第02讲 与三角形有关的角 （3个知识点+5种题型+分层练习） -2024-2025学年八年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第02讲 与三角形有关的角 （3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点2．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点3．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 题型强化 题型一．三角形内角和定理 1．（2023秋•林芝市期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•金东区期末）如图，在中，，、分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，，则　　度． 3．（2024春•太康县期末）在中，平分交于点，是边上的高，且，，求： （1）的度数． （2）的度数． 题型二．三角形的外角性质 4．（2023秋•湛江期末）如图所示，的外角等于，等于，则的度数是　　． 5．（2024•驿城区模拟）如图，把一个含角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•甘州区校级期末）如图，是的外角，平分，平分，且、交于点，． （1）求证：； （2）猜想：若，求的度数． 题型三．直角三角形的性质 7．（2024春•港北区期中）中，，，则　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•陵城区期末）如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为 　　． 9．（2024春•沭阳县期中）如图，中，，，，，求． 题型四、三角形内角和定理的证明 10．（22-23八年级上·广西百色·期末）下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 11．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    12．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知，求证：．（过点作，请按照此思路继续完成证明过程） 题型五、三角形的外角的定义及性质 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平分，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 14．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在中，已知是角平分线，，，则 ， ． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）的三条角平分线相交于点，延长交于点．作，交延长线于点．    (1)若，则 ； (2)判断与的数量关系，并说明理由； (3)求证． 分层练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·四川泸州·期中）如图，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则、的关系为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 9．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，，和的平分线交于一点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（20-21八年级上·浙江台州·期中）有两个角 的三角形是直角三角形． 12．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为 ．    13．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图，，，，则 ． 14．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ． 15．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，，分别是的边，上的两点，，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则 ． 16．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的外角平分线，相交于点，若，则 ． 17．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，中，，，分别平分，，则 ． 18．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ． 三、解答题 19．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 20．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，点C为的边延长线上的一点，点D为边上一点，交于点F，已知，，求的度数． 21．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交的延长线于点E．若，，求的度数． 22．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 23．（23-24八年级上·河北唐山·期中）夕夕同学要证明“任意一个三角形的内角和一定等于”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来证明．下面夕夕已经写出了已知和求证，请你按夕夕的想法完成证明． 如图，已知：． 求证：．    24．（22-23八年级上·广西桂林·期中）如图，中，，，平分，于D，，交于F，求： (1)的度数； (2)当平分时，，若，，，请用含m，n，a的代数式表示的长． 25．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 26．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 与三角形有关的角 （3个知识点+5种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 知识点2．三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 知识点3．直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 题型强化 题型一．三角形内角和定理 1．（2023秋•林芝市期末）如图，中，为的角平分线，为的高，，，那么是　　 A． B． C． D． 【分析】根据高线的定义可得，然后根据，求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和等于列式计算即可得解． 【解答】解：为的高， ，， ， 是角平分线， ， 在中，． ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键． 2．（2023秋•金东区期末）如图，在中，，、分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，，则　80　度． 【分析】由，可得出，在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合，可求出的度数，由平分，利用角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【解答】解：， ． 在中，，， ， ． 平分， ． 在中，，， ． 故答案为：80． 【点评】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键． 3．（2024春•太康县期末）在中，平分交于点，是边上的高，且，，求： （1）的度数． （2）的度数． 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再根据三角形的内角和是即可求解； （2）由直角三角形的两锐角互余即可求解，根据，即可得解． 【解答】解：（1）平分，， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， ． 【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型二．三角形的外角性质 4．（2023秋•湛江期末）如图所示，的外角等于，等于，则的度数是　　． 【分析】根据三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：的外角，且的外角等于，等于， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 5．（2024•驿城区模拟）如图，把一个含角的直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】根据三角形的外角性质得出，代入求出即可． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外角性质，能根据三角形的外角性质得出是解此题的关键． 6．（2023秋•甘州区校级期末）如图，是的外角，平分，平分，且、交于点，． （1）求证：； （2）猜想：若，求的度数． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，得到，根据平行线的判定定理证明结论； （2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案． 【解答】（1）证明：平分， ， ， ； （2）解：是的一个外角， ， 平分， ， ． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 题型三．直角三角形的性质 7．（2024春•港北区期中）中，，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再代入的度数可得的度数． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，两个锐角互余． 8．（2023秋•陵城区期末）如图，把一张纸片沿折叠，若，，则的度数为 　　． 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：把一张纸片沿折叠， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 9．（2024春•沭阳县期中）如图，中，，，，，求． 【分析】根据平角的定义，求得，由于，，，，根据直角三角形的性质求得，即可求得． 