第三单元小数除法（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

第三单元小数除法 （知识梳理+专项练习） 1、小数除法的意义：已知两个因数的（积）与其中的一个因数，求另一个因数的运算。 如：0.6÷0.3 表示已知两个因数的积 0.6 与其中的一个因数 0.3，求另一个因数的运算。 2、小数除以整数的计算方法： 小数除以整数，先按整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 3、除到被除数的末尾有余数的小数除法： （1）计算除数是整数的小数除法时，除到被除数的末尾仍有余数，根据小数的性质（小数的末尾添上 0 或去掉 0，小数的大小不变）在商的个位后点上小数点，在余数后面添 0 继续除。 （2）小数除以整数如果整数部分不够除，商写上 0，点上小数点再除。0在个位起占位作用。 二、一个数除以小数 1、除数是小数的除法的计算方法： （1）先移动除数的小数点，使它变成整数。 （2）除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足）。 （3）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 易错点：如果被除数的位数 2、除法中的变化规律： （1）商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。例如：56÷7=（56×5）÷（7×5） 56÷7=（56÷9）÷（7÷9） （2）除数不变，被除数扩大，商随着扩大。 （3）被除数不变，除数缩小，商扩大。 3、商和被除数的大小关系 （1）被除数除以一个小于 1 的除数时，商会比被除数大。 （2）被除数除以一个大 除法性质1：被除数，除数同扩同缩商不变 A÷B=(A×C)÷(B×C) A÷B=(A÷D)÷(B÷D) 除法性质2：连续除以两个数等于除以这两个数的乘积: A÷B÷C=A÷(B×C) 三、商的近似数 3、求商的近似数时，一般先除到比需要保留的小数位数多一位，在按照“四舍五入”法取商的近似值。 易错点：求近似数时，其中小数末尾的“0”不能去掉。例如:保留一位小数时，整数3要写成3.0 四、循环小数&用计算器探索规律 1、循环小数 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 注意：循环小数必须满足两个条件，一：这个小数是无限的；二：有循环节 2、循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如 6.3232……的循环节是 32。 3、循环小数的表示方法 写循环小数时，可以只写第一个循环节。并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 例如：5.33333… 写作： 5.3 ；6.9754754… 写作： 6.9754 4、小数的分类 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。 例如：1.05353……是无限小数，循环节是53，简写成1.053. 1.05353是有限小数。 循环小数一定是无限小数 无限小数不一定是循环小数，因为无限小数包含了无限不循坏小数，无限循环小数（也叫循坏小数）。 五、解决问题 先审题，要明白题目中已知什么？要求什么？再根据其关系式进行列出算式， （列算式时多问自己为什么要这样列式）接着进行计算，在计算的过程中， 要细心、细心、再细心，最后根据实际情况决定用“进一法”还是“去尾法”。 例如一匹布可以做多少件衣服，用去尾法。 一堆苹果用多少个袋子装，用进一法。 一、选择题 1．下面算式的结果可能是24.□□的是（    ）。 A．2□.□□÷0.1 B．2.□□×8 C．□□.□□÷5 D．4.□□×5 2．两个数相除的商是 0.7，如果除数扩大到原来的 10倍，被除数不变，则商（   ）． A．不变 B．扩大到原来的 10倍 C．缩小到原来的10倍 3．每个空瓶子可以装2.8千克色拉油，刘师傅要把30.5千克的色拉油装进这样的瓶子里，至少需要（    ）个这样的瓶子。 A．10 B．11 C．12 4．