1.1 充分条件和必要条件（教学设计）-【中职专用】高二数学同步精品课堂（高教版2023修订版·拓展模块一上册）

1.1 充分条件和必要条件教学目标 1．知道命题、命题的条件和结论、真命题和假命题、原命题和逆命题等概念； 2．能将给定命题写成“如果 p，那么 q” 的形式，并正确判断其真假； 3．能说出一个命题的逆命题，并判断其真假； 4．能根据命题的真假判断命题的条件是不是结论的充分条件，能根据逆命题的真假判断原命题的条件是不是结论的必要条件．教学重难点 教学重点：根据命题及其逆命题的真假判断命题的条件是不是结论的充分条件或必要条件． 教学难点：必要性的理解．教材分析 本课以学生义务教育阶段学过的教学内容为载体，在此基础上的延伸和拓展，通过学生熟悉的情境和问题引入充分条件和必要条件的有关概念；通过学习条件与结论之间的关系，能体会和知道条件与结论直接的充分性和必要性.教学工具 教学课件 教学过程 （一）情境导入 情境与问题（1） 节约资源是我国的一项基本国策，照明用电同我们每个人息息相关，每个人都应该养成随手关灯、节约用电的好习惯． 如图所示为最简的照明实验电路，电路中各元器件状态正常．当开关S1闭合时，灯L1是否一定会亮呢？ 【设计意图】以生活常见现象创设情境，引发学生思考，利用动图演示电路，提高学生注意力. （二）探索新知 在义务教育阶段，我们学习过命题的有关概念． 能判断真假的陈述句称为命题.判断为真的命题称为真命题，判断为假的命题称为假命题. 一般地, 对于形如“如果p,那么q”的命题, 我们称p为命题的条件, 简称条件; 称q为命题的结论，简称结论． 当开关S1闭合时，灯L1会亮，因此“如果开关S1闭合，那么灯L1亮”就是可以判断真假的陈述句，且这是一个真命题, “开关S1闭合”是条件，“灯L1亮”是结论． 一般地，若命题“如果p，那么q”是真命题，即由p可以推出q，则称p是q的充分条件，记作p⇒q. 若命题“如果p，那么q”是假命题，即由p不能推出q，则称p不是q的充分条件，记作p⇏q. p：开关S1闭合； q：灯L1亮． 因为“如果p那么q”是真命题，所以“开关S1闭合”是“灯L1亮”的充分条件． 情境与问题（2）：如果“灯L1亮”，那么是否一定需要“开关S1闭合”呢？ 将命题“如果p，那么q”中的条件p和结论q互换，变成“如果q，那么p”，称这个命题为原命题的逆命题. 命题“如果开关S1闭合，那么灯L1亮”的逆命题为“如果灯L1亮，那么开关S1闭合”． 一般地，若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真命题，则称p是q的必要条件，记作p⇐q. 若命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件，记作p⇍q. 命题“如果灯L1亮，那么开关S1闭合”是真命题，所以“开关S1闭合”是“灯L1亮”的必要条件，即如果“灯L1亮”，一定需要“开关S1闭合”． 【设计意图】归纳概念；突出强调符号使用规范；结合逆命题知识对比充分条件的概念学习必要条件. （三）典例剖析 例1.指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为q的充分条件. （1）如果a∈Q，那么a∈R； （2）如果(a－2)(a－3)＝0，那么a＝3； （3）若内错角相等，则两直线平行． 解 （1）条件p： a∈Q ；结论q： a∈R ．因为Q是R的真子集 ，所以a∈Q ，一定有a∈R，所以此命题是真命题，p是q的充分条件； （2）条件p： (a－2)(a－3)＝0 ；结论q： a＝3 ．由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3，所以此命题是假命题，所以p不是q的充分条件; （3）条件p：内错角相等；结论q：两直线平行．若内错角相等，则两直线平行是真命题， 所以p⇒q，所以p是q的充分条件． 充分条件的判断方法 如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件； 如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件． 例2.判断下列命题中的条件p是否为结论q的必要条件． （1）若|x|＝|y|，则x＝y； （2）若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形； （3）如果α= ，那么sinα= ． 解 （1）因为“若|x|＝|y|，则x＝y”的逆命题“若x＝y ，则|x|＝|y| ”是真命题，所以“|x|＝|y|”是“x＝y”的必要条件； （2）因为“若△ABC是直角三角形，则△ABC是等腰三角形”的逆命题“若△ABC是等腰三角形，则△ABC是直角三角形”是假命题，所以“△ABC是直角三角形”不是“△ABC是等腰三角形”的必要条件； （3）因为“如果α= ，那么sinα= ”的逆命题“如果sinα= ，那么α= ”是假命题，所以“α= ”不是“sinα= ”的必要条件. 必要条件的判断方法 如果命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是真命题，则称p是q的必要条件； 如果命题“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那么p”是假命题，则称p不是q的必要条件． 【设计意图】例1直接利用充分条件概念判断；例2直接利用必要条件概念通过判断逆命题真假判断原命题的条件与结论关系， （四）巩固练习 1．指出下列命题的条件p和结论q，并判断p是否为q的充分条件． (1)若x2＝y2，则x＝y； (2)若平面内点P在线段AB的垂直平分线上，则PA＝PB； (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数； (4)若(x－1)2＋(y－2)2＝0，则(x－1)(y－2)＝0． 解: (1)条件p： x2＝y2；结论q: x＝y，若x2＝y2，则x＝y或x＝－y，因此原命题是假命题，所以p不是q的充分条件． (2)条件p：平面内点P在线段AB的垂直平分线上；结论q: PA＝PB ．由线段垂直平分线的性质知本命题是真命题，所以p是q的充分条件； (3)条件p：整数a能被4整除；结论q: a的个位数字为偶数，命题是假真命题，所以p是q的充分条件． (4)条件p： (x－1)2＋(y－2)2＝0 ；结论q: (x－1)(y－2)＝0 ．由(x－1)2＋(y－2)2＝0可得x＝1且y＝2⇒(x－1)·(y－2)＝0，知本命题是真命题，所以p是q的充分条件. 2. 判断下列命题的条件p是否为 q的必要条件． (1) p：－2≤x≤5 ， q：－1≤x≤5 ； (2) p：a是自然数， q：a是正整数； (3) p：一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数， q：k>0． (4) p：四边形的对角线相等，q：四边形是矩形 解: (1)因为“若－2≤x≤5 ，则－1≤x≤5 ”的逆命题“若－1≤x≤5 ，则－2≤x≤5 ”是假命题，所以“若－2≤x≤5 ”不是“－1≤x≤5 ”的必要条件； (2)因为“a是自然数，则a是正整数”的逆命题“若a是正整数，则是自然数”是真命题，所以“若a是自然数”是“a是正整数”的必要条件； (3)因为“如果一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数，那么k>0”的逆命题“如果k>0 ，那么一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数”是真命题，所以“一次函数f(x)=kx+b是R上的增函数”是“k>0 ”的必要条件； (4)因为“四边形的对角线相等，四边形是矩形”的逆命题“四边形是矩形，四边形的对角线相等”是真命题，所以“四边形的对角线相等”是“四边形是矩形 ”的必要条件. 【设计意图】通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺. （五）归纳总结 【设计意图】培养学生反思学习过程的能力 （六）布置作业 练习1.1；习题1.1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$