26.2 反比例函数综合应用（知识解读+达标检测）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

26.2 反比例函数综合应用 【考点1 行程与工程应用】 【考点2 物理学中的应用】 【考点3 经济学的应用】 【考点4 生活中其他的应用】 【考点5 反比例函数与一次函数综合】 【考点1 行程与工程应用】 【典例1】（2023•西乡塘区二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务． ​（1）设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运选任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ （2）由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【变式1-1】（2023秋•顺平县期末）一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，行驶全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示． （1）请写出这个反比例函数的解析式． （2）甲乙两地间的距离是 　　km． （3）根据高速公路管理规定，车速最高不能超过120km/h，若汽车行驶全程不进入服务区休息，且要求在4.5h以内从甲地到达乙地，求汽车行驶速度应控制在什么范围之内． 【变式1-2】（2023•松原模拟）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数y（单位：天）与每天完成的工程量x（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分． （1）请根据题意，求y关于x的函数解析式； （2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【变式1-3】（2023•滨江区一模）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天． ①求y关于t的函数表达式． ②当0＜t≤80时，求y的取值范围． （2）若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【考点2 物理学中的应用】 【典例2】（2023春•宛城区期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示． （1）P关于S的函数关系式为 　 　． （2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是 　 　Pa． （3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围． 【变式2-1】（2023•南海区校级模拟）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．以下说法不正确的是（　　） A．本实验中电压表的读数为2.5V B．当定值电阻Rx＝10Ω时，电流表的示数为0.25A C．当电流表的示数为0.1A时，定值电阻Rx＝20Ω D．电流I与电阻Rx之间的函数关系式为 【变式2-2】（2023•平城区模拟）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（　　） A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克 【变式2-3】（2023•大连模拟）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当I＝1A时，R＝3Ω． （1）求电流I关于电阻R的函数关系式； （2）若1.5A≤I≤7.5A，求电阻R的变化范围． 【考点3 经济学的应用】 【典例3】（2023•前郭县二模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件． （1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式； （2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？ 【变式3-1】（2022秋•顺德区期末）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 （1）求y关于x的关系式； （2）某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【变式3-2】（2022春•邗江区期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件． （1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式； （2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数； （3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等） 【变式3-3】（2022•抚顺模拟）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； （2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ （3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？ 【考点4 生活中其他的应用】 【典例4】（2023春•原阳县期中）根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧完毕后，y（毫克）与时间x（分钟）成反比例，如图所示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）求当药物燃烧时，y关于x的函数关系式；求药物燃烧后，y关于x的函数关系式． