3.3.1函数的单调性同步分层作业-2024-2025学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

3.3.1 函数的单调性 ※知识梳理 1． 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于任意x1，x2∈I 当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，区间I称为函数f(x)的 . 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有 ，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，区间I称为函数f(x)的 . 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是 的 自左向右看图象是 的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的 ． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)任意x∈D，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (1任意x∈D，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最 值 M是函数y＝f(x)的最 值 常用结论 1．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 2．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． ※知识过关 一．选择题（共10小题） 1．在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2 C． D．y＝2x 2．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　） A．y＝x B．y＝1 C．y＝ D．y＝|x| 3．下列各函数中，在（﹣∞，0）内为增函数的是（　　） A．y＝1﹣2x B．y＝x2 C． D．y＝2+5x 4．已知函数f（x）是R上的增函数，则下列式子成立的是（　　） A．f（3）＞f（π） B．f（3）＜f（π） C．f（3）＝f（π） D．不能确定 5．已知函数y＝f（x）在R上是减函数，则下列关系正确的是（　　） A．f（﹣2）＞f（3） B．f（2）＜f（3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（1）＞f（0） 6．下列选项为函数f（x）＝x2﹣4x+5的单调递增区间的是（　　） A．R B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞） 7．若函数f（x）＝（m﹣2）x+4在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（2，+∞） 8．已知函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，且f（1﹣a）＜f（a﹣3），则a的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（2，3） C．（1，2） D．（1，3） 9．已知f（x）是定义在R上的减函数，若f（2x﹣3）＞f（1），则x的取值范围为（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 10．函数y＝f（x）在R上单调递增，且f（m2）＞f（﹣m），则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） 二．填空题（共6小题） 11．函数y＝4x+3的单调递增区间是　 　． 12．根据图像写出该函数的减区间 　 　和增区间 　 　． 13．函数f（x）＝x2﹣2x+3的单调增区间是 　 　． 14．函数f（x）＝2x﹣1在区间（﹣∞，+∞）上是 　 　（填“增”或“减”） 函数，则f（4）　 　f（1）；（填“＜”或“＞”函数在区间（﹣∞，0）上是 　 　（填“增”或“减”） 函数，则g（﹣2）　 　g（﹣5）（填“＜”或“＞”）． 15．若函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）是单调递减函数，那么f（﹣5）　 　f（0.8）（填“＞”，“＜”或“＝”）． 16．函数f（x）是（2，+∞）上的减函数，且f（a﹣1）＞f（2a），则a的取值范围是 　 　． 三．判断题（共3小题） 17．利用作差比较法可以判断或证明函数的单调性． 　 　（判断对错） 18．的减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）． 　 　（判断对错） 19．设x1、x2在定义域内，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则该函数为减函数． 　 　（判断对错） 四．解答题（共5小题） 20．用函数单调性的定义，证明函数f（x）＝2x+1在（﹣∞，+∞）上是增函数． 21． 证明：函数在（﹣∞，0）上是减函数． 22． 用函数单调性定义证明函数f（x）＝x+在区间（0，1）上是减函数． 23． 已知函数f（x）是R上的减函数，试比较f（5）与f（﹣x2+4x）的大小． 24．已知函数． （1）用定义法证明函数在区间（﹣1，+∞）上是减函数； （2）求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值． ※能力提升 25．已知函数． （Ⅰ）判断并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性； （Ⅱ）若x∈[l，m]时函数f（x）的最大值与最小值的差为，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3.1 函数的单调性-参考答案 ※知识梳理 1． 函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定 义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于任意x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，区间I称为函数f(x)的增区间. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，区间I称为函数f(x)的减区间. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)任意x∈D，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M (1任意x∈D，都有f(x)≥M； (2)存在x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M是函数y＝f(x)的最 大 值 M是函数y＝f(x)的最 小 值 常用结论 1．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 2．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． ※知识过关 一．选择题（共10小题） 1．在区间（0，+∞）上为增函数的是（　　） A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝﹣2 C． D．y＝2x 【分析】根据函数的单调性即可求解． 【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+2在（﹣∞，1]上单调递减，[1，+∞）上单调递增；y＝﹣2没有单调性；在（﹣∞，0），（0，+∞）上单调递减；y＝2x在R上单调递增， ∴只有D符合题意． 故选：D． 2．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（　　） A．y＝x B．y＝1 C．y＝ D．y＝|x| 【分析】逐项分析每个函数的单调性，即可得出答案. 【解答】解：对于A：函数y＝x在（﹣∞，0）内为增函数，故A正确； 对于B：函数y＝1为常函数，没有单调性，故B错误； 对于C：函数y＝在（﹣∞，0）内为减函数，故C错误； 对于D：函数y＝|x|在（﹣∞，0）内为减函数，故D错误， 故选：A。 3．下列各函数中，在（﹣∞，0）内为增函数的是（　　） A．y＝1﹣2x B．y＝x2 C． D．y＝2+5x 【分析】根据函数的单调性即可求解． 【解答】解：∵y＝1﹣2x在R上单调递减；y＝x2在（﹣∞，0）上单调递减；y＝在（﹣∞，0）上单调递减；y＝2+5x在R上单调递增， ∴只有D符合题意． 故选：D． 4．已知函数f（x）是R上的增函数，则下列式子成立的是（　　） A．f（3）＞f（π） B．f（3）＜f（π） C．f（3）＝f（π） D．不能确定 【分析】根据函数f（x）是R上的增函数计算秋季即可． 【解答】解：∵函数f（x）是R上的增函数，π＞3， ∴f（3）＜f（π）， 故选：B． 5．已知函数y＝f（x）在R上是减函数，则下列关系正确的是（　　） A．f（﹣2）＞f（3） B．f（2）＜f（3） C．f（﹣2）＞f（﹣3） D．f（1）＞f（0） 【分析】根据函数y＝f（x）在R上是减函数即可求解． 【解答】解：∵函数y＝f（x）在R上是减函数， ∴f（﹣2）＞f（3），f（2）＞f（3），f（﹣2）＜f（﹣3），f（1）＜f（0）， ∴A正确；B、C、D错误． 故选：A． 6．下列选项为函数f（x）＝x2﹣4x+5的单调递增区间的是（　　） A．R B．（﹣∞，4] C．（﹣∞，2] D．[2，+∞） 【分析】由二次函数的性质直接得出答案． 【解答】解；由二次函数的性质可知，函数f（x）的开口向上，对称轴为x＝2， 则函数f（x）在[2，+∞）上单调递增， 故选：D． 7．若函数f（x）＝（m﹣2）x+4在（﹣∞，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，2） C．（0，+∞） D．（2，+∞） 【分析】根据函数的性质直接求解即可． 【解答】解：因为函数f（x）＝（m﹣2）x+4在（﹣∞，+∞）上是减函数， 所以m﹣2＜0，解得m＜2． 故选：B． 8．已知函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，且f（1﹣a）＜f（a﹣3），则a的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（2，3） C．（1，2） D．（1，3） 【分析】利用函数的单调性去掉“f”，求解不等式即可． 【解答】解：因为函数y＝f（x）是定义在R上的增函数，且f（1﹣a）＜f（a﹣3）， 则1﹣a＜a﹣3，解得a＞2， 所以实数a的取值范围为（2，+∞）． 故选：A． 9．已知f（x）是定义在R上的减函数，若f（2x﹣3）＞f（1），则x的取值范围为（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C．（﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1） 【分析】根据f（x）是定义在R上的减函数即可求解． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的减函数，且f（2x﹣3）＞f（1）， ∴2x﹣3＜1， ∴x＜2， ∴x的取值范围为（﹣∞，2）． 故选：B． 10．函数y＝f（x）在R上单调递增，且f（m2）＞f（﹣m），则m的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（0，+∞） C．（﹣1，0） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞） 【分析】由函数y＝f（x）在R上单调递增，且f（m2）＞f（﹣m），得m2＞﹣m，即可解得答案. 【解答】解：因为函数y＝f（x）在R上单调递增，且f（m2）＞f（﹣m）， 所以m2＞﹣m， 所以m2+m＞0， 所以m＜﹣1或m＞0， 故选：D。 二．填空题（共6小题） 11．函数y＝4x+3的单调递增区间是　（﹣∞，+∞）　． 【分析】直接利用一次函数的单调性，写出结果即可． 【解答】解：函数y＝4x+3是一次函数，所以函数的单调递增区间是（﹣∞，+∞）． 故答案为：（﹣∞，+∞）． 12．根据图像写出该函数的减区间 　（﹣∞，0）　和增区间 　[0，+∞）　． 【分析】根据题干信息和函数的基本性质计算求解即可． 【解答】解：根据图像可知该函数的减区间为（﹣∞，0），增区间为[0，+∞）， 故答案为：（﹣∞，0），[0，+∞）． 13．