第02讲 二次函数的图象（4个知识点+4种题型+分层练习）-2024-2025学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第02讲 二次函数的图象（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点3．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点4．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 题型强化 题型一．二次函数的图象 1．（2022秋•上城区校级期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 2．（2022秋•定海区校级月考）二次函数的部分对应值如下表： 0 1 3 5 7 0 7 则当时对应的函数值　　． 3．（2012•杭州模拟）阅读以下材料： 例：解不等式 解：设，，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象： 两个图象的交点为和 由图可知，当或时， 根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：． 题型二．二次函数图象与系数的关系 4．（2023秋•恩施市期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2023•宁波模拟）已知二次函数，、、为常数）的图象如图所示，下列4个结论． ①； ②； ③； ④为常数，且． 其中正确的结论有 　　（填写序号）． 6．（2021秋•嵊州市校级月考）已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围． 题型三．二次函数图象上点的坐标特征 7．（2023秋•瓯海区期中）抛物线与轴交点的纵坐标为 　　． 8．（2022秋•鹿城区校级期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到 大排列　　 A． B． C． D． 9．（2023•丽水）已知点和在二次函数，是常数，的图象上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）求证：． 题型四．二次函数图象与几何变换 10．（2022•鹿城区校级三模）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．若点，都在抛物线上，且，则　　 A． B． C． D． 11．（2023秋•绍兴期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为 　　． 12．（2022•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．抛物线经过点，且交线段于点． （1）求的值． （2）求点的坐标． （3）向左平移抛物线，使得抛物线再次经过点，求平移后抛物线的函数解析式． 分层练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知点在抛物线上，则的值为（ ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当点在函数图象上时，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能为(　　) A． B． C． D． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）抛物线的开口方向为 ． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 13．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）二次函数，图象的顶点坐标是 ． 14．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）若抛物线开口向下，请写出一个符合条件的m的值 ． 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，则h的值为 ． 16．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 三、解答题 17．（九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数．   求函数图象的对称轴和顶点坐标； 求这个函数图象与轴的交点坐标． 18．（2022九年级上·全国·专题练习）已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 20．（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 21．（20-21九年级上·全国·课后作业）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．    22．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 23．（九年级上·浙江·课后作业）抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)． (1)求a，b的值． (2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象（4个知识点+4种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数图象与系数的关系 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0） ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③．常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． ④抛物线与x轴交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 知识点3．二次函数图象上点的坐标特征 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）． ①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点． ②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值． ③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝． 知识点4．二次函数图象与几何变换 由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 题型强化 题型一．二次函数的图象 1．（2022秋•上城区校级期中）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数与一次函数可以求得它们的交点坐标，从而可以判断哪个选项是正确的． 【解答】解： 解得或． 故二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的交点在轴上或点． 故选：． 【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点． 2．（2022秋•定海区校级月考）二次函数的部分对应值如下表： 0 1 3 5 7 0 7 则当时对应的函数值　　． 【分析】由表格可知，，是抛物线上两对称点，可求对称轴，再利用对称性求出横坐标为2的对称点即可． 【解答】解：观察表格可知，当或5时，， 根据二次函数图象的对称性， ，是抛物线上两对称点， 对称轴为直线，顶点， 根据对称性，与时，函数值相等，都是． 【点评】观察二次函数的对应值的表格，关键是寻找对称点，顶点坐标及对称轴，利用二次函数的对称性解答． 