3.3.3几种常见的函数同步分层作业-2024-2025学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

3.3.3 几种常见的函数 ※知识梳理 1． 一次函数 (1)是一次函数，其图像是一条 . (2)一次函数的定义域是 ，值域是 . (3)一次函数的图像和性质如下表： 的符号 的符号 图像 经过的象限 图像形状 图像从左向右 图像从左向右 单调性 (4)k决定函数图象从左向右的变化趋势，也即函数的 ；b决定直线与y轴交点的位置，b＞0，直线交y轴上方，b＜0，直线交y轴下方． (5)当时，一次函数是正比例函数，它是 函数（填“奇”或“偶”） ，图像关于原点中心对称. 2． 反比例函数 (1)是反比例函数，其图像是双曲线. (2)反比例函数的定义域是 ，值域是 . (3)反比例函数的图像和性质如下表： 反比例函数 的符号 图像 经过的象限 图像形状 在每个象限，图像从左向右 在每个象限，从左向右 单调性 3． 二次函数 (1)是二次函数，其图像是 ，对称轴方程为 ，顶点坐标为 . (2)二次函数的图像和性质如下表： 二次函数 （a,b,c是常数a≠0） a＞0 a＜0 图像 开口方向 开口向上 开口向下 定义域 对称轴 顶点坐标 单调性 最值 值域 奇偶性 当时为偶函数 ※知识过关 一．选择题（共15小题） 1．设一次函数f（x）＝kx+b在R上是增函数，则有（　　） A．k＜0 B．k＝0 C．k＞0 D．无法判断 2．一次函数y＝kx+b的图像（如图示），则（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0 3．如图所示，若一次函数f（x）的图像经过点A（2，0），B（0，﹣4），则一次函数f（x）的解析式为（　　） A．f（x）＝2x B．f（x）＝﹣2x+4 C．f（x）＝2x﹣4 D．f（x）＝x+4 4．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．在（0，+∞）上是增函数 B．在（﹣∞，0）上是减函数 C．在R上是减函数 D．它的图像在第二、第四象限 5．反比例函数y＝﹣的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 6．若反比例函数f（x）＝（k≠0）在（﹣∞，0）上是减函数，则k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．R 7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 8．已知二次函数f（x）＝x2+2x﹣3，则f（2）＝（　　） A．5 B．﹣3 C．﹣5 D．3 9．二次函数y＝﹣3x2+5，单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，3） B．[﹣3，+∞） C．（﹣∞，0） D．[0，+∞） 10．一元二次函数y＝x2+4x的单调增区间为（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．R D．（﹣2，2） 11．把二次函数y＝﹣x2的图象沿着x轴向左平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到的图象解析式是（　　） A．y＝﹣x2+6x﹣7 B．y＝﹣x2+6x﹣11 C．y＝﹣x2﹣6x﹣7 D．y＝﹣x2﹣6x﹣11 12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．Δ＜0 13．一元二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图像如图所示，那么a，b，c的符号是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0 14．若二次函数的图象的顶点是（1，2），且经过原点，则f（x）的表达式是（　　） A．f（x）＝﹣2（x﹣1）2﹣2 B．f（x）＝﹣2（x﹣1）2+2 C．f（x）＝2（x+1）2+2 D．f（x）＝﹣2（x+1）2﹣2 15．