（应用意识）第一单元 长方体和正方体 解决实际问题（挑战奥数） -2024-2025学年六年级数学上册《知识解读+题型专练》（A4版）（苏教版）

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 《知识解读+题型专练》 …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 保密★启用前 （应用意识）第一单元 长方体和正方体 解决实际问题（挑战奥数） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 3．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。 1．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长6分米，宽5分米，高8分米；乙容器长5分米、宽4分米，高15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出现正方形时的注水高度是 　　分米。 （2）当甲容器中第2次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器壁的厚度） 2．淘淘参加魔方比赛得了一个奖杯，奖杯底座长18厘米，宽12厘米，杯身高25厘米。如果给奖杯设计一个包装盒，应选第几种包装盒？制作这个包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 包装盒种类 长宽高（单位：厘米） 第一种 第二种 第三种 3．从如图中切一个最大的正方体。（单位：厘米） ①这个正方体的体积是多少？ ②如果再从剩余的部分再切一个最大的正方体，这个正方体的体积又是多大呢？ 4．用一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮做一个深5厘米的无盖长方体容器（焊接处和铁皮厚度不计）。 如图三种焊接方法中，按哪种方法焊接后做成的长方体容器的容积最大？ 5．自制长方体“餐桌吐骨盒” 准备一张长方形卡纸，分别在卡纸的四个角上画一个边长5厘米的正方形。剪掉正方形，再沿虚线折起来，粘成一个无盖的长方体“餐桌吐骨盒”。 （1）这个长方体“餐桌吐骨盒”的长是 　　厘米，宽是 　　厘米，高是 　　厘米，容积是 　　立方厘米。 （2）求“实际使用卡纸面积是多少平方厘米？”下面是迪迪的计算方法，请你简要说说他的计算思路。 （平方厘米） 迪迪的计算思路： 6．如图，有一个长6分米、宽4分米、高4分米的长方体容器，长方体容器里装有2.8分米深的水。 ①这个容器有多少立方分米的水？ ②如果将这个长方体容器中的水倒入一个棱长为4分米的正方体容器中，水会不会溢出？如果会，求出溢出的水的体积。 ③如果将长方体容器的水倒一部分到这个正方体容器中，使两个容器中的水面一样高。这时，两个容器中的水面高度是多少？ 7．探索与发现。奇思想研究用一个边长10厘米的正方形铁板做成一个无盖的长方体，什么情况下盛水最多，让我们一起来探索吧。 ①如图，在正方形四角剪去4个边长1厘米小正方形后，再折成一个长方体后，容积是多少立方厘米？ ②如图，在正方形四角剪去4个边长2厘米小正方形后，再折成一个长方体后，容积是多少立方厘米？ ③通过上面的计算，乐乐认为剪去的小正方形边长越长，折成的长方体的容积越大，你同意吗？为什么？ 8．雨哗啦啦不停地均匀地下着，在雨地里放有一个长方体容器（如图甲），雨水1小时正好将它灌满。如果在同一个雨地里放有另一个容器（如图乙），雨水将它灌满需要多少时间？（单位：厘米） 9．如图①，一个长20厘米、宽8厘米、高10厘米的长方体玻璃缸里有一些水。现将一头抬高后如图②，厘米。 ① ② ③ （1）这些水的体积是 　　毫升； （2）如果这头再抬高，水至玻璃缸口，正好与缸口重合，如图③，这时长 　　厘米。 10．将两个完全一样的长方体按以下3种方法拼成不同的长方体，三种拼法中表面积最大是多少？表面积最小是多少？（单位：厘米） 11．自然实验室有一个玻璃缸长，宽，深．缸里的水深，刘老师放进一个体积为的正方体铁块后，水会从玻璃缸里溢出来吗？ 12．一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体，得到了五条信息： 信息1：如果高再增加3厘米，它恰好是一个正方体。 信息2：长方体的侧面积是280平方厘米。 信息3：长方体的表面积是480平方厘米。 信息4：长方体的棱长总和是108厘米。 信息5：长方体的底面周长是40厘米。 这五条信息都是正确的，请从中选择需要的信息，求出这个长方体的体积。 13．先画图再计算。如图是一个长方体展开图的两个面，请你画出其余的四个面示意图，使他成为一个完整的长方体展开图。（单位： （1）这个长方体的体积是多少？ （2）做这个长方体形状的盒子大约要用多少平方分米的铁皮？ 14．如图是用19个棱长为的小正方体搭成的几何体。 （1）这个几何体的体积是 　　， 列综合算式计算如下： （2）如果要计算表面积，可以分别从不同角度进行观察： 上面有 　　个小正方形，下面的小正方形个数与上面 　　； 前面有 　　个小正方形，后面的小正方形个数与上面 　　； 左面有 　　个小正方形，右面的小正方形个数与上面 　　； 所以，这个几何体的表面积一共包含有 　　个小正方形，表面积是 　　。 