小升初典型奥数：逆推还原问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

逆推还原问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 1．逆推问题内容： 逆推问题还可称为还原问题，解答这类问题时，要根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算． 2．解题方法： （1）要根据题意的顺序，从最后一组数量关系逆推至第一组数量关系，这就是逆推法中去处顺序的逆推含义． （2）原题相加，逆推用减；原题相减，逆推用加；原题相乘，逆推用除；原题相除，逆推用乘，这就是逆推法中计算方法的逆运算含义． 【解题方法点拨】 解题思路： ①从结果出发，逐步向前一步一步推理． ②在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆运算． ③列式时注意运算顺序，正确使用括号． 第二部分 典型例题 例题1：3个探险家结伴去原始森林探险，路上觉得十分乏味就聚在一起玩牌。第一局，甲输给了乙和丙，使他们每人的钱数都翻了一番。第二局，甲和乙一起赢了，这样他们俩钱袋里面的钱也都翻了倍。第三局，甲和丙又赢了，这样他们俩钱袋里的钱都翻了一倍。结果，这3位探险家每人都赢了两局而输掉了一局，最后3人手中的钱是完全一样的。细心的甲数了数他钱袋里的钱发现他自己输掉了100元。你能推算出来甲、乙、丙3人刚开始各有多少钱吗？ 【答案】260元；80元；140元 【分析】根据题意，假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，又在每一局重新变化后，三个人钱袋里的钱的总数是一个不变的数，由此，可从最后3人手中的钱是完全一样的出发进行倒推，求每一局重新变化以前三个人各自的钱的份数，再根据甲输掉了100元，求出每份代表的钱数，即可求他们三个人刚开始各有多少。列表倒推如下。 【详解】假设最后每个人手中的钱是8份，三人总共24份，列表解答如下： 甲 乙 丙 第三局后 8 8 8 第二局后 4 16 4 第一局后 2 8 14 开始 13 4 7 从开始到最后甲的份数少了：13－8＝5（份）， 每份的钱数是：100÷（13－8） ＝100÷5 ＝20（元） 13×20＝260（元） 4×20＝80（元） 7×20＝140（元） 所以刚开始时，甲有260元，乙有80元，丙有140元。 【点睛】本题考查了“还原问题”，我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理。 例题2：有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？ 【答案】26 【详解】解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙 堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（）个，丙堆石子数变成（）个，有，解得．题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系． 例题3：三棵树上共有36只鸟，有4只鸟从第一棵树上飞到第二棵树上，有8只鸟从第二棵树上飞到第三棵树上，有10只鸟从第三棵树上飞到第一棵树上，这时，三棵树上的鸟同样多。原来每棵树上各有几只鸟？ 【答案】6只；16只；14只 【分析】这道题要采用倒推法，最后三棵树上的鸟同样多，那每棵数上就是：（36÷3）只，即12只；第一棵树上的鸟，先是飞了4只到第二棵树上，然后又有10只飞了回来，现在和原来比小鸟增加了6只，这样比较就能求出第一棵树上小鸟的只数；第二棵树上的鸟，先是飞来了4只，然后又有飞走了8只，现在和原来比少了4只，这样比较就能求出第二棵树上小鸟的只数；第三棵树上的鸟，先是飞来了8只，然后又飞走了10只，现在和原来比少了1只，这样比较就能求出第三棵树上小鸟的只数。 【详解】现在一样多的：36÷3＝12（只）； 第一棵树上的小鸟只数：12－10＋4＝6（只）； 第二棵树上的小鸟只数：12＋8－4＝16（只）； 第三棵树上的小鸟只数：12＋10－8＝14（只）； 答：第一棵树上有6只小鸟；第二棵树上有16只小鸟；第三棵树上有14只小鸟。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 例题4：一桶油，每次倒掉油的一半，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，原来桶里有油多少千克？ 【答案】52千克 【分析】由题意，倒了三次后连桶重8千克，已知桶重1.5千克，则油重（8-1.5）千克，每次倒掉油的一半，则第三次没倒前油重（8-1.5）×2，同理第二次没倒前油重（8-1.5）×2×2，第一次没倒前油重（8-1.5）×2×2×2． 【详解】（8-1.5）×2×2×2 =6.5×2×2×2 =52（千克） 答：原来桶里有油52千克． 第三部分 高频真题 1．三人有不等的存款，只知如果甲给乙40元，乙再给丙30元，丙再给甲20元，给乙70元，这样三人各有240元，三人原来各有存款多少元？ 2．有一条铁丝，第一次剪下它的又1米，第二次剪下剩下的又1米，此时还剩15米，这条铁丝原来有多长？ 3．妈妈买回来一些鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天吃了第二天余下的一半又半个．这时还剩下1个鸡蛋，妈妈一共买回多少个鸡蛋？ 4．某数先加上3，再乘3，然后除以2，最后减去2，结果是10，问：原数是多少？ 5．小巧、小亚、小红共有个玻璃球，小巧给小亚个，小亚给小红个，小红给小巧个，他们的玻璃球个数正好相等。小巧、小亚、小红原来各有多少个玻璃球？ 6．