精品解析：重庆市南开中学校2023-2024学年八年级上学期期末数学模拟试题

重庆市南开中学2023-2024学年八年级上学期数学期末模拟试卷（1.19） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 下列国产汽车品牌标志中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若函数是正比例函数，则 m 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　） A. B. C D. 6. 两个全等直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为2，则阴影部分面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 14 D. 4 7. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 8. 如图，函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 9. 某学校组织趣味运动会，小明和小亮两人报名参加了“运球往返跑”比赛，即：两人同时出发，每人用羽毛球拍托着球跑完规定的路程，若途中球不慎掉落，须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．其中，距起点的距离用y（米）表示，时间用x（秒）表示．如图表示两人比赛过程中y与x的函数关系的图象，以下推断正确的是（　　） A. 运球往返跑的总路程是50米 B. 小亮比小明往返全程所用的时间少3秒 C. 返回时小明与小亮平均速度的比是3：4 D. 小明去时所用时间与返回时间相差7秒 10. 已知关于x、y的二元一次方程组的解为整数，且关于x的不等式组恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ） A. －1 B. －2 C. －6 D. －8 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. （﹣5）2的平方根是_____． 12. 如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积=________. 13. 如果点在y轴上，那么点P的坐标为________． 14. 若关于，的方程组的解满足，则整数的值是______． 15. 若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：_________． 16. 平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1），一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则m的取值范围是_____． 17. 如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为__________． 18. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“取经数”，此时，规定例如，中，，是“取经数”，：又如，中，，不是“取经数”， （1）________； （2）对于一个“取经数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“取经数”为________． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 解方程或不等式组: （1）解下列方程组． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，的坐标为．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）将平移，使点移动到点，请画出平移后的，点、的对应点分别是、； （2）作出关于原点点成中心对称的，点、、的对应点分别是、、． 21. 学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了20名学生的调查结果（满分为100分，分数用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：）进行整理、描述和分析，当分数不低于85分说明心理健康，下面给出部分信息． 八年级随机抽取了20名学生的分数是： 72，80，81，82，86，88，90，90，91，a，92，92，93，93，95，95，96，96，97，99． 九年级随机抽取了20名学生的分数中，A、B两组数据个数相等，B、C两组的数据是： 86，88，88，89，91，91，91，92，92，93 年级 八年级 九年级 平均数 90 89.5 中位数 92 健康率 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________；__________；__________； （2）根据以上数据分析，你认八、九年级哪个年级学生心理健康状况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共有多少人？ 22. 临近春季，不少市民购买国画装饰屋子.某网店购进甲、乙两种国画，其中甲种国画幅，乙种国画幅，共花费元，甲种国画的单价比乙种国画的单价高元． （1）甲、乙两种国画单价各是多少元？ （2）在第一批国画销售完后，该网店决定再次购进甲、乙两种国画共幅，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种国画按单价的八折出售，乙种国画每幅降价6元出售．如果此次购买甲种国画的数量不低于乙种国画数量的一半，那么应购买多少幅甲种国画，使此次购买国画的总费用最小？最小费用是多少元？ 23. 如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 24. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，设点运动的路程为，的面积为，请解答下列问题： （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出它的一条性质； （3）已知函数，当时，请直接写出自变量的取值范围． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，已知点A的横坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D． （1）求直线的解析式； （2）将直线向上平移6个单位得到直线，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当C的值最小时，求此时点M的坐标及的最小值； （3）在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点P、Q，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 26. 点是三角形内一点，连接、，． （1）如图，若、分别平分、，，，求的长； （2）如图，连接，若，且，是的中点，求证：； （3）在（1）的条件下，若点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，直接写出当取得最小值时，的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆市南开中学2023-2024学年八年级上学期数学期末模拟试卷（1.19） 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 点在第（ ）象限． A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限点的坐标特征，根据第四象限的点横坐标为正数，纵坐标为负数即可判断求解，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点的横坐标为正数，纵坐标为负数， ∴点在第四象限， 故选：． 2. 下列国产汽车品牌标志中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念逐项分析即可，轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.是中心对称图形，故该选项符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.是轴对称图形，不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 3. 若函数是正比例函数，则 m 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数． 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答． 【详解】， 解不等式，得：； 解不等式，得：； 即不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 【点睛】本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点． 5. 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 6. 两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，，平移距离为2，则阴影部分面积为（ ） A. 7 B. 6 C. 14 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平移的性质得出BE=2，DE=AB=4，则OE=3，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知，BE=2，DE=AB=4， ∴OE=DE-DO=4-1=3， ∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=（AB+OE）•BE=（4+3）×2=7． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键． 7. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 【答案】B 【解析】 【分析】化简原式等于，因为，所以，即可求解； 【详解】解：， ∵， ， 故选B． 【点睛】本题考查估算无理数的大小；能够将给定的无理数锁定在相邻的两个整数之间是解题的关键． 8. 如图，函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x，y的二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正比例函数解析式确定P点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：当时，， 解得，则点P的坐标为， 所以关于x，y二元一次方程组中的解为． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 9. 某学校组织趣味运动会，小明和小亮两人报名参加了“运球往返跑”比赛，即：两人同时出发，每人用羽毛球拍托着球跑完规定的路程，若途中球不慎掉落，须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．其中，距起点的距离用y（米）表示，时间用x（秒）表示．如图表示两人比赛过程中y与x的函数关系的图象，以下推断正确的是（　　） A. 运球往返跑的总路程是50米 B. 小亮比小明往返全程所用的时间少3秒 C. 返回时小明与小亮平均速度的比是3：4 D. 小明去时所用时间与返回时间相差7秒 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象中的数据解答即可． 【详解】解：A．由图可知，运球往返总路程为30+30=60（米），故A错误； B．由图知，小亮往返全程所用时间为40秒，小明往返全程所用时间为37秒，所以小亮比小明往返全程所用的时间多3秒，故B错误； C．小亮返回的速度为30÷（40-20）=1.5（米/秒），小明返会的速度为30÷（37-22）=2（米/秒），所以返回时小明与小亮平均速度的比是2：1.5=4：3，故C错误； D．小明去时所用时间为22秒，返回时间为37-22=15秒，所以小明去时所用时间与返回时间相差7秒，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取有效信息解决问题是解答的关键． 10. 已知关于x、y的二元一次方程组的解为整数，且关于x的不等式组恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（ ） A. －1 B. －2 C. －6 D. －8 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式组恰有3个整数解，则，因此可求得a的取值范围，进而可得整数a的值，解二元一次方程组可得 ，由二元一次方程组有整数解，可得a+1必须是4的正因数或负因数，可得整数a的值，最后可求得结果． 