列综合算式计算如下： 15．一个学习小组的4名同学观察并测量了一个长方体。甲说：“这个长方体的棱长总和是。”乙说：“它的底面周长是。”丙说：“长方体的前后左右四个面的面积之和是。”丁说：“如果高再增加恰好是一个正方体。”4人得到的数据都是正确的，请你选择必要的数据，分别求出这个长方体的表面积和体积。 16．一张长和宽分别是、的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为的小正方形，（如图）弯折后焊接成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的表面积是多少？容积是多少升？ 17．2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。如图是一个长方体的表面展开图，每个面都标注了汉字，认真观察，完成下面的问题。 （1）将它折叠成长方体后，与“成”字相对面上的字是“　　”。 （2）计算这个长方体的表面积和体积。 18．一个正方形纸板的边长是60厘米，减去四个相同的小正方形（如图所示），可以围成无盖的长方体纸盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体纸盒容积是多少升呢？ （2）如果减去的小正方形的边长用分米表示，你能够利用下表去探究这个无盖长方体纸盒的容积吗？ 小正方形边长 长方体底面长 长方体底面宽 长方体容积 探究的过程中发现：必须小于 　　分米； （3）请你用字母公式来表示这个无盖长方体纸盒的容积。 19．张开慧眼，探索奥秘。 长方体 长 宽 高 表面积 体积 ① 　　 　　 ② 　　 　　 ③ 　　 　　 （1）完成统计表。 （2）长方体的长、宽、高都变为原来的2倍，它的表面积和体积都发生了什么变化？ 说说你的发现： （3）大胆猜想，推理求证。 当长方体的长、宽、高都变为原来的倍时，它的表面积和体积分别怎样变化？ 20．王师傅准备用一块长方形铁皮制作一个无盖的长方体水箱，他在铁皮上画了一个水箱的平面展开图。（如图） （1）这块铁皮的利用率是多少？ （2）不改变水箱的尺寸和底面形状，你能帮助王师傅重新设计一个水箱平面展开图吗？请将你的设计画在下边的图中。 21．学校为同学们新修了8张乒乓球台，台面的长、宽、高分别是27分米，15分米，5厘米，台腿的长、宽、高分别约是10分米、5厘米、8分米．做这些这些乒乓球台至少共用了混凝土多少立方米？ 22．把下面这个展开图折成一个长方体． ①如果面在底部，那么　 　面在上面． ②如果面在前面，从左面看是面，　 　面在上面． ③测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积． 23．一种长80厘米、宽20厘米、高130厘米的长方体广告灯箱，框架由铝合金条制成，各个面由灯箱布围成．制作一个这样的广告灯箱，至少需要铝合金条多少分米？需要灯箱布多少平方分米？ 24．在一个棱长8分米的正方体上放一个棱长为6厘米的小正方体，求这个立体图形的表面积和体积． 25．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 《知识解读+题型专练》 ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 保密★启用前 （应用意识）第一单元 长方体和正方体 解决实际问题（挑战奥数） 注意事项： 1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。 2．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。 3．考试结束后将试卷和答题卡一并交回。 1．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长6分米，宽5分米，高8分米；乙容器长5分米、宽4分米，高15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出现正方形时的注水高度是 　　分米。 （2）当甲容器中第2次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器壁的厚度） 2．淘淘参加魔方比赛得了一个奖杯，奖杯底座长18厘米，宽12厘米，杯身高25厘米。如果给奖杯设计一个包装盒，应选第几种包装盒？制作这个包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 包装盒种类 长宽高（单位：厘米） 第一种 第二种 第三种 3．从如图中切一个最大的正方体。（单位：厘米） ①这个正方体的体积是多少？ ②如果再从剩余的部分再切一个最大的正方体，这个正方体的体积又是多大呢？ 4．用一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮做一个深5厘米的无盖长方体容器（焊接处和铁皮厚度不计）。 如图三种焊接方法中，按哪种方法焊接后做成的长方体容器的容积最大？ 5．自制长方体“餐桌吐骨盒” 准备一张长方形卡纸，分别在卡纸的四个角上画一个边长5厘米的正方形。剪掉正方形，再沿虚线折起来，粘成一个无盖的长方体“餐桌吐骨盒”。 （1）这个长方体“餐桌吐骨盒”的长是 　　厘米，宽是 　　厘米，高是 　　厘米，容积是 　　立方厘米。 （2）求“实际使用卡纸面积是多少平方厘米？”下面是迪迪的计算方法，请你简要说说他的计算思路。 （平方厘米） 迪迪的计算思路： 6．如图，有一个长6分米、宽4分米、高4分米的长方体容器，长方体容器里装有2.8分米深的水。 ①这个容器有多少立方分米的水？ ②如果将这个长方体容器中的水倒入一个棱长为4分米的正方体容器中，水会不会溢出？如果会，求出溢出的水的体积。 ③如果将长方体容器的水倒一部分到这个正方体容器中，使两个容器中的水面一样高。这时，两个容器中的水面高度是多少？ 7．探索与发现。奇思想研究用一个边长10厘米的正方形铁板做成一个无盖的长方体，什么情况下盛水最多，让我们一起来探索吧。 ①如图，在正方形四角剪去4个边长1厘米小正方形后，再折成一个长方体后，容积是多少立方厘米？ ②如图，在正方形四角剪去4个边长2厘米小正方形后，再折成一个长方体后，容积是多少立方厘米？ ③通过上面的计算，乐乐认为剪去的小正方形边长越长，折成的长方体的容积越大，你同意吗？为什么？ 8．雨哗啦啦不停地均匀地下着，在雨地里放有一个长方体容器（如图甲），雨水1小时正好将它灌满。如果在同一个雨地里放有另一个容器（如图乙），雨水将它灌满需要多少时间？（单位：厘米） 9．如图①，一个长20厘米、宽8厘米、高10厘米的长方体玻璃缸里有一些水。现将一头抬高后如图②，厘米。 ① ② ③ （1）这些水的体积是 　　毫升； （2）如果这头再抬高，水至玻璃缸口，正好与缸口重合，如图③，这时长 　　厘米。 10．将两个完全一样的长方体按以下3种方法拼成不同的长方体，三种拼法中表面积最大是多少？表面积最小是多少？（单位：厘米） 11．自然实验室有一个玻璃缸长，宽，深．缸里的水深，刘老师放进一个体积为的正方体铁块后，水会从玻璃缸里溢出来吗？ 12．一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体，得到了五条信息： 信息1：如果高再增加3厘米，它恰好是一个正方体。 信息2：长方体的侧面积是280平方厘米。 信息3：长方体的表面积是480平方厘米。 信息4：长方体的棱长总和是108厘米。 信息5：长方体的底面周长是40厘米。 这五条信息都是正确的，请从中选择需要的信息，求出这个长方体的体积。 13．先画图再计算。如图是一个长方体展开图的两个面，请你画出其余的四个面示意图，使他成为一个完整的长方体展开图。（单位： （1）这个长方体的体积是多少？ （2）做这个长方体形状的盒子大约要用多少平方分米的铁皮？ 14．如图是用19个棱长为的小正方体搭成的几何体。 （1）这个几何体的体积是 　　， 列综合算式计算如下： （2）如果要计算表面积，可以分别从不同角度进行观察： 上面有 　　个小正方形，下面的小正方形个数与上面 　　； 前面有 　　个小正方形，后面的小正方形个数与上面 　　； 左面有 　　个小正方形，右面的小正方形个数与上面 　　； 所以，这个几何体的表面积一共包含有 　　个小正方形，表面积是 　　。 列综合算式计算如下： 15．一个学习小组的4名同学观察并测量了一个长方体。甲说：“这个长方体的棱长总和是。”乙说：“它的底面周长是。”丙说：“长方体的前后左右四个面的面积之和是。”丁说：“如果高再增加恰好是一个正方体。”4人得到的数据都是正确的，请你选择必要的数据，分别求出这个长方体的表面积和体积。 16．一张长和宽分别是、的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为的小正方形，（如图）弯折后焊接成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的表面积是多少？容积是多少升？ 17．2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。如图是一个长方体的表面展开图，每个面都标注了汉字，认真观察，完成下面的问题。 （1）将它折叠成长方体后，与“成”字相对面上的字是“　　”。 （2）计算这个长方体的表面积和体积。 18．一个正方形纸板的边长是60厘米，减去四个相同的小正方形（如图所示），可以围成无盖的长方体纸盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体纸盒容积是多少升呢？ （2）如果减去的小正方形的边长用分米表示，你能够利用下表去探究这个无盖长方体纸盒的容积吗？ 小正方形边长 长方体底面长 长方体底面宽 长方体容积 探究的过程中发现：必须小于 　　分米； （3）请你用字母公式来表示这个无盖长方体纸盒的容积。 19．张开慧眼，探索奥秘。 长方体 长 宽 高 表面积 体积 ① 　　 　　 ② 　　 　　 ③ 　　 　　 （1）完成统计表。 （2）长方体的长、宽、高都变为原来的2倍，它的表面积和体积都发生了什么变化？ 说说你的发现： （3）大胆猜想，推理求证。 当长方体的长、宽、高都变为原来的倍时，它的表面积和体积分别怎样变化？ 20．王师傅准备用一块长方形铁皮制作一个无盖的长方体水箱，他在铁皮上画了一个水箱的平面展开图。（如图） （1）这块铁皮的利用率是多少？ （2）不改变水箱的尺寸和底面形状，你能帮助王师傅重新设计一个水箱平面展开图吗？