3.3.2函数的奇偶性同步分层作业-2024-2025学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

3.3.2 函数的奇偶性 ※知识梳理 1． 点关于轴对称的点的坐标是 ，其关于轴对称的点的坐标是 ，其关于原点对称的点的坐标是 . 2． 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为数集D，若对于任意x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于________对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为数集D，若对于任意x∈D，都有－x∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于________对称 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．存在某个函数，它既是奇函数，又是偶函数，它就是常函数. 3．如果函数的定义域不是关于原点对称的，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数. 4．如果一个奇函数在时有意义，那么. ※知识过关 一．选择题（共10小题） 1．若函数f（x）是偶函数，则下列说法中不正确的是（　　） A．对定义域内的任意x，﹣x也在函数的定义域内 B．函数f（x）的图像关于y轴对称 C．f（﹣x）＝f（x） D．f（x）＝﹣f（﹣x） 2．若函数f（x）是奇函数，则下列说法中不正确的是（　　） A．对定义域内的任意x，﹣x也在函数的定义域内． B．函数f（x）的图像关于原点对称． C．f（﹣x）＝f（x）． D．f（x）＝﹣f（﹣x）． 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．偶函数的图像一定关于y轴对称 B．奇函数的图像一定关于原点对称 C．函数图像关于原点对称，那么此函数就是奇函数 D．偶函数图像一定与y轴相交 4．下列函数为偶函数的是（　　） A．y＝3x﹣2 B．y＝2x2 C．y＝x2﹣2x+1 D． 5．下列函数中是奇函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x2+3x﹣1 C．y＝3x D．y＝x2 6．下列函数既是奇函数又是偶函数的是（　　） A．y＝x3 B．y＝|x| C． D．y＝0 7．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝ C．y＝2x2 D．y＝﹣x 8．已知函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+4x，则f（﹣3）等于（　　） A．3 B．﹣3 C．21 D．﹣21 9．函数f（x）关于y轴对称，且f（x）在[3，6]上是减函数，下列不正确的选项是（　　） A．f（﹣4）＝f（4） B．函数在[3，6]上的最大值为f（3） C．f（4）＞f（5） D．函数在[﹣6，﹣3]上单调递减 10．已知函数f（x）是偶函数，且该函数的图像经过点M（2，﹣5），则下列等式恒成立的是（　　） A．f（﹣5）＝2 B．f（﹣5）＝﹣2 C．f（﹣2）＝5 D．f（﹣2）＝﹣5 二．填空题（共6小题） 11．函数f（x）＝2x2+1是 　 　函数；函数f（x）＝x3﹣x是 　 　函数．（判断奇偶性） 12．若f（x）是奇函数，且f（﹣3）＝5，则f（3）＝　 　；若g（x）是偶函数，且g（a）＝5，则g（﹣a）＝　 　． 13．f（x）在R上是偶函数，在[2，5]上是增函数，则函数在[﹣5，﹣2]上是 　 　（填“增”或“减”）函数． 14．设f（x）是定义在R上的偶函数，已知当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x3，则f（﹣1）＝　 　． 15．已知函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）＝2x﹣x2，则f（5）＝　 　． 16．若函数f（x）为偶函数，且x∈[﹣5，1﹣a]，则a＝　 　． 三．解答题（共4小题） 17．讨论下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3． （2）f（x）＝x﹣1． 18． 判断函数的奇偶性并证明． 19．设函数． （Ⅰ）判断f（x）的奇偶性； （Ⅱ）证明f（x）为区间（﹣∞，﹣1）内的增函数． 20．