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ 【变式4-1】（2022秋•渭南期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【变式4-2】（2022•冷水滩区校级开学）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与和通电时间x（min）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程，设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）的关系如图所示，回答下列问题： （1）分别求出当0≤x≤8和8≤x≤a时，y与x之间的函数表达式； （2）求出图中a的值； （3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他要在什么时间段内接水？ 【变式4-3】（2023春•靖江市期末）实验数据显示，一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由． 【考点5 反比例函数与一次函数综合】 【典例5】（2023秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点． （1）求反比例函数的解析式和n的值； （2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 【变式5-1】（2023•开阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值． 【变式5-2】（2023春•清江浦区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集； （3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，求点P的坐标． 一、单选题 1．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有质量为m 的气体，当改变容积V时，气体的密度p也随之改变，与V在一定范围内满足，它的图象如的质量m为（  ） A． B． C． D． 2．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该物体承受的压强的值为（    ）    A．400 B．600 C．800 D．1000 3．根据欧姆定律可知，若一个灯泡的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流I（A）越大，则灯泡就越亮．当电阻时，可测得某灯泡的电流A．若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，该灯泡亮度的变化情况为（    ） A．不变 B．变亮 C．变暗 D．不确定 4．有一段平直的公路，A与B间的距离是．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆经过A和B处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差输入程序后，随即输出此车在段的平均速度，则v与t间的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（   ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 6．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如下表：（动力动力臂阻力阻力臂）请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近的是（    ） 动力臂 … 0.5 1.0 1.5 … 动力 … 600 302 200 120 …      A． B． C． D． 7．已知某电路的电流与电阻的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．当电流为时，该电路电阻为 B．当电流为时，该电路电压为 C．当电阻为时，该电路电流为 D．该电路的电流随着电阻的增大而减小 8．已知某品牌蓄电池的电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．蓄电池的电压是10V B．当时， C．反比例函数关系式为 D．当时， 二、填空题 9．小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：如图，在一根匀质的木杆中点O 的左侧固定位置B 处悬挂重物A，在中点O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 之间的距离x（单位：），观察弹簧秤的示数y（单位：）的变化情况．实验数据记录如下表： x/ … 10 15 20 25 30 … y/ … 60 40 30 24 20 … 猜测y与x之间的函数关系，并求出函数解析式为 ．（不需要写出自变量x 的取值范围） 10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.125米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了 度． 11．杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ． 12．图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ． 13．某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，与成反比例，已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 分钟． 14．图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是 ．    15．某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 16．