一瓶果汁，第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升．这瓶果汁原有多少毫升？ 7．三棵树上共有48只鸟．后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多．问：一开始三棵树上各有几只鸟？ 8．有一个财迷总想使自己的钱成倍增长，一天他在一座桥上碰见一个老人，老人对他说：“你只要走过这座桥再回来，你身上的钱就会增加一倍，但作为报酬，你每走一个来回要给我32个铜板．”财迷算了算挺合算，就同意了．他走过桥去又走回来，身上的钱果然增加了一倍，他很高兴地给了老人32个铜板．这样走完第五个来回，身上的最后32个铜板都给了老人，一个铜板也没剩下．问：财迷身上原有多少个铜板？ 9．甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、丙三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了100点。请问：开始时，甲手上有多少点？（每局三人的点数和保持不变） 10．某数减去2，乘9，再加上3，最后除以4，结果等于12．求这个数？ 11．程才到书店买书，他先用所带的钱的一半少8元买了本《数学大世界》，接着用剩下的钱的一半多1元买了本《数学探秘》，最后用剩下的钱的一半多2元买了本《趣味数学》，买完后还剩下13元。程才一共带了多少钱？ 12．小刚的姥姥今年年龄减去7岁后，缩小到原来的，再加1岁后才10岁．小刚的奶奶今年多少岁？ 13．甲、乙两班各要种若干棵树，如果甲班拿出与乙班同样多的树给乙班，乙班再从现有的树中也拿出与甲班同样多的树给甲班，这时两班恰好都有28棵树，问甲、乙两班原来各有树多少棵？ 14．3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了，第二只猴子吃了剩下的，第三只猴子吃了第二只猴子吃过后剩下的，最后篮子里还剩下6只桃子，问篮里原有桃子多少只？ 15．一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长一倍，40天能长到20厘米，问长到5厘米时要用多少天？ 16．小明、小强和小勇三个人共有故事书60本．如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等．这三个人原来各有故事书多少本？ 17．四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子．过了一会，其中一只猴子来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成4堆，发现余下3个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子没来，把桃子也分成4堆，发现还是多出3个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？ 18．一瓶油第一次吃去，第二次吃去余下的，这时瓶里还有千克，这个瓶里原来有油多少千克？ 19．学学和思思见到一种神奇的虫子，它每小时就长一倍，1天能长到20厘米，聪明的小朋友，你知道小虫长到5厘米时需要多少小时吗？ 20．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？ 21．某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元．这时他的存折上还剩1250元．他原有存款多少元？ 22．第24届大冬会吉祥物专卖店购进一批吉祥物“冬冬”。开幕式当天上午卖出一半多30个，下午卖出剩下的一半少10个，还剩下200个。商店原来购进多少个？ 23．一班、二班、三班各有不同数目的图书。如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍。这时，三个班的图书数目都是48本。求三个班原来各有图书多少本？ 24．山顶上有棵桃数，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了总数的一半多2个，第二天又偷吃了剩下的一半多2个，这时还剩1个，问：树上原来有多少个桃子？ 25．小红看一本故事书，第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页，第三天看了10页正好看完，这本书有多少页？ 26．一篮苹果，取篮中的一半又一个给第一人，再取余下的一半又一个给第二人，又取第二人余下的一半又3个给第三人，篮中苹果正好分完，问篮中原有苹果多少个？ 27．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖ 28．甲、乙、丙、丁四个小组同学按下列方法分配苹果：甲组取了全部的又81个，乙组取了甲组取后所剩下的又81个，丙组取了乙组取后所剩下的又81个，最后丁组取了丙组取后余下的和所剩下的81个。问甲组取了多少个苹果？ 29．将小明奶奶今年的年龄依次减去15并乘，再加上4后除以，恰好是100岁，小明奶奶今年多少岁？ 30．在小新爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘10，恰好是100，问：小新爷爷今年多少岁数？ 31．甲、乙、丙3人共有192张邮票。从甲的邮票中取出乙那么多给乙后，再从乙的邮票中取出丙那么多给丙，最后从丙的邮票中取出甲那么多给甲，这时甲、乙、丙3人邮票数相同，甲、乙、丙原来各有多少张？ 32．某工厂有、、、、五个车间，人数各不相等。由于工作需要，把车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间，车间工人的调入车间。现在五个车间都是30人。