小升初典型奥数： 间隔问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

间隔问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 一、定义：生活中我们可以发现在摆放物体时，物体之间会存在着空格部分，这个空格部分就叫间隔。我们把含有间隔的数学知识称为间隔问题，常见的间隔问题有楼层之间的间隔、时间中的间隔等，本课我们就一起探索一下间隔问题带给我们的奥妙。 二、间隔问题中存在着以下几个特点：(1)任意相邻的两个物体之间存在着空格部分；(2)空格部分的距离是相等；(3)物体数量比间隔个数多1;(4)间隔个数等于两个物体的序号之差。 三、1、楼梯问题中的层数即为间隔数，楼数即为序号，所以层数等于两层楼序号相减的差。 2、在爬楼梯的时间问题里，需要利用间隔找到走一层楼的时间和要走的楼层数。 3、在锯木头的问题中，锯的次数即为间隔个数，需要通过段数找到锯的次数与锯一次的时间。 4、在敲钟的时间问题中，每两下之间存在一个间隔，所以间隔个数比敲的数量少1个，找到一个间隔的时间和敲的间隔个数。 第二部分 典型例题 例题1：一条长180米的小路的一边共栽了37棵树（两端都栽），那么这条小路旁每相邻两棵树之间的距离是多少米？ 【答案】5米 【分析】这条小路两端都栽树，则树的棵数比间隔数多1，间隔数是（37－1）个。用这条小路的总长度除以间隔数，求出每相邻两棵树之间的距离。 【详解】180÷（37－1） ＝180÷36 ＝5（米） 答：每相邻两棵树之间的距离是5米。 【点睛】本题考查植树问题，关键是明确间隔数＝植树棵数－1。 例题2：在四年级团体操表演中，奇思排在正方形方阵的最中间，他的位置用数对表示是（13，13）。四年级表演团体操的一共有多少人？ 【答案】625人 【分析】根据题意，奇思排在正方形方阵的最中间，数对表示是（13，13），则他的前后左右各有12人，所以该方阵每排的人数是（12＋12＋1）人，一共有（12＋12＋1）排，用每排的人数乘排数即可求出四年级表演团体操的一共有多少人。 【详解】（12＋12＋1）×（12＋12＋1） ＝（24＋1）×（24＋1） ＝25×25 ＝625（人） 答：四年级表演团体操的一共有625人。 例题3：（1）在学校的走廊两旁植树，每两棵之间相距6米，且走廊两端都植树，一共植了42棵。请问走廊长多少米？ （2）在电视厂门口的路两边挂彩灯，每两盏之间相距2米，且路的两端都挂彩灯，一共挂了36盏。这段路长多少米？ 【答案】（1）120米 （2）34米 【分析】根据树的棵树，先计算间距个数，然后求出路的长度，两小问都是路的两边植树，首先要除以2。 【详解】（1）每侧树的棵树： 答：走廊长120米。 （2）每边的彩灯数： 答：这段路长34米。 【点睛】本题是已知植树情况，反求路的长度，注意把握住关键字，区分清楚两端的植树情况，以及是否路的两边都有。 例题4：在一条长480米的大路两侧每隔8米栽树（首尾都栽），现在改为每隔6米栽一棵，那么不需要移栽的树有多少棵？需要重新栽上多少棵？需要拔掉多少棵？ 【答案】42棵；120棵；80棵 【分析】（1）因为8和6的最小公倍数是24，所以在距离是24米的倍数的位置上的树不用移栽，用全长除以间距再加上1，再乘2即可得出两侧不用移栽的树的棵数。 （2）用全长除以6米再加上1就是一侧重新栽后的棵树，减去不用移栽的棵树后就是需要重新栽的棵树，两侧再乘2。 （3）480米除以8米得数加上1就是原来一侧栽的棵树，减去不用移栽的棵树，就是需要拔掉的棵树，再乘2就是两侧共拔掉的棵树。 【详解】8＝2×2×2， 6＝2×3 所以8和6的最小公倍数是2×2×2×3＝24， 480÷24＝20（棵） 20＋1＝21（棵） 21×2＝42（棵） 答：不用移栽的树有42棵。 480÷6＋1＝81（棵） 81－21＝60（棵） 60×2＝120（棵） 答：需要重新栽上120棵。 480÷8＋1＝61（棵） 61－21＝40（棵） 40×2＝80（棵） 答：需要拔掉80棵。 