21.1一元二次方程课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

数学 人教版 九年级上册 第二十一章 一元二次方程 　21.1 一元二次方程 目录 课后小结 随堂练习 知识讲解 情境导入 学习目标 1 3 5 2 4 学习目标 1.知道一元二次方程及一元二次方程的根的概念；（重点） 2.能将一元二次方程化为一般形式,正确认识二次项系数、一次项系数及常数项； 3.理解一元二次方程根的概念，能根据实际问题列出一元二次方程。（难点） 情境导入 什么是一元一次方程？ 有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程叫做一元一次方程. 一元一次方程的一般形式是什么？ ax+b=0(a≠0) 情境导入 请观察下面两个方程并回答问题： x2+2x-1=0 x2-36x+35=0 (1)它们是一元一次方程吗？ (2)与一元一次方程有什么不同？ (3)通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？ 不是 未知数的最高次数是2 ①都是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2. 知识讲解 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元）,并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程. 一元二次方程一般形式： 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 知识点1　一元二次方程概念及一般形式 知识讲解 知识点1　一元二次方程概念及一般形式 一元二次方程必须同时满足以下三个条件： （1）是整式方程； （2）只含有一个未知数； （3）未知数的最高次数是2. 知识讲解 知识点1　一元二次方程概念及一般形式 【例 1】判断下列方程是不是一元二次方程？ (1)x2+y+6=0 (2)x3+2x=0 (3)x2+x+1=0 (4)x2=5x+3 (5)(x-2)(x+2)=x(x-3) 提示：先化简，再观察未知数的最高次数 知识讲解 知识点1　一元二次方程概念及一般形式 【例 1】判断下列方程是不是一元二次方程？ (1)x2+y+6=0 (2)x3+2x=0 (3)x2+x+1=0 (4)x2=5x+3 (5)(x-2)(x+2)=x(x-3) (5)去括号，得x2-4=x2-3x，移项，得3x-4=0. 不是，含有两个未知数 不是，未知数最高次数是3 是，符合一元二次方程的概念 是，符合一元二次方程的概念 不是，未知数最高次数是1 知识讲解 知识点1　一元二次方程概念及一般形式 【例 2】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项、一次项系数及常数项. (1)(x+2)(x -1)=6 （2）2x2=5x-6 解：(1)去括号，得x2+x-2=6， 移项，得x2+x-8=0. 二次项为x2； 一次项系数为1；常数项为-8. 知识讲解 知识点1　一元二次方程概念及一般形式 【例 2】将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出方程的二次项、一次项系数及常数项. (1)(x+2)(x -1)=6 （2）2x2=5x-6 (2)移项，得2x2-5x+6=0. 二次项为2x2 ；一次项系数为-5；常数项为6. 注意：项及系数都包含前面的符号. 知识讲解 知识点1　一元二次方程概念及一般形式 【例 3】将方程3x(x-1)=5(x+2)化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和它们的系数以及常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 知识讲解 知识点2　一元二次方程的根 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 判断一个数值是不是一元二次方程的解的方法是：将此数值代入一元二次方程，若能使等式成立，则这个数值是一元二次方程的解；反之，它就不是一元二次方程的解. 知识讲解 知识点2　一元二次方程的根 【例 4】下面哪些数是方程 x2 – x – 6 = 0 的解? -4 ,-3 , -2 ,-1 ,0 ,1,2,3 ,4 解：3和-2. 你注意到了吗？一元二次方程可能不止一个根. 知识讲解 知识点2　一元二次方程的根 【例 5】已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值. 解：把x=3代入方程x2+ax+a=0，得 32+3a+a=0， 9+4a=0， 4a=-9， 知识讲解 知识点2　一元二次方程的根 【例 6】若关于x的一元二次方程（m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值. 二次项系数不为零 不容忽视 解：将x=0代入方程，得m2-4=0， 解得m= ±2. ∵ m+2 ≠0， ∴ m ≠-2， 综上所述：m =2. 