原来每个车间各有多少人？ 33．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？ 34．有铅笔若干支，分一半加1支送甲，分余下的一半加2支送乙，剩下的4支送丙，这些铅笔原有多少支？ 35．有一根电线，第一次用去了4m，又用去余下的一半；第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m．问这根电线原来有多少米？ 36．有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？ 37．小马虎在做一道加法题时，把一个加数个位上的9看作6，十位上的6看作9，结果和是174，那么正确的结果应该是多少呢？ 38．思思看到织女在织布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米，你知道这段五彩布原来长多少米吗？ 39．桃园里来了第一群猴子，吃去桃子总数的一半又半个；第二群猴子又来吃掉剩下桃子的一半又半个；第三群猴子又来吃掉剩下桃子数的一半又半个。这时桃园里还只有100个桃了。那么园中原有多少桃？ 40．文具柜上的某种笔盒每次卖出一半时，就从仓库中调来15个补充．到第八次卖出一半后，恰好余下15个．文具柜原有这种笔盒的个数是多少个？ 41．淘气在做一道减法时，把减数个位上的9看成了3，把十位上的4看成了7，得到的结果是164，请你帮淘气算算正确的答案应该是多少呢？ 42．甲、乙、丙、丁四人共做了 270 个零件，如果甲多做 10 个，乙少做 10 个，丙做的个数乘 2，丁做的个数除以 2，那么四人做的个数恰好相等。求甲、乙、丙、丁实际做的个数。 43．小丽用4元买了一本《童话大王》，又用剩下的钱的一半买了一本《儿童时代》，买钢笔又用去第二次剩下的钱的一半多1元，最后还剩4元，问：小丽原有多少钱？ 44．某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？ 45．把57个甜橙分成三袋，当第一袋再放上7个，第二袋拿去4个，第三袋减少一半时，三袋个数正好相等．原来三个袋里各有甜橙多少个？ 46．有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？ 47． 某学生将乘一个数时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少? 48．爸爸去银行取款．第一次取了存款的一半还多20元，第二次取了余下的一半还多30元，这时银行里还剩250元，爸爸原来有存款多少元？ 49．果园里有一棵桃树．有一天，三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半，最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子，原来树上一共有几个桃子？ 50．有一筐苹果，把它们三等分后还剩两个苹果；取出其中两份，将它们三等分后还剩两个；然后再取出其中两份，又将这两份三等分后还剩2个。问：这筐苹果最少有几个？ 51．办公室有一桶水，第一天喝掉一半多1升，第二天喝掉剩下的一半多2升，第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水。问：原来桶里有多少升水？ 52．老妇提篮卖蛋．第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个．这时，全部鸡蛋都卖完了．老妇篮中原有鸡蛋多少个？ 53．一次数学竞赛颁奖会上，小刚问老师：“我得了多少分？”老师说：“你的得分减去后，缩小倍，再加上后，扩大倍，恰好是分”。小刚这次竞赛得了多少分？ 54．一堆西瓜，第一次卖出总数的多4个，第二次卖出余下的多2个，还剩2个．这堆西瓜共有多少个？ 参考答案： 1．260元； 160元；300元 【分析】用倒推法，求每个人原来各有存款多少元，可以从最后结果三个人各有240元开始，把给出的钱数加上，收到的钱数减去，就得到各人原有存款的钱数。 【详解】甲：240＋40－20＝260（元） 乙：240－40＋30－70＝160（元） 丙：240－30＋20＋70＝300（元） 答：甲、乙、丙三人原来分别有存款260元、160元、300元。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 2．50米 【分析】此铁丝最后还剩15米，这是第二次剪去第一次剩下的又1米的结果，那么第二次剪之前（即第一次剪后）应该是（15+1）÷（1－ ）= 24（米）；而24米又是第一次剪去全长的又1米的结果，那么那么第一次剪之前（即原来）的长度为（24+1）÷（1－ ）= 50（米）. 【详解】（15+1）÷（1－ ）÷（1－）= 50（米） 答：这条铁丝原来长50米． 3．15个 【分析】根据最后篮内的鸡蛋个数是1，那第三天吃完后余下的鸡蛋的个数是2×（1+0.5），第二天吃完后余下的鸡蛋的个数是2×[2×（1+0.5）+0.5]，同样道理可以求出第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数，那原有鸡蛋的个数即可求出． 【详解】第二天吃完后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+0.5）=3（个） 第一天吃完后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+0.5）=7（个） 原有鸡蛋的个数是：2×（7+0.5）=2×7.5=15（个） 答：妈妈买回15个鸡蛋． 4． 【分析】分析时可以从最后的结果是10逐步倒着推。这个数没减去2时应该是多少？没除以2时应该是多少？没乘3时应该是多少？没加上3时应该是多少？