【详解】由题意，的解集为，则-2，-1，0为不等式的整数解 所以有：，解得： 由于a为整数，所以a的取值为：-2，-1，0，1 解，得 由题意，二元一次方程组的解为整数，则a+1必须是4的正因数或负因数 当a=-2或a=0或a=1时，满足条件，所以-2+0+1=-1 故选：A． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程组等知识，根据不等式组有3个整数解得到不等式是解题的关键和难点，要注意的是，等于1的情况易忽略． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 11. （﹣5）2的平方根是_____． 【答案】±5 【解析】 【分析】先求得（﹣5）2的值，然后依据平方根的性质求解即可． 【详解】解：（﹣5）2＝25，25的平方根是±5． 故答案为±5． 【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 12. 如图，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=3，BC=4.则阴影部分的面积=________. 【答案】24 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出AB，然后利用勾股定理的逆定理判断出△ABD是直角三角形，然后分别求出两个三角形的面积，相减即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB==5， ∵AD=13，BD=12， ∴AB2+BD2=AD2，即可判断△ABD为直角三角形， 阴影部分的面积=AB×BD -BC×AC=30-6=24． 答：阴影部分的面积=24． 故答案为24． 【点睛】此题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，属于基础题，解答本题的关键是判断出三角形ABD为直角三角形． 13. 如果点在y轴上，那么点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】点P在y轴上则该点横坐标为0，可解得m的值，从而得到点P的坐标． 【详解】解：∵在y轴上， ∴，得， 即． 即点P的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，y轴上的点的横坐标为0． 14. 若关于，的方程组的解满足，则整数的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】求出y-x=k-2，根据0＜y-x＜2得到k的范围，即可得到答案． 【详解】解：， ①-②得：y-x=k-2， ∵0＜y-x＜2， ∴0＜k-2＜2， ∴2＜k＜4， ∵k是整数， ∴k=3； 故答案为：3． 【点睛】本题考查二元一次方程组及一元一次不等式组，解题的关键是求出y-x=k-2，由已知得出关于k的不等式． 15. 若实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了绝对值的化简，二次根式的性质与化简． 根据数轴上点的位置判断出二次根式的a与，绝对值里边式子，的正负，利用二次根式的性质，绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴ ． 故答案为： 16. 平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（m+1，m﹣1），一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，若点P在△AOB的内部，则m的取值范围是_____． 【答案】1＜m＜3． 【解析】 【分析】由点P的坐标结合点P在△AOB的内部，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 【详解】依题意，得：， 解得：1＜m＜3． 故答案为：1＜m＜3． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及解一元一次不等式组，由P在△AOB的内部，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键． 17. 如图，中，，，，点、分别为、的中点，点为边上一动点，将沿着折叠，点的对应点为点，且点始终在直线的下方，连接，当为直角三角形时，线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】记与交于，见解析图，先证明，再讨论当时或时的情况．当时，由翻折得，，再由，，即得；当时，先证明得，再由翻折性质得，然后求出即可． 【详解】解：点、分别为、的中点， ，， ，， ， ， 当恰好在上时，、重合，此时， ， 并未在点正下方， 由于再往右运动，点在上方，就不存在， 当时，如图，记与交于， ，， ，， 翻折对应角相等， ，， ， ，， ； 当时， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线判定及性质、图形折叠的性质、等腰三角形的判定及性质、特殊角的三角函数、全等三角形的判定及性质，分类讨论：当时，画出图形是解决本题的关键． 18. 一个四位正整数，各个数位上的数字互不相等且均不为零，若千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，且和均为，则称为“取经数”，此时，规定例如，中，，是“取经数”，：又如，中，，不是“取经数”， （1）________； （2）对于一个“取经数”，且为偶数，交换其千位与十位的数字，同时交换其百位与个位的数字，得到一个新的“取经数”，若是的倍数，且的千位数字不小于百位数字，则满足条件的所有“取经数”为________． 【答案】 ①. 59 ②. 3168，8514 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“取经数”、整式运算等知识，理解题目中“取经数”的定义是解题关键． （1）根据题干仿写即可得出答案； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，，根据“取经数”的定义可得，结合为9的倍数，且均不为0，找到符合条件的、的值，即可获得答案． 【详解】解：（1）中，，是“取经数”， ； 故答案为：59； （2）设千位、百位、十位和个位上的数字依次为，则千位、百位、十位和个位上的数字依次为，且，， ∴ ， ∵为9的倍数，且均不为0， 又∵，中选择， 则当时，满足条件，此时为3168； 当时，满足条件，此时为7623（N为偶数，故舍去）； 当时，满足条件，此时为8514． 综上所述，为3168，8514． 故答案：3168，8514． 三．解答题（共8小题，满分78分） 19. 