下面各题的商小于1的是（    ）。 A．4.48÷3.5 B．2.56÷0.32 C．0.76÷4 D．12.5÷12.05 5．下面各小数中最大的是（    ）。 A．3.1 B．3.2 C．3.21 6．与32÷0.04结果相同的算式是(    )。 A．3.2÷4 B．3.2÷0.4 C．32÷4 D．3200÷4 二、填空题 7．5.252525…是一个循环小数，循环节是( )，用简便方法记作( )。 8．0.192÷0.24=0.8，如果被除数扩大5倍，除数不变，商是( )；如果被除数扩大5倍，除数缩小6倍，商是( )． 9．用“四舍五入”法取近似值。 0.845（保留一位小数）≈( )   （保留两位小数）≈( ) 10．在（    ）里填上“＞”“＜”或“＝”。 9.31( )0.99×9.31           25.4÷1.1( )25.4 3.21÷100( )0.01×3.21      14.7÷10( )14.7×0.01 8.5÷0.7( )8.5           4.8×0.9( )4.8 11．3.166166…的简便记法是( )，循环节是( )，保留两位小数约是( )。 12．把下面的算式转化成除数是整数的除法算式。 ( )( )    ( )( ) ( )    ( )( ) 13．编一个中国结要用0.85米的丝绳，编8个中国结需要( )米的丝绳；8.12米的丝绳最多可以编( )个中国结。 14．小轿车行驶400千米耗油50升，平均1升油可行驶( )千米，每行驶1千米耗油( )升。 三、判断题 15．6.6÷1.1和0.66÷0.11的商相等。( ) 16．循环小数一定是无限小数，无限小数就是循环小数。( ) 17．19.9998÷6＝3.3333，商的循环节是3．　　( ) 18．每个油桶最多能装油4.5kg，要装60kg油至少需要13个这样的油桶。( ) 19．计算2.4×[（0.8＋3.4）÷0.7]时，要先算加法，再算除法，最后算乘法。( ) 四、计算题 20．口算题。                                                                                           21．列竖式计算。 6.5×2.6＝                       5.2×97.03＝ 36.6÷0.75＝                     28.8÷1.3≈   （得数保留两位小数） 22．用你喜欢的方法计算．          五、作图题 23．请你根据获奖情况，帮商场经理标出幸运大转盘中的奖项。 奖项 一等奖 二等奖 三等奖 纪念奖 所得 奖品 价值3480元 价值880元 价值18元 价值1元 人数 1 5 20 100 幸运大转盘 六、解答题 24．建筑工地需要54吨水泥，先用小货车运3次，每次运1.5吨，剩下的改用大货车运，每次运4.5吨，还要运多少次？ 25．一个玩具厂做一个吉祥狗原来需要4.8元的材料。后来改进了制作方法，每个只需要3.6元的材料。原来准备做180个吉祥狗的材料，现在可以做多少个？ 26．明明带了60元钱去文具店买学习用品。他先花46.8元买了6个笔记本，然后准备用剩下的钱买一些作业木，每个作业本1.2元，明明最多可以买几本作业本？ 27．甲乙两人同时从A地到B地，甲每小时行4.2千米，乙每小时行3.8千米，当甲到达B地时，乙离B地还有0.6千米，求AB两地相距多少千米？ 28．香蕉每千克2.5元，苹果每千克3.8元，和美超市昨天卖这两种水果共收入578.5元，其中香蕉卖出49千克。昨天一共卖出了多少千克苹果？ 29．甲、乙两艘轮船同时从A、B两地相向而行。经过3.5小时相遇。相遇后甲船继续行2.5小时到达B地。乙船每小时行50km，甲船每小时行多少千米？ 30．一个工程队正在铺路，上午工作4.5小时，铺了243米；下午工作4小时，铺了210米，上午的铺路速度快还是下午的铺路速度快？ 31．在第三十二届夏季奥林匹克运动会男子4×100m接力决赛中，中国队以37.79秒的成绩再创佳绩。平均每位运动员用时多长（保留两位小数）？ 32．跳广场舞的奶奶们要参加比赛，准备做同样的服装。现在买来100米花布，每1.8米做一套，可以做多少套服装？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】把结果24.