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)在降温过程中，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围． (2)在一个加热周期内，求水温不低于的时间． 17．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 26.2 反比例函数综合应用 【考点1 行程与工程应用】 【考点2 物理学中的应用】 【考点3 经济学的应用】 【考点4 生活中其他的应用】 【考点5 反比例函数与一次函数综合】 【考点1 行程与工程应用】 【典例1】（2023•西乡塘区二模）被称为“世纪工程”的广西平陆运河正在建设中，运河的某标段工程需要运送的土石方总量为300000立方米，某运输公司承担了该项工程运送土石方的任务． ​（1）设该运输公司平均的运送速度为y（单位：立方米/天），完成运选任务所需的时间为x（单位：天）． ①请直接写出y与x的函数关系式； ②若该运输公司每天可运送土石方6000立方米，则该公司完成全部运输任务需要多长时间？ （2）由于工程进度的需要，该公司实际平均每天运送土石方比原计划多2500立方米，结果工期比原计划减少了10天，该公司原计划每天运送土石方多少立方米． 【答案】（1）①y与x的函数关系式为y＝（x＞0，y＞0）；②公司完成全部运输任务需要50天； （2）该公司原计划每天运送土石方7500立方米． 【解答】解：（1）①根据题意得：yx＝300000， ∴y＝， ∴y与x的函数关系式为y＝（x＞0，y＞0）； ②当y＝6000时，x＝＝50（天）， 答：公司完成全部运输任务需要50天； （2）设该公司原计划每天运送土石方a立方米， 根据题意得：﹣＝10， 整理得；a2+2500a﹣30000×2500＝0， 解得a＝7500或a＝﹣10000（舍去）， 经检验a＝7500是原方程的根， ∴该公司原计划每天运送土石方7500立方米． 【变式1-1】（2023秋•顺平县期末）一辆汽车行驶在从甲地到乙地的高速公路上，行驶全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的反比例函数关系如图所示． （1）请写出这个反比例函数的解析式． （2）甲乙两地间的距离是 　90　km． （3）根据高速公路管理规定，车速最高不能超过120km/h，若汽车行驶全程不进入服务区休息，且要求在4.5h以内从甲地到达乙地，求汽车行驶速度应控制在什么范围之内． 【答案】（1）t＝（v＞0）； （2）90km； （3）20≤v≤120． 【解答】解：（1）设这个反比例函数的解析式是， 代入（10，9）得k＝90， ∴解析式t＝（v＞0）； （2）由（1）得， ∵k＝90， ∴甲乙两地间的距离是90km． 故答案为：90； （3）将t＝4.5代入，得v＝20， ∴20≤v≤120． 【变式1-2】（2023•松原模拟）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数y（单位：天）与每天完成的工程量x（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分． （1）请根据题意，求y关于x的函数解析式； （2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15m，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【答案】（1）． （2）40天． 【解答】解：（1）设， ∵点（24，50）在其图象上， ∴50＝， ∴k＝1200， ∴所求函数关系式为． （2）由题意知，2台挖掘机每天能够开挖水渠15×2＝30（米）， 当x＝30时，y＝＝40， 答：该工程队需要用40天才能完成此项任务． 【变式1-3】（2023•滨江区一模）市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务． （1）设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天． ①求y关于t的函数表达式． ②当0＜t≤80时，求y的取值范围． （2）若1辆卡车每天可运送土石方102立方米，工期要求在80天内完成，公司至少要安排多少辆相同型号卡车运输？ 【答案】（1）①y关于t的函数表达式为y＝；②y的取值范围为y≥12500；（2）公司至少要安排125辆相同型号卡车运输． 【解答】解：（1）①由题意得；y＝， ∴y关于t的函数表达式为y＝； ②当0＜t≤80时，y随t的增大而减小， ∴当t＝80时，y有最小值为＝12500， 当t接近于0，y的值越来越接近y轴，趋于无穷大， ∴y的取值范围为y≥12500； （2）设至少要安排x辆相同型号卡车运输， 依题意得：102x×80≥106， 解得：x≥125， ∴公司至少要安排125辆相同型号卡车运输． 【考点2 物理学中的应用】 【典例2】（2023春•宛城区期中）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强P（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示． （1）P关于S的函数关系式为 　P＝，（S＞0）　． （2）求当S＝0.25m2时，物体所受的压强是 　400　Pa． （3）当1000＜P＜4000时，求受力面积S的变化范围． 【答案】（1）P＝，（S＞0）；（2）400；（3）0.025＜S＜0.1． 【解答】解：（1）设P＝， ∵点（0.1，1000）在这个函数的图象上， ∴1000＝． ∴k＝100． ∴P与S的函数关系式为 P＝，（S＞0）． 故答案为：P＝，（S＞0）． （2）当S＝0.25m2时，P＝＝400（pa）． 故答案为：400． （3）令P＝1000，S＝＝0.1（m2）， 令P＝4000，S＝＝0.025（m2）， ∴当1000＜p＜4000时，0.025＜S＜0.1． 【变式2-1】（2023•南海区校级模拟）小明利用如图1所示的电路探究电流与电阻的关系，已知电源电压为3V且保持不变，更换了5个阻值不同的定值电阻Rx，依据五次实验的数据描点绘制了如图2所示的图象，已知I与Rx成反比例函数关系．