解方程或不等式组: （1）解下列方程组． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2），数轴见解析 【解析】 【分析】对于（1），根据加减消元法，先消去x求出y，再代入求出x，即可得出答案； 对于（2），分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【小问1详解】 ， ×2，得， -③，得， 解得， 将代入②，得， 解得． 所以方程组的解是； 【小问2详解】 ， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 所以不等式组的解集是． 在数轴上表示为： 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，掌握解方程组（不等式组）的步骤是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，的坐标为．（每个方格的边长均为1个单位长度） （1）将平移，使点移动到点，请画出平移后的，点、的对应点分别是、； （2）作出关于原点点成中心对称的，点、、的对应点分别是、、． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用点A与A1的坐标特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律画出图形即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征找出A2、B2、C2，然后顺次连接即可； 【小问1详解】 如图，为所作． 【小问2详解】 如图，为所作． 【点睛】本题考查了作图-平移及旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． 21. 学生的心理健康教育一直是学校的重要工作，为了了解学生的心理健康状况，某校进行了心理健康情况调查，现从八、九年级各随机抽取了20名学生的调查结果（满分为100分，分数用x表示，共分成四组：A：，B：，C：，D：）进行整理、描述和分析，当分数不低于85分说明心理健康，下面给出部分信息． 八年级随机抽取了20名学生的分数是： 72，80，81，82，86，88，90，90，91，a，92，92，93，93，95，95，96，96，97，99． 九年级随机抽取了20名学生的分数中，A、B两组数据个数相等，B、C两组的数据是： 86，88，88，89，91，91，91，92，92，93 年级 八年级 九年级 平均数 90 89.5 中位数 92 健康率 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：__________；__________；__________； （2）根据以上数据分析，你认为八、九年级哪个年级学生心理健康状况更好？请说明理由（写出一条理由即可）． （3）若该校八年级有800名学生，九年级有700名学生，估计这两个年级心理健康的学生一共有多少人？ 【答案】（1）92；91；80 （2）八年级学生心理健康状况更好，理由如下：八年级测试成绩的平均数和中位数均大于九年级 （3）1200人 【解析】 【分析】（1）根据中位数的概念，求出a，b的值，可以从数据中看出九年级数据中A组和B组的人数相同，都是4人，故可求出九年级测试成绩分数不低于85分的人数所占百分比，即得m的值； （2）因为八年级测试成绩的平均数和中位数均大于九年级，所以八年级学生心理健康状况更好； （3）根据健康率分别算出八、九年级的健康人数，求和即可． 【小问1详解】 解：∵八年级的中位数是92，其中数据从小到大排列中第10，11个为a，92， ∴，解得， ∵九年级的从小到大排列最中间的为91，91， ∴九年级测试成绩的中位数， ∵A组和B组的人数相同，都是4人， ∴九年级测试成绩分数不低于85分的人数所占百分比为， ∴， 故答案为：92；91；80； 【小问2详解】 解：八年级学生心理健康状况更好，理由如下： 八年级测试成绩的平均数和中位数均大于九年级； 【小问3详解】 解：估计这两个年级心理健康的学生一共有（人）． 【点睛】本题考查中位数、平均数的概念，用样本估计总体，理解题意，熟记中位数的概念是解答本题的关键． 22. 临近春季，不少市民购买国画装饰屋子.某网店购进甲、乙两种国画，其中甲种国画幅，乙种国画幅，共花费元，甲种国画的单价比乙种国画的单价高元． （1）甲、乙两种国画的单价各是多少元？ （2）在第一批国画销售完后，该网店决定再次购进甲、乙两种国画共幅，正好赶上厂家进行促销活动，促销方式如下：甲种国画按单价的八折出售，乙种国画每幅降价6元出售．如果此次购买甲种国画的数量不低于乙种国画数量的一半，那么应购买多少幅甲种国画，使此次购买国画的总费用最小？最小费用是多少元？ 【答案】（1）甲种国画的单价是元，乙种国画的单价是元 （2）应购买幅甲种国画，使此次购买国画的总费用最小，最小费用是元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用是解题的关键． （1）设乙种国画的单价是元，则甲种国画的单价是元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设购买甲种国画幅，则乙种国画幅，总费用为元，依题意得，，，然后解不等式，利用一次函数的性质求解作答即可． 【小问1详解】 解：设乙种国画的单价是元，则甲种国画的单价是元， 依题意得，， 解得，， ∴， ∴甲种国画的单价是元，乙种国画的单价是元； 【小问2详解】 解：设购买甲种国画幅，则乙种国画幅，总费用为元， 依题意得，，， ∴， ∵， ∴当时，最小，最小值为， ∴应购买幅甲种国画，使此次购买国画的总费用最小，最小费用是元． 23. 如图，A，B，C是我国南部的三个岛屿，已知岛屿C在岛屿A的东北方向，岛屿B在岛屿A的正东方向，A，C两岛的距离为，A，B两岛的距离为． （1）求出B，C两岛的距离； （2）在岛屿B产生了台风，风力影响半径为（即以台风中心B为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响），台风中心以的速度由B向A移动，请判断岛屿C是否会受到台风的影响，若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出台风影响岛屿C持续时间有多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，通过作构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点D，在中，利用勾股定理可求出，，再在中，利用勾股定理即可求出，从而解决问题； （2）由，可知会受影响．