第01讲 4.1指数+4.2对数(10大核心考）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（苏教版2019必修第一册）

第01讲 4.1指数+4.2对数 目录 题型一：重点考查根式化简求值 1 题型二：重点考查指数幂的运算 3 题型三：重点考查分数指数幂与根式的互化 5 题型四：重点考查指数幂的化简求值 6 题型五：重点考查对数的概念判断与求值 9 题型六：重点考查指数式与对数式的互化 10 题型七：重点考查对数运算 12 题型八：重点考查对数运算性质及应用 14 题型九：重点考查运用换底公式求值 16 题型十：重点考查运用换底公式证明恒等式 17 题型一：重点考查根式化简求值 典型例题 例题1．（23-24高一·江苏·单元测试）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高一上·全国·专题练习）求下列各式的值；； 例题3．（23-24高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海·期中）化简： . 3．（2024高一·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：重点考查指数幂的运算 典型例题 例题1．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 例题2．（23-24高一上·重庆·期中）计算求值 (1) (2)若，且，求代数式的值. 例题3．（23-24高一上·福建三明·期中）（1）计算：. （2）已知且，求的值； 精练高频考点 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（1）； （2）已知，，求的值. 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 题型三：重点考查分数指数幂与根式的互化 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（2023高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 例题3．（23-24高一·湖南·课后作业）用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 精练高频考点 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一·浙江杭州·期末）式子的计算结果为（    ） A．1 B． C． D． 3．（23-24高一·全国·课后作业）将下列根式与分数指数幂进行互化. （1）；（2）. 题型四：重点考查指数幂的化简求值 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 例题3．（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式： (1)； (2) 精练高频考点 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知，，化简并计算：． 2．（23-24高一上·陕西安康·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 3．（23-24高一上·广东广州·期中）化简求值： (1) (2)若，求下列各式的值： ① ； ②. 题型五：重点考查对数的概念判断与求值 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）在中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·全国·阶段练习）下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 精练高频考点 1．（23-24高一下·上海·课后作业）若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 2．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）对数式中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六：重点考查指数式与对数式的互化 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 例题2．（23-24高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 例题3．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 精练高频考点 1．（23-24高三上·河北·期末），且，则的值为 . 2．（23-24高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 3．（23-24高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 题型七：重点考查对数运算 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）求下列各式的值． (1)． (2) (3)． (4) (5) (6)； 例题2．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）计算: (1); (2). 例题3．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）计算： (1)； (2). 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算求值： (1)； (2)求值：. 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）计算: (1)． (2)． 3．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）（1）化简： （2）计算：. 题型八：重点考查对数运算性质及应用 典型例题 例题1．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 例题2．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 例题3．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）（1）计算； （2）计算． 精练高频考点 1．（2024·重庆·三模）若正实数，满足，，则 . 2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）计算 . 3．（23-24高一下·西藏山南·期中）求值：． 题型九：重点考查运用换底公式求值 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·上海·期末）设，，则 ．（结果用和表示） 例题3．（23-24高一上·江苏常州·期末）（1）计算：； （2）已知，计算的值并证明． 精练高频考点 1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 2．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 3．（23-24高一下·西藏山南·期中）已知，且，求的值． 