以下说法不正确的是（　　） A．本实验中电压表的读数为2.5V B．当定值电阻Rx＝10Ω时，电流表的示数为0.25A C．当电流表的示数为0.1A时，定值电阻Rx＝20Ω D．电流I与电阻Rx之间的函数关系式为 【答案】C 【解答】解：由图象可知，电流I与电阻Rx之积为0.5×5＝2.5V， ∴本实验中电压表的读数为2.5 V， ∴电流I与电阻Rx之间的函数关系式为，选项A，D正确，故该选项不符合题意； 当Rx＝10Ω时，A，选项B正确，故该选项不符合题意； 当I＝0.1A时，由图象可知R＝25Ω≠20Ω，选项C错误，故该选项符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（2023•平城区模拟）由于王亮在实验室做实验时，没有找到天平称取实验所需药品的质量，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力×动力臂＝阻力×阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为60克的物品时，右盘中放置20克砝码天平平衡；如图2，将待称量药品放在右盘后，左盘放置12克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品质量是（　　） A．6克 B．4克 C．3.5克 D．3克 【答案】B 【解答】解：设该药品质量是x克，由题意，得 ， 解得：x＝4， 答：该药品质量是4克． 故选：B． 【变式2-3】（2023•大连模拟）根据物理学相关知识，在简单电路中，闭合开关，当导体两端电压U（单位：V）一定时，通过导体的电流I（单位：A）与导体的电阻R（单位：Ω）满足关系式，其中I与R满足反比例函数关系，它们的图象如图所示．当I＝1A时，R＝3Ω． （1）求电流I关于电阻R的函数关系式； （2）若1.5A≤I≤7.5A，求电阻R的变化范围． 【答案】（1）电流I关于电阻R的函数关系式为； （2）若1.5A≤I≤7.5A时，电阻R的变化范围为0.4Ω≤R≤2Ω． 【解答】解：（1）设I与R满足反比例函数关系为， 根据图象可知，该函数过点（1，3）， ∴， ∴k＝3， ∴， ∴电流I关于电阻R的函数关系式为； （2）当I＝1.5A时，R＝2Ω， 当I＝7.5A时，R＝0.4Ω， ∴若1.5A≤I≤7.5A时，电阻R的变化范围为0.4Ω≤R≤2Ω 【考点3 经济学的应用】 【典例3】（2023•前郭县二模）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其日销售量y与上市的天数x之间成正比例函数，当广告停止后，日销售量y与上市的天数x之间成反比例函数（如图所示），现已知上市20天时，当日销售量为100件． （1）写出该商品上市以后日销售量y件与上市的天数x天之间的表达式； （2）广告合同约定，当日销售量不低于80件，并且持续天数不少于10天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”，并说明理由？ 【答案】（1）y＝； （2）设计师可以拿到“特殊贡献奖”． 【解答】解：（1）当0＜x≤20时，设y＝k1x，把（20，100）代入得k1＝5， ∴y＝5x； 当x≥20时，设y＝，把（20，100）代入得k2＝2000， ∴y＝； （2）当0＜x≤20时，又5x≥80得，x≥16，即16≤x≤20，有5天； 当x＞20时，由≥80， 解得：x≤25，即20＜x≤25，有5天， 共有5+5＝10（天）， 因此设计师可以拿到“特殊贡献奖”． 【变式3-1】（2022秋•顺德区期末）某空调生产厂的装配车间计划在一段时期内组装一批空调，计划是每天组装的数量y（台/天）与组装的时间x（天）之间的关系如下表： 组装的时间x（天） 30 45 60 每天组装的数量y（台/天） 300 200 150 （1）求y关于x的关系式； （2）某商场以进货价为每台2500元购进这批空调．调查发现，当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；当销售价每降低100元时，平均每天就能多售出4台．商场要想这批空调的销售利润平均每天达到3500元，且让顾客得到最大优惠，每台空调的定价为多少元？ 【答案】（1）y关于x的关系式为； （2）每台空调的定价为2750元． 【解答】解：（1）∵30×300＝45×200＝60×150＝9000， ∴y关于x的函数关系为反比例函数关系， 设y关于x的函数解析式为， 把x＝30，y＝300代入得，， 解得k＝9000， ∴y关于x的关系式为； （2）设销售单价降低x元，则每台的销售利润为（2900﹣x﹣2500）元，平均每天的销售量为台， 依题意得：， 整理得：x2﹣200x+7500＝0， 解得：x1＝150，x2＝50， 让顾客得到最大优惠，销售单价应降低150元， ∴每台空调的定价为2900﹣150＝2750（元）． 答：每台空调的定价为2750元． 【变式3-2】（2022春•邗江区期末）某种商品上市之初采用了大量的广告宣传，其销售量与上市的天数之间成正比，当广告停止后，销售量与上市的天数之间成反比（如图），现已知上市30天时，当日销售量为120万件． （1）写出该商品上市以后销售量y（万件）与时间x（天数）之间的表达式； （2）求上市至第100天（含第100天），日销售量在36万件以下（不含36万件）的天数； （3）广告合同约定，当销售量不低于100万件，并且持续天数不少于12天时，广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”，那么本次广告策划，设计师能否拿到“特殊贡献奖”？（说明：天数可以为小数，如3.14天等） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当0＜x≤30时，设y＝k1x，把（30，120）代入得k1＝4，∴y＝4x； 当x≥30时，设y＝，把（30，120）代入得k2＝3600， ∴y＝； （2）当0＜x≤30时，由4x＜36， 解得：x＜9， 即0＜x＜9； 当30＜x≤100时，由＜36， 解得：x＞100， 不合条件， ∴共有8天； （3）当0＜x≤30时，又4x≥100得，x≥25，即25≤x≤30，有6天； 当x＞30时，由≥100，解得：x≤36，即30＜x≤36，有6天， 共有6+6＝12天，因此设计师可以拿到特殊贡献奖． 