8.1 成对数据的统计相关性课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

虞 中 数 谈 工 作 室 学校：上虞中学 教师：高二数学备课组 《成对数据的统计相关性》 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 俗话说“庄稼一枝花，全靠肥当家”，这说明施肥的多少对粮食的产量影响很大，那么粮食的产量还受其他因素的影响吗？施肥量和粮食的产量是确定的函数关系吗？两个变量间的关系除了可能是函数关系外，还可能是其他关系吗？为了搞清这些问题，我们需要学习本节内容． 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 探究点1 变量之间的相关关系 1.两变量之间的关系 (1)函数关系： 当自变量取值一定时，因变量取值由它唯一确定,如正方形面积与边长的关系， 路程与速度之间的关系等. (2)相关关系： 当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性，如“体重与身高” “吸烟有害健康”， “名师出高徒”， “虎父无犬子”， “瑞雪兆丰年”， “城门失火殃及池鱼”等 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 问题　上述情境中施肥量与粮食产量之间到底具有怎样的关系？ 提示　上述两变量间确实存在关系，但又不具备确定性，即当自变量取值一定时，因变量取值带有随机性的两个变量的关系，就称为变量间的相关关系． * 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 2.相关关系的概念 像这样，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 注：①相关关系是一种不确定性关系； ②相关关系是相对于函数关系而言的. 现实生活中存在的许多相关关系的问题.例如： （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄； （4） 光照时间与果树的产量. 相关关系与函数关系的异同点： 相同点：均是指两个变量的关系． 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 不同点： 1.函数关系是一种确定的关系；而相关关系是一种非确定关系. 2.相关关系中两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定的随机因素的影响. 3.函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 在研究两个变量间的相关关系时，我们需要借助数据说话,即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型,再利用模型进行估计或推断. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 探究点2 变量的正相关与负相关 在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据.： 人体的脂肪百分比和年龄 根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系? 年龄 23 27 39 41 45 49 50 脂肪含量 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 年龄 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 1.散点图 为了确定年龄和人体脂肪含量之间的更明确的关系，我们需要对数据进行分析，以x轴表示年龄，y轴表示脂肪含量，通过作图可以对两个变量之间的关系有一个直观的印象. 把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图． 由散点图可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近.表明随年龄增加，脂肪含量也增加. 20 40 30 50 10 30 20 40 脂肪含量 60 0 10 年龄 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 2.变量相关关系的分类 (1)正相关和负相关 正相关:指的是两个变量有相同的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变大,点的位置散布在从左下角到右上角的区域; 负相关:指的是两个变量有相反的变化趋势,即从整体上来看一个变量会随着另一个变量变大而变小,点的位置散布在从左上角到右下角的区域内. ● ● ● ● ● ● ● ● ● 正相关 ● ● ● ● ● ● ● ● ● 负相关 (2)两个变量正相关和负相关散点图的特点 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 (3)线性相关和非线性相关 ①线性相关 散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法.一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关. ②非线性相关 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. o x y ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● o x y ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 例1：某公司的利润y(单位：千万元）与销售总额x(单位：千万元)之间有如下表对应数据： （1）画出散点图； （2）判断y与x是否具有线性相关关系. 解：（1）散点图如右图所示： （2）由图可知，所有数据点接近直线排列，因此，认为y与x有线性相关关系，且为正相关. x 10 15 17 20 25 28 32 y 1 1.3 1.8 2 2.6 2.7 3.3 * 2. 根据下面的散点图，推断图中的两个变量是否存在相关关系. √ √ √ 1．下列每组的两个变量之间具有相关关系的是(　　) A．乌鸦叫，灾难到 B．圆心角的大小与半径 C．物体的质量一定，其密度与体积之间的关系 D．儿童的年龄与身高 解析　A，B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D中的两个变量之间是相关关系． 