣100（0＜x≤90），该公司销售此商品的最大利润为（　　） A．990万元 B．9900万元 C．980万元 D．9800万元 6．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为y＝﹣x2+12x+b（4≤x≤10）．若该商品的日利润最大值为26元，则b的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．6 D．﹣6 二．填空题（共3小题） 7．圆的半径是x（cm），面积是y（cm2），则圆的面积与半径之间的对应关系是 　 　，其定义域是 　 　． 8．某市出租车实行分段计价的收费标准，收费标准如下：不超过3km时，按起步价8元收费；超过3km后，超出部分按照2元/km收费，则车费y（元）与路程x（km）之间的函数关系式为 　 　． 9．某城市制定了用水收费标准：月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3按2元/m3计费，超过部分按3.6元/m3计费．则每月应交水费y元与用水量x（x≥0）m3之间的函数关系是 　 　． 三．解答题（共3小题） 10．如图所示，某农场拟建两间矩形的饲养室，饲养室的一面使用现有墙，中间用一道墙隔开．已知现有的建筑材料可建围墙的总长为50m．设两间饲养室的总长为x（m），总占地面积为y（m2）．求： （1）y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，饲养室总占地面积最大？最大面积为多少？ 11． 近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道．某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克．经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克．不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润． 12．某网店购进每件100元A款衬衫进行出售，已知A款衬衫的售价为每件130元，且每天售出40件．为了迎接“双11”，现降价促销，以增加盈利．经调查发现，如果每件降价1元，那么每天就可以多售出2件．设每件A款衬衫的售价下降x元，每天的销售利润为y元． （1）求x与y的函数关系式； （2）每件售价多少元时，A款衬衫每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.4 函数的应用-参考答案 ※知识梳理 用数学的方法获得实际问题的数学描述，就得到了问题的数学模型.一次函数模型、分段函数模型、二次函数模型都是常用的数学模型，也称函数模型. ※知识过关 1． 选择题（共6小题） 1．一辆30万元的轿车，每年按照20%的折旧率折旧，设x年后该汽车的价值为y万元，则y与x之间的关系式可以表示为（　　） A．y＝30×0.2x（x∈N*） B．y＝30×（1﹣0.2）x（x∈N*） C．y＝30×（1+0.2）x（x∈N*） D．y＝20×0.3x（x∈N*） 【分析】根据题意即可求解． 【解答】解：∵一辆30万元的轿车，每年按照20%的折旧率折旧，设x年后该汽车的价值为y万元， ∴y＝30×（1﹣0.2）x（x∈N*）． 故选：B． 2．某城市的出租车收费标准为3公里以内（包含3公里）8元，若超过3公里，则超过部分按照2元/公里计费（不足1公里的按照1公里计费），某人乘坐出租车行驶5.3公里．则他需要支付的费用为（　　） A．14元 B．12元 C．10元 D．8元 【分析】根据超过3公里，则超过部分按照2元/公里计费（不足1公里的按照1公里计费）即可求解． 【解答】解：∵某人乘坐出租车行驶5.3公里， ∴他需要支付的费用为8+2×（6﹣3）＝14元． 故选：A． 3．某种产品每件定价80元，每天可售出30件，若每件定价120元，则每天可售出20件，已知售出件数y（件）是定价x（元）的一次函数，则这个函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【分析】设解析式为y＝kx+b，则，解得k，b，即可得出答案． 【解答】解：设解析式为y＝kx+b，则， 解得k＝﹣，b＝50， 所以y＝﹣x+50（0＜x＜200）． 故选：C． 4．利用200m的篱笆围成一个矩形养鸡场，则围成养鸡场的最大面积是（　　） A．625m2 B．1600m2 C．800m2 D．2500m2 【分析】先设矩形的长是x米（0＜x＜100），面积是S平方米，再根据矩形的长是x米，矩形的宽是（100﹣x）米求得S＝x（100﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜100）即可． 【解答】解：设矩形的长是x米（0＜x＜100），面积是S平方米， ∵矩形的长是x米， ∴矩形的宽是（100﹣x）米， ∴S＝x（100﹣x）＝﹣x2+100x（0＜x＜100）， ∵函数的对称轴为x＝50，函数的二次项系数为负， ∴当x＝50时，Smax＝2500m2， ∴当矩形的长是50米时，矩形有最大面积，最大面积是2500m2． 故选：D． 5．某公司销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为L＝﹣x2+200x﹣100（0＜x≤90），该公司销售此商品的最大利润为（　　） A．990万元 B．9900万元 C．980万元 D．9800万元 【分析】根据销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为L＝﹣x2+200x﹣100（0＜x≤90）求解即可． 【解答】解：∵销售某商品的利润L（万元）是销售量x（件）的函数，且函数解析式为L＝﹣x2+200x﹣100（0＜x≤90），L＝﹣x2+200x﹣100（0＜x≤90）的二次项系数为负，对称轴为x＝100， ∴当x＝90时，该公司销售此商品获得最大利润，最大利润为9800万元， 故选：D． 6．某社区超市的某种商品的日利润y（单位：元）与该商品的当日售价x（单位：元）之间的关系为y＝﹣x2+12x+b（4≤x≤10）．