设A（﹣1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是一元二次函数f（x）＝x2+c图像上的三个点，则y1，y2，y3三者的关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 二．填空题（共7小题） 16．已知一次函数的图像经过点A（﹣1，﹣3）、B（2，3），则函数f（x）的解析式为 　 　. 17．若一次函数f（x）＝（m﹣3）x﹣2在定义域内是减函数，则m的取值范围是 　 　. 18．若反比例函数f（x）＝﹣，则其定义域是 　 　． 19．已知反比例函数图像过点（3，1），则它的解析式是 　 　． 20．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为 　 　． 21．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1　 　y2（填“＞”或“＜”）． 22．（如图）根据二次函数y＝x2﹣6x+5的图像填空. （1）不等式x2﹣6x+5＞0的解集是 　 　； （2）当x∈　 　时，y≤0. 三．解答题（共4小题） 23．在一次函数f（x）＝kx+b中，若f（0）＝﹣4，f（2）＝2，求 （1）该函数解析式； （2）该函数与坐标轴围成的三角形的面积． 24．二次函数的图像的顶点为（3，5），且经过点（2，3）. （1）求二次函数解析式； （2）求函数的单调性和值域. 25．已知函数f（x）是二次函数，f（﹣1）＝0，f（﹣3）＝f（1）＝4． （1）求f（x）的解析式； （2）解不等式f（x﹣1）≥4． 26．已知二次函数f（x）＝3x2﹣2x﹣1，求： （1）f（2x+1）的解析式； （2）f（x）＞0时x的取值范围； （3）若f（x）的定义域为[0，3]，求函数的值域。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.3 几种常见的函数-参考答案 ※知识梳理 1． 一次函数 (1)是一次函数，其图像是一条直线. (2)一次函数的定义域是 R ，值域是 R . (3)一次函数的图像和性质如下表： 的符号 的符号 图像 经过的象限 一、二、三象限 一、三、四象限 一、二、四象限 二、三、四象限 图像形状 图像从左向右上升 图像从左向右 下降 单调性 在R上单调递增 在R上单调递减 (4)k决定函数图象从左向右的变化趋势，也即函数的单调性；b决定直线与y轴交点的位置，b＞0，直线交y轴上方，b＜0，直线交y轴下方． (5)当时，一次函数是正比例函数，它是奇函数（填“奇”或“偶”） ，图像关于原点中心对称. 2． 反比例函数 (1)是反比例函数，其图像是双曲线. (2)反比例函数的定义域是 ，值域是. (3)反比例函数的图像和性质如下表： 反比例函数 的符号 图像 经过的象限 图像形状 在每个象限，图像从左向右下降 在每个象限，图像从左向右上升 单调性 在 和上都是单调递减 在 和上都是单调递增 3． 二次函数 (1)是二次函数，其图像是抛物线，对称轴方程为直线，顶点坐标为. (2)二次函数的图像和性质如下表： 二次函数 （a,b,c是常数a≠0） a＞0 a＜0 图像 开口方向 开口向上 开口向下 定义域 R 对称轴 直线 顶点坐标 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 最值 值域 奇偶性 当时为偶函数 ※知识过关 一．选择题（共31小题） 1．设一次函数f（x）＝kx+b在R上是增函数，则有（　　） A．k＜0 B．k＝0 C．k＞0 D．无法判断 【分析】根据一次函数的单调性即可求解． 【解答】解：∵一次函数f（x）＝kx+b在R上是增函数， ∴k＞0． 故选：C． 2．一次函数y＝kx+b的图像（如图示），则（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0 【分析】根据函数图像求解即可。 【解答】解：当x＝0时，y＝b， ∵直线与y轴交于负半轴， ∴b＜0， ∵直线的单调递增， ∴k＞0， 故选：B。 3．如图所示，若一次函数f（x）的图像经过点A（2，0），B（0，﹣4），则一次函数f（x）的解析式为（　　） A．f（x）＝2x B．f（x）＝﹣2x+4 C．f（x）＝2x﹣4 D．f（x）＝x+4 【分析】先设一次函数解析式为f（x）＝kx+b，再根据函数f（x）的图像经过点A（2，0），B（0，﹣4）建立方程组求解即可。 