请将你的设计画在下边的图中。 21．学校为同学们新修了8张乒乓球台，台面的长、宽、高分别是27分米，15分米，5厘米，台腿的长、宽、高分别约是10分米、5厘米、8分米．做这些这些乒乓球台至少共用了混凝土多少立方米？ 22．把下面这个展开图折成一个长方体． ①如果面在底部，那么　 　面在上面． ②如果面在前面，从左面看是面，　 　面在上面． ③测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积． 23．一种长80厘米、宽20厘米、高130厘米的长方体广告灯箱，框架由铝合金条制成，各个面由灯箱布围成．制作一个这样的广告灯箱，至少需要铝合金条多少分米？需要灯箱布多少平方分米？ 24．在一个棱长8分米的正方体上放一个棱长为6厘米的小正方体，求这个立体图形的表面积和体积． 25．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 《知识解读+题型专练》 （应用意识）第一单元 长方体和正方体 解决实际问题（挑战奥数） 答案解析 1．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长6分米，宽5分米，高8分米；乙容器长5分米、宽4分米，高15分米。 （1）向甲容器中注水时，容器侧面可以观测到出现两次正方形，请问第一次出现正方形时的注水高度是 　5　分米。 （2）当甲容器中第2次出现正方形时，将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？（不考虑容器壁的厚度） 【分析】（1）根据正方形的特征可知，第一次出现正方形时，注水高度是5分米。 （2）当甲容器中第2次出现正方形时，注水高度是6分米，根据长方体的体积公式：，把数据代入求出甲容器中水的体积，用甲容器中水的体积除以甲、乙两个容器的底面积之和即可求出此时水面的高度，然后把数据代入公式求出乙容器中水的体积即可。 【解答】解：（1）第一次出现正方形时，注水高度是5分米。 （2）（立方分米） （分米） （立方分米） 答：需要从甲容器中倒出72立方分米水。 故答案为：5。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．淘淘参加魔方比赛得了一个奖杯，奖杯底座长18厘米，宽12厘米，杯身高25厘米。如果给奖杯设计一个包装盒，应选第几种包装盒？制作这个包装盒至少需要多少平方厘米的纸板？ 包装盒种类 长宽高（单位：厘米） 第一种 第二种 第三种 【分析】根据题意可知，这个包装盒的长、宽、高一定大于奖杯的长、宽、高，通过观察统计表可知，应该选择第二种包装盒，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：应选择第二种包装盒。 （平方厘米） 答：应选择第二种包装盒，制作这个包装盒至少需要2700平方厘米的纸板。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。 3．从如图中切一个最大的正方体。（单位：厘米） ①这个正方体的体积是多少？ ②如果再从剩余的部分再切一个最大的正方体，这个正方体的体积又是多大呢？ 【分析】（1）根据长方体、正方体的特征可知，从这个长方体中切一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的高，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）如果再从剩下的部分切一个最大正方体，这个正方体的棱长是厘米，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1） （立方厘米） 答：这个正方体的体积是729立方厘米。 （2）（厘米） （立方厘米） 答：这个正方体的体积是216立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征及应用，正方体的体积公式及应用，关键是熟记公式。 4．用一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮做一个深5厘米的无盖长方体容器（焊接处和铁皮厚度不计）。 如图三种焊接方法中，按哪种方法焊接后做成的长方体容器的容积最大？ 【分析】①焊接后的长方体容器的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米。 ②焊接后的长方体容器的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米。 ③焊接后的长方体容器的底面边长是厘米，高是厘米，根据长方体的体积（容积）公式，把数据分别代入公式求出三个容器的容积，然后进行比较即可。 【解答】解：① （立方厘米） ② （立方厘米） ③ （立方厘米） 答：第③种方法焊接后做成的长方体容器的容积最大。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 5．自制长方体“餐桌吐骨盒” 准备一张长方形卡纸，分别在卡纸的四个角上画一个边长5厘米的正方形。剪掉正方形，再沿虚线折起来，粘成一个无盖的长方体“餐桌吐骨盒”。 （1）这个长方体“餐桌吐骨盒”的长是 　20　厘米，宽是 　　厘米，高是 　　厘米，容积是 　　立方厘米。 （2）求“实际使用卡纸面积是多少平方厘米？”下面是迪迪的计算方法，请你简要说说他的计算思路。 （平方厘米） 迪迪的计算思路： 【分析】（1）通过观察图形可知，这个长方形盒子的长是厘米，宽是厘米，高是5厘米，根据长方体的容积公式：，把数据代入公式解答。 （3）这个盒子实际用卡纸的面积等于长方形的面积减去4个正方形的面积。 【解答】解：（1） （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的长是20厘米，宽是10厘米，高是5厘米，容积是1000立方厘米。 （2）（平方厘米） 迪迪的计算思路：这个盒子实际用卡纸的面积等于长方形的面积减去4个正方形的面积。 故答案为：20，10，5，1000。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式、长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 6．如图，有一个长6分米、宽4分米、高4分米的长方体容器，长方体容器里装有2.8分米深的水。 ①这个容器有多少立方分米的水？ ②如果将这个长方体容器中的水倒入一个棱长为4分米的正方体容器中，水会不会溢出？如果会，求出溢出的水的体积。 ③如果将长方体容器的水倒一部分到这个正方体容器中，使两个容器中的水面一样高。这时，两个容器中的水面高度是多少？ 【分析】①根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答。 ②根据正方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式求出这个正方体容器的容积，然后与长方体容器内水的体积进行比较即可。 ③用原来长方体容器内水的体积除以长方体和正方体容器的底面积之和即可。 【解答】解：① （立方分米） 答：这个容器有67.2立方分米的水。 ②（立方分米） （立方分米） 答：水会溢出，溢出的水的体积是3.2立方分米。 ③ （分米） 答：两个容器中的水面高度是1.68分米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体的体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 7．探索与发现。奇思想研究用一个边长10厘米的正方形铁板做成一个无盖的长方体，什么情况下盛水最多，让我们一起来探索吧。 ①如图，在正方形四角剪去4个边长1厘米小正方形后，再折成一个长方体后，容积是多少立方厘米？ ②如图，在正方形四角剪去4个边长2厘米小正方形后，再折成一个长方体后，容积是多少立方厘米？ ③通过上面的计算，乐乐认为剪去的小正方形边长越长，折成的长方体的容积越大，你同意吗？为什么？ 【分析】①先确定折成的长方体容器的长、宽、高，根据长方体的容积公式：，求出容器的容积。 ②折成长方体容器的底面边长是厘米，高是2厘米，根据长方体的容积公式：，求出容器的容积。 ③不题意乐乐的说法，可以通过举例证明。 【解答】解：① （立方厘米） 答：容积是64立方厘米。 ② （立方厘米） 答：容积是72立方厘米。 ③不同意乐乐的说法。 如：在正方形四角剪去4个边长2厘米小正方形后，再折成一个长方体后，容积是： （立方厘米） 因为长方体容积的大小是由长方体的长、宽、高的大小决定的。 【点评】此题主要考查长方体容积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 8．雨哗啦啦不停地均匀地下着，在雨地里放有一个长方体容器（如图甲），雨水1小时正好将它灌满。如果在同一个雨地里放有另一个容器（如图乙），雨水将它灌满需要多少时间？（单位：厘米） 【分析】因为甲、乙两个容器的底面积相等，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出甲容器的容积小时注入水的体积），再求出乙容器的容积，然后根据“包含”除法的意义，用除法解答。 【解答】解： （小时） 答：雨水将乙容器灌满需要4小时。 【点评】此题主要考查长方体体积（容积）公式的灵活运用，关键是熟记公式。 9．如图①，一个长20厘米、宽8厘米、高10厘米的长方体玻璃缸里有一些水。现将一头抬高后如图②，厘米。 ① ② ③ （1）这些水的体积是 　560　毫升； （2）如果这头再抬高，水至玻璃缸口，正好与缸口重合，如图③，这时长 　　厘米。 【分析】（1）通过观察图形可知，长方体玻璃缸的高是10厘米，厘米，那么左面的水的高是厘米，可以求出玻璃缸内水的高是厘米体积，然后除以2即可。根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）玻璃缸无论平放还是斜放，玻璃缸内水的体积不变，可以这些水的体积的2倍除以玻璃缸左面的面积求出此时水的长，然后用原来玻璃缸的长减去此时水的长即可求出的长。 【解答】解：（1） （立方厘米） 560立方厘米毫升 答：这些水的体积是560毫升。 （2） （厘米） 答：这时长6厘米。 故答案为：560；6。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是明确：玻璃缸无论平放还是斜放，玻璃缸内水的体积不变。 