这样依次逆推，就可以推出某数。如果没减去2，此数是：，如果没除以2，此数是：，如果没乘3，此数是：，如果没加上3，此数是：，综合算式，原数是5。 【详解】（10＋2）×2÷3－3 ＝12×2÷3－3 ＝5 答：原数是5。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 5．28个；29个；33个 【分析】由已知条件可知，小巧比原来多了个，小亚比原来多了个，小红少了个，三人一样多时，都是（90÷3）个，即30个；所以小巧原来有（30＋6－8）个，小亚原来有（30＋5－6）个，小红原来有（30＋8－5）个。 【详解】90÷3＝30（个） 30＋6－8＝28（个） 30＋5－6＝29（个） 30＋8－5＝33（个） 答：小巧、小亚、小红原来分别有28、29、33个玻璃球。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 6．500毫升 【分析】由“第二次喝了剩下果汁的一半多25毫升，这时瓶中还剩125毫升”，那么第二次没喝之前应为（125+25）×2=300（毫升）；由“第一次喝了所有果汁的一半少50毫升，是300毫升”，那么这瓶果汁原有（300-50）×2． 【详解】[(125+25)×2－50]×2 =[300－50]×2 =250×2 =500（毫升） 答：这瓶果汁原有500毫升． 7．一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟． 【详解】试题分析：应先从最后结果出发，最后三棵树上鸟的只数都是48÷3=16（只）；则第三棵树上没有飞走10只鸟时是16+10=26只，根据“第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上”可知第三棵树上原来有26÷2=13只，从第二棵树上飞到第三棵树上的有13只，根据“第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上”，这时是16只，可知这10只鸟没有飞到第一棵树之前第一颗树上是16﹣10=6只，因为“第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上”，所以第一棵树上原来有6×2=12只，由此用总只数分别减去第一、二棵树上原有的只数就是第二棵树上原有鸟的只数；据此解答． 解：最后三棵树上各有鸟： 48÷3=16（只）； 第三棵树上原有： （16+10）÷2=13（只）； 第一棵树上原有： （16﹣10）×2=12（只）； 第二棵树上原有： 48﹣12﹣13=23（只）； 答：一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟． 点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解． 8．31个 【分析】第5次以后，财迷只剩下32个铜板，相当于第5次过桥前手里有16个； 第4次过桥后给了老人32个，所以第四层结束以后手中有48个，相当于第4次过桥前手中有24个； 第3次过桥后给了老人32个，所以第3次结束以后手中有56个，相当于第3次过桥前手中有28个； 第2次过桥后给了老人32个，所以第2次结束以后手中有60个，相当于第2次过桥前手中有30个； 第1次过桥后给了老人32个，所以第1次结束以后手中有62个，相当于第1次过桥前手中有31个． 【详解】第五次后有：32÷2=16（个） 第四次后有：（32+16）÷2=24（个） 第三次后有：（32+24）÷2=28（个） 第二次后有：（32+28）÷2=30（个） 第一次原有：（32+30）÷2=31（个） 答：财迷身上原有31个铜板． 9．260点 【分析】翻了一番即扩大到原来的2倍的意思，可以设最后的数量为未知数，从后往前进行倒推，表示出找出三人各自的数量，根据甲输了100点列方程求解。 【详解】解：设三局后每人手中都是点； 根据题意列表 甲 乙 丙 点数总和 第三局后 3 第二局后 2 3 第一局后 3 开始时 3 因为三局后甲手中的点数比开始时减少了100点，即 －＝100 ＝160 于是160×＝260（点） 答：开始时，甲手上有260点。 【点睛】本题考查的是多个量的还原问题，用列表法进行倒推是求解此类问题最常用的方法。 10．7 【分析】通过读题我们可以发现某数经过减去2，乘9，加上3，除以4，这四步有序的运算的结果等于12，要想求出某数，我们只需要将其运算过程从结果开始逆向运算即可． 【详解】（12×4－3）÷9＋2 =（48－3）÷9＋2 =45÷9＋2 =5＋2 =7 答：这个数是7． 11．108元 【分析】可以用逆推还原的方法。程才到书店买了三本书，第一本是《数学大世界》，第二本《数学探秘》，第三本是《趣味数学》。按照题目的意思画出线段图。 从线段图中可以得出买完《数学探秘》剩的钱是30元。 从线段图中可以得出买完《数学大世界》剩的钱是62元。 程才带了108元。 【详解】（13＋2）×2 ＝15×2 ＝30（元） （30＋1）×2 ＝31×2 ＝62（元） （62－8）×2 ＝54×2 ＝108（元） 答：程才一共带了108元。 【点睛】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 12．88 【分析】我们从问题入手，按照下图的思路来寻求解决办法． 从最后一个条件恰好是100岁向前推算，加上1岁之后是10岁，没有加1岁之前应是10－1＝9岁；没有缩小到原来的之前应是9×9＝81岁；减去7之后是81岁，没有减去岁7前应是81＋7＝88岁． 【详解】10－1＝9岁 9×9＝81岁 81＋7＝88岁 答：小刚的奶奶今年88岁． 13．35棵；21棵 【分析】如果后来乙班不给与甲班同样多的树，甲班应有树（28÷2）棵，即14棵；乙班有（28＋14）棵，即42棵；如果开始不从甲班拿出与乙班同样多的树，乙班原有树（42÷2）棵，甲班原有树（14＋21）棵。 