设f（x）既是R上的增函数，也是R上的奇函数，且f（2）＝3． （1）求f（﹣2）的值； （2）若f（t2﹣t﹣2）＞﹣3，求实数t的取值范围． ※能力提升 21． 已知f（x）在定义域（﹣1，1）上是奇函数，且是增函数，求满足f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的实数m的取值范围． 22．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+4x． （1）求当x＜0时，函数f（x）的解析式； （2）若f（3m+2）+f（m2﹣6）＞0，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.2 函数的奇偶性-参考答案 ※知识梳理 1． 点关于轴对称的点的坐标是 ，其关于轴对称的点的坐标是 ，其关于原点对称的点的坐标是 . 2． 函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为数集D，若对于任意x∈D，都有－x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于_y轴 对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为数集D，若对于任意x∈D，都有－x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于_原点 对称 常用结论 1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性． 2．存在某个函数，它既是奇函数，又是偶函数，它就是常函数. 3．如果函数的定义域不是关于原点对称的，那么这个函数既不是奇函数也不是偶函数. 4．如果一个奇函数在时有意义，那么. ※知识过关 一．选择题（共10小题） 1．若函数f（x）是偶函数，则下列说法中不正确的是（　　） A．对定义域内的任意x，﹣x也在函数的定义域内 B．函数f（x）的图像关于y轴对称 C．f（﹣x）＝f（x） D．f（x）＝﹣f（﹣x） 【分析】根据函数f（x）是偶函数即可求解． 【解答】解：∵函数f（x）是偶函数， ∴对定义域内的任意x，﹣x也在函数的定义域内；函数f（x）的图像关于y轴对称；f（﹣x）＝f（x）， ∴A、B、C正确；D错误． 故选：D． 2．若函数f（x）是奇函数，则下列说法中不正确的是（　　） A．对定义域内的任意x，﹣x也在函数的定义域内． B．函数f（x）的图像关于原点对称． C．f（﹣x）＝f（x）． D．f（x）＝﹣f（﹣x）． 【分析】根据函数f（x）是奇函数即可求解． 【解答】解：∵函数f（x）是奇函数， ∴对定义域内的任意x，﹣x也在函数的定义域内；函数f（x）的图像关于原点对称；f（x）＝﹣f（﹣x）， ∴A、B、D正确；C错误． 故选：C． 3．下列说法中，不正确的是（　　） A．偶函数的图像一定关于y轴对称 B．奇函数的图像一定关于原点对称 C．函数图像关于原点对称，那么此函数就是奇函数 D．偶函数图像一定与y轴相交 【分析】由函数奇偶性，即可得出答案． 【解答】解：对于A：偶函数图像一定关于y轴对称，故A正确； 对于B：奇函数的图像一定关于原点对称，故B正确； 对于C：函数图像关于原点对称，那么此函数就是奇函数，故C正确； 对于D：偶函数图像不一定与y轴相交，如y＝x2，x∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），与y轴没有交点，故D错误． 故选：D． 4．下列函数为偶函数的是（　　） A．y＝3x﹣2 B．y＝2x2 C．y＝x2﹣2x+1 D． 【分析】由函数奇偶性的定义，即可得出答案． 【解答】解：对于A：函数y＝f（x）＝3x﹣2的定义域为R， 但是f（﹣x）≠f（x）， 所以f（x）不是偶函数，故A错误； 对于B：函数y＝f（x）＝2x2的定义域为R， 但是f（﹣x）＝2（﹣x）2＝2x2＝f（x）， 所以f（x）是偶函数，故B正确； 对于C：函数y＝f（x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2的定义域为R， 但是f（﹣x）＝（﹣x﹣1）2＝（x+1）2≠f（x）， 所以f（x）不是偶函数，故C错误； 对于D：函数y＝f（x）＝的定义域为{x|x≠0}， 但是f（﹣x）＝﹣≠f（x）， 所以f（x）不是偶函数，故D错误． 故选：B． 5．下列函数中是奇函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣2x2+3x﹣1 C．y＝3x D．y＝x2 【分析】根据函数的奇偶性即可求解． 