10．将两个完全一样的长方体按以下3种方法拼成不同的长方体，三种拼法中表面积最大是多少？表面积最小是多少？（单位：厘米） 【分析】根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出拼成的3个长方体的表面积，然后进行比较即可。 【解答】解：（厘米） （厘米） （厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：三种拼法中表面积最大是500平方厘米，表面积最小是440平方厘米。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 11．自然实验室有一个玻璃缸长，宽，深．缸里的水深，刘老师放进一个体积为的正方体铁块后，水会从玻璃缸里溢出来吗？ 【分析】根据长方体的体积公式：，把数据代入公式求出玻璃缸内水的体积，用水的体积加上铁块的体积再除以玻璃缸的底面积求出水的高，用水的高与玻璃缸的深进行比较即可． 【解答】解：1.2分米厘米， （立方厘米）， （厘米）， 12厘米厘米， 答：水不会从玻璃缸里溢出来． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式． 12．一个学习小组的四名同学观察并测量了一个长方体，得到了五条信息： 信息1：如果高再增加3厘米，它恰好是一个正方体。 信息2：长方体的侧面积是280平方厘米。 信息3：长方体的表面积是480平方厘米。 信息4：长方体的棱长总和是108厘米。 信息5：长方体的底面周长是40厘米。 这五条信息都是正确的，请从中选择需要的信息，求出这个长方体的体积。 【分析】根据信息1可知，这个长方体的底面是正方形，即长方体的长和宽相等，长方体的高比长和宽少3厘米；根据信息5可知，长方体的底面正方形的周长是40厘米，根据正方形的周长边长，那么边长周长，据此求出长方体的长和宽，进而求出长方体的高，然后根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：长方体的长、宽：（厘米） 长方体的高：（厘米） 长方体的体积： （立方厘米） 答：这个长方体的体积是700立方厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的特征，以及正方形的周长公式、长方体的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 13．先画图再计算。如图是一个长方体展开图的两个面，请你画出其余的四个面示意图，使他成为一个完整的长方体展开图。（单位： （1）这个长方体的体积是多少？ （2）做这个长方体形状的盒子大约要用多少平方分米的铁皮？ 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形，相对的两个面的面积相等，根据长方体展开图：“”型，补充完成长方体的展开图。 （1）根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：作图如下： （1）（立方厘米） 答：这个长方体的体积是160立方厘米。 （2） （平方厘米） 232平方厘米平方分米 答：做这个长方体形状的盒子大约要用2.32平方分米的铁皮。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的体积、表面积公式及应用。 14．如图是用19个棱长为的小正方体搭成的几何体。 （1）这个几何体的体积是 　152　， 列综合算式计算如下： （2）如果要计算表面积，可以分别从不同角度进行观察： 上面有 　　个小正方形，下面的小正方形个数与上面 　　； 前面有 　　个小正方形，后面的小正方形个数与上面 　　； 左面有 　　个小正方形，右面的小正方形个数与上面 　　； 所以，这个几何体的表面积一共包含有 　　个小正方形，表面积是 　　。 列综合算式计算如下： 【分析】（1）根据正方体的体积公式：，把数据代入公式求出1个小正方体的体积，然后再乘小正方体的个数即可。 （2）如果要计算表面积，可以分别从不同角度进行观察： 上面有13个小正方形，下面的小正方形个数与上面相同； 前面有7个小正方形，后面的小正方形个数与上面相同； 左面有9个小正方形，右面的小正方形个数与上面相同； 所以，这个几何体的表面积一共包含有58个小正方形，表面积是58平方厘米。据此解答。 【解答】解：（1） （立方厘米） 答：这个组合图形的体积是152立方厘米。 （2）如果要计算表面积，可以分别从不同角度进行观察： 上面有13个小正方形，下面的小正方形个数与上面相同； 前面有7个小正方形，后面的小正方形个数与上面相同； 左面有9个小正方形，右面的小正方形个数与上面相同； （平方厘米） 答：这个组合图形的表面积是58平方厘米。 故答案为：152；13，相同，7，相同，9，相同，58，58； 【点评】此题考查的目的是理解掌握求组合图形的体积、表面积的方法及应用。 15．一个学习小组的4名同学观察并测量了一个长方体。甲说：“这个长方体的棱长总和是。”乙说：“它的底面周长是。”丙说：“长方体的前后左右四个面的面积之和是。”丁说：“如果高再增加恰好是一个正方体。”4人得到的数据都是正确的，请你选择必要的数据，分别求出这个长方体的表面积和体积。 