【详解】列表倒推如下： 甲班 乙班 35 21 14 42 28 28 （28＋28÷2）÷2 ＝（28＋14）÷2 ＝42÷2 ＝21（棵） 28÷2＋21 ＝14＋21 ＝35（棵） 答：甲班原有树棵；乙班原有树棵。 【点睛】解决此类题的关键是用倒推法，从后往前一步步推算，即可得出结果。 14．18只 【详解】6÷（1-）=8（只） 8÷（1-）=12（只） 12÷（1-）=18（只） 答：篮里原有桃子18只． 15．38天 【分析】本题考查的知识点是用逆推法或者叫还原法来解答趣味数学问题．解答时要理解，一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，40天能长到20厘米，逆推知道39天就长到10厘米，38天就长到5厘米，由此得出答案． 【详解】40-1-1=38（天） 答：长到5厘米时要用38天． 16．小勇15本，小强22本，小明23本 【详解】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本．如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本． 17．259个 【分析】如果没有多3个的话，分了四次，答案应是4×4×4×4=256个，现在多了3个，所以结果是256+3=259个． 【详解】4×4×4×4+3 =256+3 =259（个） 答：堆桃子至少有259个． 18．1千克 【详解】÷（1-）÷（1-）=1（千克） 答：这个瓶里原来有油1千克． 19．22小时 【分析】小虫每小时长一倍的意思是：第二个小时的身长是第一个小时的2倍，第三个小时的身长是第二个小时的2倍，第四个小时的身长是第三个小时的2倍，……1天是24个小时，从24小时能长到20厘米开始，往前倒推，当长到（20÷2）厘米时，就是第23个小时，以此倒推。 【详解】列表倒推法解题如下： 出生时数 小虫身长（厘米） 24 20 23 10 22 5 答：小虫长到5厘米时需要22小时。 【点睛】本题主要考查了还原问题的解题方法，用列表倒推法解题更直观、易懂。 20．甲5乙13． 【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可． 解： 周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的， 那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13． 点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题． 21．5500元 【分析】由“第二次取余下的一半多100元”可知，“余下的一半少100元”是1250元，从而“余下的一半”是1250+100=1350（元） 余下的钱（余下一半钱的2倍）是：1350×2=2700（元） 用同样道理可算出“存款的一半”和“原有存款”． 【详解】[（1250+100）×2+50]×2=5500（元） 答：他原有存款5500元． 22．820个 【分析】根据线段图可知，上午卖出后的一半是200个与10个的差即190个；那么全部的一半就是190个的2倍与30个的和，据此求原来购进多少个。 【详解】 （个） 答：原来购进820个。 【点睛】本题考查逆推问题，关键是利用逆推的方法，找出两个“一半”所对应的具体的数量，由此列式解答即可。 23．本；本；本 【分析】依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班。其余各次，以此类推，把倒推解答的过程列表如下。 【详解】48÷2＝24（本） 48÷2＝24（本） 48＋24＋24＝96（本） 24÷2＝12（本） 96÷2＝48（本） 24＋12＋48＝84（本） 84÷2＝42（本） 48÷2＝24（本） 12＋42＋24＝78（本） 列表解答：（单位：本） 一班 二班 三班 结果 48 48 48 第三次分之前 24 24 96 第二次分之前 12 84 48 第一次分之前 78 42 24 答：三个班原来各有图书本，本，本。 【点睛】本题考查了“还原问题”，我们可采用倒推法，再结合列举法进行分析推理。在每一次重新变化后，三个班的图书总数目是一个不变的数，由此，可从最后三个班的图书数目都是48本出发进行倒推，求每一次重新变化以前三个班各自的图书数目，逐步倒推出原有的图书数目。 24．16个 【分析】运用逆推法，先用最后的结果剩1个可知，1个等于第二天没吃前的一半少2个，即：（1＋2）×2＝6（个），就是第二天没偷吃前的个数，即第一天偷吃剩下的个数；那么（6＋2）个就是树上原来桃子个数的一半，由此解题即可。 【详解】[（1＋2）×2＋2]×2 ＝[3×2＋2]×2 ＝[6＋2]×2 ＝8×2 ＝16（个） 答：树上原来有16个桃子。 【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。 25．100页 【分析】（1）根据第二天看了余下的一半又10页，可知：第三天看的10页是第一天余下的一半少10页，所以第一天余下的页数的一半就是：10+10=20（页），所以第一天余下的页数是20×2=40（页）；（2）根据第一天看了这本书的一半又10页，说明这40页是这本书的一半少10页，所以这本书的一半就是40+10=50（页），所以这本书的页数是50×2=100（页）． 【详解】[（10+10×2+10）]×2 =[40+10]×2 =50×2 =100（页） 答：这本书有100页． 26．30个 【分析】最后的一半又3个给第三人，说明最后的一半就是3个，第三人得到6个苹果；取余下一半又1个给第二人，说明第二人所取的余下一半比最后的6个多1个，所以第二人得到8个；第一人取后还剩下14个苹果；若干苹果，取一半又1个给第一人，剩下14个，说明这一半是15个，所以这个篮子里原来有30个苹果． 【详解】[(3×2+1)×2+1]×2 =[7×2+1]×2 =15×2 =30（个） 答：篮中原有苹果30个． 27．解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个） 出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个） 第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个） 这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个） 答：盒内原有珠子25个．   【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决． 28．256个 【分析】丙组取后余下的和所剩下的81个，是将余下的苹果是单位“1”，取了后，剩下的是81个，已知一个数的几分之几，求这个数，用除法得出丙取完剩下108个。 同理丙组取了乙组取后所剩下的又81个，也就是将乙组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下108个，也就是乙组取后所剩的苹果个数的是189个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是252个。 同理乙组取了甲组取后所剩下的又81个，也就是将甲组取后所剩的苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下252个，也就是甲组取后所剩的苹果个数的是333个，则用除法得出乙组取后所剩的苹果个数是444个。 同理甲组取了全部的又81个，也就是将全部苹果个数看成单位“1”，取完后，又取了81个还剩下444个，也就是全部苹果个数的是525个，则用除法得出全部苹果个数是700个。 甲组取的苹果个数＝全部的苹果个数×＋81。 【详解】81÷（1－） ＝81÷ （个） （108＋81）÷（1－） ＝189÷ ＝ ＝252（个） （252＋81）÷（1－） ＝333÷ ＝ ＝444（个） （444＋81）÷（1－） ＝525÷ ＝ ＝700（个） 700×＋81 ＝175＋81 ＝256（个） 答：甲组取了256个苹果。 【点睛】解决复杂的还原问题，已知多个对象的变化过程和结果，求开始时各自的量，这类问题是较复杂的还原问题，常涉及倍数变化。一般情况下可以结合列表法来解决。 29．79岁 【分析】从最后的结果出发，如果小明奶奶的年龄不除以，那就是100× = 20（岁）；不加上4，就是20 – 4 = 16（岁）；不乘，就是16÷ = 64（岁）；最后再加上15就是奶奶今年的年龄． 【详解】（100×－4）÷+ 15 = 79（岁） 答：小明奶奶今年79岁． 30．79岁 【分析】运用逆推法，先用最后的结果100岁除以10求出商（即乘10之前的结果），然后再用商加上6，求出和（即减去6之前的结果）；再用求出的和乘4，求出积（即减去15之前的结果），再用积加上15就是爷爷的岁数。 【详解】（100÷10＋6）×4＋15 ＝（10＋6）×4＋15 ＝16×4＋15 ＝64＋15 ＝79（岁） 答：小新爷爷今年79岁。 【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。 31．88张；56张；48张 【分析】甲、乙、丙原共有192张邮票，经过三次交换后，甲乙丙三人仍有邮票192张，而且三人邮票数相同，即3人各有邮票：（192÷3）张，即64张。第三次交换从丙的邮票中取出甲那么多给甲，说明这次交换前甲有邮票（64÷2）张，丙有邮票：（64＋64÷2）张，依此类推，就可以推出答案了。 【详解】192÷3＝64（张） 丙有邮票：（64＋64÷2）÷2 ＝（64＋32）÷2 ＝96÷2 ＝48（张） 乙有邮票：（64＋48）÷2 ＝112÷2 ＝56（张） 甲有邮票：64÷2＋56 ＝32＋56 ＝88（张） 最后相等时各有64张，列表倒推如下： 甲（张） 乙（张） 丙（张） 最后 64 64 64 前次 32 64 96 再前次 32 112 48 原来 88 56 48 答：甲、乙、丙原有邮票数依次为88张、56张、48张。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 32．11人；38人；33人；32人；36人。 【分析】最后每个车间都是30人，逆着调入的顺序，列表倒推，逐步求出原来的状态。 【详解】采用倒推法，列表如下 单位：人 A车间 B车间 C车间 D车间 E车间 调整结束后 30 30 30 30 30 E往D调前 30 30 30 24 36 D往C调前 30 30 22 32 36 C往B调前 30 19 33 32 36 B往A调前 11 38 33 32 36 所以原来、、、、车间分别有11、38、33、32、36个工人。 答：原来A车间有11人，B车间有38人，C车间有33人，D车间有32人，E车间有36人。 【点睛】解这种还原问题的关键是从最后结果出发，逐步向前一步一步推理，每一步运算都是原来运算的逆运算，即变加为减，变减为加，变乘为除，变除为乘。列式时还要注意运算顺序，正确使用括号，这种逆向思维的方法是数学中常用的思维方法。 33．180个 【分析】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 利用逆推还原法，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班，二班分得余下苹果数的一半是48个，那么余下的苹果就是96个。