【解答】解：由题意可知一次函数解析式存在， ∴设一次函数解析式为f（x）＝kx+b， ∵函数f（x）的图像经过点A（2，0），B（0，﹣4）， ∴0＝2k+b，﹣4＝b， ∴k＝2，b＝﹣4， ∴一次函数解析式为f（x）＝2x﹣4， 故选：C。 4．关于反比例函数，下列说法正确的是（　　） A．在（0，+∞）上是增函数 B．在（﹣∞，0）上是减函数 C．在R上是减函数 D．它的图像在第二、第四象限 【分析】由反比例函数的性质直接得出答案． 【解答】解：由反函数的性质可知，函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减， 且其图像在第一、三象限， 故选：B． 5．反比例函数y＝﹣的图象位于（　　） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 【分析】由反比例函数的性质即可得解． 【解答】解：由反比例函数的性质可知，反比例函数y＝﹣的图象位于第二、四象限． 故选：B． 6．若反比例函数f（x）＝（k≠0）在（﹣∞，0）上是减函数，则k的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．R 【分析】根据反比例的单调性即可求解． 【解答】解：∵反比例函数f（x）＝（k≠0）在（﹣∞，0）上是减函数， ∴k＞0， ∴k的取值范围是（0，+∞）． 故选：B． 7．二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的图象的开口方向和对称轴，确定a、b的符号，可得直线的斜率以及在y轴上的截距的符号，从而确定直线在坐标系中的位置． 【解答】解：由二次函数y＝ax2+bx的图象，可得a＜0，﹣＞0，∴b＞0． 故一次函数y＝ax+b代表的直线的斜率小于零，在y轴上的截距大于零， 故选：C． 8．已知二次函数f（x）＝x2+2x﹣3，则f（2）＝（　　） A．5 B．﹣3 C．﹣5 D．3 【分析】将x＝2代入f（x）＝x2+2x﹣3中即可。 【解答】解：∵f（x）＝x2+2x﹣3， ∴f（2）＝4+4﹣3＝5， 故选：A。 9．二次函数y＝﹣3x2+5，单调递增区间是（　　） A．（﹣∞，3） B．[﹣3，+∞） C．（﹣∞，0） D．[0，+∞） 【分析】根据二次函数的单调性即可求解． 【解答】解：二次函数y＝﹣3x2+5的单调递增区间是（﹣∞，0）． 故选：C． 10．一元二次函数y＝x2+4x的单调增区间为（　　） A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣2，+∞） C．R D．（﹣2，2） 【分析】由二次函数的性质得解． 【解答】解：y＝x2+4x的对称轴为x＝﹣2，开口向上， 则其单调递增区间为（﹣2，+∞）． 故选：B． 11．把二次函数y＝﹣x2的图象沿着x轴向左平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到的图象解析式是（　　） A．y＝﹣x2+6x﹣7 B．y＝﹣x2+6x﹣11 C．y＝﹣x2﹣6x﹣7 D．y＝﹣x2﹣6x﹣11 【分析】将二次函数y＝﹣x2的图象沿着x轴向左平移3个单位后，再向上平移2个单位即可求解． 【解答】解：把二次函数y＝﹣x2的图象沿着x轴向左平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到的图象解析式是y＝﹣（x+3）2+2＝﹣x2﹣6x﹣7． 故选：C． 12．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．a＜0 B．b＜0 C．c＜0 D．Δ＜0 【分析】结合函数图像以及二次函数的性质求解即可。 【解答】解：∵二次函数曲线的开口向上， ∴a＞0， ∴A选项错误， ∵二次函数曲线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴C选项错误， ∵二次函数曲线的对称轴在x轴的正半轴， ∴﹣0， ∵﹣0，a＞0， ∴b＜0， ∴B选项正确， ∵曲线与x轴又两个不相同的交点， ∴Δ＞0， ∴D选项错误， 故选：B。 13．