第01讲 2.1命题，定理，定义+2.2充分条件，必要条件，充要条件(5大核心考）-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（苏教版2019必修第一册）

第01讲 2.1命题，定理，定义 2.2充分条件，必要条件，充要条件 目录 题型一：重点考查判断命题的真假 1 题型二：重点考查判断充分性和必要性 3 题型三：重点考查根据充分不必要条件求参数 4 题型四：重点考查根据必要不充分条件求参数 5 题型五：重点考查根据充要条件求参数 7 题型一：重点考查判断命题的真假 典型例题 例题1．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 例题2．（2024高一·江苏·专题练习）判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)所有的质数都是奇数； (4)5x>4x； (5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0； (6)未来是多么美好啊！ (7)你是高二的学生吗？ (8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数． 例题3．（23-24高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高一·江苏·假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由． (1)，则； (2)若，则； (3)若，则且； (4)若，则． 题型二：重点考查判断充分性和必要性 典型例题 例题1．（23-24高一下·江西·期末）已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 例题2．（23-24高一上·辽宁·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“一元二次方程有实数解”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”） 例题4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 精练高频考点 1．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知，则是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（23-24高二下·重庆渝中·期末）已知，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：重点考查根据充分不必要条件求参数 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 例题3．（23-24高三·江西宜春）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围. 精练高频考点 1．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 2．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 3．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 题型四：重点考查根据必要不充分条件求参数 典型例题 例题1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 例题3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 精练高频考点 1．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 3．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 题型五：重点考查根据充要条件求参数 典型例题 例题1．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例题2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 例题3．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知非空集合，集合，命题，命题． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）当实数为何值时，是的充要条件． 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为 . 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知，. （1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围. （2）是否存在实数，使是的必要不充分条件？若存在，求出的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 2.1命题，定理，定义 2.2充分条件，必要条件，充要条件 目录 题型一：重点考查判断命题的真假 1 题型二：重点考查判断充分性和必要性 4 题型三：重点考查根据充分不必要条件求参数 8 题型四：重点考查根据必要不充分条件求参数 11 题型五：重点考查根据充要条件求参数 15 题型一：重点考查判断命题的真假 典型例题 例题1．（2024·山东·二模）下列命题是真命题的是（    ） A．且 B．或 C． D．方程有实根 【答案】B 【分析】根据或且命题真假性的性质即可求解. 【详解】对于A, 为真命题，为假命题，故且为假命题， 对于B，为假命题，为真命题，所以或为真命题， 对于C，为假命题， 对于D，,故方程没有实数根，故D错误， 故选：B 例题2．（2024高一·江苏·专题练习）判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由． (1)奇数的平方仍是奇数； (2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形； (3)所有的质数都是奇数； (4)5x>4x； (5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0； (6)未来是多么美好啊！ (7)你是高二的学生吗？ (8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 (5)答案见解析 (6)答案见解析 (7)答案见解析 (8)答案见解析 【分析】理解命题的概念即可对各个小问进行判断并得出结论. 【详解】（1）“奇数的平方仍是奇数”是命题，而且是真命题． （2）是命题，且是假命题．如图所示， 四边形ABCD中，当AB＝AD，BC＝CD且AB≠BC时，对角线AC也垂直于BD，但四边形ABCD不是菱形． （3）是命题，且是假命题．因为2是质数，但不是奇数． （4）不是命题．因为x是未知数，不能判断真假． （5）是命题，而且是真命题．因为对于x∈R，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0，不等式恒成立． （6）是感叹句，不涉及真假，不是命题． （7）是疑问句，不涉及真假，不是命题． （8）是命题，且是假命题．如x＝，y＝，x＋y＝0是有理数，而x，y都是无理数． 例题3．（23-24高一·江苏·假期作业）把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假． (1)奇数不能被2整除； (2)当时，； (3)两个相似三角形是全等三角形． 