若该商品的日利润最大值为26元，则b的值为（　　） A．10 B．﹣10 C．6 D．﹣6 【分析】根据二次函数y＝﹣x2+12x+b（4≤x≤10）的最大值即可求解． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+12x+b（4≤x≤10）的开口向下，对称轴为x＝6， ∴当x＝6时，ymax＝﹣36+72+b＝36+b＝26， ∴b＝﹣10． 故选：B． 二．填空题（共3小题） 7．圆的半径是x（cm），面积是y（cm2），则圆的面积与半径之间的对应关系是 　y＝πx2　，其定义域是 　{x|x＞0}　． 【分析】根据圆的面积公式即可求解． 【解答】解：∵圆的半径是x（cm），面积是y（cm2）， ∴圆的面积与半径之间的对应关系是y＝πx2，x＞0． 故答案为：y＝πx2；{x|x＞0}． 8．某市出租车实行分段计价的收费标准，收费标准如下：不超过3km时，按起步价8元收费；超过3km后，超出部分按照2元/km收费，则车费y（元）与路程x（km）之间的函数关系式为 　　． 【分析】根据题意分类讨论求解即可． 【解答】解：当0≤x≤3时，y＝8x； 当x＞3时，y＝24+2（x﹣3）＝2x+18； 则． 故答案为：． 9．某城市制定了用水收费标准：月用水量不超过20m3时，按2元/m3计费；月用水量超过20m3时，其中的20m3按2元/m3计费，超过部分按3.6元/m3计费．则每月应交水费y元与用水量x（x≥0）m3之间的函数关系是 　y＝　． 【分析】分0≤x≤20和x＞20讨论即可求解． 【解答】解：当0≤x≤20时，y＝2x； 当x＞20时，y＝20×2+3.6（x﹣20）＝3.6x﹣32； 综上所述，y＝． 故答案为：y＝． 三．解答题（共3小题） 10．如图所示，某农场拟建两间矩形的饲养室，饲养室的一面使用现有墙，中间用一道墙隔开．已知现有的建筑材料可建围墙的总长为50m．设两间饲养室的总长为x（m），总占地面积为y（m2）．求： （1）y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，饲养室总占地面积最大？最大面积为多少？ 【分析】（1）由已知总长度求出x，y的关系式即可，并注意取值范围． （2）利用所求的二次函数表达式求最大值即可． 【解答】解：（1）因为已知饲养室的长为x（m）， 则宽为（m）． 那么总面积y＝x•＝． 因为0＜x≤50， 所以自变量x的取值范围是0＜x≤50． （2）对于二次函数y＝﹣x2+x， 其对称轴为． 因为二次项系数小于0，图象开口向下， 所以当x＝25时， y有最大值， 最大值为：＝＝． 所以当x为25米时面积最大为平方米． 11．近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道．某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克．经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克．不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润． 【分析】根据题干所给条件分别设出提高和降低的售价分别列出各自的利润方程式求最大值再比较． 【解答】解：设有机大米的售价提高了x元， 则此时的售价为（36+x）元， 日销售量为（80﹣4x）千克． 利润y＝（36+x）（80﹣4x）﹣20（80﹣4x）， ＝（36+x﹣20）（80﹣4x） ＝（16+x）（80﹣4x） ＝1280﹣64x+80x﹣4x2， ＝﹣4x2+16x+1280， ＝﹣4（x2﹣4x）+1280， ＝﹣4（x2﹣4x+4﹣4）+1280， ＝﹣4[（x﹣2）2﹣4]+1280， ＝﹣4（x﹣2）2+16+1280， ＝﹣4（x﹣2）2+1296． 因为二次项系数﹣4＜0， 所以该函数图象开口向下，有最大值， 当x＝2时，利润最大，最大值为1296元， 此时售价为36+2＝38元． 设有机大米的售价降低了y元，则此时的售价为（36﹣y）元，日销售量为（80+8y）千克． 所以利润z＝（36﹣y）（80+8y）﹣20（80+8y） ＝（36﹣y﹣20）（80+8y） ＝（16﹣y）（80+8y） ＝1280+128y﹣80y﹣8y2， ＝﹣8y2+48y+1280， ＝﹣8（y2﹣6y）+1280， ＝﹣8（y2﹣6y+9﹣9）+1280， ＝﹣8[（y﹣3）2﹣9]+1280， ＝﹣8（y﹣3）2+72+1280， ＝﹣8（y﹣3）2+1352， 因为二次项系数﹣8＜0， 所以该函数图象开口向下，有最大值， 当y＝3时，利润最大，最大值为1352元， 此时售价为36﹣3＝33元． 比较1296和1352，可得1352＞1296． 所以当售价定为33元时获利最大为1352元． 12．某网店购进每件100元A款衬衫进行出售，已知A款衬衫的售价为每件130元，且每天售出40件．为了迎接“双11”，现降价促销，以增加盈利．经调查发现，如果每件降价1元，那么每天就可以多售出2件．设每件A款衬衫的售价下降x元，每天的销售利润为y元． （1）求x与y的函数关系式； （2）每件售价多少元时，A款衬衫每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【分析】（1）通过题干销量与售价关系求解． （2）通过第一问关系式求解二次函数最大值即可． 【解答】解：（1）原来每件利润为130﹣100＝30元，售价下降x元后，每件利润为30﹣x元， 原来每天售出40件，售价下降x元后，每天多售出2x件，每天售出40+2x件． 所以每天的销售利润y＝（30﹣x）（40+2x） ＝1200+60x﹣40x﹣2x2 ＝﹣2x2+20x+1200． 所以x与y的函数关系式为y＝﹣2x2+20x+1200． （2）y＝﹣2x2+20x+1200 ＝﹣2（x2﹣10x）+1200 ＝﹣2（x﹣5）2+1250． 因为﹣2＜0， 所以抛物线开口向下，当x＝5时，y有最大值1250． 此时售价为130﹣5＝125元． 答：每件售价125元时，A款衬衫每天可获得最大利润，最大利润是1250元． 学科网（北京）股份有限公司 $$