一元二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图像如图所示，那么a，b，c的符号是（　　） A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＞0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0 【分析】根据二次函数的基本性质以及数形结合求解即可。 【解答】解：∵函数图像的开口向上， ∴a＞0， ∵函数图像交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∵﹣0，a＞0， ∴b＞0， 故选：A。 14．若二次函数的图象的顶点是（1，2），且经过原点，则f（x）的表达式是（　　） A．f（x）＝﹣2（x﹣1）2﹣2 B．f（x）＝﹣2（x﹣1）2+2 C．f（x）＝2（x+1）2+2 D．f（x）＝﹣2（x+1）2﹣2 【分析】先根据二次函数的顶点坐标设立顶点式，再根据函数原点建立方程即可求解。 【解答】解：∵二次函数的图象的顶点是（1，2）， ∴设函数的解析式为f（x）＝a（x﹣1）2+2， ∵二次函数的图象经过原点， ∴0＝a（﹣1）2+2， ∴a＝﹣2， ∴f（x）＝﹣2（x﹣1）2+2， 故选：B。 15．设A（﹣1，y1），B（0，y2），C（2，y3）是一元二次函数f（x）＝x2+c图像上的三个点，则y1，y2，y3三者的关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y3＞y1 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2 【分析】根据二次函数的性质可判断f（x）开口向上，对称轴为x＝0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，根据函数的单调性比较大小即可． 【解答】解：由二次函数的性质可判断f（x）开口向上，对称轴为x＝0，则f（﹣1）＝f（1）， ∵f（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴f（2）＞f（1）＞f（0），即y3＞y1＞y2． 故选：D． 二．填空题（共7小题） 16．已知一次函数的图像经过点A（﹣1，﹣3）、B（2，3），则函数f（x）的解析式为 　f（x）＝2x﹣1　. 【分析】先设一次函数的解析式，再根据一次函数的图像经过点A（﹣1，﹣3）、B（2，3）即可求解． 【解答】解：设一次函数的解析式为f（x）＝kx+b（k≠0）， ∵一次函数的图像经过点A（﹣1，﹣3）、B（2，3）， ∴， ∴， ∴f（x）＝2x﹣1． 故答案为：f（x）＝2x﹣1． 17．若一次函数f（x）＝（m﹣3）x﹣2在定义域内是减函数，则m的取值范围是 　（﹣∞，3）　. 【分析】根据题意可得m﹣3＜0，由此可得m的取值范围. 【解答】解：因为一次函数f（x）＝（m﹣3）x﹣2在定义域内是减函数， 所以m﹣3＜0，解得m＜3， 则实数m的取值范围为（﹣∞，3）. 故答案为：（﹣∞，3）. 18．若反比例函数f（x）＝﹣，则其定义域是 　（﹣∞，0）∪（0，+∞）　． 【分析】由反比例函数的定义域即可得解． 【解答】解：易知反比例函数f（x）＝﹣的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）． 故答案为：（﹣∞，0）∪（0，+∞）． 19．已知反比例函数图像过点（3，1），则它的解析式是 　f（x）＝　． 【分析】设函数解析式为f（x）＝，若图像经过（3，1），则1＝，解得k，即可得出答案． 【解答】解：根据题意设函数解析式为f（x）＝， 因为图像经过（3，1）， 所以1＝，解得k＝3， 所以f（x）＝． 故答案为：f（x）＝． 20．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，3），B（3，2），C（﹣6，m）分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点，则m的值为 　﹣1　． 【分析】根据题意建立关于m，k的方程，解出即可． 【解答】解：依题意，m＜0， 且反比例函数的图象经过点B，点C， 则，解得． 故答案为：﹣1． 21．若点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2）都在反比例函数y＝的图象上，则y1　＞　y2（填“＞”或“＜”）． 