3．（2012•杭州模拟）阅读以下材料： 例：解不等式 解：设，，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象： 两个图象的交点为和 由图可知，当或时， 根据上述解题过程，画出示意图，试解不等式：． 【分析】首先设，，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，即可得出 时解集． 【解答】解：设，，在同一平面直角坐标系中画出它们的图象，（4分） 两个图象的交点为，（2分） 由图可知，当或时，（2分）． 【点评】此题主要考查了利用函数图象求不等式的解集，正确画出图象结合图象得出解集是解题关键． 题型二．二次函数图象与系数的关系 4．（2023秋•恩施市期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④；其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由抛物线的开口方程、抛物线的对称轴以及当时的值，即可得出、、的正负，进而即可得出①错误；由时，，即可得出，进而即可得出②错误；由抛物线的对称轴为结合时，即可得出当时，进而得出，③成立；由二次函数图象与轴交于不同的两点，结合根的判别式即可得出△，④成立．综上即可得出结论． 【解答】解：①抛物线开口向下， ． 抛物线的对称轴为， ． 当时，， ，①错误； ②当时，， ， ，②错误； ③抛物线的对称轴为， 当时与时，值相等， 当时，， ，③正确； ④抛物线与轴有两个不相同的交点， 一元二次方程， △，④正确． 综上可知：成立的结论有2个． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式以及二次函数图象上点的坐标特征，根据给定二次函数的图象逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 5．（2023•宁波模拟）已知二次函数，、、为常数）的图象如图所示，下列4个结论． ①； ②； ③； ④为常数，且． 其中正确的结论有 　①③　（填写序号）． 【分析】由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：①由图象可知：，， ， ， ，故①正确； ②当时，， 故，故②错误； ③当时函数值小于0，，且， 即，代入得，得， ， ，故③正确； ④当时，的值最大．此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故④错误． 故①③正确． 故答案为：①③． 【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 6．（2021秋•嵊州市校级月考）已知抛物线的顶点在第二象限，求的取值范围． 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为，再利用第二象限点的坐标特征得到，然后解不等式即可． 【解答】解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点在第二象限， ， ． 故的取值范围为． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数的顶点坐标为，． 题型三．二次函数图象上点的坐标特征 7．（2023秋•瓯海区期中）抛物线与轴交点的纵坐标为 　　． 【分析】把代入抛物线解析式即可求出与轴交点的纵坐标． 【解答】解：当时，， 即与轴交点的纵坐标为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点坐标特征以及抛物线与坐标轴交点的点的特征． 8．（2022秋•鹿城区校级期末）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，从小到 大排列　　 A． B． C． D． 【分析】先根据解析式得到抛物线的开口方向和对称轴为直线，然后比较三个点离直线的远近得到、、的大小关系． 【解答】解：二次函数， 图象开口向上，对称轴为直线， 点，，都在二次函数的图象上， 点离直线近，点离直线最远， ， 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标，熟知二次函数的性质是解题的关键． 9．（2023•丽水）已知点和在二次函数，是常数，的图象上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图象经过点且点不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）求证：． 【分析】（1）当时，二次函数图象过点和，用待定系数法可得的值是，的值是； （2）图象过点和，可知抛物线的对称轴为直线，而的图象过点，，且点不在坐标轴上，可得，根据，即得； （3）由抛物线过，，可得，，把，代入变形可得，故． 【解答】（1）解：当时，二次函数图象过点和， ， 解得， 的值是，的值是； （2）解：图象过点和， 抛物线的对称轴为直线， 的图象过点，，且点不在坐标轴上， 由图象的对称性得， ， ， ， ； （3）证明：抛物线过，， 抛物线对称轴为直线， ， ， 把，代入得： ， ①②得：， ， ． 【点评】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，涉及待定系数法，不等式，方程组等知识，解题的关键是整体思想的应用． 题型四．二次函数图象与几何变换 10．（2022•鹿城区校级三模）把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．若点，都在抛物线上，且，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律即可求得抛物线，即，然后根据二次函数的性质可以求得与的大小． 【解答】解：， 把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线，即， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 点，都在抛物线上，且， ． 故选：． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答；也考查函数图象的平移的规律． 11．（2023秋•绍兴期中）在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为 　　． 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式． 【解答】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛物线的函数表达式为：，即． 故答案为：． 【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 12．（2022•慈溪市一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．抛物线经过点，且交线段于点． （1）求的值． （2）求点的坐标． （3）向左平移抛物线，使得抛物线再次经过点，求平移后抛物线的函数解析式． 【分析】（1）令，可得抛物线与轴的交点坐标． （2）联立直线与抛物线方程可得点坐标． （3）将代入抛物线解析式可得抛物线与直线的交点坐标，从而可得抛物线向左平移2个单位可经过点，进而求解． 【解答】解：（1）令， 解得，， 点坐标为， 将代入得， 解得． （2）令， 解得，， 将代入得， 点坐标为． （3）将代入得， 解得，， 抛物线经过， 抛物线向左平移2个单位后再次经过点， ． 【点评】本题考查二次函数与几何变换，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数平移的规律． 分层练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】形如的顶点坐标为，据此可以直接求顶点坐标．． 