一班分得总个数的一半少6个是96个，则一班分得总个数的一半是90个，则这批苹果的总个数就是180个。 【详解】40＋8＝48（个） 48×2＝96（个） 96－6＝90（个） 90×2＝180（个） 答：这批苹果共有180个。 34．26支 【详解】（4+2）÷=12（支） （12+1）÷=26（支） 答：这些铅笔原有26支． 35．38米 【分析】由“第二次用去了5m，又用去余下的一半，最后还剩下6m”可知6米是第二次用去5米后剩余长度的一半，那么第二次用去了5米后剩下6×2=12米，第二次没用5米之前是12=5=17米；则第一次用去了4米后剩下17×2=34米，因此这根电线原来长34+4=38（米）． 【详解】（6×2+5）×2+4 =（12+5×2）+4 =17×2+4 =34+4 =38（米） 答：这根电线原来有38米． 36．85枚 【分析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚，由此逆推出第一次四等分之前有多少枚棋子即可。 【详解】第三次分之前有： 1×4＋1 ＝4＋1 ＝5（枚）， 第二次分之前有： 5×4＋1 ＝20＋1 ＝21（枚）， 第一次分之前有： 21×4＋1 ＝84＋1 ＝85（枚） 答：原来至少有85枚棋子。 【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。 37．147 【分析】我们可以这样理解这道题的意思：一个数（正确答案），由于小马虎两次错误的计算，变成了另一个数（错误结果），我们知道引起这种变化的原因是：①把个位上的9看作6，这就相当于把正确答案减少了：9−6＝3；②把十位上的6看作9，这就相当于把正确答案增加了：10×（9−6）＝30；这样原题就变成了“一个数减去3，再加上30，所得结果是174，求这个数。”我们只要把少加的加上，多加的减去，就可以求出正确的结果：174＋（9−6）−10×（9−6）＝147。 【详解】174＋（9−6）−10×（9−6） ＝174＋3−30 ＝147 答：正确的结果应该是147。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 38．32米 【分析】由“第二次又剪去余下的一半，这时还剩下8米；可知第二次剪钱是（8×2）米，那么第一次剪前是（8×2×2）米。 画图分析如下：                   即：（米）；        即：（米）。 【详解】8×2×2＝32（米） 答：这段五彩布原来长米。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 39．807个 【分析】根据题意，从最后只有100个向前倒推如下：第三群猴没吃，相应有桃：（100＋0.5）×2＝201（个）,第二群猴没吃，相应有桃：（201＋0.5）×2＝403（个）,第一群猴没吃，相应有桃（即桃园中原有桃）：（403＋0.5）×2＝807（个）。所以园中原有807的桃子。 【详解】（100＋0.5）×2＝201（个） （201＋0.5）×2＝403（个） （403＋0.5）×2＝807（个） 答：园中原有807个桃子。 【点睛】本题是从最后得到的结果出发，然后根据四则运算算式中各部分的关系，逐步向前推算，找出最开始的状态。 40．30个 【分析】每次卖出一半余下15个，就补15个，这样不管多少次，始终余15个，所以原有笔盒的个数就是15×2． 【详解】15×2=30（个） 答：文具柜原有这种笔盒的个数是30个． 41．188 【分析】根据题意，减数个位上的9看成了3，也就是减数小了6；十位上的4看成了7，也就是减数大了30。故原数是：164＋30－6＝188。 【详解】164＋30－6＝188 答：正确的答案应该是188。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 42．甲:50  乙:70  丙:30  丁:120 【详解】解：设恰好相等的数量为x， （x-10）+（x+10）+2x+x÷2＝270 解得x＝60 可得，甲:50，乙:70，丙:30，丁:120。 43．24元 【分析】根据题意，第二次剩下的一半是：4＋1＝5（元），第二次剩下：5×2＝10（元），第一次剩下：10×2＝20（元），原来有：20＋4＝24（元）。 【详解】画线段示意图如下： （4＋1）×2×2＋4＝24（元） 答：小丽原有24元。 【点睛】根据题意，画出线段图，倒推分析。 44．身上有44元；箱子里有84元 【分析】由题意，这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，即第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元，由此一步步向前逆推，则第二次回来前，他身上有64＋32＝96元，箱子里有64÷2＝32元；第二次过去前，他身上有96÷2＝48元，箱子里有32＋48＝80元；第一次回来前，他身上有48＋40＝88元，箱子里有80÷2＝40元；第一次过去前，他身上有88÷2＝44元，箱子里有40＋44＝84元；据此解答。 【详解】第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元； 第二次回来前，他身上有64＋32＝96（元），箱子里有64÷2＝32（元）； 第二次过去前，他身上有96÷2＝48（元），箱子里有32＋48＝80（元）； 第一次回来前，他身上有48＋40＝88（元），箱子里有80÷2＝40（元）； 第一次过去前，他身上有88÷2＝44（元），箱子里有40＋44＝84（元）； 答：原来这人身上有44元，箱子里有84元。 【点睛】本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解。 45．