【高考领航】2025年高考数学模拟试题精编卷（新课标）(11)

高考数学模拟试题精编(十一) (考试用时：120分钟　分值：150分) 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，把答题卡上对应题目的答案标号填在表格内．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x2－2x－3＞0}，则A∪B＝(　　) A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(2，＋∞) D．(－∞，－3)∪(2，＋∞) 2．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则(　　) A．a＜0，b＜0 B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＞0，b＞0 3．已知互不重合的直线a，b，互不重合的平面α，β，γ，给出下列四个命题，其中假命题是(　　) A．若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b B．若α⊥β，a⊥α，b⊥β，则a⊥b C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α D．若α∥β，a∥α，则a∥β 4．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 5≈0.699，lg 11≈1.041)(　　) A．2027年 B．2028年 C．2029年 D．2030年 5．已知函数f(x)的定义域为[1，＋∞)，数列{an}满足an＝f(n)，则“数列{an}为递增数列”是“函数f(x)为增函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知a>0，b>0，且(a－2)(b－1)＝，则a＋2b的最小值为(　　) A．3＋ B．8 C．4＋ D．10 7．函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位后关于直线x＝对称，则函数f(x)在区间上的最小值为(　　) A．－ B．－ C． D． 8．已知a，b，c均为不等于1的正实数，且ln a＝c ln b，ln c＝b ln a，则a，b，c的大小关系是(　　) A．c>a>b B．b>c>a C．a>b>c D．a>c>b 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分． 9．已知两个复数z1，z2满足z1z2＝i，且z1＝1－i，则下面说法正确的是(　　) A．z2＝ B．|z1|＝ C．|z1＋z2|≥2 D．·＝－i 10．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋anxn(n∈N*)，则下列结论正确的是(　　) A．a0＝an B．当a3＝10时，n＝5 C．若(1＋x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大，则n等于12或13 D．当n＝4时，＋＋＋＝ 11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，且tan ∠BF1F2＝，点P在C上，线段PF1与BF2交于Q，＝2，则(　　) A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C上存在点K，使得KF1⊥KF2 C．直线PF1的斜率为 D．PF1平分∠BF1F2 12．已知函数f(x)＝a·－x＋ln x(a∈R)，若对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得f(t)<f(s)，则满足条件的实数a的可能值有(　　) A．－1 B．0 C． D．1 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量a＝(－1，2)，b＝(3，m)，若(a＋b)⊥a，则|a－b|＝________． 14．甲、乙两个箱子中各装有5个大小、质地均相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有2个红球、3个白球．抛一枚质地均匀的硬币，若硬币正面向上，从甲箱中随机摸出一个球；若硬币反面向上，从乙箱中随机摸出一个球．则摸到红球的概率为________． 15．某学生在研究函数f(x)＝x3－x时，发现该函数的两条性质：①是奇函数；②单调性是先增后减再增．