【详解】解：∵抛物线， ∴该函数的顶点坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）二次函数图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质解答． 【详解】解：二次函数， 二次函数图象的顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知点在抛物线上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点坐标代入即可． 【详解】解：因为点在抛物线的图象上， 所以． 得． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入后的正确计算是解题的关键． 4．（2024·浙江金华·二模）若是抛物线图象上两个不同的点，则为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可得，抛物开口向上，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越大，即可推出与同号或都等于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，抛物开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越大， ∴当，，当，， ∴与同号或都等于0， ∴ 故选：D． 5．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数，如果当时，，则下列说法正确的是（    ） A．有最大值，也有最小值 B．有最大值，没有最小值 C．没有最大值，有最小值 D．没有最大值，也没有最小值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质和一次函数的性质．利用二次函数的性质表示出的代数值，从而转化为一次函数的性质求解． 【详解】解：由题意得二次函数，开口向下，且对称轴为， 当时，y随x增大而增大，， 即是m的一次函数， ∵，则， ∴一次函数呈上升趋势． 则有最小值，没有最大值． 故选：C． 6．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数，当点在函数图象上时，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征， 根据抛物线解析式推知抛物线的对称轴直线和开口方向，然后结合二次函数图象上的点到对称轴距离的大小判定相应的y值的大小． 【详解】解：由二次函数，知该抛物线开口朝上，且对称轴为直线， 点在函数图象上， 且 ∴． 故选：C． 7．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，，且，则的值不可能为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数开口向上，对称轴为直线，根据抛物线上的点与直线的距离越小对应的值就越小即可得到的取值范围．根据的取值范围判断不可能的值． 【详解】解：， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当抛物线上的点与直线的距离越小，对应的值就越小， ，，且， 点到直线的距离小于点到直线的距离， ，或， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 8．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）设函数，，直线与函数的图象分别交于点，，得（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 【详解】解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故C选项错误； 如图所示，若，则， 故B选项正确，D选项错误； 故选：B 9．（23-24九年级下·浙江杭州·期中）已知函数，若则下列说法正确的是（    ） A．当时，有最小值 B．当时，无最大值 C．当时，有最小值 D．当时，有最大值 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，画出函数图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：画出函数图象如图：    由图可知：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，即：， ∴， ∴，当的值越小，越小，无限接近0，但不等于0，即没有最小值， 当时，， 当时，， 当时，， 时，，当，时，的值最大，为， 综上：当时，有最大值，无最小值， 故选项A，B错误； 当时，， 当时，即：， ∴当越小时，的值越大，即没有最大值， 当时，， 当时，； 当时，， 当时，和的函数值相同时，的值最小， 综上：当，有最小值，无最大值； 故选项C正确，D错误． 故选C． 10．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数的图象与一次函数的图象交于和两点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，由函数图象与系数的关系讨论和两点中与的关系． 【详解】解：， 抛物线对称轴为直线， 若，， 抛物线开口向下，一次函数中随增大而减小， 设，则， ， ． 故选：C． 二、填空题 11．（23-24九年级上·浙江衢州·期中）抛物线的开口方向为 ． 【答案】开口向上 【分析】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数开口方向由二次项系数的符号确定是解题的关键．由抛物线解析式可求得二次项系数即可确定开口方向． 【详解】解：∵， ∴， ∴抛物线开口向上， 故答案为：开口向上． 12．（23-24九年级上·浙江温州·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴是直线， 故答案为：7． 13．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）二次函数，图象的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及顶点式得顶点坐标，熟记二次函数顶点式的性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数，图象的顶点坐标是， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）若抛物线开口向下，请写出一个符合条件的m的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，是开放型题目，答案不唯一．掌握抛物线开口朝下，可知解析式的二次项系数小于是解答本题的关键．根据抛物线开口朝下，可知解析式的二次项系数小于，据此作答即可． 【详解】解：开口向下 即可以为小于的所有实数， 即可以为： 故答案为：（答案不唯一） 15．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数（h为常数），当自变量x满足时，其对应函数y的最大值为，则h的值为 ． 【答案】6或1 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 16．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴， 故答案为：9 三、解答题 17．（九年级上·浙江金华·期中）已知二次函数．   求函数图象的对称轴和顶点坐标； 求这个函数图象与轴的交点坐标． 【答案】（1）对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4）（2）图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）． 