【点睛】这是植树问题，考查了公倍数应用题，利用8和6的最小公倍数和基本的数量关系求出一边栽树的棵数是解答此题的关键，注意道路两旁首尾都栽，根据株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1； 第三部分 高频真题 1．军训的学生进行队列表演，排成了一个行列的正方形队列，如果去掉一行一列，要去掉多少人？ 2．有一个报时钟，每敲响一下，声音可持续3秒。如果敲响6下，那么从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要43秒。现在敲响12下，从敲响第一下到最后一下持续声音结束，一共需要多长时间？ 3．一堆棋子，排成正方形，多余4只棋子，若正方形纵横两个方面各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少只？ 4．一个长方形的池塘，长60米，宽42米，如果在它的四周及四角栽柳树，每相邻两棵树之间的距离要相等，那么最少要栽多少棵？如果每两棵柳树之间栽2棵桃树，那么桃树一共栽了多少棵？ 5．某小区的绿地长45米，为了美化绿地，要栽一行松树，每隔5米栽一棵树（两头都栽），已经栽了4棵，还需要栽多少棵？ 6．贝贝家院子有一个周长是5.2米的圆形花坛，在花坛边每13分米摆了一盆花，一共摆了多少盆花？ 7．甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4层时，乙恰好跑到3层。照这样计算，甲跑到16层时，乙跑到多少层？ 8．一队战士排成中空方阵，最外层的人数为44人，最内层的人数为28人，这方阵共有多少人？ 9．四年级一班参加运动会入场式，排成一个方阵，最外层一周的人数为20人，请问：方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人? 10．解放军进行排队表演，组成一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？一共有多少人？ 11．有一群学生排成三层空心方阵，多人，如空心部分增加两层，又少人，问有学生多少人？ 12．社区门口有一条长为100米的马路，现在要在这条马路的一侧种树，每隔10米种一棵，而且马路的两端都要种，一共需要种多少棵树？ 13．在一段长200米的公路的一侧栽松树，每隔40米载一棵（两端都要栽），一共需要栽多少棵松树？ 14．王伯伯沿教室走廊一侧放花盆，每隔2米放一盆，一共放了18盆。从第一盆到最后一盆的距离有多远？ 15．校三年级学生排成一个方阵，最外一层的人数为人，问方阵外层每边有多少人？这个方阵共有三年级学生多少人？ 16．一段人行道长30米，现在要在人行道的两侧栽树，从起点开始，每隔6米栽1棵树，这段人行道共需要栽多少棵树？（两端都栽） 17．二年级舞蹈队为全校做健美操表演，组成一个正方形队列，后来由于表演的需要，又增加一行一列，增加的人数正好是人，那么原来准备参加健美操表演的有多少人？ 18．一位老爷爷以匀速散步，从家门口走到第11棵树用了11分钟，这位老爷爷如果走24分钟，应走到第几棵树？（家门口没有树） 19．运动场上有一条长45米的跑道，跑道两边每隔5米插一面彩旗。如果两端都插，需要多少面彩旗？ 20．甲、乙二人比赛爬楼梯，甲跑到第4层时，乙恰好跑到第3层．以这样的速度，甲跑到第28层时，乙跑到第几层？ 21．小明在一个正方形的棋盘里摆棋子，他先把最外层摆满，用了个棋子，求最外层每边有多少棋子？如果他要把整个棋盘摆满，还需要多少棋子？ 22．一条马路长120米，从一端起，在马路的两侧先每隔4米栽一棵树（两端都栽），后改为每隔6米栽一棵，不需要移栽的有多少棵？需要拔掉的有几棵？需要重栽的有几棵？ 23．在一条长1800米的公路两旁从头到尾每隔30米架设一盏路灯,一共需要架设多少盏路灯? 24．两幢教学大楼相距100米，现在每幢大楼之间隔10米种一棵树，需要种多少棵？ 25．两棵杨树相距400米，计划在两棵杨树之间每隔10米种一棵柳树，那么共需种多少棵柳树？ 26．