【解答】解：∵y＝2x+1是非奇非偶函数；y＝﹣2x2+3x﹣1是非奇非偶函数；y＝3x是奇函数；y＝x2是偶函数， ∴只有C符合题意． 故选：C． 6．下列函数既是奇函数又是偶函数的是（　　） A．y＝x3 B．y＝|x| C． D．y＝0 【分析】逐项分析判断即可． 【解答】解：y＝x3是奇函数，不是偶函数，不合题意； y＝|x|是偶函数，不是奇函数，不合题意； 是非奇非偶函数，不合题意； y＝0既是奇函数又是偶函数，符合题意． 故选：D． 7．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A．y＝3x B．y＝ C．y＝2x2 D．y＝﹣x 【分析】根据函数奇偶性与单调性对选项逐一判断即可。 【解答】解：A选项，y＝3x为奇函数，且单调递增，故A正确； B选项，y＝是奇函数，在（﹣∞，0），（0，+∞）上递减，故B错误； C选项，y＝2x2偶函数，故C错误； D选项，y＝x是奇函数，且单调递减，故D错误， 故选：A。 8．已知函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+4x，则f（﹣3）等于（　　） A．3 B．﹣3 C．21 D．﹣21 【分析】利用奇函数的定义转化求解即可． 【解答】解：由于函数f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2+4x， 则f（﹣3）＝﹣f（3）＝﹣（32+4×3）＝﹣21． 故选：D． 9．函数f（x）关于y轴对称，且f（x）在[3，6]上是减函数，下列不正确的选项是（　　） A．f（﹣4）＝f（4） B．函数在[3，6]上的最大值为f（3） C．f（4）＞f（5） D．函数在[﹣6，﹣3]上单调递减 【分析】根据f（x）关于y轴对称，且f（x）在[3，6]上是减函数即可求解． 【解答】解：∵f（x）关于y轴对称，且f（x）在[3，6]上是减函数， ∴f（x）在[﹣6，﹣3]上单调递增，函数在[3，6]上的最大值为f（3），f（﹣4）＝f（4），f（4）＞f（5）， ∴A、B、C正确；D错误． 故选：D． 10．已知函数f（x）是偶函数，且该函数的图像经过点M（2，﹣5），则下列等式恒成立的是（　　） A．f（﹣5）＝2 B．f（﹣5）＝﹣2 C．f（﹣2）＝5 D．f（﹣2）＝﹣5 【分析】根据函数f（x）是偶函数即可求解． 【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，且该函数的图像经过点M（2，﹣5）， ∴f（﹣2）＝f（2）＝﹣5． 故选：D． 二．填空题（共6小题） 11．函数f（x）＝2x2+1是 　偶　函数；函数f（x）＝x3﹣x是 　奇　函数．（判断奇偶性） 【分析】判断每个函数的奇偶性即可得出答案． 【解答】解：f（x）＝2x2+1满足f（﹣x）＝f（x），为偶函数， f（x）＝x3﹣x，满足f（﹣x）＝﹣f（x），为奇函数． 故答案为：偶；奇． 12．若f（x）是奇函数，且f（﹣3）＝5，则f（3）＝　﹣5　；若g（x）是偶函数，且g（a）＝5，则g（﹣a）＝　5　． 【分析】由奇偶性的定义即可得出答案． 【解答】解：若f（x）是奇函数，且f（﹣3）＝5，则f（3）＝﹣f（﹣3）＝﹣5； 若g（x）是偶函数，且g（a）＝5，则g（﹣a）＝g（a）＝5． 故答案为：﹣5；5． 13．f（x）在R上是偶函数，在[2，5]上是增函数，则函数在[﹣5，﹣2]上是 　减　（填“增”或“减”）函数． 【分析】由函数的单调性和奇偶性，即可得出答案． 【解答】解：因为f（x）在R上是偶函数， 所以f（x）图象关于y轴对称， 因为函数f（x）在[2，5]上是增函数， 所以函数f（x）在[﹣5，﹣2]上是减函数． 故答案为：减． 14．设f（x）是定义在R上的偶函数，已知当x≥0时，f（x）＝x2﹣4x3，则f（﹣1）＝　﹣3　． 【分析】先求出f（1）的值，进而可得f（﹣1）的值． 【解答】解：依题意，f（1）＝1﹣4＝﹣3， 又f（x）为偶函数， 则f（﹣1）＝f（1）＝﹣3， 故答案为：﹣3． 15．已知函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）＝2x﹣x2，则f（5）＝　35　． 【分析】利用奇函数的性质可知f（5）＝﹣f（﹣5），由此得解． 【解答】解：由于函数f（x）是奇函数，且x＜0时，f（x）＝2x﹣x2， 则f（5）＝﹣f（﹣5）＝﹣（﹣10﹣25）＝35． 故答案为：35． 16．若函数f（x）为偶函数，且x∈[﹣5，1﹣a]，则a＝　﹣4　． 【分析】根据偶函数的性质即可求解结论． 【解答】解：因为函数f（x）为偶函数，且x∈[﹣5，1﹣a]， 所以：﹣5+1﹣a＝0，解得a＝﹣4． 故答案为：﹣4． 三．解答题（共4小题） 17．讨论下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3． （2）f（x）＝x﹣1． 【分析】由函数的奇偶性的定义，即可得出答案． 【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R， f（﹣x）＝（﹣x）3＝﹣x3＝﹣f（x）， 所以f（x）为奇函数． （2）函数f（x）的定义域为R， f（﹣x）＝﹣x﹣1， 所以f（﹣x）≠f（x），f（﹣x）≠﹣f（x）， 所以f（x）不是奇函数也不是偶函数． 18．判断函数的奇偶性并证明． 【分析】利用函数奇偶性的定义判断并证明即可． 【解答】解：函数为奇函数，证明如下： 函数f（x）的定义域为R， 且， 则函数f（x）为奇函数． 19．设函数． （Ⅰ）判断f（x）的奇偶性； （Ⅱ）证明f（x）为区间（﹣∞，﹣1）内的增函数． 【分析】（Ⅰ）由函数奇偶性的定义判断即可； （Ⅱ）由函数单调性的定义证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）为奇函数，理由如下： 函数f（x）的定义域为{x|x≠0}， ， 则函数f（x）为奇函数； （Ⅱ）证明：任取x1＜x2＜﹣1， 则， 又x1＜x2＜﹣1， 则， 则f（x1）＜f（x2）， 故f（x）为区间（﹣∞，﹣1）内的增函数． 20．设f（x）既是R上的增函数，也是R上的奇函数，且f（2）＝3． （1）求f（﹣2）的值； （2）若f（t2﹣t﹣2）＞﹣3，求实数t的取值范围． 【分析】（1）由f（x）是R上的奇函数，得f（﹣2）＝﹣f（2），即可得出答案． （2）由（1）知不等式f（t2﹣t﹣2）＞﹣3，为f（t2﹣t﹣2）＞f（﹣2），再由f（x）的单调性，可得t2﹣t﹣2＞﹣2，即t2﹣t＞0，即可得出答案． 【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，f（2）＝3， 所以f（﹣2）＝﹣f（2）＝﹣3． （2）由（1）知f（﹣2）＝﹣3， 不等式f（t2﹣t﹣2）＞﹣3，为f（t2﹣t﹣2）＞f（﹣2）， 因为f（x）是R上的增函数， 所以t2﹣t﹣2＞﹣2，即t2﹣t＞0， 所以t＜0或t＞1， 所以实数t的取值范围为（﹣∞，0）∪（1，+∞）． ※能力提升 21．已知f（x）在定义域（﹣1，1）上是奇函数，且是增函数，求满足f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0的实数m的取值范围． 【分析】所求不等式可转化为f（1﹣m）＜f（m2﹣1），再结合单调性以及定义域建立关于m的不等式组，解出即可． 【解答】解：由于f（x）在定义域（﹣1，1）上是奇函数，且是增函数， 则f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，即f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m2），即f（1﹣m）＜f（m2﹣1）， 则，解得， 故实数m的取值范围为． 22．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+4x． （1）求当x＜0时，函数f（x）的解析式； （2）若f（3m+2）+f（m2﹣6）＞0，求实数m的取值范围． 【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，求得f（﹣x）的解析式，结合函数f（x）为奇函数，即可得到答案； （2）分析可知，函数f（x）在R上单调递增，则原不等式可转化为m2+3m﹣4＞0，解出即可. 【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0， ∴f（﹣x）＝（﹣x）2+4×（﹣x）＝x2﹣4x， 又f（x）为奇函数， ∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣x2+4x（x＜0）， ∴x＜0时，函数f（x）＝﹣x2+4x； （2）当x＞0时，f（x）＝x2+4x＝（x+2）2﹣4单调递增， 由奇函数的性质可知，函数f（x）在R上单调递增， ∴f（3m+2）+f（m2﹣6）＞0等价于f（3m+2）＞﹣f（m2﹣6）＝f（6﹣m2），即3m+2＞6﹣m2， ∴m2+3m﹣4＞0，解得m＜﹣4或m＞1， ∴不等式的解集为（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）. 学科网（北京）股份有限公司 $$