该学生继续深入研究后发现将该函数乘一个函数g(x)后得到一个新函数h(x)＝g(x)f(x)，此时h(x)除具备上述两条性质之外，还具备另一条性质：③h′(0)＝0.写出一个符合条件的函数解析式g(x)＝________． 16．已知三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，AB＝AC＝DB＝DC，AD＝2BC＝4，则球O的表面积的最小值为________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)在平面四边形ABCD中，AB＝1，BC＝3，∠B＝60°，∠ACD＝30°. (1)若AD＝，求∠ADC； (2)若BD＝CD，求△ACD的面积． 18．(本小题满分12分)2022年电商开展“欢度春节”促销活动，某电商为了尽快占领市场，对某地区年龄在10到70岁的人群“是否网上购物”的情况进行了调查，随机抽取了100人，其年龄频率和“网上购物”的人数如表所示：(年龄单位：岁) 年龄段 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 频率 0.1 0.32 0.28 0.22 0.05 0.03 “网上购物”人数 8 28 24 12 2 1 (1)若以40岁为分界点，根据以上统计数据填写下面的2×2列联表，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为“网上购物”与年龄有关； 年龄低于40岁 年龄不低于40岁 合计 “网上购物”人数 “不网上购物”人数 合计 (2)若从年龄在[50，60)，[60，70]的样本中各随机选取2人进行座谈，记选中的4人中“网上购物”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 参考数据： α 0.025 0.010 0.005 0.001 xα 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. 19．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDE中，AD⊥平面ABC，AD∥BE，AD＝2BE，AB＝BC. (1)求证：平面CDE⊥平面ACD； (2)若AB＝，AC＝2，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值． 20．(本小题满分12分)已知{an}和{bn}均为等差数列，a1＝b1＝1，a3＝a1＋a2，b5＝b4＋a2，记cn＝max{b1－na1，b2－na2，…，bn－nan}(n＝1，2，3，…)，其中max{x1，x2，…，xs}表示x1，x2，…，xs这s个数中最大的数． (1)计算c1，c2，c3，猜想数列{cn}的通项公式并证明； (2)设数列的前n项和为Sn，若Sn<－m2＋4m对任意n∈N*恒成立，求偶数m的值． 21．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，双曲线C：－＝1的右焦点为F，T为直线l：x＝1上一点，过F作TF的垂线分别交C的左、右支于P，Q两点，交l于点A. (1)证明：直线OT平分线段PQ； (2)若|PA|＝3|QF|，求|TF|2的值． 22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x－sin x. (1)判断函数f(x)是否存在极值，并说明理由； (2)设函数F(x)＝f(x)－m ln x，若存在两个不相等的正数x1，x2，使得F(x1)＋x1＝F(x2)＋x2，证明：x1x2<m2. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考数学模拟试题精编(十一) 1．C　因为集合B＝{x|x2－2x－3＞0}＝{x|(x－3)(x＋1)＞0}＝{x|x＜－1或x＞3}，又A＝{x|x＞2}，所以A∪B＝{x|x＜－1或x＞2}．故选C. 2．C　因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则该直线的斜率－＜0，直线在y轴上的截距－＞0，可得a＞0，b＜0.故选C. 3.D　对于选项A，过a作一平面γ，与α，β都相交，设α∩γ＝d，β∩γ＝c，如图①所示，因为a∥α，a∥β，α∩β＝b，由线面平行的性质定理知a∥c，a∥d，所以c∥d.又d⊂α，则c∥α，α∩β＝b，所以c∥b，因此有a∥b，故A为真命题． 图① 对于选项B，设a，b分别为直线a，b的方向向量，因为a⊥α，b⊥β，所以向量a，b分别是平面α，β的法向量，而α⊥β，所以a⊥b，所以a⊥b，故B为真命题． 