大头儿子的学校旁边的一条路长400米，在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树，一共能种几棵树？ 27．公园里有一条长900m的小路，在小路的一旁，从头到尾每12m放一把椅子（两端都放），一共需要放多少把椅子？ 28．用棋子摆成方阵，恰为每边24粒的实心方阵，若改为3层的空心方阵，它的最外层每边应放多少粒？ 29．为了准备学校的集体舞比赛，四年级的学生在排队形。如果排成3层空心的方阵则多10人，如果在中间空心的部分接着增加一层又少6人。问一共有多少个学生参加排练呢？ 30．张悦过生日，买了一个圆形蛋糕周长50厘米，每隔10厘米插一根小蜡烛，共需多少根蜡烛？ 31．一条公路的一旁连两端在内共植树91棵，每两棵之间的距离是5米，求公路长是多少米？ 32．在一次团体操表演中，有一个空心方阵最外层有人，最内层有人，参加团体操表演的共多少人？ 33．有若干盆鲜花摆成一个中空方阵，最外层共摆48盆，最内层共摆24盆，请问：共摆了多少盆鲜花？ 34．一条街上，一旁每隔8米有一个广告牌，从头到尾有16个广告牌，现在要进行调整，变成每12米有一个广告牌．那么除了两端的广告牌外，中间还有几个牌不需要移动？ 35．在一条大道的一侧从头到尾每隔50米竖一根电线杆，共用电线杆86根，这条大道全长多少米？ 36．伐木场举行锯木头比赛，冠军把一根45米的木材锯成3米一段只要140秒，按这样的速度，他把同样一根木材锯成9段需要多少秒？ 37．大象馆和猴山之间的小路长60米。绿化队要在这条小路两旁都栽树（两端不栽），相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽多少棵树？ 38．周叔叔家有一个长40米，宽30米的长方形鱼塘，他想沿塘每隔5米栽一棵柳树，需要栽多少棵柳树？ 39．在一条长500米的公路一侧架设电线杆，每隔50米架设一根，若公路两端都不架设，共需电线杆多少根？ 40．一队战士排成三层空心方阵多出人，如果空心部分再加一层又少人，这队战士共有多少人？如果他们改成实心方阵，每边应有多少人？ 41．学校门前有条长100米的马路，马路两侧一共种了42棵树，每侧相邻两棵树之间的距离都相等，而且马路的两端都种了，请问：相邻两棵树之间的距离是多大？ 42．在街心公园的一条道路两旁栽柳树，道路的一端栽，另一端不栽，这条路长250米，每隔10米栽一棵，一共栽了多少棵树？ 43．有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段？ 44．在学校操场西侧“阅读书廊”两侧，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了36盆（两端都放）。这个“阅读书廊”长多少米？ 参考答案： 1．人 【分析】一行一列各人，顶点处重复；因为角上的一个同学被重复数了两次，所以要把多算的一次减掉。据此解题即可。 【详解】5×2－1 ＝10－1 ＝9（人） 答：要去掉9人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意顶点处的重复现象。 2．秒 【分析】每次敲完以后，声音持续3秒，那么从敲完第一下到敲完第6下，一共经历的时间是：（秒），而这之间的间隔数只有：（个），所以每个间隔的时间是：（秒），现在要敲响12下，所以一共经历的时间是11个间隔和3秒的持续时间，一共需要时间是：（秒）。 【详解】[（43－3）÷（6－1）]×（12－1）＋3 ＝[40÷5]×11＋3 ＝8×11＋3 ＝88＋3 ＝91（秒） 答：一共需要91秒的时间。 【点睛】解答本题的关键是，要弄清楚敲6下和敲12下分别有几个间隔，即可求出每个间隔所用的时间，再据此解题即可。 3．40只 【分析】先由多余和不够的棋子数求出纵横方向都增加一层的棋子数，再求正方形每边的棋子数． 【详解】纵横方向各增加一层，所差棋子只数是：4＋9=13(只) 若棋子增加9只后，则正方形每边棋子只数是：(13+1)÷2=7(只) 原来棋子只数是：7×7-9=40(只) 答：有棋子40只． 4．