知识讲解 知识点3　根据实际问题列出一元二次方程 建立一元二次方程的模型的一般步骤： 应用题中列一元二次方程一般步骤归纳为 审、设、列. （1）审——审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系； （2）设——设未知数； （3）列——根据题目中的等量关系，列出方程. 知识讲解 知识点3　根据实际问题列出一元二次方程 【例 7】根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感.求每轮传染中平均一人传染了几人？ （2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形? （3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？ 知识讲解 知识点3　根据实际问题列出一元二次方程 【例 7】根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一人患了流感，经过两轮传染后共有64 人患了流感.求每轮传染中平均一人传染了几人？ 解：(1)设每轮传染中平均一人传染了x 人. 由题意得1+x+x(1+x)=64，整理得：x2+2x-63=0. 知识讲解 知识点3　根据实际问题列出一元二次方程 【例 7】根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （2）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形? （2）设长方形的长为x m，则宽为(0.5-x) m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得x2-0.5x+0.06=0. 知识讲解 知识点3　根据实际问题列出一元二次方程 【例 7】根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （3）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次.有多少人参加这次聚会？ （3）设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)÷2=10， 整理，得x2-x-20=0. 随堂练习 1.下列方程中不是一元二次方程的是( ) A.(x+1)(x-2)=2x2 B.x2+x+4=0 C.x2=x-1 D.(2x-1)2=2x(2x-1) D 解析：A选项化简后为x2+x+2=0,是一元二次方程。 B选项是一元二次方程。 C选项化简后为x2-x+1=0,是一元二次方程。 D选项化简后为2x-1=0,不是一元二次方程。 随堂练习 2.指出下列方程满足什么条件时是关于x的一元二次方程： （1）2ax（x-1）-5=-3ax （2）mx2+2mx-m-x2=-1 （3）（k2+1）x2+3x-2=0 （4）x2+3ax+ay-5=0． 解：（1）由原方程得到：2ax2+ax-5=0，则当a≠0时，该方程是一元二次方程； （2）由原方程得到：（m-1）x2+2mx-m+1=0，则m-1≠0即m≠1时，该方程是一元二次方程； 随堂练习 2.指出下列方程满足什么条件时是关于x的一元二次方程： （1）2ax（x-1）-5=-3ax （2）mx2+2mx-m-x2=-1 （3）（k2+1）x2+3x-2=0 （4）x2+3ax+ay-5=0． （3）k为任意实数； （4）由题意得，y的系数为0，即a=0时，该方程是一元二次方程． 随堂练习 3.如果方程(m+4)x|m|-2+(m-1)x+3m-1=0是关于x的一元二次方程，试确定m的值，并指出方程的二次项系数、一次项系数及常数项. 解：由题意可知：|m|-2=2， 故二次项系数为8，一次项系数为3，常数项为11. 所以m=4,此时方程为：8x2+3x+11=0. 当m=-4时，m+4=0,此时方程是一元一次方程，故舍去， 解得m=4或m=-4. 随堂练习 4.下列哪些数是方程 x2+x-12=0 的根？ -4， -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3， 4 解：把数值代入方程中，能使方程左右两边相等的便是根. 当代入-4和3时方程左右两边相等： (-4)2-4-12=0； 所以-4和3是方程 x2+x-12=0 的根. 32+3-12=0； 随堂练习 5.在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则x满足的方程是（ ） A. x2+130x+1400=0 B. x2+65x-350=0 C. x2-130x-1400=0 D. x2-65x-350=0 B 解析：根据题意挂图的长为80+2x,宽为50+2x, 因此(80+2x)(50+2x)=5400，化简后为x2+65x-350=0. 课后小结 一元二次方程 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的定义 是整式方程 只含有一个未知数 一元二次方程的根 未知数的最高次数是2 ax2+bx+c=0(a≠0) 使方程左右两边相等的未知数的值 根据实际问题列 一元二次方程 审、设、列 谢谢！同学们再见！ $$