4.2一次函数与正比例函数 教学设计 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 八年级 学期 秋季 课题 一次函数与正比例函数 教科书 书 名：义务教育教科书数学八年级上册 出版社：北京师范大学出版社 教学目标 1．使学生经历一般规律的探索过程，在具体情境中体会和理解一次函数与正比函数的概 念，及二者之间的关系,发展学生的抽象思维能力． 2．引导学生能根据所给条件写出简单的一次函数表达式．经历从实际问题中得到函数关 系式这一过程，发展学生的数学应用能力．初步体验一次函数模型，体验建模思想． 3．使学生体验生活中数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数 学、用数学的兴趣． 教学重点、难点 教学重点： 1 ．从具体情境中列出一次函数表达式，从而抽象出一次函数的概念． 2 ．理解一次函数与正比例函数的概念， 以及它们之间的联系． 教学难点： 根据实际问题列函数表达式，抽象一次函数模型． 教学过程 第一环节 复习回顾 世间一切皆变，唯一不变的是变化本身．那么在不同的变化过程中有没有一些规律呢？ 开普勒发现了行星运动三大定律，伽利略发现了动物的体长和体重的关系，克莱伯发现了新 陈代谢与身体质量的关系，牛顿发现了三大运动定律，我们存在的世界就是在这些规律的约 束下，既有序又存在惊喜的运动变化着．这些规律背后的本质又是什么呢？实际上，他们在 数学的世界中确实都有一个共同的名字，函数． 问题 1 ：什么是函数？ 函数是指在一个变化过程中有两个变量 x 和y ，对于变量 x 的每一个值，变量 y 都有唯 一的值与他对应，称y 是 x 的函数． 学科网（北京）股份有限公司 注意：函数是指变量间的关系，并不是数． 问题 2：函数有哪些表示方法？ 函数的表示方法一般有三种：列表法、关系式法和图象法． 设计意图：借助科学家们的伟大发现创设情境，激发学生学数学的兴趣．同时，复习函 数的概念与表示方法，为新知识的学习扫清障碍． 第二环节 情境探究 活动一 问题 1 某弹簧的自然长度为 3cm ，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1kg ，弹 簧长度y 增加 0.5cm． (1) 计算所挂物体的质量分别为 1kg,2kg,3kg 时弹簧的长度，完成下表． x /kg 0 1 2 3 4 5 y/cm (2) 你能写出y 与 x 之间的关系式吗？ (3) 弹簧是否会无限伸长？ 解析： (1) 由题可知，弹簧的自然长度为 3 cm ，当 x=0 kg 时，弹簧的长度y=3 cm,弹簧的长 度y 随着所挂物体质量 x 的增加而变化，质量每增加 1 kg,长度增加 0.5 cm,所以： 当 x= 1 时，弹簧的长度为 3+ 1×0.5=3.5， 当 x=2 时，弹簧的长度为 3+2×0.5=4， 当 x=3 时，弹簧的长度为 3+3×0.5=4.5． (2) 照第一 问的规律 ， 以此类推 ， 当所挂物体质量增加 x kg 时 ，弹簧的长度为 (3+0．5x )cm ，即y=0.5x+ 3． (3) 不能，这与弹簧的弹性限度有关系，这也决定了所挂物体质量是有限的，即决定 了自变量的取值范围，因此以上关系式只在自变量取值范围内成立． 设计意图：将物理学科中常见的弹簧问题融入数学课堂，实现跨学科学习．以探索实际 问题中的数量关系和变化规律为背量，让学生经历“找出常量与变量，建立并表示一次函数 的模型”的过程，在此过程中体会学习新知的必要性，体会数学知识来源于实际生活，激发 学生学习数学、解决实际问题的兴趣． 问题2某辆汽车油箱中原有汽油 60L ，汽车每行驶 50km 耗油 6L． (1) 完成下表 汽车行驶路程 x ／km 0 50 100 150 200 220 邮箱剩余油量 y ／L (2) 你能写出耗油量y 与行驶路程 x 之间的关系式吗？ (3) 你能写出邮箱剩余油量 z 与汽车行驶路程 x 之间的关系式吗？ 解析： (1) (当学生有困惑时，补充说明) 观察表格，发现是汽车行驶路程与耗油量之间的关 系，耗油量y 随着行驶路程 x 的变化而变化，由题可知每行驶 50km 耗油 6L， 当行驶路程 x=0 时，耗油量y=0 当 x=50 km 时， y=6， 当 x= 100km 时，y= 100÷50×6=2×6 当 x= 150km 时，y= 150÷50×6=3×6 当 x=200km 时，y=200÷50×6=4×6， 当 x=220km 时，y=220÷50×6=4.4×6 (2) 当行驶路程为 x km 时，看 x km 里面有多少个 50km ，即用 x 除以 50 再乘以 6,所以 y = ´ 6 化简可得 y = x (3) 剩余油量=总油量-耗油量 因此 z = 60 - y 代入y 的关系式可得z= - x + 60 设计意图：汽车是学生熟悉的生活模型，汽车行驶中也蕴含着数学知识，从社会生活中 与数学相关的信息入手，引导学生主动参与数学活动，在解决数学问题的过程中，感受数学 在实际生活中的应用，体会数学的价值，并能从中抽象出数学问题，感悟用数学的眼光观察 现实世界的意义，形成数学想象力，提高学习数学的兴趣． 问题 3 小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有 500 元，从现在起每个 月存 120 元，试写出小张的存款数 y(元)与从现在开始的月份 x 之间的关系式． 设计意图：问题3脱离表格与梯度问题铺垫，探究问题情境中蕴含的数学规律，经历数 ( 每 单位的变化 量 都相等 )学“再发现”的过程，经历独立的思维过程，逐步引导学生发现这类函数关系式的共同特征． 活动二 归纳概念 问题 1 以下几个关系式中都有哪些量？结构形式上有何共同特征？ 原有量 b 单位变化量 k y=0.5x+ 3 3 0.5 y = x 0 3 25 z = - x + 60 60 3 - 25 y=120x+ 500 500 120 y=k x+b b k 以上每个变化过程中，他们都是在原有量的基础上发生了变化得到了新的量，即： 现在量=原有量+变化量 而且变化过程中，我们发现每单位的变化量是相等的，如果用字母k 表示每单位的变化 量，b 表示原有量， 以上关系式可以表示为：y=k x+b . 据此构建一次函数表达形式：y=k x+b . 追问 1 k 能否为 0？若为 0，将如何？ k 不能为 0，若为 0，则 kx =0,y =b,此时y 是常函数，不是一次函数. 追问 2 b 能否为 0？若为 0，将如何？ b 可以为 0，若为 0，说明基础量是 0，此时y=k x ，这是一次函数的特殊情况，称y 是 x 的正比例函数． 完善定义： 一般地,若两个变量 x, y 间的关系式可以表示成y=k x+b (k,b 为常数,k≠0)的形式,则称 y 是 x 的一次函数(x 是自变量，y 是因变量)．特别地,当 b =0 时，y=k x ，此时称y 是 x 的正 比例函数．正比例函数与我们在小学学习的成正比的量息息相关，比例系数 k 也有它的实际 意义，请看视频，再次深入了解正比例函数： 强调:一次函数关系式是关于自变量 x 的整式，并且 x 的指数是 1．而 x 的系数 k 不能为 0，这也是一次函数的本质特征． 设计意图:从生动有趣的问题情境出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽象 出一次函数和正比例函数的概念．训练学生的抽象思维能力.为给出一次函数的定义做好铺 垫.抓住学生的认知规律.将原有的学习经验迁移到新的学习中,感悟从特殊到一般的思想方 法.通过举例及时反馈学生对一次函数的认知情况，渗透从一般到特殊的数学思想. 第三环节 概念辨析 思考：正比例函数和一次函数有什么联系和区别? 联系：当 b=0 时，y 是 x 的正比例函数，正比例函数是一次函数一种特殊情况，所以正 比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数． 区别：一次函数有常数项，但正比例函数没有常数项． 概念题： 1．在一次函数 y=-3x-5 中，k =_______，b =______. 2．若函数 y=(m-3)x +2-m 是一次函数，则 m _______. 设计意图：一组辨析题旨在让学生体会解决这类问题的关键是紧扣一次函数的概念，即 采用回归定义法．解决第 2题时,还体现了转化思想．通过一次函数的概念将问题转化为不 等式求解，此外，通过设置第 1 题让学生直接根据定义辨识：通过设置第 2题让学生进一步 深化定义，这样通过问题链，由浅入深，让学生对一次函数概念的学习经历：听懂了一理解 了一学会了一会学了,真正做到举一反三、触类旁通.让学生积极参与学习，促进自我发现容 易出错的地方,发现该注意的问题.趁热打铁进行解题后的小结往往是对学生思维上的一次 提升，从而突出教学重点． 第四环节 典例精讲 例 1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，判断 y 是否为 x 的 一次函数？ 是否为正 比例函数？ (1) 汽车以 60km/h 的速度匀速行驶，行驶路程y (km ) 与行驶时间 x (h) 之间的关系； (2) 求圆的面积y (cm2 ) 与它的半径 x (cm ) 之间的关系； (3) 某水池有水 15m3 ，先打开进水管进水，进水的速度为 5 m3/h ， x h 后这个水池内 有水y m3 ． 解析： (1) 根据 路程=速度×时间，得y=60x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数； (2) 由圆的面积公式 s =πr2 ，得y=πx2 ，因为 x 的指数是 2，所以y 不是 x 的一次函数， 也不是 x 的正比例函数； (3) 根据现有水量=原有水量+进水量可得y=15+5x，y 是 x 的一次函数，但 b 不等于 0， 所以y 不是 x 的正比例函数 例 2 自 2019 年 1 月 1 日起，我国居民个人劳务报酬所得税预扣预缴税款的计算方法是: 每次收入不超过 800 元的，预扣预缴税款为 0:每次收入超过 800 元但不超过 4000 元的， 预扣预缴税款= (每次收入-800)x 20%:......如某人取得劳务报酬 2000 元，他这笔所得应预 扣预缴税款(2000-800)x20%=240(元)． (1) 当每次收入超过 800 元但不超过 4 000 元时，写出劳务报酬所得税预扣预缴税款 y(元)与每次收入 x(元)之间的关系式: (2) 某人某次取得劳务报酬 3 500 元，他这笔所得应预扣预缴税款多少元? (3) 如果某人某次预扣预缴劳务报酬所得税 600 元，那么此人这次取得的劳务报酬是 多少元? 解析: (1) 当每次收入超过 800 元但不超过 4000 元时 y= (x-800)×20%，即 y=0.2x-160; (2) 当 x=3500 时，y=0.2×3500-160=540(元) ; (3) 因为(4000-800)x 20%=640(元)，600＜640，所以此人这次取得的劳务报酬不超过 4 000 元.设此人这次取得的劳务报酬是 x 元，则 600=0.2x-160.解得 x=3 800.所以此人这次取 得的劳务报酬是 3 800 元． 设计意图：两个例题引导学生用一次函数的模型解决问题，通过问题探究,让学生进一 步明确:识别一个函数是否为一次函数,关键是准确把握定义;进一步理解一次函数与正比例 函数的概念，通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力．例 2 意 在培养学生严谨的思维方式与阅读理解能力训练,引导学生用函数思想去解决实际问题，实 现了知识向能力的转化.两道例题， 旨在提高学生应用一次函数知识解决问题的能力，并养 成用数学的思维和方法解决生活中遇到的实际问题的能力． 第五环节 学有所获 1．以下函数中哪些是一次函数，那些是正比例函数? (1) y = (2) s = 2t (3) y = (4) y = ( - 1)x (5) y = 3x - 1 (6) y = 2 - x 2．某种大米的单价是 2.2 元/千克，当购买 x 千克大米时，花费为y 元，求y 关于 x 的 关系式? 设计意图：通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念,根据 所给的条件写出简单的一次函数的表达式，让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽象思 维能力充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的发展． 第六环节 小结提升 1．知识层面 函数是表示两个变量间的一种关系，它并不是数，这节课我们认识了一次函数，它的本 质是两个变量间的一种线性增长关系，我们还知道了一次函数与正比例函数之间的关系与区 别.借助图形表示函数、一次函数、正比例函数三者间的关系． 2 ．数学思想： 通过分析多种不同的现实情境，经历从特殊到一般的过程，形成了一次函数的概念以及 他的一般形式，掌握其本质特征 k≠0，并学会了将实际问题抽象为数学问题，通过建立函数 模型，进一步提升了解决实际问题的能力． 教学设计说明 本节课通过分析多种元素，经历从特殊到一般的过程，形成了一次函数的概念，知道了 一次函数的一般形式，掌握其本质特征 k≠0 ，并学会了将实际问题抽象为数学问题，了解了 一次函数与正比例函数的联系与区别，通过建立函数模型，进一步提升了将实际问题抽象为 数学问题的能力，实现跨学科学习，培养了学生用数学的语言表达现实世界的能力 $$