34棵；68棵 【分析】（1）要求最少要栽多少棵，即每相邻两棵树之间的距离最大，即相邻两棵树之间的距离是60和42的最大公因数，求出60和42的最大公因数，即相邻两棵树之间的距离，即可求出应栽树的棵数； （2）因为此长方形的池塘四周及四角栽柳树，可以看成是一个封闭的图形，所栽的柳树的棵数和间距数相等，用间距乘2即可解答出所种的桃树的棵数。 【详解】60＝2×2×3×5 42＝2×3×7 60、42的最大公因数是2×3＝6 （60＋42）×2÷6 ＝102×2÷6 ＝204÷6 ＝34（棵） 34×2＝68（棵） 答：最少要种14棵柳树，桃树一共栽了68棵。 【点睛】关键是理解题意，明白是从求公因数作为突破口，进而找出解决问题的方法。 5．6棵 【分析】先用总长度除以每个间隔的长度，求出有多少个间隔，由于两端都栽树，所以间隔数加上1就是植树的棵数。然后用植树的棵数减去已经栽的棵数算出还需要栽的棵数。 【详解】45÷5＝9（棵） 9＋1＝10（棵） 10－4＝6（棵） 答：还需要栽6棵。 【点睛】本题属于植树问题两端都栽的情况：植树的棵数＝间隔数＋1，需要牢记这一公式。 6．4盆 【详解】5.2÷（13÷10）＝4（盆） 7．11层 【分析】爬楼梯问题，不能以楼层进行计算，而要用楼梯段数进行计算．因为第一层楼是不用爬的，（楼层数－1）才是要走的楼梯段数。根据题意“甲跑到4层时，乙恰好跑到3层”，实际是说甲跑（4－1）段楼梯，与乙跑（3－1）段楼梯时间相同。照这样计算，甲跑到16层时，也就是跑了（16－1）段楼梯，应是跑（4－1）段楼梯所用时间的5倍，在同一时间乙跑的楼梯段数也是他跑（3－1）段楼梯的5倍，也就是这时他跑了10段楼梯，即他跑到了第10＋1＝11层楼。 【详解】4－1＝3（段） 3－1＝2（段） 15÷3×2 ＝5×2 ＝10（段） 10＋1＝11（层） 答：乙跑到11层。 【点睛】楼梯的问题就是“植树问题”，两端都是层数，相当于两端都植树，间隔＝树的棵数－1，对应的爬的楼梯的段数＝层数－1。 8．144人 【详解】44÷4+1=12（人） 12×12=144（人） 28÷4+1=8（人）     （8-2）×（8-2）=36（人） 144-36=108（人） 9．方阵最外层每边的人数是6人，整个方阵共有36人 【分析】根据四周人数与每边人数的关系可知： 每边人数=四周人数÷4+1，可以求出这个方阵最外层每边的人数，那么这个方阵队列的总人数就可以求出来了． 【详解】（1）方阵最外层每边的人数：20÷4+1=5+1=6（人） （2）整个方阵共有学生人数：6×6=36（人） 10．5层，160人 【详解】（48-16）÷8+1＝5（层） （48+16）×5÷2＝160（人） 答：这个方阵有5层，一共有160人． 11．人 【分析】增加的两层人数为：（人），这两层人数之差是人，因此最里层有：（人），现在的方阵共层，那么最外层有：（人），知道最外层人数及层数就不难求出总人数是人。 【详解】（9＋15－8）÷2 ＝16÷2 ＝8（人） 8＋8×4 ＝8＋32 ＝40（人） 40÷4＋1＝11（人） （11－5）×5×4－15 ＝6×5×4－15 ＝120－15 ＝105（人） 答：有学生105人。 【点睛】找出最外层的人数是解答此题的关键。 12．11棵. 【详解】试题分析：抓住植树棵数=间隔数+1，马路长100米，每隔10米栽一棵，则间隔数就是：100÷10=10，据此即可解答． 解：100÷10+1 =10+1 =11（棵）， 答：一共栽11棵树． 点评：本题属于植树问题，关键是植树棵数=间隔数+1，根据除法的意义求出间隔数再加1来解． 13．6棵 【详解】因为两端都要载，用200÷40＝5（棵） 5＋1＝6（棵） 答：一共需要栽6棵松树。 14．34米 【分析】根据间隔数＝棵树－1，总长＝间隔数×间隔长，代数解答即可。 【详解】（18－1）×2 ＝17×2 ＝34（米） 答：从第一盆到最后一盆的距离有34米。 【点睛】此题主要考查学生对植树问题的理解与应用，牢记公式，分析关系量，代入解答即可。 15．