题型十：重点考查运用换底公式证明恒等式 典型例题 例题1．（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·随堂练习）已知，求证：． 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 4.1指数+4.2对数 目录 题型一：重点考查根式化简求值 1 题型二：重点考查指数幂的运算 4 题型三：重点考查分数指数幂与根式的互化 7 题型四：重点考查指数幂的化简求值 10 题型五：重点考查对数的概念判断与求值 15 题型六：重点考查指数式与对数式的互化 18 题型七：重点考查对数运算 22 题型八：重点考查对数运算性质及应用 26 题型九：重点考查运用换底公式求值 29 题型十：重点考查运用换底公式证明恒等式 32 题型一：重点考查根式化简求值 典型例题 例题1．（23-24高一·江苏·单元测试）有下列四个式子： ① ； ② ； ③ ； ④ 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用公式进行求解. 【详解】① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误． 故选：A 例题2．（2024高一上·全国·专题练习）求下列各式的值；； 【答案】 【分析】利用 进行化简，求得答案. 【详解】由题意可得：= ． 例题3．（23-24高一·全国·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) (5) 【分析】根据根式的含义及化简，一一解答各小题，即可求得答案, 【详解】（1）由题意得； （2） （3） （4）由于，则，故； （5）. 精练高频考点 1．（多选）（23-24高一上·四川成都·期中）以下运算结果等于2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据根式运算化简各项即可. 【详解】对于A，，不合题意； 对于B，，符合题意； 对于C，，符合题意； 对于D，，符合题意. 故选：BCD 2．（23-24高一上·上海·期中）化简： . 【答案】 【分析】根据根式的定义求解． 【详解】. 故答案为：. 3．（2024高一·全国·专题练习）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)10 (3) (4) 【分析】利用根式的性质逐一对（1）（2）（3）（4）中各式化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 题型二：重点考查指数幂的运算 典型例题 例题1．（24-25高一·上海·课堂例题）用分数指数幂表示下列各式（，）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)计算． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】结合根式化指数幂和指数的基本运算化简即可. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）； （5）. 例题2．（23-24高一上·重庆·期中）计算求值 (1) (2)若，且，求代数式的值. 【答案】(1)7； (2). 【分析】（1）利用指数运算法则计算即得. （2）变形给定式子，再代入计算即得. 【详解】（1）. （2）当，时，. 例题3．（23-24高一上·福建三明·期中）（1）计算：. （2）已知且，求的值； 【答案】（1）；（2）3 【分析】（1）由根式与指数幂、指数幂运算性质化简求值； （2）利用及已知求目标式的值. 【详解】（1）原式. （2）由题意知，可得， 又所以即所以. 精练高频考点 1．（23-24高一上·浙江宁波·期中）（1）； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】(1)根据分数指数幂的运算进行化简即可； (2)根据完全平方分别求出分子、分母即可求解. 【详解】（1）原式 （2）因为，， 所以，， 所以. 2．（23-24高一上·广东深圳·期中）（1）计算：； （2）化简： 【答案】（1）1；（2） 【分析】利用指数运算法则和根式运算法则计算即可. 【详解】（1） ； （2）. 3．（23-24高一上·福建莆田·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）18. 【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算法则计算即得. （2）根据给定条件，结合指数幂的化简求出，再借助因式分解法求值即得. 【详解】（1）原式. （2）由，得， 所以． 题型三：重点考查分数指数幂与根式的互化 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解. 【详解】对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：B． 例题2．（多选）（2023高一·全国·专题练习）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】BC 【分析】根据指数幂和根式的的概念相互转化. 【详解】对于A，（），故A错误； 对于B，（），故B正确； 对于C，（），故C正确； 对于D，，而无意义，故D错误. 故选：BC 例题3．（23-24高一·湖南·课后作业）用分数指数幂的形式表示下列各式（式中字母都是正数）： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】利用分数指数幂的定义将根式化为分数指数幂 【详解】（1） （2） （3） （4）由于，即，故 （5） （6） 精练高频考点 1．（23-24高一上·浙江杭州·期中）下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质逐项分析可得答案. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，当时，，， 所以，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 2．（23-24高一·浙江杭州·期末）式子的计算结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将根式形式转化为分数指数幂的形式，再利用指数幂的运算性质化简计算即可. 【详解】解：． 故选：A. 【点睛】本题考查指数幂的运算性质，是基础题. 3．（23-24高一·全国·课后作业）将下列根式与分数指数幂进行互化. （1）；（2）. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据可以化简得到答案； （2）根据可以化简得到答案； 【详解】 【点睛】本题考查根式与指数幂的互化，以及幂的运算，属于基础题. 题型四：重点考查指数幂的化简求值 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：； （2）化简：； （3）已知，求的值. 【答案】（1）112；（2）；（3）23 【分析】（1）利用指数幂和根式的运算法则化简求解； （2）利用指数幂的运算法则化简求解； （3）根据指数幂的运算法则，利用平方即可求解. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）因为， 两边同时平方得，， 整理得，， 所以. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）化简求值： (1)； (2). (3)； (4)已知，计算：. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把根式转化为分数指数幂化简即可. （2）（3）分数指数幂的运算法则，结合分母有理化计算即可. （4）多次进行完全平方运算，结合指数幂的运算法则即可求解. 【详解】（1）. （2）. （3） . （4），即， ，，即， ， . 例题3．（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】利用分数指数幂和根式运算法则计算出结果. 【详解】（1） ； （2） 精练高频考点 1．（2024高一上·全国·专题练习）已知，，化简并计算：． 【答案】12 【分析】利用分数指数幂的运算法则计算 【详解】 ． 2．（23-24高一上·陕西安康·期中）（1）计算：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可； （2）把平方，结合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案． 【详解】（1） （2），所以， ，． 3．（23-24高一上·广东广州·期中）化简求值： (1) (2)若，求下列各式的值： ① ； ②. 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】（1）由指数幂运算性质运算求解即可； （2）①将原式平方后求解即可；②设，平方后求解即可. 【详解】（1）原式 （2）①∵，∴，即，∴， ∴. ②当时，设，则，即，∴， 又∵，∴，∴. ∴或. 题型五：重点考查对数的概念判断与求值 典型例题 例题1．（23-24高一上·全国·课后作业）在中，实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的底数大于0且不等于1，真数大于0，列式可解得结果. 【详解】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义， 则，解得或. 故选：B. 【点睛】本题考查了对数的概念，属于基础题. 例题2．（23-24高一上·全国·阶段练习）下列各式：①；②；③若，则；④若，则.其中正确的个数有(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】①②中利用底数的对数等于1，真数为1的对数为0；③中利用对数式与指数式的等价关系；④中由对数的真数大于0，得不可能为负数. 【详解】对①，因为，，所以，故①正确； 对②，因为，，所以，故②正确； 对③，因为，故③错误； 对④，因为，故④错误. 故选B. 【点睛】本题考查对数式的概念、对数式与指数式的互化及对数式的基本性质，考查基本运算求解能力. 例题3．（23-24高一上·全国·课后作业）.求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）2；（2）0；（3）；（4） 【解析】将对数式化为指数式,结合指数幂的运算即可求解. 【详解】（1）设 则 即 （2）根据对数的性质可知； （3）设 则 即 （4）设 则 即 【点睛】本题考查了对数式与指数式的转化,指数幂的运算化简与求值,属于基础题. 精练高频考点 1．（23-24高一下·上海·课后作业）若，则x的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数概念转化对数方程，结合限制条件列不等式组，解得结果. 【详解】且 故选：B 【点睛】本题考查对数方程、对数概念，考查基本分析化简求解能力，属基础题. 2．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）对数式中实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，根据对数函数的性质，得到不等式组，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，根据对数函数的性质，可得对数式， 满足，解得，即实数a的取值范围是. 故选D. 【点睛】本题主要考查了对数式函数的性质的应用，其中解答熟记对数式的性质，列出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)1000. 【分析】根据指数式和对数式的互化解答（1）（2）；根据对数的性质解答（3）（4）. 【详解】（1）∵，∴，即，∴，解得． （2）∵，∴，∴． （3）∵，∴，∴． （4）∵，∴，∴． 题型六：重点考查指数式与对数式的互化 典型例题 例题1．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”，即可转化. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 故答案为：；；；. 例题2．（23-24高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （2）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （3）根据对数的定义化对数式为指数式即可； （4）根据对数的定义化对数式为指数式即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 例题3．（2024高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化． (1) (2) (3). (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5)； (6)； (7). 【分析】利用指数式和对数式的概念进行转换. 【详解】（1）由可得. （2）由，可得. （3）由，可得. （4）由，可得； （5）由，可得； （6）由，可得； （7）由，可得. 精练高频考点 1．（23-24高三上·河北·期末），且，则的值为 . 【答案】 【分析】对数式转化指数式，再利用指数运算性质求解. 【详解】因为，且， 所以有，则. 故答案为：. 2．（23-24高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据对数的定义化指数式为对数式即可. 【详解】（1）由得. （2）由得. （3）由得. （4）由得. 3．（23-24高一·全国·课堂例题）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】可化为，由此化简各个小问。 【详解】（1）因为，所以 （2）因为，所以 （3）因为，所以 （4）因为，所以 （5）因为，所以 （6）因为，所以 题型七：重点考查对数运算 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）求下列各式的值． (1)． (2) (3)． (4) (5) (6)； 【答案】(1) (2) (3)1 (4)1 (5) (6)2 【分析】利用对数运算性质和对数换底公式即可求得所给各对数式的值. 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 例题2．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）计算: (1); (2). 【答案】(1) (2)8. 【分析】（1）根据指数和对数的运算得解； （2）根据指数幂的运算化简得解. 