对于选项C，设α∩β＝e，α∩γ＝f，在平面α内任取一点O，过点O作e′⊥e，f′⊥f，如图②所示，可知e′⊥β，f′⊥γ. 图② 因为β∩γ＝a，所以e′⊥a，f′⊥α.因为e′∩f′＝O，e′，f′⊂α，所以a⊥α，故C为真命题． 对于选项D，因为α∥β，a∥α，所以a∥β或a⊂β，故D为假命题．故选D. 4．C　设n(n∈N*)年后公司全年投入的研发资金为y万元，则y＝300(1＋10%)n，令300(1＋10%)n＞600，解得n＞，将lg 2≈0.301，lg 11≈1.041代入后，得≈7.3，故n的最小值为8，即2029年，该公司全年投入的研发资金开始超过600万元．故选C. 5．B　若数列{an}为递增数列，则有an＋1>an，此时f(n＋1)>f(n)，但f(x)在[1，＋∞)上不一定为增函数；若f(x)在[1，＋∞)上为增函数，则由x1>x2有f(x1)＞f(x2)，则f(n＋1)>f(n)，an＋1>an，故数列{an}为递增数列．即“函数f(x)为增函数”⇒“数列{an}为递增数列”．因此“数列{an}为递增数列”是“函数f(x)为增函数”的必要不充分条件．故选B. 6．D　由(a－2)(b－1)＝，整理得2ab＝5＋2(a＋2b)，由基本不等式得2ab＝a(2b)≤(当且仅当a＝2b时等号成立)，即5＋2(a＋2b)≤，即(a＋2b)2－8(a＋2b)－20≥0，解得a＋2b≥10或a＋2b≤－2.由于a>0，b>0，所以a＋2b≤－2舍去，从而a＋2b的最小值为10.故选D. 7．A　函数f(x)＝sin (2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后的图象的解析式为y＝sin ，该函数的图象关于直线x＝对称，所以2×＋＋φ＝kπ＋(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝sin .当x∈时，2x－∈，所以f(x)的最小值为－.故选A. 8．A　∵ln a＝c ln b，ln c＝b ln a，且a，b，c均为不等于1的正实数．∴ln a与ln b同号，ln c与ln a同号，从而ln a，ln b，ln c同号． ①若ln a，ln b，ln c均为负数，则a，b，c∈(0，1)，ln a＝c ln b>ln b，可得a>b，ln c＝b ln a＞ln a，可得c>a，此时c>a>b；②若ln a，ln b，ln c均为正数，则a，b，c∈(1，＋∞)，ln a＝c ln b>ln b，可得a>b，ln c＝b ln a>ln a，可得c>a，此时c>a>b.综上所述，c>a>b.故选A. 　9.ABD　10.ABD　11.ACD　12.AB 9．ABD　设z2＝a＋bi(a，b∈R)，由条件知(1－i)(a＋bi)＝i，即a＋b＋(b－a)i＝i，故解得故z2＝，故A正确；易知|z1|＝，|z2|＝ ＝，所以|z1|＝，故B正确；z1＋z2＝－i，则|z1＋z2|＝<2，故C错误；＝1＋i，＝－－i，则·＝(1＋i)·＝－i，故D正确．故选ABD. 10．ABD　对于选项A，a0＝C＝C＝an＝1，故A正确；对于选项B，x3的系数a3＝C，则C＝10，所以n＝5，故B正确；对于选项C，若(1＋x)n(n∈N*)的展开式中第7项的二项式系数最大，根据二项式系数的对称性，当n为偶数时，n＝12；当n为奇数时，n＝11或n＝13，故C不正确；当n＝4时，(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，令x＝，则＝a0＋＋＋＋，因为a0＝1，所以＋＋＋＝，故D正确．故选ABD. 11．ACD　由题意，知F1(－c，0)，F2(c，0)，B(0，b)，所以tan ∠BF1F2＝＝＝(O为坐标原点)，所以b＝c，所以a＝＝4c，所以椭圆C的方程为＋＝1，因为＝2，所以Q为线段BF2上靠近点F2的一个三等分点，所以Q.对于A，椭圆C的离心率e＝＝，A正确；对于B，设K(x0，y0)，则＋＝1，所以y＝15c2－，因为·＝(－c－x0，－y0)·(c－x0，－y0)＝x＋y－c2＝＋14c2>0，故B不正确；对于C，kPF1＝kQF1＝＝，故C正确；对于D，直线BF1的方程为y＝(x＋c)，即x－y＋c＝0，点Q到直线BF1的距离d1＝＝，又点Q到直线F1F2的距离d2＝yQ＝c，所以d1＝d2，所以PF1平分∠BF1F2，故D正确．综上所述，选ACD. 12．AB　函数f(x)对于定义域内的任意实数s，总存在实数t使得f(t)<f(s)，故f(x)无最小值．令＝m(m≥e)，则有ln ＝ln m，即x－ln x＝ln m，所以f(x)＝g(m)＝am－ln m，g(m)在[e，＋∞)上没有最小值．