10人；人 【分析】根据“每边人数＝四周人数÷4＋1”，求出最外层每边人数；再根据“实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”，求出这个方阵共有三年级学生的人数。 【详解】36÷4＋1 ＝9＋1 ＝10（人） 10×10＝100（人） 答：方阵外层每边有10人，这个方阵共有三年级学生100人。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。 16．12棵 【详解】略 17．人 【分析】因增加的是一行一列，而行、列人数仍应相等，但为什么增加的却是人，因有人是既在他所在的行，又在他所在的列。若把它减掉，剩下人数恰是原两行或两列的人数，据此即可求出原来一行或一列的人数和参加健美操表演的人数。 【详解】（17－1）÷2 ＝16÷2 ＝8（人） 8×8＝64（人） 答：原来准备参加健美操表演的有64人。 【点睛】解答此题的关键是，要注意行与列交汇处的重复现象。 18．棵 【分析】从家门口走到第11棵树是走了11个间隔，走一个间隔所用时间是：11÷11＝1（分钟），那么走24分钟应该走了（24÷1）个间隔，所以老爷爷应该走到了第24棵树。 【详解】24÷（11÷11） ＝24÷1 ＝24（个） 答：应走到第24棵树。 【点睛】本题考查了“植树问题”，解答此题的关键是，要要清楚老爷爷走的间隔数是多少个。 19．20面 【分析】由题可知，跑道总长45米，每段长度是5米，即已知跑道的总长和段长，求整条跑道一共可以分成多少段（段数），段数＝总长÷段长；两端都插，则旗数比段数多1，求出一侧的彩旗数还要乘才求出一共需要的彩旗数量，据此解答。 【详解】段数：45÷5＝9（段） 9＋1＝10（面） 10×2＝20（面） 答：需要插20面彩旗。 【点睛】本题考查植树问题，熟练掌握段数＝总长÷段长、两端都插，则旗数比段数多1，是解答本题的关键。 20．19层 【分析】因为甲跑到四层楼是跑了（4-1）个楼层间隔，乙恰好跑到三层楼，是跑了（3-1）个楼层间隔，由此得出乙的速度是甲的（3-1）÷（4-1）；再由甲跑到第28层楼时是跑了（28-1）个楼层间隔，进而求出乙跑的楼层间隔数，从而求出乙跑到第几层楼． 【详解】（28-1）×[（3-1）÷（4-1）]+1＝19（层） 21．11个；个 【分析】首先根据“每边的个数＝总数÷”求出每边的棋子数：（个），根据“每向里一层每边棋子数减少＂，求出从最外面数第二层中每边各有：（个）棋子，利用求实心方阵总个数的方法就可以求出还需棋子：（个）。 【详解】40÷4＋1 ＝10＋1 ＝11（个） （11－2）×（11－2） ＝9×9 ＝81（个） 答：最外层每边有11棋子，如果他要把整个棋盘摆满，还需要81棋子。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，“每边人数＝四周人数÷4＋1、实心方阵的总人数＝每边人数×每边人数”。 22．22棵；40棵；20棵 【分析】（1）因为4和6的最小公倍数是12，所以在距离是12米的倍数的位置上的树不用移栽，用全长除以间距再加上1，再乘2即可得出两侧不用移栽的树的棵数。（2）120米除以4米得数加上1就是原来一侧栽的棵树，减去不用移栽的棵树，就是需要拔掉的棵树，再乘2就是两侧共拔掉的棵树。（3）用全长除以6米再加上1就是一侧重新栽后的棵树，减去不用移栽的棵树后就是需要重新栽的棵树，两侧再乘2。 【详解】4＝2×2 6＝2×3 所以4和6的最小公倍数是2×2×3＝12， 120÷12＝10（棵） 10＋1＝11（棵） 11×2＝22（棵） 答：不用移栽的树有22棵。 120÷4＋1＝31（棵） 31－11＝20（棵） 20×2＝40（棵） 答：需要拔掉40棵。 120÷6＋1＝21（棵） 21－11＝10（棵） 10×2＝20（棵） 答：需要重新栽上20棵。 【点睛】这是植树问题，考查了公倍数应用题，利用4和6的最小公倍数和基本的数量关系求出一边栽树的棵数是解答此题的关键，注意道路两旁首尾都栽，根据株数＝段数＋1＝全长÷株距＋1。 23．122盏 【详解】1800÷30+1=61(盏)　61×2=122(盏) 24．