8个、19个、30个 【分析】第一个袋子放上7个，第二个袋子拿去4的时候，总的甜橙数目为57+7-4=60（个）；这时3个袋子的甜橙数目比=1：1：2，则此时第一个袋子甜橙数为：60×=15（个），第一个袋子原有甜橙15-7=8（个），此时第二个袋子甜橙数为60×=15（个），第二个袋子原有甜橙15+4=19（个），此时第三个袋子甜橙数为60×=30（个）．所以原来三个袋子各有甜橙8个、19个、30个． 【详解】57+7－4=60（个），60÷（3+1）=15（个） 原来第一袋：15－7=8（个） 原来第二袋：15+4=19（个） 原来第三袋：15×2=30（个） 答：原来三个袋里各有甜橙8个、19个、30个． 46．枚 【分析】根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子？再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子。据此采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理。 【详解】列表倒推如下： 一份 一份 一份 剩余 最后棋子数（枚） 1 1 1 1 前次棋子数（枚） 4 4 4 1 再前次棋子数（枚） 13 13 13 1 原来至少有棋子数（枚） 40 [（1×3＋1）×3＋1]×3＋1 ＝[4×3＋1]×3＋1 ＝13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（枚） 答：原来至少有40枚棋子。 【点睛】本题考查了还原问题，本题的数量关系更加隐蔽、复杂，应如何解答呢？解答此题的关键是，根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子。 47． 【详解】由题意得：，即：，所以有：．解得， 所以 48．1160元 【分析】250加上30就是第一次取款后的一半，相加后再加上20元就是总数的一半，这样就能计算出总存款数. 【详解】250＋30=280（元）， 280＋280＋20=580（元）， 580＋580=1160（元） 答：爸爸原来有存款1160元. 49．24. 【详解】试题分析：从最后剩下的4个桃子入手进行逆推，“最后第三只猴子吃了三个桃子并摘下了剩下桃子的一半．这时树上刚好还有四个桃子”，这时第三只猴子没吃之前有桃子4×2+3=11个桃子，这些11个桃子是“三只猴子吃了两个桃子并摘下了剩下桃子的一半”后剩下的，所以原来的桃子数是11×2+3=24个．据此解答． 解：（4×2+3）×2+2 =（8+3）×2+2 =11×2+2 =22+2 =24（个） 答：原来树上一共有24个桃子． 点评：本题属于逆推问题，解答的关键是从最后的结果进行逆推，先求出最后第三只猴子没吃前的桃子数，进而求出总桃子数． 50．23个 【分析】依据题意，先将最初的筐中加入4个苹果，从而一一推导出接下来的三次三等分下的苹果数量情况，从而推导出最初的筐中有多少苹果。 【详解】在原来的一筐苹果中补入4个苹果，则加上原来剩下的两个苹果，那么每堆可以再分苹果：6÷3＝2（个），则其中的两份可以多分苹果：2×2＝4（个）； 那么按原来的第二次三等分就会多出苹果：4＋2＝6（个），则其中二份会多出苹果：6÷3×2＝4（个）； 那么第三次三等分时，第二次分后的2堆加上剩下的2个多出苹果：4＋2＝6（个），那么每堆又正好多分2个，此时每堆最少3个苹果。 于是，加上4个苹果后，那筐苹果至少苹果：3×3×3＝27（个），那么未补入之前，那筐苹果至少有苹果：27－4＝23（个）。 答：这筐苹果最少有23个。 【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。 51．50升 【分析】已知第三天喝掉剩下的一半多3升，最后桶里还剩下2升水，说明剩下的一半是（2＋3）升水，说明第三天原来一共有[（2＋3）×2]升水，也就是10升水；第二天喝掉剩下的一半多2升，剩下10升水，说明剩下的一半是（10＋2）升水，第二天原来一共有[（10＋2）×2]升水，也就是24升；第一天喝掉一半多1升，剩下24升水，说明一半是（24＋1）升水，第一天原来一共有[（24＋1）×2]升水，据此解答。 【详解】（2＋3）×2 ＝5×2 ＝10（升） （10＋2）×2 ＝12×2 ＝24（升） （24＋1）×2 ＝25×2 ＝50（升） 答：原来桶里有50升水。 【点睛】用倒推法求解还原问题是，每一步都要变成原来的逆运算，也可以画图帮助理解问题。 52．15 【详解】第三次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（0+）=1（个） 第二次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（1+）=2×1=3（个） 第一次卖蛋后余下的鸡蛋的个数是：2×（3+）=2×3 =7（个） 原有鸡蛋的个数是：2×（7+）=2×7=15（个） 答：篮中原有鸡蛋15个． 故答案为15． 53．86分 【分析】从最后一个条件“恰好是分”向前推算。扩大倍是分，没有扩大倍之前应是： （分），加上后是分，没有加上前应是：（分），缩小倍是分，那么没有缩小倍前应是：（分），减去后是分，没有减去前应是：（分）。综合列式为：（分），所以，小刚这次竞赛得了分。 【详解】（100÷2－10）×2＋6 ＝（50－10）×2＋6 ＝40×2＋6 ＝80＋6 ＝86（分） 答：小刚这次竞赛得了86分。 【点睛】本题主要考查了“还原问题”的解题方法，解答此类问题的关键是，从最后一步结果出发，利用已知条件列表一步一步地向前倒推，每一步运算都是原来运算的逆运算，直到解决问题。 54．16个 【详解】（2+2）÷（1-）=8（个） （8+4）÷（1-）=16（个） 答：这堆西瓜共有16个． 学科网（北京）股份有限公司 $$