函数f（x）＝x2﹣2x+3的单调增区间是 　[1，+∞）　． 【分析】根据二次函数的图象的开口方向以及对称轴求解即可． 【解答】解：∵函数f（x）＝x2﹣2x+3的开口向上，对称轴方程为x＝1， ∴函数f（x）＝x2﹣2x+3的单调增区间是[1，+∞）． 故答案为：[1，+∞）． 14．函数f（x）＝2x﹣1在区间（﹣∞，+∞）上是 　增　（填“增”或“减”） 函数，则f（4）　＞　f（1）；（填“＜”或“＞”函数在区间（﹣∞，0）上是 　减　（填“增”或“减”） 函数，则g（﹣2）　＜　g（﹣5）（填“＜”或“＞”）． 【分析】根据题干信息和函数的单调性求解即可． 【解答】解：∵k＝2＞0， ∴f（x）＝2x﹣1在（﹣∞，+∞）上是增函数， ∵4＞1，f（x）＝2x﹣1在（﹣∞，+∞）上是增函数， ∴f（4）＞f（1）； ∵反比例函数在（﹣∞，0）上是减函数，0＞﹣2＞﹣5， ∴g（﹣2）＜g（﹣5）． 故答案为：增，＞，减，＜． 15．若函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）是单调递减函数，那么f（﹣5）　＞　f（0.8）（填“＞”，“＜”或“＝”）． 【分析】由函数的单调性直接得出答案． 【解答】解：由于函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）是单调递减函数， 则f（﹣5）＞f（0.8）， 故答案为：＞． 16．函数f（x）是（2，+∞）上的减函数，且f（a﹣1）＞f（2a），则a的取值范围是 　（3，+∞）　． 【分析】根据题干信息和函数的基本性质求解即可． 【解答】解：∵f（x）是（2，+∞）上的减函数，且f（a﹣1）＞f（2a）， ∴2＜a﹣1＜2a， ∴a＞3， 故答案为：（3，+∞）． 三．判断题（共3小题） 17．利用作差比较法可以判断或证明函数的单调性． 　√　（判断对错） 【分析】根据函数的单调性即可求解． 【解答】解：利用作差比较法可以判断或证明函数的单调性． 故答案为：√． 18．的减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）． 　×　（判断对错） 【分析】根据反比例函数的单调性即可求解． 【解答】解：的减区间是（﹣∞，0），（0，+∞）． 故答案为：×． 19．设x1、x2在定义域内，且x1＜x2，若f（x1）＞f（x2），则该函数为减函数． 　×　（判断对错） 【分析】根据单调性的定义即可求解． 【解答】解：对定义域内任意两个变量x1、x2，若x1＜x2，则f（x1）＞f（x2），才说函数单调递减． 而题中的x1、x2不具有任意性． 故答案为：×． 四．解答题（共5小题） 20．用函数单调性的定义，证明函数f（x）＝2x+1在（﹣∞，+∞）上是增函数． 【分析】根据函数的单调性即可求证． 【解答】证明：任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）＝（2x1+1）﹣（2x2+1）＝2x1+1﹣2x2﹣1＝2x1﹣2x2＝2（x1﹣x2）， ∵x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0， ∴f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）＝2x+1在（﹣∞，+∞）上是增函数． 21．证明：函数在（﹣∞，0）上是减函数． 【分析】根据函数的单调性即可求证． 【解答】证明：设0＞a＞b，则a﹣b＞0，ab＞0， ∵f（a）﹣f（b）＝﹣＝＜0， ∴f（a）＜f（b）， ∴函数在（﹣∞，0）上是减函数． 22．用函数单调性定义证明函数f（x）＝x+在区间（0，1）上是减函数． 【分析】根据函数单调性的定义即可求证． 【解答】证明：设0＜a＜b＜1，则a﹣b＜0，1﹣＜0， ∵f（a）﹣f（b）＝a+﹣（b+）＝（a﹣b）﹣＝（a﹣b）（1﹣）＞0， ∴f（a）＞f（b）， ∴函数f（x）＝x+在区间（0，1）上是减函数． 23．已知函数f（x）是R上的减函数，试比较f（5）与f（﹣x2+4x）的大小． 【分析】根据函数f（x）是R上的减函数即可求解． 【解答】解：∵函数f（x）是R上的减函数，且﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4＜5， ∴f（5）＜f（﹣x2+4x）． 24．已知函数． （1）用定义法证明函数在区间（﹣1，+∞）上是减函数； （2）求该函数在区间[2，4]上的最大值与最小值． 【分析】（1）由函数的单调性定义，即可得出答案． （2）结合函数的单调性，即可得出答案． 【解答】解：（1）证明：设任意x1，x2∈（﹣1，+∞），x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝， 因为x1，x2∈（﹣1，+∞）， 所以x1+1＞0，x2+1＞0， 因为x1＜x2， 所以x2﹣x1＞0， 所以f（x1）﹣f（x2）＞0， 所以f（x1）＞f（x2）， 所以f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减． （2）由（1）知f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减， 所以f（x）max＝f（2）＝＝，f（x）min＝f（4）＝＝． ※能力提升 25．已知函数． （Ⅰ）判断并证明函数f（x）在[0，+∞）的单调性； （Ⅱ）若x∈[l，m]时函数f（x）的最大值与最小值的差为，求m的值． 【分析】（Ⅰ）利用函数单调性的定义，即可得出答案． （Ⅱ）计算f（x）min，f（x）max，即﹣＝，解得m，即可得出答案． 【解答】解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上单调递增． 设任意0≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝2﹣﹣（2﹣）＝， 因为0≤x1＜x2， 所以x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0， 所以f（x1）﹣f（x2）＜0， 所以f（x1）＜f（x2）， 所以f（x）在[0，+∞）上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知f（x）在[1，m]上为增函数， 所以f（x）min＝f（1）＝，f（x）max＝f（m）＝， 所以﹣＝， 所以m＝2，此时m＞1符合， 所以m＝2． 学科网（北京）股份有限公司 $$