□□看作24，然后根据“被除数＝商×除数”，看被除数是否在2□.□□的取值范围内；或在□□.□□的取值范围内；根据“因数＝积÷另一个因数”，看这个因数是否在2.□□的取值范围内；或在4.□□的取值范围内；据此解答。 【详解】把24.□□看作24； A．24×0.1＝2.4，2.4＜2□.□□，不符合题意； B．24÷8＝3，3＞2.□□，不符合题意； C．24×5＝100，100＞□□.□□，不符合题意； D．24÷5＝4.8，4.8在4.□□的取值范围内，符合题意。 因此算式4.□□×5的结果可能是24.□□。 故答案为：D 2．C 【详解】两个数相除，商是0.7，如果除数扩大10倍，被除数不变，则商缩小到原来的10倍。 故选：C。 3．B 【分析】需要瓶子的个数＝色拉油的总质量÷每个瓶子里装色拉油的质量，结果用进一法取整数。 【详解】30.5÷2.8≈11（个） 故答案为：B 【点睛】本题考查了小数除法中商的近似数在实际生活中的应用。 4．C 【分析】两个数相除，被除数大于除数，商大于1，当被除数小于除数时，商小于1，据此选择。 【详解】A．4.48÷3.5；4.48＞3.5，商大于1； B．2.56÷0.32；2.56＞0.32，商大于1； C．0.76÷4；0.76＜4，商小于1； D．12.5÷12.05；12.5＞12.05；商大于1。 下面各题的商小于1的是0.76÷4。 故答案为：C 5．C 【分析】小数大小的比较：先看它们的整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上相同，百分位上的数大的那个数就大… 【详解】3.21＞3.1＞3.2 故答案为：C 【点睛】循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 6．D 7． 25 【分析】循环小数的小数部分重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。 【详解】5.252525…是一个循环小数，循环节是25，用简便方法记作。 【点睛】关键是熟悉循环小数的特点，掌握循环小数的记数方法。 8． 4 24 9． 0.8 1.39 【分析】保留一位小数，即精确到十分位，看小数点后面第二位（百分位），百分位上的数是4，按照四舍五入，要把尾数去掉，求出近似数即可。 循环小数记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点），表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。保留两位小数，即精确到百分位，看小数点后面第三位（千分位），再利用“四舍五入法”求出近似数即可。 【详解】0.845（保留一位小数）≈0.8 （保留两位小数）≈1.39 【点睛】此题主要考查小数的近似数及其求法，同时还需要熟悉循环小数的记数方法。 10． ＞ ＜ ＝ ＞ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘一个大于1的数，积比原来的数大；一个数（0除外）乘一个小于1（0除外）的数，积比原来的数小。一个数（0除外）除以一个大于1的数，商比原来的数小；一个数（0除外）除以一个小于1（0除外）的数，商比原来的数大。据此，再结合小数乘除法的计算法则，一一分析并填空即可。 【详解】0.99＜1，所以9.31＞0.99×9.31； 1.1＞1，所以25.4÷1.1＜25.4； 3.21÷100＝0.0321，0.01×3.21＝0.0321，所以3.21÷100＝0.01×3.21； 14.7÷10＝1.47，14.7×0.01＝0.147，所以14.7÷10＞14.7×0.01； 0.7＜1，所以8.5÷0.7＞8.5； 0.9＜1，所以4.8×0.9＜4.8。 【点睛】本题考查了小数乘除法，有一定计算能力，掌握乘数和积的关系、被除数和商的关系是解题的关键。 11． 166 3.17 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节；写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 小数的近似数：根据“四舍五入”求近似数的方法，找到要求保留的数位，看下一位；如果下一位的数字大于或等于5，要往前进一；如果下一位的数字小于5，要舍去。 