需要种9棵树 【分析】根据题意可知，每两棵树之间的间距为10米，总长为100米，即有100÷10＝10个间隔，因为两幢楼的头和尾上不能植树，所以共需要种10－1＝9棵树。 【详解】100÷10－1 ＝10－1 ＝9（棵） 答：需要种9棵树。 【点睛】本题主要考查了植树问题的应用，注意本题中的“头”和“尾”均不能植树。 25．共需种39棵柳树 【分析】根据题意可知，两棵树之间的间距为10米，总长是400米，则有400÷10＝40个间隔，所以柳树的棵数有40－1＝39棵。 【详解】400÷10－1 ＝40－1 ＝39（棵） 答：共需种39棵柳树。 【点睛】本题主要考查了植树问题的实际应用。注意题目中两端是杨树，所以对柳树来说就是“两端不植树”型的植树问题。 26．棵 【分析】根据“棵数＝间隔数＋1，距离÷间距＝间隔数”可知，每隔4米种一棵树，在一条长400米的路的一边从头到尾，可以种（400÷4＋1）棵树。 【详解】400÷4＋1 ＝100＋1 ＝101（棵） 答：一共可以种101棵树。 【点睛】本题考查了植树问题，根据“棵数＝间隔数＋1，距离÷间距＝间隔数”即可解题。 27．900÷12＋1＝76（把） 【详解】略 28．51粒 【详解】24×24=576（粒） 576÷4÷3+3 =48+3 =51(粒) 答:最外层每边棋子数为51粒． 29．人 【分析】在内部增加一层，人数由多出10人变为反而少6人，所以这一层人数为（10＋6）人，据此即可求出每层每边人数，再求出这个四层方阵的总人数，减去6，就是学生人数。 【详解】中间空心部分加一层，每边有： （10＋6）÷4＋1 ＝16÷4＋1 ＝4＋1 ＝5（人） 四层方阵有： （4＋6＋8＋10）×4 ＝28×4 ＝112（人）； 一共有学生： 112－6＝106（人） 答：一共有106个学生参加排练。 【点睛】解答此题的关键是，找出新增加的这一层是多少人。 30．5根 【详解】圆形蛋糕周长50厘米，每隔10厘米插一根小蜡烛，列式可得 50÷10＝5根 答：共需5根蜡烛 31．米 【分析】根据题意可知，91棵树，共有（91-1）个间隔，根据“距离＝间距×间隔数”，即可求出公路的长，即：（米）。 【详解】（91－1）×5 ＝90×5 ＝450（米） 答：公路长450米。 【点睛】根据植树问题可知：间隔数＝棵数－1，距离＝间距×间隔数；由此解题即可。 32．人 【分析】根据最外层和最内层人数，可以分别求出内外层每边的人数，一个空心方阵，可以看做从一个最外层有人的实心方阵中，减去了一个小方阵。外层每边人数：（人）。内层每边人数：（人），空心方阵人数：（人）。 【详解】（64÷4＋1）×（64÷4－1）－（32÷4＋1－2）×（32÷4＋1－2） ＝（16＋1）×（16＋1）－（8＋1－2）×（8＋1－2） ＝17×17－7×7 ＝289－49 ＝240（人） 答：参加团体操表演的共240人。 【点睛】此题考查了方阵问题中的数量关系，空心方阵的总人数＝（外边人数）2－（内边人数）2。 33．144盆 【详解】由于方阵中相邻两个正方形每边相差8，因此第二层应摆鲜花48－8＝40盆，第三层有花40－8＝32盆，第四层有花32－8＝24盆．这样通过枚举方法求出一共有四层花，及中间两层花的总数．因此一共摆了48＋40＋32＋24＝144盆． 答：一共摆了144盆． 34．4个 【分析】16个广告牌，每相邻的两个广告牌的间隔为8米，则共有16-1=15 个间隔，这条街的总长度为8×15＝120米；现在要调整为每12米一个广告牌，那么不移动的牌离端点的距离一定既是8的倍数，同时也是12的倍数；8和12的最小公倍数是24，也就是说每24米及其倍数处的广告牌可以不需要移动；120÷24＝5，即段数为5个，但要扣除两端的2个，所以，中间不需要移动的有5-1=4个． 【详解】8×15＝120（米） 8和12的最小公倍数是24 120÷24＝5 5-1=4(个) 35．4250米；4250 【分析】两端都要栽时，间隔数＝电线杆的根数－1，所以这里间隔数是86－1＝85，再乘50就是这条路的长度，代入数据计算。 【详解】（86－1）×50 ＝85×50 ＝4250（米） 答：这条大道全长4250米。 