当a≤0时，g(m)在[e，＋∞)上为减函数，符合题意．当a>0时，g′(m)＝a－，当a≥时，g′(m)>0，g(m)在[e，＋∞)上单调递增， g(m)有最小值，不符合题意，舍去； 当0<a<时，令g′(m)＝0得m＝.当0<m<时，g′(m)<0，g(m)在上单调递减，当m>时，g′(m)>0，g(m)在上单调递增，此时g(m)有最小值，舍去． 综上，a≤0，故选AB. 13．解析：因为(a＋b)⊥a，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝0，所以(－1)2＋22＋(－1)×3＋2m＝0，解得m＝－1，所以a－b＝(－4，3)，所以|a－b|＝＝5. 答案：5 14．解析：抛一枚质地均匀的硬币，正面向上与反面向上的概率均为， 从甲箱中随机摸出一个球为红球的概率为，从乙箱中随机摸出一个球为红球的概率为，所以摸到红球的概率P＝×＋×＝. 答案： 15．解析：因为f(x)＝x3－x为奇函数，h(x)＝g(x)f(x)为奇函数，所以g(x)为常数函数或偶函数． 当g(x)＝1时，h(x)＝x3－x，则h′(x)＝3x2－1， 此时h′(0)＝－1≠0，所以g(x)＝1不合题意． 当g(x)＝x2时，h(x)＝x5－x3， 因为h(－x)＝(－x)5－(－x)3＝－(x5－x3)＝－h(x)， 所以h(x)为奇函数． h′(x)＝5x4－3x2，由h′(x)>0，得x<－或>，由h′(x)<0，得－<x<，所以h(x)的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以h(x)是先增后减再增． 又h′(0)＝0，所以g(x)＝x2满足题意． 答案：x2(答案不唯一) 16．解析：如图，分别取BC，AD中点E，F，连接AE，DE，BF，CF，EF，∵AB＝DB，AC＝DC，BC＝BC，∴△ABC≌△DBC，∴AE＝DE，∴EF是AD的垂直平分线，同理可得，EF是BC的垂直平分线，∴球心O在直线EF上，设其半径为R，则 即解得R≥2，∴当且仅当O为AD中点时，R＝2，此时球O表面积取得最小值，最小值为4π×22＝16π. 答案：16π 17．解：(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos ∠ABC＝1＋9－2×1×3×＝7， ∴AC＝. 在△ACD中，由正弦定理有＝， ∴＝，解得sin ∠ADC＝. ∵0°<∠ADC<150°，∴∠ADC＝60°或∠ADC＝120°.　　(5分) (2)在△ABC中，由余弦定理有cos ∠ACB＝＝＝. ∵0°<∠ACB<180°，∴sin ∠ACB＝ ＝，　　(7分) ∴cos ∠BCD＝cos (∠ACB＋30°)＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACBsin 30°＝×－×＝. 在△BCD中，由余弦定理有BD2＝CD2＋BC2－2×BC×CD×cos ∠BCD. ∵BD＝CD，∴9－6CD×＝0，解得CD＝， ∴S△ACD＝AC·CD·sin ∠ACD＝×××＝.　　(10分) 18．解：(1)由题中统计表可得，年龄低于40岁的人数为70，年龄不低于40岁的人数为30，可得列联表如下： 年龄低于40岁 年龄不低于40岁 合计 “网上购物”人数 60 15 75 “不网上购物”人数 10 15 25 合计 70 30 100 于是χ2＝＝≈14.286>10.828，　　(3分) 依据小概率值α＝0.001的独立性检验可以认为“网上购物”与年龄有关．　　(5分) (2)由题意可知，X的所有可能的取值为0，1，2，3，相应的概率为 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，　　(8分) 于是X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.　　(12分) 19．解：(1)证明：令O是AC中点，连接OB，作Oz∥AD，由AB＝BC知，OB⊥AC. 因为AD⊥平面ABC，则Oz⊥平面ABC，又OB，AC⊂平面ABC，所以Oz⊥OB，Oz⊥AC，　　(2分) 综上，Oz，OB，AC两两垂直，故可构建如图所示的空间直角坐标系O-xyz. 令AD＝2BE＝2a，OB＝c，OA＝OC＝b，则D(0，－b，2a)，C(0，b，0)，E(c，0，a)，所以＝(0，－2b，2a)，＝(c，－b，a). 若m＝(x，y，z)是平面CDE的一个法向量，则 令z＝b，则可取m＝(0，a，b)， 又n＝(1，0，0)是平面ACD的一个法向量，则m·n＝0， 所以平面CDE⊥平面ACD.　　(4分) (2)由AD⊥平面ABC，AD⊂平面ABED，得平面ABED⊥平面ABC，且平面ABED∩平面ABC＝AB，故点C到平面ABED的距离，即为△ABC中AB边上的高． 