【详解】（1） . （2） . 例题3．（23-24高一下·河北石家庄·开学考试）计算： (1)； (2). 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）运用指数运算规则解决问题； （2）运用对数运算规则、换底公式等解决问题. 【详解】（1） . （2） . 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏盐城·期中）计算求值： (1)； (2)求值：. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据指数幂的运算法则以及根式的化简，即可求得答案； （2）根据对数的运算法则，化简求值，即得答案. 【详解】（1） ； （2） . 2．（23-24高一上·山东临沂·期末）计算: (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数与对数的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1） ； （2） 3．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）（1）化简： （2）计算：. 【答案】（1）9；（2）. 【分析】（1）利用根式及指数运算计算即得. （2）利用对数运算及换底公式计算即得. 【详解】（1）原式. （2）原式 . 题型八：重点考查对数运算性质及应用 典型例题 例题1．（24-25高一·上海·课堂例题）化简下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)1 (4) 【分析】根据对数以及指数运算法则计算即可得到结果； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 例题2．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0； (2)2； (3)2； (4)4. 【分析】运用对数的运算规则和公式求解即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式． （4）原式． 例题3．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）（1）计算； （2）计算． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据指数幂以及根式的运算性质即可求解； （2）根据对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）； （2） ． 精练高频考点 1．（2024·重庆·三模）若正实数，满足，，则 . 【答案】100 【分析】结合完全平方公式可得，由此可求，故可得结论. 【详解】由于，整理得，①， 又，②， 所以①+②得：； 即 对于取常用对数可得，， 故. 故答案为：100. 2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）计算 . 【答案】1 【分析】利用对数的运算性质分别计算出括号中的值，然后结果可知. 【详解】原式， 故答案为：. 3．（23-24高一下·西藏山南·期中）求值：． 【答案】 【分析】利用对数的运算性质和幂的运算性质化简计算即得. 【详解】 ． 题型九：重点考查运用换底公式求值 典型例题 例题1．（24-25高一上·全国·课后作业）设，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数换底公式和对数运算性质即可求解. 【详解】，，则 ， 即. 故选：. 例题2．（23-24高一上·上海·期末）设，，则 ．（结果用和表示） 【答案】 【分析】根据换底公式求解即可. 【详解】. 故答案为： 例题3．（23-24高一上·江苏常州·期末）（1）计算：； （2）已知，计算的值并证明． 【答案】（1）2 （2）；证明见解析 【分析】（1）结合指数幂的运算性质即可求解； （2）结合指数与对数的转化及对数的换底公式可求，然后结合基本不等式即可求证. 【详解】（1） （2）因为， 所以，， ， 因为，， 所以，且， 所以，即. 精练高频考点 1．（2024·广东佛山·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】D 【分析】 运用对数运算公式计算即可. 【详解】由题意知，，，， 因为，， 所以由换底公式可得，， 又因为（）， 所以， 所以由换底公式可得. 故选：D. 2．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】1 【分析】利用换底公式计算即得. 【详解】. 故答案为：1 3．（23-24高一下·西藏山南·期中）已知，且，求的值． 【答案】4 【分析】把指数式化成对数式，代入题设条件，利用换底公式，再逆用对数的运算公式即得. 【详解】由可得，， 由， 所以．因为，所以． 题型十：重点考查运用换底公式证明恒等式 典型例题 例题1．（23-24高三上·福建福州·期中）设a，b，c都是正数，且，那么下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据指对互化，利用对数表示，再结合对数运算判断选项. 【详解】由，得，，， ，，，则， 根据可知，. 故选：C 例题2．（23-24高一下·广西崇左·阶段练习）求满足下列条件的各式的值 (1)若，求的值； (2)设，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）运用对数的运算法则即可求解； （2）运用对数的换底公式即可证明. 【详解】（1）， ， ， （2）证明：设， 则，，. 所以，，. 所以， 所以. 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知a，b，c均为正数，且，求证：； 【答案】证明见解析 【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证. 【详解】设，则. ∴， ∴， 而， ∴，得证. 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·随堂练习）已知，求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据对数的定义和运算性质分析证明. 【详解】设，可知且， 则， 可得， 所以， 即. 2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）设，且，利用对数的换底公式证明： (1)； (2)； (3)计算：若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接利用换底公式即可证明结果； （2）直接利用换底公式即可证明结果； （3）根据条件，利用换底公式得到，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以命题得证. （2）因为，所以命题得证. （3）因为，所以， 故，即的值为. 3．（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求证：. 【答案】证明见解析； 【分析】先令，根据指数式与对数式的互化，以及换底公式，即可证明结论成立. 【详解】令， 则，，， 所以. 【点睛】本题主要考查换底公式的应用，熟记公式即可，属于常考题型. 学科网（北京）股份有限公司 $$