【点睛】此题考查植树问题中，两端都要栽的情况，抓住间隔数＝植树棵数－1，即可解答。 36．80秒 【分析】锯成3米一段需要锯成15段，需要14次，于是锯1次用时间秒，锯成9段需要锯8次，所以共需时间秒。 【详解】45÷3＝15（段） 15－1＝14（次） 140÷14＝10（秒） 9－1＝8（次） 8×10＝80（秒） 答：锯成9段需要80秒。 【点睛】解答此类复杂间隔问题，关键是要明白间隔数目和端点数目的不同。 37．38棵 【分析】根据题意得出此题属于两端不栽树的问题，先求出60米里面有几个3米，再根据植树问题中两端不栽时植树棵数＝间隔数－1，求出小路一边栽树的棵数，进而乘2求出一共栽树的棵数。 【详解】（60÷3－1）×2 ＝（20－1）×2 ＝19×2 ＝38（棵） 答：一共要栽38棵树。 【点睛】本题考查了植树问题中两端不栽时植树棵数＝间隔数－1的应用，不要忘记乘2。 38．棵 【分析】首先根据长方形周长＝（长＋宽）×2，计算出长方形鱼塘的周长，然后根据封闭线路植树问题的方法解决即可。 【详解】（40＋30）×2÷5 ＝70×2÷5 ＝28（棵） 答：需要栽28棵柳树。 【点睛】本题属于典型的封闭线路植树问题，其基本数量关系是：植树棵数＝间隔个数。 39．9根 【分析】先用500÷50求出间隔数，由于公路两端都不架设，再用间隔数减1即可求出电线杆的数量。 【详解】500÷50－1 ＝10－1 ＝9（根） 答：若公路两端都不架设，共需电线杆9根。 【点睛】本题属于典型两端都不栽的植树问题，解答此题关键需要利用的规律是：间隔数－1＝植树棵数。 40．人；人 【分析】把多余的人放在方阵内部还少人，可见方阵内部增加一层，需要：（人），因此向外三层的每层人数都可以求出。从内向外每层人数依次是：第一层：（人），第二层：（人），第三层：（人），总人数：（人），因为，所以排成实心方阵每边有人。 【详解】（16＋28＋8）＋（16＋28＋2×8）＋（16＋28＋3×8）＋16 ＝52＋（16＋28＋16）＋（16＋28＋24）＋16 ＝52＋60＋68＋16 ＝196（人） 196＝14×14 答：这队战士共有196人，如果他们改成实心方阵，每边应有14人。 【点睛】认真观察方阵图形可知，在方阵中，方阵每向里面一层，每边的个数就减少2个，即每向里一层，每层的个数就减少8个，据此求出总人数即可解题。 41．5米． 【详解】试题分析：根据题意可知，是在马路两侧栽树，所以，每一旁栽树的棵数是总棵数的一半，即42÷2=21棵，那么，每一旁一共有的间隔数比栽树的棵数少1，即21﹣1=20个间隔数，然后用路长除以间隔数就是相邻两棵树之间的距离． 解：根据题意可得： 100÷（42÷2﹣1） =100÷（21﹣1） =100÷20 =5（米）． 答：相邻两棵树之间的距离是5米． 点评：植树问题，要看清是大路两侧，还是大路一旁，然后根据一旁的棵数，求出间隔数，就不难求出相邻两棵树之间的距离． 42．50棵 【分析】此题属于只栽一端的植树问题，公式是：植树棵数＝间隔数，间隔数＝间隔总长÷间隔距离。由于是两旁都挂，就先求出一旁的数量之后乘2。据此计算即可。 【详解】250÷10＝25（棵） 25×2＝50（棵） 答：一共栽了50棵树。 【点睛】此题主要考查了植树问题的公式，要熟练掌握。 43．90段 【详解】3厘米的记号共做了180÷3－1＝59个（注意，绳子的两端不能做记号）。 4厘米的记号共做了180÷4－1＝44个 两种记号重叠的有180÷12－1＝14个 59＋44－14 ＝103－14 ＝89（个） 所以绳子被剪成了89＋1＝90段。 答：绳子被剪成了90段。 44．68米 【分析】根据题意可知，要求“阅读书廊”长多少米，我们要先知道一侧的间隔数，因为两端都放，所以间隔数等于一侧的盆数减一，即36÷2－1＝17，求出间隔数，再用间隔数×间隔距离4米，据此解答即可。 【详解】由分析可知， （36÷2－1）×4 ＝17×4 ＝68（米） 答：这个“阅读书廊”长68米。 【点睛】本题主要考查了两旁植树问题中的求路长。 学科网（北京）股份有限公司 $$