因为AB＝BC＝，AC＝2，则cos B＝＝，故sin B＝，所以AB边上的高h＝BC·sin B＝.　　(6分) 又AB⊂平面ABC，所以AD⊥AB，而AD∥BE， 有BE⊥AB，且AD＝2BE， 所以四边形ABED为直角梯形，由(1)知AD＝2BE＝2a，则SABED＝×3a×＝. 综上，VABCDE＝××＝a＝，解得a＝1.　　(8分) 由(1)知，A(0，－1，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，0)，E(，0，1)， 所以＝(0，0，2)，＝(，1，－1). 若l＝(x1，y1，z1)是平面ABED的一个法向量， 则 令x1＝－1，则可取l＝(－1，，0)，　　(10分) 而＝(，－1，1)，则|cos 〈l，〉|＝＝＝， 所以直线CE与平面ABED所成角的正弦值为.　　(12分) 20．解：(1)设等差数列{an}和{bn}的公差分别为d1，d2， 那么 所以所以an＝n，bn＝2n－1.　　(2分) 那么，c1＝b1－a1＝1－1＝0，c2＝max{b1－2a1，b2－2a2}＝max{1－2×1，3－2×2}＝－1，c3＝max{b1－3a1，b2－3a2，b3－3a3}＝max{1－3×1，3－3×2，5－3×3}＝－2. 猜想{cn}的通项公式为cn＝1－n，　　(5分) 当n≥3时，(bk＋1－nak＋1)－(bk－nak)＝(bk＋1－bk)－n(ak＋1－ak)＝2－n<0， 所以数列{bk－nak}关于k∈N*单调递减， 所以cn＝max{b1－na1，b2－na2，…，bn－nan}＝b1－na1＝1－n.　　(7分) (2)＝＝ ＝－，　　(8分) 所以Sn＝＋＋…＋＝－，　　(10分) 由题意得－m2＋4m≥， 解得≤m≤，故m＝2.　　(12分) 21．解：(1)证明：依题意，xF＝＝3，即F(3，0)， 设T(1，2t)(t≠0)，则直线PQ的方程为x＝ty＋3.　　(2分) 由得(2t2－1)y2＋12ty＋12＝0， 则得t2≠. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝－， y1y2＝，　　(3分) 所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋6＝－. 因为P，Q两点分别在C的左、右支上， 所以x1x2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝－<0，得t2>.　　(4分) 所以PQ的中点为N，　　(5分) 连接ON，则kON＝2t， 又kOT＝2t，所以O，T，N三点共线，所以直线OT平分线段PQ.　　(6分) (2)由|PA|＝3|QF|，得1－x1＝3(3－x2)，即－x1＋3x2＝8，　　(7分) 所以(x1＋x2)＋8＝4x2，① 3(x1＋x2)－8＝4x1，②　　(8分) ①×②得3(x1＋x2)2＋16(x1＋x2)－64＝16x1x2，　　(9分) 所以3×－16×－64＝－16×，　　(10分) 解得t2＝，或t2＝(舍去).　　(11分) 所以|TF|2＝4＋4t2＝12＋3.　　(12分) 22．解：(1)由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝1－cos x≥0，　　(2分) ∴f(x)＝x－sin x是增函数，∴f(x)没有极值．　　(4分) (2)证明：F(x)＝x－sin x－m ln x， 由F(x1)＋x1＝F(x2)＋x2， 得2x1－sin x1－m ln x1＝2x2－sin x2－m ln x2， 即m(ln x2－ln x1)＝－(sin x2－sin x1)＋2(x2－x1). 由(1)知f(x)＝x－sin x为增函数， ∵x1，x2是两个不相等的正数，不妨设x2>x1>0， ∴x2－sin x2>x1－sin x1>f(0)＝0， ∴x2－x1>sin x2－sin x1. ∴m(ln x2－ln x1)>2(x2－x1)－(x2－x1)＝x2－x1.　　(6分) 即m>， ∴只需证明>， 即>， 令t＝，∵x2>x1>0，∴t>1， ∴只需证明>在t>1时成立，即>ln t在t>1时成立．　　(8分) 设函数g(t)＝ln t－，t>1， 则g′(t)＝<0. ∴当t>1时，函数g(t)＝ln t－单调递减．　　(10分) ∴当t>1时，g(t)＝ln t－<0. ∴>在t>1时成立，即>成立， ∴m>>，∴m>，即x1x2<m2.　　(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$