【分析】根据反比例函数y＝的单调性即可求解． 【解答】解：∵反比例函数y＝在（﹣∞，0）上单调递减，﹣3＜﹣1， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 22．（如图）根据二次函数y＝x2﹣6x+5的图像填空. （1）不等式x2﹣6x+5＞0的解集是 　（﹣∞，1）∪（5，+∞）　； （2）当x∈　[1，5]　时，y≤0. 【分析】根据函数图像直接得出答案. 【解答】解：（1）不等式x2﹣6x+5＞0的解集即为二次函数y＝x2﹣6x+5在x轴上方的图像对应的横坐标的范围， 由图像可知，其解集为（﹣∞，1）∪（5，+∞）； （2）由图像可知，当1≤x≤5时，y≤0. 故答案为：（1）（﹣∞，1）∪（5，+∞）；（2）[1，5]. 三．解答题（共4小题） 23．在一次函数f（x）＝kx+b中，若f（0）＝﹣4，f（2）＝2，求 （1）该函数解析式； （2）该函数与坐标轴围成的三角形的面积． 【分析】（1）根据题意可得，解得k，即可得出答案. （2）令x＝0得y＝﹣4，令y＝0得x＝，则函数与坐标轴围成的三角形的面积为×4×，即可得出答案. 【解答】解：（1）因为f（0）＝﹣4，f（2）＝2， 所以，解得k＝3， 所以一次函数的解析式为y＝3x﹣4. （2）令x＝0得y＝﹣4， 令y＝0得x＝， 所以函数与坐标轴围成的三角形的面积为×4×＝. 24．二次函数的图像的顶点为（3，5），且经过点（2，3）. （1）求二次函数解析式； （2）求函数的单调性和值域. 【分析】（1）根据二次函数的图像的顶点为（3，5）可设二次函数的顶点式，再根据二次函数经过点（2，3）即可求解； （2）根据二次函数的单调性以及值域即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数的图像的顶点为（3，5）， ∴可设二次函数为y＝a（x﹣3）2+5， ∵二次函数经过点（2，3）， ∴a（2﹣3）2+5＝3， ∴a＝﹣2， ∴二次函数为y＝﹣2（x﹣3）2+5＝﹣2x2+12x﹣13； （2）∵二次函数为y＝﹣2（x﹣3）2+5的对称轴x＝3，开口向下， ∵函数y＝﹣2（x﹣3）2+5在（﹣∞，3]上单调递增，[3，+∞）上单调递减，值域为（﹣∞，5]． 25．已知函数f（x）是二次函数，f（﹣1）＝0，f（﹣3）＝f（1）＝4． （1）求f（x）的解析式； （2）解不等式f（x﹣1）≥4． 【分析】（1）根据f（﹣3）＝f（1），求得对称轴，根据f（﹣1）＝0，可设f（x）＝a（x+1）2，结合f（1）＝4得解； （2）由（1），f（x﹣1）≥4，即x2≥4，解该不等式即可. 【解答】解：（1）由f（﹣3）＝f（1），知此二次函数图象的对称轴为x＝﹣1， 又因为f（﹣1）＝0， 所以（﹣1，0）是f（x）的顶点， 所以设f（x）＝a（x+1）2， 因为f（1）＝4，即a（1+1）2＝4，解得a＝1， 所以f（x）＝（x+1）2； （2）因为f（x）＝（x+1）2， 所以f（x﹣1）＝x2， 则f（x﹣1）≥4化为x2≥4，即x≤﹣2或x≥2， ∴不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）. 26．已知二次函数f（x）＝3x2﹣2x﹣1，求： （1）f（2x+1）的解析式； （2）f（x）＞0时x的取值范围； （3）若f（x）的定义域为[0，3]，求函数的值域。 【分析】（1）根据f（x）＝3x2﹣2x﹣1求解即可； （2）根据f（x）＞0，f（x）＝3x2﹣2x﹣1求解即可； （3）根据f（x）＝3x2﹣2x﹣1的对称轴为x＝，函数的二次项系数为正求得二次函数f（x）＝3x2﹣2x﹣1在区间[0，]上单调递减，在区间（，3]上单调递增即可。 【解答】解：（1）∵f（x）＝3x2﹣2x﹣1， ∴f（2x+1）＝3（4x2+4x+1）﹣2（2x+1）﹣1＝12x2+8x； （2）∵f（x）＞0，f（x）＝3x2﹣2x﹣1， ∴3x2﹣2x﹣1＞0， ∴（3x+1）（x﹣1）＞0， ∴x＞1或x＜﹣， ∴x的取值范围为{x|x＞1或x＜﹣}； （3）∵f（x）＝3x2﹣2x﹣1的对称轴为x＝，函数的二次项系数为正， ∴二次函数f（x）＝3x2﹣2x﹣1在区间[0，]上单调递减，在区间（，3]上单调递增， ∵f（0）＝﹣1，f（）＝﹣，f（3）＝20， ∴函数的值域为[﹣，20]. 学科网（北京）股份有限公司 $$