答案　D 随堂检测 2．观察下列散点图，具有相关关系的是(　　) A．①② B．①③ C．②④ D．②③ 解析　①是函数关系，④不具有相关关系，②③具有相关关系． 答案　D 3．(多选题)对于给定的两个变量的统计数据，下列说法不正确的是(　　) A．都可以分析出两个变量之间的关系 B．都可以用一条直线近似地表示两者的关系 C．都可以作出散点图 D．都可以用确定的表达式表示两者的关系 解析　给出一组样本数据，不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线性相关，不一定用一条直线近似地表示，故A、B不正确；但总可以作出相应的散点图，C正确；两个变量的统计数据不一定有函数关系，故D不正确． 答案　ABD 4．(多选题)下列关系是相关关系的是(　　) A．角度和它的余弦值 B．某商场搞促销活动与销售量之间的关系 C．作文水平与课外阅读量之间的关系 D．底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系 解析　A，D中两个变量之间的关系是一种确定性关系，而B，C中的两个变量之间的关系是不确定的，所以它们具有相关关系．故选BC. 答案　BC 课堂小结： 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. 1. 相关关系 把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. 2. 散点图 3. 正相关与负相关 一个变量随另一个变量的增加呈现减小的趋势. 正相关： 一个变量随另一个变量的增加呈现增加的趋势. 负相关： 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？ 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 平移 绘制散点图为 1.如何引入一个恰当的“数字特征”，对成对样本数据的相关程度进行定量分析? 新知探究 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 如果变量x和变量y负相关,那么关于均值平移后的大多数点将分布在第二、四象限，对应的成对数据异号居多. 一般地,如果变量x和变量y正相关,那么均值平移后的大多数点将分布在第一、三象限， 对应的成对数据同号居多； · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 思考1: 根据上述分析，你能利用正相关变量和负相关变量的成对样本数据平移后呈现的规律，构造一个度量成对样本数据是正相关还是负相关的数字特征吗? 一般情形下，Lxy>0表明成对样本数据正相关； Lxy <0表明成对样本数据负相关. 利用散点 的横、纵坐标是否同号，可以构造一个量 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 思考2: Lxy的大小是否一定能度量出成对样本数据的相关程度吗? 因为Lxy的大小与数据的度量单位有关，所以不宜直接用它度量成对样本数据相关程度的大小. 为了消除度量单位的影响，需要对数据作进一步的“标准化”处理. 我们用 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数. 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 当r >0时，称成对样本数据正相关； 当r <0时，称成对样本数据负相关． 我们称 r 为变量x和变量y的样本相关系数. 样本相关系数r是一个描述成对样本数据的数字特征，它的正负和绝对值的大小可以反映成对样本数据的变化特征： 2.样本相关系数 新知探究 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 样本相关系数r的大小与成对样本数据的相关程度有什么内在联系呢? 新知探究 标准化处理后的成对样本数据: 设其第一分量为 设其第二分量为 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 样本相关系数r的取值范围: 即样本相关系数r的取值范围为[-1,1] 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 思考：当|r|=1时，成对样本数据之间具有怎样的关系？ 成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系. 新知探究 所以 当|r|=1时 ，向量 与 共线. 即存在实数 ,使得 成对样本数据(xi,yi)都落在直线 上 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 由此可见，样本相关系数r的取值范围为[-1，1],样本相关系数r的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度： 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强; 当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. 样本相关系数r有时也称样本线性相关系数,|r|刻画了样本点集中于某条直线的程度.当r=0时，只表明成对样本数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系. 新知探究 上虞中学高三数学一轮复习 课题引入 新课讲解 典例精解 习题精练 课后总结 虞 中 数 谈 工 作 室 两个随机变量的相关性可以通过散点图对成对样本数据进行分析，而样本相关系数r可以反映两个随机变量之间的线性相关程度： r 的符号反映相关关系的正负性，|r|的大小反映两个变量线性相关的程度，即散点集中于一条直线的程度. 判断线性相关程度: 散点图+r 例1. 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 解: 由样本数据可得 由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 例1. 根据表8. 1-1中脂肪含量和年龄的样本数据，推断两个变量是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度. 解: 由样本数据可得 由此可以推断脂肪含量和年龄这两个变量正线性相关，且相关程度很强. 