以点C为圆心，25km长为半径画弧与交于点E，F，利用勾股定理求出，进而得到的长，再除以台风移动速度即可求出台风影响岛屿C持续时间． 【小问1详解】 解：过点C作于点D， 由题意可得：， ， ， 在中， ， 由勾股定理得：， ， 解得： 在中， ， 由勾股定理得：， 答：B，C两岛的距离为； 【小问2详解】 解：会受影响， 以点C为圆心，长为半径画弧与交于点E，F， 则， 在中， 由勾股定理，得， ， ， 答：台风影响岛屿C持续时间为． 24. 如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，沿折线运动，到达点停止运动，设点运动的路程为，的面积为，请解答下列问题： （1）请直接写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出与的函数图像，并写出它的一条性质； （3）已知函数，当时，请直接写出自变量的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；当时，有最大值3； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，分段函数解析式，一次函数的图象与性质． （1）分点在和上两种情况，根据中位线定理可得点在上时的高为，点在上时，，的高为，然后根据三角形面积公式，即可求得与的函数关系式，利用分类讨论思想及掌握中位线定理是解题关键； （2）根据（1）与的函数关系式，取分段函数的端点即可在平面直角坐标系中画出分段函数的图象，再根据一次函数的性质可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，当，有最大值3，无最小值，掌握一次函数图象性质是解题关键； （3）联立方程组，得与的图象交点，结合函数图象，即可得到自变量的取值范围，利用数形结合思想是解题关键． 【小问1详解】 解：当点在上运动时，如图，过点作，垂足为， ， ， ，，点是的中点， ， ， 点在点时，不构成， 当时，， 当点在上运动时，如图，过点作，垂足为，则， 点是的中点， ，， 底边上的高与底边上的高相等， ， ， ， ， 点在点时，不构成， 当时，， 综上所述，与的函数关系式为． 【小问2详解】 解：， 时，连接，，原点为空心， 时，连接，，端点为空心， 与的函数图象，如图所示， ①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； ②当，有最大值3，无最小值． 【小问3详解】 解：当时，联立方程组，得，解得， 当时，联立方程组，得，解得， 与的函数图像及与的函数图象，如下图， 当时，． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点A，已知点A的横坐标为，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，直线与y轴交于点D． （1）求直线的解析式； （2）将直线向上平移6个单位得到直线，直线l3与y轴交于点E，过点E作y轴的垂线，若点M为垂线上的一个动点，点N为x轴上的一个动点，当C的值最小时，求此时点M的坐标及的最小值； （3）在（2）条件下，如图2，已知点P、Q分别是直线、上的两个动点，连接、、，是否存在点P、Q，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2），最小值为 （3） 或 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等和相似、点的对称性等等. （1）求出点的坐标，代入，即可求解； （2）点是点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点连接交轴、于点，则此时最小，最小值为即可求解； （3）证明, 则 即可求解. 【小问1详解】 ∵点的横坐标为， ， 将点代入 ， ∴直线的解析式； 【小问2详解】 与轴交点， ∵将直线 向上平移个单位得到直线，直线与轴交于点， ， ∵过点作轴的垂线， 点是点关于直线的对称点，作点关于轴的对称点， 连接交轴、 于点，则此时最小，最小值为， ， ； 的值最小为 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的表达式为 当 时，即 解得 ， 故点的坐标为，最小值为； 【小问3详解】 存在, 理由: 设点的坐标分别为： 当点E绕点P顺时针旋转时，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点,交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 即：，， 解得： ∴点， 当当点E绕点P逆时针旋转时， 过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点,交于点， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 即：，， 解得： ∴点 ， 综上所述，点的坐标为 或 26. 点是三角形内一点，连接、，． （1）如图，若、分别平分、，，，求的长； （2）如图，连接，若，且，是的中点，求证：； （3）在（1）的条件下，若点是直线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至，连接，取的中点，直接写出当取得最小值时，的面积． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，由直角三角形的性质可求，的长，由等腰直角三角形的性质可求解； （2）由“”可证，可得，，由“”可证，可得，，可得结论； （3）通过证明，可得，则当时，有最小值，即有最小值，再求出的面积，由相似三角形的性质可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， ， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图，过点作，交的延长线于点，作，交于点， ， ，，， 点是中点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交的垂线于点，连接，过点作于， 、分别平分、， 平分， ， ，， ，， 将绕点顺时针旋转至， ，， 是等边三角形， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 当有最小值时，有最小值， 点在上运动， 当时，有最小值，即有最小值， 此时，，， 是等腰直角三角形， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等边三角形的判断和性质，旋转的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$