【详解】3.166166…≈3.17 3.166166…的简便记法是，循环节是166，保留两位小数约是3.17。 【点睛】掌握循环小数的特点、循环小数的简便记法以及小数的近似数的求法是解题的关键。 12． 83.2 64 285 19 1500 2.16 45 【分析】在除数是小数的小数除法中，除数是几位小数，小数点就向右移动几位，根据商不变的性质，除数的小数点向右移动几位被除数的小数点也向右移动几位。 【详解】（1） （2） （3） （4） 【点睛】掌握商不变的性质是解答此类题目的关键。 13． 6.8 9 【分析】根据乘法的意义，用编一个中国结需要丝绳的长度乘中国结的个数即可；用8.12除以0.85进行计算，其结果根据实际情况运用“去尾法”保留整数即可。 【详解】0.85×8＝6.8（米） 8.12÷0.85≈9（个） 则编一个中国结要用0.85米的丝绳，编8个中国结需要6.8米的丝绳；8.12米的丝绳最多可以编9个中国结。 14． 8 0.125 【分析】用行驶的千米数除以耗油量，即可求出平均每升油可以行驶多少千米；用耗油量除以千米数，求出1千米耗油多少升。 【详解】400÷50＝8（千米） 50÷400＝0.125（升） 小轿车行驶400千米耗油50升，平均1升油可行驶8千米，每行驶1千米耗油0.125升。 15．√ 【分析】被除数和除数同时乘或除以同一个不为0的数，商不变，据此解答。 【详解】6.6÷1.1＝（6.6÷10）÷（1.1÷10）＝0.66÷0.11 所以，6.6÷1.1和0.66÷0.11的商相等。 故答案为：√ 【点睛】掌握商的变化规律是解答题目的关键。 16．× 【分析】小数部分的位数是有限的小数，这样的小数叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数，叫做循环小数。据此解答。 【详解】根据分析可知，循环小数是无限小数，而无限小数包含循环小数和无限不循环小数。 故答案为：× 17．× 【分析】一个无限小数的小数部分有一个或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数；依次不断重复出现的数字就是循环节． 【详解】19.9998÷6＝3.3333，商是四位小数，不是循环小数，所以没有循环节。 故答案为：× 【点睛】考查循环小数，循环节的概念。 18．× 【分析】用油的总质量除以每个油桶最多装油的质量即可求出需要多少个油桶，根据实际考虑，商的近似数要采用“进一法”。 【详解】60÷4.5≈14（个），原题说法错误； 故答案为：×。 【点睛】明确剩下的油还需要再装一个油桶是解答本题的关键，所以商的近似数要采用“进一法”。 19．√ 【分析】在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的，据此解答。 【详解】2.4×[（0.8＋3.4）÷0.7] ＝2.4×[4.2÷0.7] ＝2.4×6 ＝14.4 故答案为：√ 【点睛】掌握小数四则混合运算的运算顺序是解答题目的关键。 20．0.67；0.12；10；0.15；8.1； 0.004；40；100；2.5；0.91 【解析】略 21．16.9；504.556 48.8；22.15 【分析】小数乘小数的计算方法，先按照整数乘法的计算方法计算，再看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点。 小数除法计算方法：在计算除数是小数的除法时。根据商不变的性质，将除数和被除数同时扩大相同的倍数，转化成除数是整数的除法进行计算。 【详解】6.5×2.6＝16.9                            5.2×97.03＝504.556                               36.6÷0.75＝48.8                           28.8÷1.3≈22.15             22．