【分析】因为长方体的前后左右四个面的面积底面周长高，又知如果高再增加恰好是一个正方体。说明原来长方体的长和宽相等，所以选择的数据是：它的底面周长是；长方体的前后左右四个面的面积之和是；如果高再增加恰好是一个正方体。然后根据长方体的表面积侧面积两个底面的面积，长方体的体积底面积高，把数据代入公式解答。 【解答】解：（厘米） （厘米） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是168平方厘米，体积是144立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式，重点是先求出长方体的底面边长和高。 16．一张长和宽分别是、的长方形铁皮，在它的4个角各剪去一个边长为的小正方形，（如图）弯折后焊接成一个无盖的铁皮水箱，这个水箱的表面积是多少？容积是多少升？ 【分析】①根据题意可知：这个水箱的表面积等于长方形铁皮的面积减去4个正方形的面积，根据长方形的、正方形的面积公式解答即可； ②要求这个长方体的体积，需要知道它的长、宽、高，由题意可知：长方体的长与宽即硬纸片长、宽分别减去小正方形两个边长，长方体的高即小正方形的边长，再根据长方体的体积（容积）公式：，把数据代入公式解答． 【解答】解：① （平方厘米）； 答：这个水箱的表面积是10400平方厘米． ②： （立方厘米）， 96000立方厘米升； 答：这个长方体的水箱的容积是96升． 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、容积公式的灵活运用，关键是熟记公式，注意：体积单位与容积之间的换算． 17．2022年6月5日神舟十四号载人飞船成功发射，陈冬、刘洋、蔡旭哲3名航天员领命出征，即将开启为期6个月的飞行任务。如图是一个长方体的表面展开图，每个面都标注了汉字，认真观察，完成下面的问题。 （1）将它折叠成长方体后，与“成”字相对面上的字是“　发　”。 （2）计算这个长方体的表面积和体积。 【分析】（1）根据长方体展开图的特征可知：神与射相对，14与功相对，成与发相对，据此解答即可。 （2）通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是4厘米，根据长方体的体积公式及长方体的表面积公式，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）由分析得：将它折叠成长方体后，与“成”字相对面上的字是“发”。 （2） （平方厘米） （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是432平方厘米，体积是576立方厘米。 故答案为：发。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 18．一个正方形纸板的边长是60厘米，减去四个相同的小正方形（如图所示），可以围成无盖的长方体纸盒。 （1）如果减去的小正方形的边长是5厘米，围成的长方体纸盒容积是多少升呢？ （2）如果减去的小正方形的边长用分米表示，你能够利用下表去探究这个无盖长方体纸盒的容积吗？ 小正方形边长 长方体底面长 长方体底面宽 长方体容积 探究的过程中发现：必须小于 　3　分米； （3）请你用字母公式来表示这个无盖长方体纸盒的容积。 【分析】（1）通过观察图形可知，围成的长方体纸盒的底面边长是厘米，高是5厘米，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 （2）如果减去的小正方形的边长用分米表示，那么围成的长方体纸盒的底面边长是分米，高是分米，根据长方体的体积公式：，把数据代入公式解答。 （3）根据无盖长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1） （立方厘米） 12500立方厘米升 答：围成的长方体纸盒容积是12.5升。 （2）60厘米分米 小正方形边长 长方体底面长 4 2 0 长方体底面宽 4 2 0 长方体容积 16 8 0 探究的过程中发现：必须小于3分米。 （3）用字母公式来表示这个无盖长方体纸盒的容积是（立方分米）。 故答案为：3。 【点评】此题主要考查长方体的容积（体积）公式，无盖长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 19．张开慧眼，探索奥秘。 长方体 长 宽 高 表面积 体积 ① 　52　 　　 ② 　　 　　 ③ 　　 　　 （1）完成统计表。 （2）长方体的长、宽、高都变为原来的2倍，它的表面积和体积都发生了什么变化？ 说说你的发现： （3）大胆猜想，推理求证。 当长方体的长、宽、高都变为原来的倍时，它的表面积和体积分别怎样变化？ 【分析】（1）根据长方体的表面积公式：，体积公式：，把数据代入公式解答。 （2） 【解答】解：（1）① （平方厘米） （立方厘米） ② （平方厘米） （立方厘米） ③ （平方厘米） （立方厘米） 填表如下： 长方体 长 宽 高 表面积 体积 ① ② ③ （2）通过观察统计表可知，长方体的长、宽、高都变为原来的2倍，它的表面积变为原来的4倍，体积变为原来的8倍。 （3）当长方体的长、宽、高都变为原来的倍时，它的表面积变为原来的倍，体积变为原来的倍。 