【变式3-3】（2022•抚顺模拟）某汽车销售商推出分期付款购车促销活动，交付首付款后，余额要在30个月内结清，不计算利息，王先生在活动期间购买了价格为12万元的汽车，交了首付款后平均每月付款y万元，x个月结清．y与x的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题： （1）确定y与x的函数解析式，并求出首付款的数目； （2）王先生若用20个月结清，平均每月应付多少万元？ （3）如果打算每月付款不超过4000元，王先生至少要几个月才能结清余额？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图象可知y与x成反比例，设y与x的函数关系式为y＝， 把（5，1.8）代入关系式得1.8＝， ∴k＝9， ∴y＝， ∴12﹣9＝3（万元）． 答：首付款为3万元； （2）当x＝20时，y＝＝0.45（万元）， 答：每月应付0.45万元； （3）当y＝0.4时，0.4＝， 解得：x＝， 答：他至少23个月才能结清余款． 【考点4 生活中其他的应用】 【典例4】（2023春•原阳县期中）根据传染病防控制度的要求，学校必须对教室定期用药熏消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物燃烧完毕后，y（毫克）与时间x（分钟）成反比例，如图所示．请根据图中所提供的信息，解答下列问题： （1）求当药物燃烧时，y关于x的函数关系式；求药物燃烧后，y关于x的函数关系式． （2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进入教室，则从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ 【答案】（1）正比例函数关系式是y＝2x，反比例函数关系式是y＝；（2）从消毒开始，至少需要经过20分钟后，学生才能回到教室． 【解答】解：（1）设正比例函数关系式为y＝mx，设反比例函数关系式为y＝， 由图象可知，点（4，8）在函数图象上， ∴8＝4m，8＝， ∴m＝2，k＝32， ∴正比例函数关系式是y＝2x，反比例函数关系式是y＝． （2）当y＝1.6时，x＝＝20． 则从消毒开始，至少需要经过20分钟后，学生才能回到教室． 【变式4-1】（2022秋•渭南期末）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（mg）与燃烧时间x（min）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： （1）求一次函数和反比例函数表达式； （2）据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于3mg时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】（1），； （2）60分钟． 【解答】解：（1）设反比例函数解析式为， 将（24，8）代入解析式得k＝xy＝24×8＝192， ∴反比例函数解析式为， 将y＝12代入解析式得，， 解得：x＝16， 故A点坐标为（16，12）， ∴反比例函数解析式为， 设正比例函数解析式为y＝nx 将A（16，12）代入得：， ∴正比例函数解析式为； （2）由可得：当y＝3时，， 由可得：当y＝3时，x＝4， 由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克， ∵64﹣4＝60分钟， ∴师生至少在60分钟内不能进入教室． 【变式4-2】（2022•冷水滩区校级开学）教师办公室有一种可以自动加热的饮水机，该饮水机的工作程序是：放满水后，接通电源，则自动开始加热，每分钟水温上升10℃，待加热到100℃，饮水机自动停止加热，水温开始下降，水温y（℃）与和通电时间x（min）成反比例关系．直至水温降至室温，饮水机再次自动加热，重复上述过程，设某天水温和室温均为20℃，接通电源后，水温y（℃）和通电时间x（min）的关系如图所示，回答下列问题： （1）分别求出当0≤x≤8和8≤x≤a时，y与x之间的函数表达式； （2）求出图中a的值； （3）李老师这天早上7：30将饮水机电源打开，若他想在8：10上课前喝到不低于40℃的开水，则他要在什么时间段内接水？ 【答案】（1）当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝； （2）a＝40； （3）李老师要在7：38到7：50之间接水． 【解答】解：（1）当0≤x≤8时，设y＝k1x+b， 将（0，20），（8，100）的坐标分别代入y＝k1x+b得， 解得k1＝10，b＝20， ∴当0≤x≤8时，y＝10x+20， 当8＜x≤a时，设y＝， 将（8，100）的坐标代入y＝， 得k2＝800， ∴当8＜x≤a时，y＝． 综上，当0≤x≤8时，y＝10x+20；当8＜x≤a时，y＝； （2）将y＝20代入y＝， 解得x＝40， 即a＝40； （3）当y＝40时，x＝＝20． ∴要想喝到不低于40℃的开水，x需满足8≤x≤20， 即李老师要在7：38到7：50之间接水． 【变式4-3】（2023春•靖江市期末）实验数据显示，一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）成正比例；1.5小时后（包括1.5小时）y与x成反比例．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出一般情况下，成人喝0.25kg低度白酒后，y与x之间的函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完0.25kg低度白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】（1）； （2）第二天早上7：00不能驾车去上班，理由见解析． 