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 年龄/岁 23 27 39 41 45 49 50 53 54 56 57 58 60 61 脂肪含量/％ 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2 29.6 30.2 31.4 30.8 33.5 35.2 34.6 例2. 有人收集了某城市居民年收入(所有居民在一年内收人的总和)与A商品销售额的10年数据，如下表所示. 解: 画出散点图，推断成对样本数据是否线性相关，并通过样本相关系数推断居民年收入与A商品销售额的相关程度和变化趋势的异同. 画出成对样本数据的散点图，如图所示. 从散点图看，A商品销售额与居民年收人的样本数据呈现出线性相关关系. 由样本数据计算得样本相关系数r≈0.95. 由此可以推断，A商品销售额与居民年收入正线性相关，即A商品销售额与居民年收入有相同的变化趋势，且相关程度很强. 第n年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 居民年收入/亿元 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 38.0 39.0 43.0 44.6 46.0 A商品销售额/万元 25.0 30.0 34.0 37.0 39.0 41.0 42.0 44.0 48.0 51.0 例3. 在某校高一年级 中随机抽取25名男生，测得他们的身高、体重、臂展等数据，如下表所示. 体重与身高、臂展与身高分别具有怎样的相关性? 编号 身高/cm 体重/kg 臂展/cm 编号 身高/cm 体重/kg 臂展/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 173 179 175 179 182 173 180 170 169 1 77 177 178 174 55 71 52 62 82 63 55 81 54 54 59 67 56 169 170 172 177 174 166 174 1 69 1 66 176 170 174 170 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 166 176 176 175 169 184 169 182 171 177 173 173 66 61 49 60 48 86 58 54 58 61 58 51 161 166 165 173 162 189 164 170 164 173 165 169 根据样本数据画出体重与身高、臂展与身高的散点图，分别如图 (1)和(2)所示，两个散点图都呈现出线性相关的特征. 解: 通过计算得到体重与身高、臂展与身高的样本相关系数分别约为0.34和0.78，都为正线性相关. 其中，臂展与身高的相关程度更高. 1.(多选题)下列两个变量之间的关系不是相关关系的为(　　) A.匀速直线运动的物体时间与位移的关系 B.学生的成绩和体重 C.路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少 D.水的体积V和质量x 3.(多选题)下面的散点图与相关系数r一定不符合的是(　　) 4.(多选题)某统计部门对四组成对样本数据进行统计分析后,获得如图所示的散点图,关于样本相关系数的比较,其中正确的是(　　) A.r4<r2<0 B.0<r1<r3 C.r2<r4<0 D.0<r3<r1 5.为了比较甲、乙、丙、丁四组数据的线性相关性的强弱,某人分别计算了甲、乙、丙、丁四组数据的样本相关系数,其数值分别为-0.95,0.87,0.58,0.92,则这四组数据中线性相关性最强的是　　　 　组数据.  7.某县承包了一块土地,已知土地的使用面积x与相应的管理时间y的关系如表所示: 土地使用 面积x/亩 1 2 3 4 5 管理时间 y/月 8 11 14 24 23 1．两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值(　　) A．越小 B．越接近1 C．越接近0 D．越接近－1 解析　由相关系数的性质知选C. 答案　C 随堂检测 2．给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r＝－0.690，则(　　) A．y与x线性不相关 B．y与x正线性相关 C．y与x负线性相关 D．以上都不对 解析　因为r＝－0.690<0，所以y与x负线性相关． 答案　C 3．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定 B．线性相关系数可以是正的或负的 C．如果r＝±1，说明x与y之间完全线性相关 D．线性相关系数r∈(－1，1) 解析　∵相关系数|r|≤1， ∴D错误． 答案　ABC 解: 样本相关系数主要刻画的是成对样本数据线性相关的程度. 4. 画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数. 据此，请你谈谈样本相关系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点. (1) (－2, －3), (－1, －1), (0, 1), (1, 3), (2, 5), (3, 7)； (2) (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)； (3) (－2, －8), (－1, －1), (0, 0), (1, 1), (2, 8), (3, 27); (4) (2, 0) (1, ), (0, 2), (－1, ), (－2, 0). 8 x -4 -3 2 0 -2 1 3 -1 2 4 6 y -2 • • • • • • 15 x 2 0 4 1 3 5 10 y • • • • • 1.5 x -3 2 0 -2 1 3 -1 2 0.5 1 y • • • • • • 20 x -10 -3 2 0 -2 1 3 -1 5 10 15 y -5 • • • • • • 25 课堂小结： 1. 样本相关系数： 2.相关系数的性质： ① 当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. ② |r|≤1； ③ 当|r|越接近1时，成对数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对数据的线性相关程度越弱；特别地，当|r|＝0时，成对数据的没有线性相关关系；当|r|＝1时，成对数据都落在一条直线上. $$