【答案】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题． (2)若，则，是真命题 (3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题． 【分析】先写出“若p，则q”的形式，再利用相关定义性质或计算，判断真假. 【详解】（1）若一个数是奇数，则它不能被2整除， 根据奇数的定义可知，奇数不能被2整除，为真命题； （2）若，则， 要想满足，则，解得，是真命题； （3）若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形， 两个三角形相似，则形状相同，但大小不一定相等，故不一定全等，为假命题. 精练高频考点 1．（23-24高一·全国·课后作业）下列命题为假命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式性质知ABC正确，当时，恒成立，D错误，得到答案. 【详解】对选项A：若，则，正确； 对选项B：若，则，正确； 对选项C：若，则，正确； 对选项D：当时，恒成立，不能得到，错误； 故选：D 2．（23-24高一·江苏·假期作业）将下列命题改写为“若p，则q”的形式，并判断真假． (1)当a＞b时，有ac2＞bc2； (2)实数的平方是非负实数； (3)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除． 【答案】(1)若a＞b，则ac2＞bc2，是假命题 (2)若一个数是实数，则它的平方是非负实数，是真命题 (3)若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，是真命题 【分析】（1）可以举反例证明； （2）实数的平方必为非负数； （3）由，即可判断. 【详解】（1）若a＞b，则ac2＞bc2，当，则该命题不成立，故为假命题； （2）若，则，该命题为真命题； （3）若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除， 若一个数能被6整除，即6为该数的一个因数，由， 则也为该数的因数，故该命题正确. 3．（24-25高一上·全国·课堂例题）设、、、是实数，判断下列命题的真假，并说明理由． (1)，则； (2)若，则； (3)若，则且； (4)若，则． 【答案】(1)假，理由见解析 (2)真 (3)真 (4)真 【分析】（1）根据等式的性质判断； （2）根据等式的性质判断； （3）根据等式的性质判断； （4）根据等式的性质判断； 【详解】（1），则或，原命题错误； （2）若，两边同乘以得，原命题正确； （3）若，则且，否则若或时，原命题正确； （4）若，等式两边同乘以得则．原命题正确． 题型二：重点考查判断充分性和必要性 典型例题 例题1．（23-24高一下·江西·期末）已知集合，则“”是“集合M仅有1个真子集”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由集合M仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】集合仅有1个真子集，即集合M只有一个元素， 若，方程等价于，解得，满足条件； 若，方程要满足，有， 则集合仅有1个真子集，有或， 则时满足集合M仅有1个真子集， 集合M仅有1个真子集时不一定有， 所以“”是“集合M仅有1个真子集”的充分不必要条件. 故选：B. 例题2．（23-24高一上·辽宁·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件、必要条件求解即可. 【详解】因为，而推不出，例如满足，但不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 例题3．（23-24高二下·江苏扬州·阶段练习）“”是“一元二次方程有实数解”的 条件．（填“充分不必要”或“必要不充分”） 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若一元二次方程有实数解，则，解得， 所以由推得出一元二次方程有实数解，故充分性成立， 由一元二次方程有实数解推不出，故必要性不成立； 所以“”是“一元二次方程有实数解”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要 例题4．（25-26高一上·全国·课后作业）下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中可以作为的充分不必要条件的所有序号为 ． 【答案】②③ 【分析】先化简得出，再结合充分不必要条件判断各个选项. 【详解】由解得． 对于①，是的必要不充分条件； 对于②，是的充分不必要条件； 对于③，是的充分不必要条件； 对于④，是的充要条件； 对于⑤，是的必要不充分条件． 故选:②③． 精练高频考点 1．（23-24高一上·四川泸州·期末）已知实数x，y，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件定义判断即可. 【详解】当,取,可得,充分条件不成立; ,必要条件成立; 故选：B. 2．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知，则是的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】利用分式不等式的解法，结合充分条件及必要条件的定义即可求解. 【详解】由得解得， 所以 又因为， 所以是的充分不必要条件. 故选：A. 3．（23-24高一上·安徽黄山·期末）已知“p:一元二次方程有一正根和一负根；q:.”则p是q的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系及充分条件、必要条件 【详解】因为方程有一正根和一负根，则有， 所以，故p是q的充分必要条件. 故选：C 4．（23-24高二下·重庆渝中·期末）已知，为非零实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】首先根据不等式的性质变形为，再分情况讨论，判断充分，必要条件. 【详解】结论， 当时，； 当时，； 当时，； 综上：． 故选：C 题型三：重点考查根据充分不必要条件求参数 典型例题 例题1．（25-26高一上·全国·课后作业）设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】依题意可得（等号不同时成立），求出的范围，再检验端点值是否符合题意. 【详解】因为，， 若是的充分不必要条件，则（等号不同时成立），解得， 当时，满足是的充分不必要条件； 当时，满足是的充分不必要条件； 综上可得实数的取值范围为． 故选：A． 例题2．（24-25高一上·上海·单元测试）已知命题或，命题或，若是的充分非必要条件，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】利用是的充分非必要条件得到集合间的关系，进而得到关于实数的不等式组，解不等式即可. 【详解】解：因为是的充分非必要条件， 所以或是或的真子集， 所以或或,解得． 即实数的取值范围是． 例题3．（23-24高三·江西宜春）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）用集合交集，补集的运算可得； （2）由条件可得是Q的真子集，再分集合是否为空集讨论求出结果即可 【详解】（1）当时，集合，可得或， 因为，所以 （2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集， 当时，即时，此时，满足是的真子集， 当时，则满足且不能同时取等号，解得， 综上，实数的取值范围为. 精练高频考点 1．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）已知集合，．