【解答】解：（1）由题意可得：当0≤x＜1.5时， 设函数关系式为：y＝kx，则150＝1.5k，解得：k＝100， 故y＝100x（0≤x＜1.5）， 当x≥1.5时，设函数关系式为：，则a＝150×1.5＝225，解得：a＝225， 故， 综上所述：y与x之间的两个函数关系式为：， （2）第二天早上7：00不能驾车去上班． ∵晚上8：00到第二天早上7：00有11个小时， ∴x＝11时，， ∴第二天最早上7：00不能驾车去上班． 【考点5 反比例函数与一次函数综合】 【典例5】（2023秋•朝阳期末）如图，一次函数y＝k1x+b与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，6），B（3，n）两点． （1）求反比例函数的解析式和n的值； （2）根据图象直接写出不等式k1x+b的x的取值范围； （3）求△AOB的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵A（1，6），B（3，n）在y＝的图象上， ∴k2＝6， ∴反比例函数的解析式是y＝． ∴n＝＝2； （2）当0＜x＜1或x＞3时，k1x+b＜； （3）∵A（1，6），B（3，2）在函数y＝k1x+b的图象上， ∴， 解得：， 则一次函数的解析式是y＝﹣2x+8， 设直线y＝﹣2x+8与x轴相交于点C，C的坐标是（4，0）． S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝OC（|yA|﹣|yB）＝8． 【变式5-1】（2023•开阳县模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于第一，三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C． （1）求该反比例函数和一次函数的表达式； （2）在y轴上找一点P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为y2＝，一次函数的解析式为y1＝x+2． （2）3． 【解答】解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15， ∴反比例函数的解析式为y2＝． 把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5， ∴B（﹣5，﹣3）． 把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得． ∴． ∴一次函数的解析式为y1＝x+2． （2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2． ∴一次函数与y轴的交点为P（0，2）， 此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求， 令y＝0，则x＝﹣2， ∴C（﹣2，0）． 过B点向x轴作垂线， 由勾股定理可得： BC＝＝3． 故所求PB﹣PC的最大值为3． 【变式5-2】（2023春•清江浦区期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（﹣3，n），B（2，3）． （1）求反比例函数与一次函数的函数表达式； （2）请结合图象直接写出不等式kx+b≥的解集； （3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为10，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过B（2，3）， ∴m＝2×3＝6． ∴反比例函数的解析式为y＝． ∵A（﹣3，n）在y＝上，所以n＝＝﹣2． ∴A的坐标是（﹣3，﹣2）． 把A（﹣3，﹣2）、B（2，3）代入y＝kx+b．得：， 解得， ∴一次函数的解析式为y＝x+1． （2）由图象可知：不等式kx+b≥的解集是﹣3≤x＜0或x≥2； （3）设直线与x轴的交点为D， ∵把y＝0代入y＝x+1得：0＝x+1， x＝﹣1， ∴D的坐标是（﹣1，0）， ∵P为x轴上一点，且△ABP的面积为10，A（﹣3，﹣2），B（2，3）， ∴DP×2+DP×3＝10， ∴DP＝4， ∴当P在负半轴上时，P的坐标是（﹣5，0）； 当P在正半轴上时，P的坐标是（3，0）， 即P的坐标是（﹣5，0）或（3，0）． 一、单选题 1．在一个可以改变容积的密闭容器内，装有质量为m 的气体，当改变容积V时，气体的密度p也随之改变，与V在一定范围内满足，它的图象如的质量m为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的求法，根据反比例函数的性质求出m值即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示．当时，该物体承受的压强的值为（    ）    A．400 B．600 C．800 D．1000 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，理解题意，利用待定系数法求出反比例函数解析式是解题关键．本题先根据待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入，问题得解． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 由函数图象得反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，． 故答案为：A． 3．根据欧姆定律可知，若一个灯泡的电压U（V）保持不变，通过灯泡的电流I（A）越大，则灯泡就越亮．当电阻时，可测得某灯泡的电流A．若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，该灯泡亮度的变化情况为（    ） A．不变 B．变亮 C．变暗 D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数在实际问题中的应用，根据题意求出电压是解题的关键．根据欧姆定律，结合已知条件可求出电压（V），若电压保持不变，电阻R减小为15Ω时，求出此时的电流，比较电流大小即可得解． 【详解】解： ，当时，A， （V）， 若电压保持不变，即（V），电阻R减小为15Ω时， 则，电流变大了， 灯泡亮度的变化情况为变亮． 故选：B． 