【详解】试题分析：（1）可根据配方法的解题步骤，将一般式转化为顶点式，根据顶点式可确定对称轴及顶点坐标； （2）令y=0，解一元二次方程可求抛物线与x轴两交点的坐标． 试题解析：（1）y=-（x2-4x）=-（x-2）2+4， 对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2,4） （2）当y=0时，-x2+4x=0，解得x=0或4， ∴图象与x轴的交点坐标是（0，0）和（4，0）． 考点：1.二次函数的三种形式；2.二次函数的性质；3．抛物线与x轴的交点． 18．（2022九年级上·全国·专题练习）已知函数． (1)指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (2)当取何值时该函数有最值，并求出最值． (3)当取何值时，随的增大而减小． 【答案】(1)开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线 (2)当时，函数有最大值 (3)当，随x的增大而减小 【分析】（1）利用二次函数的性质确定出开口方向，顶点坐标以及对称轴即可； （2）根据开口方向和顶点坐标得出最值； （3）由对称轴和开口方向得出增减性． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴抛物线开口向下， 顶点坐标为，对称轴为直线； （2）抛物线开口向下，函数有最大值， ∵顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值-4； （3）对称轴，开口向下 ∴当，随的增大而减小． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的性质求抛物线的对称轴和顶点坐标，最值，增减性是解题的关键． 19．（22-23九年级上·全国·单元测试）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1) (2) (3)． 【答案】(1)开口向下，对称轴是，顶点坐标为 (2)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 (3)开口向上，对称轴是，顶点坐标为 【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； （3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答； 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴开口向下，对称轴是，顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为； （3）解：∵抛物线， ∴开口向上，对称轴是，顶点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20．（2021·浙江·中考真题）如图，已知经过原点的抛物线与轴交于另一点A(2，0)． （1）求的值和抛物线顶点的坐标； （2）求直线的解析式． 【答案】（1），M (1，-2)；（2） 【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM的解析式． 【详解】解  （1）∵抛物线过点A(2，0)， ，解得， ， , ∴顶点M的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM的解析式为， ∵图象过A(2，0)，M (1，-2)， ，解得， ∴直线AM的解析式为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 21．（20-21九年级上·全国·课后作业）请在同一坐标系中画出二次函数①；②的图象．说出两条抛物线的位置关系，指出②的开口方向、对称轴和顶点．    【答案】画图见解析；①向左平移两个单位得到②；②的开口方向向上，对称轴是x=2，顶点坐标为（2，0）． 【分析】根据描点法，可得函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，），可得答案． 【详解】解：列表： -2 -1 0 1 2 3 4 2 0.5 0 0.5 2 2 0.5 0 0.5 2 描点： 连线，如图． 由图像可知，①向左平移两个单位得到②， ∴②的开口方向向上，对称轴是，顶点坐标为（2，0）． 【点评】本题考查了二次函数图象，利用描点法画函数图象，根据，图象开口向上，对称轴是，顶点坐标是（，）是解题关键． 22．（23-24九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）抛物线与直线的一个交点为， (1)求和． (2)求另一个交点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先把代入可得：，再把代入可得：； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ， ∴交点坐标为：； 把代入可得： ， 解得：； （2）由（1）得：， ∴， ∴， 解得：，， ∴或， ∴函数的另一个交点坐标为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，求解抛物线与直线的交点坐标，熟练的建立方程组解题是关键． 23．（九年级上·浙江·课后作业）抛物线y＝ax2与直线y＝2x－3交于点(1，b)． (1)求a，b的值． (2)抛物线y＝ax2的图象上是否存在一点P，使其到两坐标轴的距离相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) a＝－1, b＝－1; (2) 存在,理由见解析.． 【详解】分析：(1)将点(1，b)代入到直线y = 2x－3，可以得出b = -1，再将(1，-1)代入到抛物线求出a、b;(2)P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m²= n²两点相交，即相交点符合两个函数方程，可以得出二次函数，并且要把握住P(m，n)点到两坐标轴距离相等，即|m| = |n|，也即 m² = n² ，然后在n = −m²－ m² 中把 m² 换为 n² ，求出n的值，最后得到m的值，即可得到P的坐标. 本题解析： (1)∵直线y＝2x－3过点(1，b)， ∴b＝2×1－3＝－1，∴交点坐标为(1，－1)． ∵抛物线y＝ax2过点(1，－1)， ∴－1＝a×12，∴a＝－1. (2)若存在点P，设点P的坐标为(x，y)， 则|x|＝|y|. ∵a＝－1，∴y＝－x2， ∴x2＝|x|，∴x＝0或x＝±1， ∴点P的坐标为(0，0)或(1，－1)或(－1，－1). 点睛：本题是对抛物线知识的考查,掌握抛物线的图像、性质是解决本题的关键. 确定二次函数解析式时,要根据所给条件选择恰当的表达式.一般地, 已知抛物线上任意三点时,通常设函数解析式为一般式;当已知顶点坐标 时,通常设函数解析式为顶点式;当已知抛物线与x轴有两个交点时,通 常设函数解析式为交点式. 24．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．    (1)求两个函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)3 【分析】（1）首先把点代入二次函数得出，再把点代入二次函数解析式得出，进一步把、代入一次函数求得一次函数即可； （2）利用一次函数求得点坐标，把的面积分为与的面积和即可． 【详解】（1）解：把点代入二次函数得，， 二次函数的解析式； 点代入二次函数解析式得， 把点，代入一次函数得 ， 解得， 故一次函数的解析式． （2）一次函数的解析式中，令，得， ∴一次函数与轴交于点， ∴． 【点睛】此题考查待定系数法求求一次函数、二次函数解析式，三角形的面积，正确利用函数图象上的点解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $$