第5章 函数概念与性质 单元练习卷-2024-2025学年高一上学期数学苏教版（2019）必修第一册

第5章函数概念与性质同步练习卷-高一数学上学期苏教版（2019）必修第一册 一、单选题 1．函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 2．定义在上的函数满足对任意实数都有，若时，，则（    ） A．先单调通减后单调递增 B．在上单调递增 C．在上单调通减 D．单调性不确定 3．已知函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．下图中可表示函数的图象是（    ） A． B． C． D． 6．若函数是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 7．已知时，，若，且，满足：，对任意的，均有成立，则实数的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（    ） A．4 B．8 C．6 D．12 二、多选题 9．记无理数小数点后第位上的数字是，则是的函数，记作，定义域为，值域为，则下列说法正确的是（    ） A． B．也是的函数 C． D．不是周期函数 10．已知定义在上的函数满足为偶函数，的图象关于原点对称，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B． C．当时， D． 11．已知定义在上的函数满足，且在区间上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．图象的对称中心为 C．在区间上单调递减 D．满足的x的取值范围是 三、填空题 12．函数的值域为 ． 13．已知是方程的两个实数根，则的最大值为 . 14．已知函数是定义域为的奇函数，且.若对任意的、且，都有成立，则不等式的解集是 . 四、解答题 15．已知函数 (1)求； (2)若，求a的取值范围. 16．已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)写出的单调递减区间（无需证明）. 17．已知函数． (1)证明：的奇偶性； (2)证明：在区间上的单调性，并求在区间上的值域． 18．已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 19．已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据题意，由函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合可得答案. 【详解】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 2．B 【分析】利用函数单调性的定义即可判断. 【详解】任取，令， 则 ， 因为， 所以， 所以， 所以在上单调递增. 故选：B. 3．D 【分析】根据函数的解析式，结合问题，自变量取合适的值，可得答案. 【详解】取，有. 故选：D. 4．C 【分析】由解析式中根号下为非负数，分母不为零，解不等式即可求得结果. 【详解】根据函数解析式可得，解得； 所以该函数的定义域为. 故选：C 5．B 【分析】根据函数的定义即可得解. 【详解】根据函数的定义可知一个只能对应一个值，故答案为B. 故选：B. 6．A 【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称，得到，解得， 所以，满足要求， 得到. 故选：A. 7．A 【分析】解方程得到，然后将恒成立转化为，最后求最值即可. 【详解】由得， 即， 即， 因为，，所以，即， 可转化为， 因为，所以， 所以，故实数的最大值为. 故选：A. 8．B 【分析】利用赋值法可得以及，即可构造函数，判断奇偶性，即可根据奇偶性的性质可得为奇函数以及最值. 【详解】，．有， 取，则，故， 取，则，故， 令，则,故为奇函数， ，设， ，故为奇函数，故为奇函数， 故， 则， 故 故函数在上的最大值和最小值的和是8， 故选：B． 9．AD 【分析】根据给定信息求出函数的定义域，值域为，再逐项判断即可. 【详解】由题可得，，则不是的子集，所以C不正确， 无理数小数点后第4位上的数为2，故，A正确， 当时，对应的不是唯一确定的，根据函数的定义可知不是的函数，故B不正确， 由于为无理数，所以不是周期函数，故D正确. 故选：AD 10．BC 【分析】由为偶函数，的图象关于原点对称，可得函数周期为4，且可知当时，，从而可逐项判断. 【详解】为偶函数， 的图象关于直线对称，故A错误； 的图象关于原点对称，， 当时，， ，故C正确； 由的图象关于直线对称，且关于原点对称， 所以， 则，即函数周期为4， ，， ，由选项C可知函数在上单调递增， 所以，，故B正确； 由前可知，， ，故D错误. 故选：BC. 11．BC 【分析】选项A，只需将代入等式，求解即可；选项B，将等式变形为，可得出其对称性；选项C，结合对称性和函数的单调性，可得出函数在区间上的单调性；选项D，先讨论函数在上的符号，结合的符号，解不等式即可. 【详解】对于选项A，将代入等式，可得，选项A错误； 对于选项B，若函数满足，即， 则函数的图象关于点对称，选项B正确； 对于选项C，函数在区间上单调递减，且函数的图象关于点对称， 所以函数在区间上也单调递减，选项C正确； 对于选项D，显然函数在上单调递减，且， 由，可得： 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 所以不等式的解集为，选项D不正确. 故选：BC. 12． 【分析】根据分段函数的单调性可得值域. 【详解】当时，单调递增，此时， 当时，单调递减，此时， 综上所述， 故答案为：. 13．18 【分析】利用方程有两实数根得到，再利用韦达定理把目标式表示为二次函数，利用二次函数的性质求解单调性，得到最值即可. 【详解】由已知得方程有两实数根，得到，即， 解得，由韦达定理得，， 又， 由二次函数性质得在单调递减， ∴当时，有最大值，最大值为18. 故答案为：18 14． 【分析】依题意不妨令，即可得，令，，即可得到在上单调递增，再由及奇偶性得到在上的取值情况，从而得到的解集. 【详解】因为对任意的、且，都有成立， 不妨令，则，即， 所以， 令，， 则当且时，， 所以在上单调递增， 又函数是定义域为的奇函数且，则， 所以，所以当时，，当时，， 则当时，，当时，， 又为奇函数，所以当时，，当时，， 所以不等式的解集是. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）由分段函数解析式，代入计算，即可求解； （2）根据题意，由分段函数解析式列出不等式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）函数，则， 所以. （2）函数， 由可得或或， 解得或或， 所以a的取值范围是. 16．(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合条件即可求解的解析式， （2）由的图象即可求解单调区间． 【详解】（1）的图象关于原点对称， 是奇函数， ． 又的定义域为， ，解得． 设，则， 当时，， ， ， 所以； （2）由（1）可得的图象如下所示： 由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 17．(1)证明见详解； (2)证明见详解，. 【分析】（1）根据解析式有意义求定义域，然后判断和的关系可证； （2）取值、作差、变形，然后根据的范围和大小关系判断的符号即可得证，再根据单调性求出值域即可. 【详解】（1）由解析式有意义可知，函数的定义域为， 又， 所以为奇函数. （2），且， ， 因为，所以， 所以，即， 所以在区间上单调递增. 由上知，在区间单调递增， 所以，即， 所以在区间上的值域为. 18．(1) (2)为上的增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，求得并检验； （2）根据单调性定义判断并证明结论. 【详解】（1）因为满足，故函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 当时，，满足，符合题意， 故. （2）由（1）可知，.函数在上为增函数. 证明如下： 任取，所以， 所以 所以. 故为上的增函数. 19．(1) (2) 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干函数的性质求解； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解. 【详解】（1）， 设 则. 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以，即的值域为. （2）因为在上为减函数，故. 由题意，的值域是的值域的子集， . 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$