4．有一段平直的公路，A与B间的距离是．现要在该路段安装一个测速仪，当车辆经过A和B处时分别用光照射，并将这两次光照的时间差输入程序后，随即输出此车在段的平均速度，则v与t间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，先找到要行驶的路程，再由等量关系“速度路程时间”列出关系式即可．找出题中的等量关系是解决问题得关键． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 5．嘉嘉利用如左图所示的电路探究电流与电阻的关系，通过实验，发现电流随着电阻的变化而变化，并结合数据描点，连线，画成右图所示的函数图象．若该电路的最小电阻为，则该电路能通过的（   ） A．最大电流是 B．最大电流是 C．最小电流是 D．最小电流是 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的解析式，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 可设，由于点代入这个函数解析式，则可求得的值，然后代入求得的值即可． 【详解】解：根据电压电流电阻，设， 将点代入， 可得：， 解得：， ， 若该电路的最小电阻值为，该电路能通过的最大电流是， 故选：A． 6．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂，测量出相应的动力数据如下表：（动力动力臂阻力阻力臂）请根据表中数据规律探求，当动力臂长度为时，所需动力最接近的是（    ） 动力臂 … 0.5 1.0 1.5 … 动力 … 600 302 200 120 …      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由表格可知动力臂与动力成反比的关系，设，将代入得出，再令，计算即可得解，解题的关键是从表格中得出动力臂与动力成反比的关系． 【详解】解：由表格可知动力臂与动力成反比的关系， 设， 将代入得：， 解得：， ， 把代入得：， 解得：， 即当动力臂长度为时，所需动力最接近的是． 故选：C． 7．已知某电路的电流与电阻的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（    ） A．当电流为时，该电路电阻为 B．当电流为时，该电路电压为 C．当电阻为时，该电路电流为 D．该电路的电流随着电阻的增大而减小 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，由欧姆定律可知，则可求出，逐一判断即可得到答案． 【详解】解：由欧姆定律可知， 把代入中得：， ∴， ∴， ∴该电路的电流随着电阻的增大而减小，故D说法正确，不符合题意； 当时，，解得，故A说法正确，不符合题意； 电路中的电压恒为，故B说法错误，符合题意； 当时，，故C说法正确，不符合题意； 故选：B． 8．已知某品牌蓄电池的电压（单位：V）为定值，在使用该蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．蓄电池的电压是10V B．当时， C．反比例函数关系式为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，从函数图象中获取信息，求出反比例函数的解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，把代入，得： ， ∴，蓄电池的电压是；故选项A，C错误； ∴当时，，当时，； ∴当时，；故选项B正确，选项D错误； 故选B． 二、填空题 9．小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：如图，在一根匀质的木杆中点O 的左侧固定位置B 处悬挂重物A，在中点O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点 O 之间的距离x（单位：），观察弹簧秤的示数y（单位：）的变化情况．实验数据记录如下表： x/ … 10 15 20 25 30 … y/ … 60 40 30 24 20 … 猜测y与x之间的函数关系，并求出函数解析式为 ．（不需要写出自变量x 的取值范围） 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，观察可知表格中每对x与y的乘积相等，则猜测y与x之间满足反比例关系，据此利用待定系数法求解即可． 【详解】解析：表格中每对x与y的乘积相等， 猜测y与x之间满足反比例关系， 设y与x之间的函数解析式为， 将点代入，得． 与x之间的函数解析式为． 将其余各点代入验证均成立． 故答案为：． 10．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.125米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了 度． 【答案】550 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，理解题意，掌握待定系数法是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令时，分别求的值后作差即可得解. 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了(度)， 故答案为：550． 11．杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，根据题意可得，进而即可求解，掌握杠杆原理是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∴，即， 故答案为：． 12．图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、跨学科综合等知识点，根据题意求得解析成为解题的关键． 设当为时的功率为P，则当为时的功率为，然后列方程组求得函数解析式，然后将代入计算即可． 【详解】解：设当为时的功率为P，则当为时的功率为, 由题意可得：， 解得：（舍弃负值） 所以， 当时，． 故答案为：． 