64；25；8.7 【详解】36.5×8÷36.5×8 ＝36.5÷36.5×8×8 ＝64 17.5×2.5－7.5×2.5 ＝（17.5－7.5）×2.5 ＝10×2.5 ＝25 7.5×2.9÷2.5 ＝7.5÷2.5×2.9 ＝3×2.9 ＝8.7 23． 【分析】纪念奖的数量最多，所以转盘面积应该最大，第二多的是三等奖，第三多的是二等奖，一等奖数量最少，面积应最少，据此画出转盘的奖项。 【详解】 【点睛】本题考查可能性的大小，解答本题的关键是掌握可能性的大小由数量的多少决定。 24．11次 【分析】求大货车运送剩下的水泥要运多少次，先求出小货车运3次后剩余的水泥是多少吨，再用除法计算剩余的水泥吨数包含几个4.5吨，据此解答。 【详解】（54－1.5×3）÷4.5 ＝（54－4.5）÷4.5 ＝49.5÷4.5 ＝11（次） 答：还要运11次。 【点睛】本题考查应用小数的乘、除法解决实际问题。 25．240个 【分析】现在可以做玩具狗的数量＝原来做一个吉祥狗需要的材料费×原来准备做吉祥狗的数量÷现在做一个吉祥狗需要的材料费，据此解答。 【详解】4.8×180÷3.6 ＝864÷3.6 ＝240（个） 答：现在可以做240个。 【点睛】掌握小数乘除法的计算方法是解答题目的关键。 26．11本 【分析】用60减去46.8，先求出买笔记本后还剩下的钱，再根据总价÷单价＝数量，列式计算即可。 【详解】（60－46.8）÷1.2 ＝13.2÷1.2 ＝11（本） 答：明明最多可以买11本作业本。 【点睛】根据总价、单价、数量三者之间的关系，列式解答即可。 27．6.3千米 【分析】根据题意，甲到达B地时，乙距离B地还有0.6千米，即两人的路程差为0.6千米，已知两人的速度，根据“路程差÷速度差”求出甲到达B地所行的时间，再由甲的速度乘所行时间，即可求出两地距离。 【详解】0.6÷（4.2－3.8）×4.2 ＝0.6÷0.4×4.2 ＝1.5×4.2 ＝6.3（千米） 答：AB两地相距6.3千米。 【点睛】本题考查行程问题，关键是分析出两人的路程差，并掌握公式“路程差÷速度差=行驶时间”。 28．120千克 【分析】根据“总价＝单价×数量”，用香蕉每千克的价钱乘香蕉卖出的质量，求出昨天卖出香蕉的收入；再用昨天卖出香蕉和苹果这两种水果的总收入减去香蕉的收入，就是昨天卖出苹果的收入；根据“数量＝总价÷单价”，用苹果的收入除以苹果每千克的价钱，即可求出昨天卖出苹果的质量。 【详解】香蕉的收入： 2.5×49＝122.5（元） 苹果的收入： 578.5－122.5＝456（元） 苹果的质量： 456÷3.8＝120（千克） 答：昨天一共卖出了120千克苹果。 【点睛】本题考查小数乘除法的应用，掌握单价、数量、总价之间的关系是解题的关键。 29．70km 【分析】由题意可知：甲、乙两艘轮船同时从A、B两地相向而行。经过3.5小时相遇，乙船每小时行50km，用乙船的速度乘3.5小时即可求出乙船的走了路程，相遇后甲船继续行2.5小时到达B地，此时甲船走的路程即是乙船的路程，根据速度＝路程÷速度即可求出甲的速度。 【详解】50×3.5÷2.5 ＝175÷2.5 ＝70（千米） 答：甲船每小时行70千米。 【点睛】完成本题的关键是根据：速度×时间＝路程这一基本关系式列出等量关系式。 30．上午的铺路速度快 【分析】根据公式：铺的总米数÷时间＝每小时铺的米数，把数代入公式即可求出上午和下午每小时铺的米数，由此即可比较。 【详解】上午：243÷4.5＝54（千米/小时） 下午：210÷4＝52.5（千米/小时） 54＞52.5 答：上午的铺路速度快。 【点睛】本题主要考查小数除法应用题，熟练掌握小数除法的计算方法并灵活运用。 31．9.45秒 【分析】先根据“总时间÷总人数＝平均每位运动员用的时间”列式为37.79÷4；再根据小数除法计算法则算出商；最后用“四舍五入”法求近似数。 【详解】37.79÷4＝9.4475（秒）≈9.45（秒） 答：平均每位运动员用时9.45秒。 【点睛】此题主要考查小数除法的计算，熟练掌握求近似数的方法也是解题的关键。 32．55套 【分析】用画布长度÷一套服装用布长度，结果用去尾法保留近似数即可。 【详解】100÷1.8≈55（套） 答：可以做55套服装。 【点睛】最后无论剩下多少布，只要不够一套服装的用量，就无法做一套服装。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$