若“”是“”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】判断在上的单调性，可求得集合A，进而由“”是“”的充分不必要条件，可得，求解即可． 【详解】函数的对称轴为，开口向上， 所以函数在上递增， 当时，；当时，．所以． ，由于“”是“”的充分不必要条件， 所以，，解得或， 所以m的取值范围是． 故答案为：． 2．（23-24高一上·海南省直辖县级单位·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是 【答案】 【分析】解不等式，根据充分不必要条件列不等式可得解. 【详解】由已知，即， ，即， 又是的充分不必要条件， 所以， 解得， 故答案为：. 3．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求出集合，利用集合的并集运算从而可求解. （2）由题意可知集合是集合的真子集，再分类讨论，从而可求解. 【详解】（1）由题意知，当，得， 因为，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 当时，即，解得； 当时，即，解得 综上实数的取值范围为. 题型四：重点考查根据必要不充分条件求参数 典型例题 例题1．（23-24高三下·河南周口·开学考试）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得⫋，再根据集合的包含关系求参即可. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所有⫋，所以， 即实数的取值范围为． 故选：A． 例题2．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 例题3．（23-24高一上·江西南昌·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出集合和，再求出，继而可得; （2）将集合间的逻辑关系转化为子集关系,在根据子集关系求参即可. 【详解】（1）， 可得， 当时解得， 则，可得， 又，可得， 即，可得， 所以， （2）因为“”是“”的必要不充分条件 所以, 集合中， 当时解为， 又，可得解得， 当时解为， 又，可得解得， 当时无解，集合为空集， 又，所以不合题意舍去， 综上可得：或. 精练高频考点 1．（23-24高一上·上海·期末）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的必要非充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解不等式可得集合，由交集结果可求得的取值范围为； （2）根据必要非充分条件可知集合是集合的真子集，解不等式可得的取值范围为； 【详解】（1）解不等式可得，显然 若，可得或， 解得或， 即实数的取值范围为； （2）若“”是“”的必要非充分条件，可得集合是集合的真子集； 可得，解得， 因为不等式两端等号不会同时成立， 所以实数的取值范围为. 2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题． (1)求实数的取值范围； (2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在. 【分析】（1）先因式分解求出两根，再分别大于1求出参数取值范围即可； （2）先得到，再考虑是否为空集的情况即可. 【详解】（1）因为命题为真命题， 而 ，所以且，解得 （2）令，， 因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集， 若，此时； 若，则，解得， 综上所述，存在使得是的必要不充分条件 3．（23-24高一上·河北唐山·期中）已知集合，． (1)若，求； (2)设，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，利用补集的定义可求出集合； （2）由题意可知，，分析可知，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，或. （2）因为，则， 因为是的必要不充分条件，所以，只需，解得． 综上，实数的取值范围为． 题型五：重点考查根据充要条件求参数 典型例题 例题1．（23-24高一下·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】解绝对值不等式，根据是的充要条件，得到不等式，解得，得到答案. 【详解】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 例题2．（23-24高一上·重庆沙坪坝·阶段练习）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【分析】先化简得，由充要条件可知两不等式两端相等，从而可求得m的取值. 【详解】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 例题3．（23-24高二上·安徽滁州·阶段练习）已知非空集合，集合，命题，命题． （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）当实数为何值时，是的充要条件． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）求解二次不等式以及分式不等式解得集合，根据，分类讨论，即可列出不等式求得参数范围； （2）根据（1）中所求，结合是的充要条件，即可容易求得结果. 【详解】（1）解不等式，即，解得，则. 由于是的充分不必要条件，则A，又， ①当时，即当或时，，满足题意； ②当时，即当或时，， 因为A，则，解得， 又当，，不合乎题意.所以； ③当时，即当时，因为A，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是； （2）由于是的充要条件，则， 所以，和1是方程的两根， 由韦达定理得，解得. 故. 【点睛】本题考查利用充分不必要条件、充要条件求参数，考查运算求解能力，属于中等题. （1）解出集合，由题意得出，可得出关于实数的不等式组，即可求得实数的取值范围； （2）由题意，进而可得出和是方程的两根，利用韦达定理可求得实数的值. 精练高频考点 1．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充要条件，则实数a的值是 ． 【答案】 【分析】由绝对值的几何意义求出集合，依题意，即可求出参数的值. 【详解】由，可得，解得， 所以， 又命题“”是命题“”的充要条件且， 则，所以. 故答案为： 2．（2024高三·全国·专题练习）已知p：1≤x≤2，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充要条件，则实数a的值为 . 【答案】1 【分析】先求得命题q为真时实数x的范围，再根据充要条件的定义求得实数a的值. 【详解】因为q：(x－a)(x－a－1)≤0，∴a≤x≤a＋1. 由p是q的充要条件知∴a＝1. 故答案为：1. 【点睛】本题考查由命题的充要条件求解参数的值，属于基础题. 3．（23-24高一·全国·课后作业）已知，. （1）是否存在实数，使是的充要条件？若存在，求出的取值范围. （2）是否存在实数，使是的必要不充分条件？若存在，求出的取值范围. 【答案】（1）不存在；（2）存在，. 【分析】（1）要使是的充要条件，可得，即可得出结论. （2）要使是的必要不充分条件，可得.分类讨论：①当时；②当时， 得到参数的取值范围. 【详解】解：，. （1）要使是的充要条件，则.， 此方程组无解，即不存在实数，使得是的充要条件. （2）要使是的必要不充分条件，则. ①当时，，解得. ②当时，，解得.要使.则， (两个等号不同时成立)，解得，. 综上可得：当实数时，使是的必要不充分条件. 【点睛】本题考查了充分条件必要条件的应用，可将充分条件必要条件转化为两集合的包含关系，属于中档题. 学科网（北京）股份有限公司 $$