13．某校对数室采用药薰法进行灭蚊，根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，与成反比例，已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊的有效时间为 分钟． 【答案】12 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的实际应用，先用待定系数法求出药物燃烧时，以及药物燃尽后与的关系式，再求出每立方米空气中含药量达到的时间，以及每立方米空气中含药量降到的时间，即可求解． 【详解】解：设药物燃烧时与的关系式为， 将代入，得，解得， 药物燃烧时与的关系式为， 令，得， 即4分钟后每立方米空气中含药量达到； 设药物燃尽后与的关系式为， 将代入，得，解得， 令，得， 即16分钟后每立方米空气中含药量降到； ， 此次灭蚊的有效时间为， 故答案为：12． 14．图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．该台灯的电流与电阻成反比例函数，其图象如图2所示，该图象经过点．根据图象可知，当时，的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．先由待定系数法求出反比例函数的解析式，然后分别求出和时对应的I，最后观察图象即可求解． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵图象经过点， ∴， ∴， ∴， 当时，； 当时，， ∴当时，的取值范围是． 故答案为：． 15．某种新药在试验药效时发现：成人按规定剂量服用后，检测到从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克，第100分钟达到最高，接着开始衰退，衰退时y与x成反比例函数关系．血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数关系如图所示， (1)求血液中含药量y(微克)与时间x(分钟)的函数表达式； (2)如果每毫升血液中含药量不低于5微克时是有效的，一次服药后的有效时间能超过130分钟吗？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)能超过130分钟，见解析 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的方法是解题的关键． （1）根据“从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克”可得的值，运用待定系数法求一次函数，反比例函数解析式的方法即可求解； （2）令分别代入一次函数，反比例函数求出时间进行比较即可求解． 【详解】（1）解：从第5分钟起每分钟每毫升血液中含药量增加0.1微克， ∴， 当时，设y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得， ∴； 当时，y与x之间的函数关系式为， ∵经过点， ∴， 解得，即； （2）解：令， 解得， 令， 解得， ∴一次服药后的有效视角为：（分钟），超过分钟． 16．智能饮水机接通电源后开始自动加热，水温每分钟上升，加热到时，饮水机自动停止加热，水温开始下降．在水温下降的过程中，水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至室温时，饮水机再次自动加热，重复上述过程．设某天水温和室温均为，接通电源后，水温与通电时间之间的关系如图所示． (1)在降温过程中，求关于的函数解析式，并求出自变量的取值范围． (2)在一个加热周期内，求水温不低于的时间． 【答案】(1) (2)在一个加热周期内，水温不低于的时间是 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设反比例函数的表达式为，将点代入可得的值，再求出的值，由此即可得； （2）先求出时，与之间的函数表达式，再求出时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设反比例函数的表达式为， 将点代入得：， ∴与之间的函数表达式为， 当时，， ∴与之间的函数表达式为． （2）解：设当时，与之间的函数表达式为， 将点代入得：，解得， 则， 当时，，解得， 对于， 当时，， ∵， ∴加热一次，水温不低于的时间为． 17．某水果生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种水果，如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度与时间之间的函数关系，其中线段、表示恒温系统开启后阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题： (1)这个恒温系统设定的恒定温度为多少； (2)若大棚内的温度低于时，水果会受到伤害，问：这天内有多长时间水果生长不受伤害？ 【答案】(1)这个恒温系统设定的恒定温度为：． (2)这天内有小时水果生长不受伤害． 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数的应用，掌握待定系数法是关键． （1）设线段解析式为，根据图象求出函数解析式，再求出恒定温度即可； （2）根据图象可知整个图象由三部分组成：一次函数、反比例函数、恒温，根据题意设函数解析式，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；根据各时间段的函数解析式算出时的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设线段解析式为， ∵线段过点，， ∴， 解得， ∴线段的解析式为： 当时，， ∴这个恒温系统设定的恒定温度为：． （2）解：根据解析（1）可知，线段的解析式为： 当时，， ∴B坐标为， ∴点C的坐标为， ∴线段的解析式为：， 设双曲线解析式为： ∵， ∴， ∴双曲线的解析式为：， ∵当时，， ∴， ∵当时，， ∴， ∴气温不低于的适宜温度是：． 答：这天内有小时水果生长不受伤害． 33 学科网（北京）股份有限公司 $$