故答案为：52、24；208、192；832、1536。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，积的变化规律及应用，关键是熟记公式。 20．王师傅准备用一块长方形铁皮制作一个无盖的长方体水箱，他在铁皮上画了一个水箱的平面展开图。（如图） （1）这块铁皮的利用率是多少？ （2）不改变水箱的尺寸和底面形状，你能帮助王师傅重新设计一个水箱平面展开图吗？请将你的设计画在下边的图中。 【分析】（1）通过观察图形可知，这个无盖长方体的长是40厘米，宽是20厘米，高是30厘米，根据无盖长方体的表面积公式：，把数据代入公式求出需要铁皮的面积，再根据长方形的面积公式：，把数据代入公式求出这块长方形铁皮的面积，然后根据求一个数是另一个数的百分之几，用除法解答。 （2）根据长方体展开图的特征，画出这个无盖长方体的展开图。 【解答】解：（1）做这个无盖长方体水箱需要铁皮的面积： （平方厘米） 长方形铁皮的面积： （平方厘米） 利用率： 答：这块铁皮的利用率是。 （2）根据长方体展开图的特征，作图如下： 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征，长方体表面积公式的灵活运用，长方形面积公式的灵活运用，百分数的意义及应用。 21．学校为同学们新修了8张乒乓球台，台面的长、宽、高分别是27分米，15分米，5厘米，台腿的长、宽、高分别约是10分米、5厘米、8分米．做这些这些乒乓球台至少共用了混凝土多少立方米？ 【分析】根据长方体的体积的公式：，把数据代入公式求出一张乒乓球台用混凝土多少立方米，然后乘8即可．据此解答． 【解答】解：27分米米， 15分米米， 5厘米米， 10分米米， 8分米米， （立方米）， 做这些这些乒乓球台至少共用了混凝土2.26立方米． 【点评】此题主要考查长方体的体积公式在实际生活中的应用． 22．把下面这个展开图折成一个长方体． ①如果面在底部，那么　　面在上面． ②如果面在前面，从左面看是面，　 　面在上面． ③测量有关数据（取整厘米数），算出它的表面积和体积． 【分析】根据长方体的特征，6个面多少长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），与相对，与相对，与相对；相对的面的面积相等．通过测量长3厘米，宽2厘米高1厘米；根据表面积公式，，体积公式，，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：（1）如果面在底部，那么面在上面； （2）如果面在前面，从左面看是面，面在上面． （3）表面积： ， ， ， （平方厘米）； 体积： （立方厘米）； 答：表面积是22平方厘米；体积是6立方厘米． 故答案为：（1）；（2）． 【点评】此题主要考查长方体的特征，以及表面积、体积的计算，根据表面积公式、体积公式解答． 23．一种长80厘米、宽20厘米、高130厘米的长方体广告灯箱，框架由铝合金条制成，各个面由灯箱布围成．制作一个这样的广告灯箱，至少需要铝合金条多少分米？需要灯箱布多少平方分米？ 【分析】根据题意可知，求至少需要铝合金条多少分米，是求长方体的棱长总和，根据棱长总和（长宽高）解答；需要灯箱布多少平方分米是求它的表面积；表面积公式是，把数据代入公式解答即可． 【解答】解：80厘米分米、20厘米分米、130厘米分米， ， ， （分米）； ， ， ， （平方分米）； 答：至少需要铝合金条92分米，需要灯箱布292平方分米． 【点评】此题主要考查长方体的特征以及棱长总和、表面积的计算，直接根据棱长总和公式、表面积公式解答． 24．在一个棱长8分米的正方体上放一个棱长为6厘米的小正方体，求这个立体图形的表面积和体积． 【分析】由图形可知，这个组合图形的体积等于两个正方体的体积之和，表面积等于两个正方体的表面积之和减去边长6厘米的两个正方形的面积．根据正方体的体积公式：，表面积公式：，把数据分别代入公式解答． 【解答】解：6厘米分米． （平方分米）； （立方分米）； 答：表面积是385.44平方分米，这个立体图形的体积是512.216立方分米． 【点评】此题主要考查正方体的体积公式、表面积公式的灵活运用． 25．如图：一个长方体水槽宽40厘米，高10厘米，水槽正中间有一块高6厘米的隔板，将水槽下面分成了相等的2部分。现在同时往左右两边注水，已知左边注水速度为每分钟2升。注水3分钟后，右边水面高度已与隔板齐平。又经过1.5分钟，左边水面高度也与隔板齐平。 （1）水槽的容积是多少？ （2）注满水槽共需几分钟？ 【分析】（1）设右边每分钟注水升，先求出右边注水的体积，左边比右边多用1.5分钟，据此列方程求出右边注水的时间，再根据长方体的体积公式：，那么，据此求出水槽左边（或右边）的长，进而求出最高水槽的长，然后把数据代入公式解答。 （2）元水槽的容积除以左右两个水管每分钟共注水的体积即可。 【解答】解：（1）设右边每分钟注水升， （升 18升立方厘米 （厘米） （厘米） （立方厘米） 60000立方厘米升 答：水槽的容积是60升。 （2） （分钟） 答：注满水槽共需7.5分钟。 【点评】此题主要考查长方体的体积（容积）公式的灵活运用，列方程解决问题的方法及应用，关键是熟记公式。 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