【解答】解：， ， ，，， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形两锐角互余是本题的关键． 题型四、三角形内角和定理的证明 10．（22-23八年级上·广西百色·期末）下列说法不正确的是（   ） A．任何命题都有逆命题 B．“三角形的内角和等于”是真命题 C．命题的逆命题不一定是正确的 D．每个定理都有逆定理 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理、三角形内角和定理，根据逆命题的定义、三角形内角和定理、真假命题的定义、互为逆命题的两个命题的真假没有关系进行判断即可． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，故不符合题意； B、“三角形的内角和等于”是真命题，故不符合题意； C、命题的逆命题不一定是正确的，故不符合题意； D、定理的逆命题不一定是真命题，因此每个定理不一定都有逆定理，故符合题意； 故选：D． 11．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 12．（23-24八年级上·河南安阳·阶段练习）如图，已知，求证：．（过点作，请按照此思路继续完成证明过程） 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，作出平行线，根据平行线的性质进行证明是解题关键． 【详解】证明：如图，过点作． ． ， ． 题型五、三角形的外角的定义及性质 13．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，平分，，，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义，根据角三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， 故选． 14．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在中，已知是角平分线，，，则 ， ． 【答案】 /83度 /97度 【分析】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义、邻补角的概念，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：；． 15．（23-24八年级上·全国·单元测试）的三条角平分线相交于点，延长交于点．作，交延长线于点．    (1)若，则 ； (2)判断与的数量关系，并说明理由； (3)求证． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义得出，，再由三角形内角和定理得出，最后再结合三角形内角和定理计算即可得出答案； （2）由角平分线的性质结合三角形内角和定理得出，由三角形外角的定义及性质得出，计算即可得出答案； （3）由三角形内角和定理结合（2）得出，由，推出，结合，得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，   ， ∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分，平分， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）证明：∵的三条角平分线相交于点， ∴平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 分层练习 一、单选题 1．（22-23八年级上·陕西渭南·期中）在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余．根据直角三角形的两锐角互余，即可求解． 【详解】解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于， ∴另一个锐角的度数是． 故选：C 2．（22-23八年级上·四川泸州·期中）如图，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，掌握三角形外角等于不相邻的两个内角和是解题关键． 根据三角形外角等于不相邻的两个内角和列式计算即可． 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 故选：C． 3．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）如图，在中，，，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，利用三角形内角和定理，找出是解题的关键． 在中，利用三角形内角和定理，可得出，结合，可得出，再利用三角形内角和定理，可得出，进而可得出是直角三角形． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵， ， ∴， 是直角三角形． 故选：C． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴； 故选B． 5．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）如图，，，则、的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 延长交于点G，延长交于点H，求出，，再根据平行线的性质得出，进而可得答案． 【详解】解：延长交于点G，延长交于点H，如图， ， ， 在中，， ， ， ，即， ， ，即． 故选：D． 6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，使A点落在边上的E点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角问题，先求出的度数，根据折叠的性质，结合三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴； 故选B． 7．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形的外部点的位置，如果，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质可求出，结合折叠的性质可得出，即可求解． 【详解】解∶如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8．（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，铅笔放置在的边上，笔尖方向为点A到点B，把铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后，笔尖的方向变为点B到点A，这种变化说明（    ）    A．三角形两边的和大于第三边 B．三角形两边的差小于第三边的 C．三角形三个内角的和等于 D．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，利用旋转角度之和及铅笔的朝向证明三角形内角和为． 【详解】解：∵铅笔依次绕点A，点C，点B按逆时针方向旋转，，的度数后， ∴三次旋转的角度为， ∵笔尖方向由点A到点B变为点B到点A， ∴旋转角度之和为， 即． 故选：C． 9．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别进行变形结合，进行逐一求解，即可判断． 【详解】解：A.，，，，解得：，，，不是直角三角形，故符合题意； B. ，，，，解得：，是直角三角形，故不符合题意； C.，设，，，，，解得：，，是直角三角形，故不符合题意； D.，，，， ，解得：，，， 是直角三角形，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理，掌握定理是解题的关键． 10．（22-23八年级上·甘肃平凉·期中）如图，在中，，和的平分线交于一点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识．根据，可求得的值，再根据角平分线定义，可求得，最后根据三角形内角和即可求得的度数． 【详解】解：， ， 和的平分线交于一点O， ， ， 故选：C． 二、填空题 11．（20-21八年级上·浙江台州·期中）有两个角 的三角形是直角三角形． 【答案】互余 【分析】由三角形中有两个角互余，结合三角形的内角和定理可得第三个角为，从而可得答案． 【详解】解：有两个角互余的三角形是直角三角形， 故答案：互余． 【点睛】本题考查的是两个角互余的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键． 12．（22-23八年级上·贵州贵阳·期末）如图，在中，，，，则的度数为 ．    【答案】83 【分析】根据三角形的内角和及平行线的性质即可求解． 【详解】解：，， ， 又， ， 故答案为：83． 【点睛】本题考查了三角形的内角和及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 13．（22-23八年级上·湖北十堰·期中）如图，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据三角形的内角和等于，得出的度数，再根据两直线平行，内错角相等，即可得出的度数． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 解得：， ∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 14．（22-23八年级上·山东临沂·阶段练习）如图，，分别是的角平分线和高线，且，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：，， ， 是的角平分线， ， 是的高线， ， ． 故答案为：． 15．（22-23八年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，，分别是的边，上的两点，，把沿折叠，当点落在四边形内部时，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，平角的定义、折叠的性质．根据平角定义和折叠的性质，得，再利用三角形的内角和定理进行转换，得． 【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得 ， 又， ． 故答案为：． 16．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，的外角平分线，相交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，根据直角三角形的性质得到，进而得到，再根据角平分线的定义，三角形内角和定理计算即可，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵，分别为，的平分线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17．（22-23八年级上·河南安阳·期中）如图，中，，，分别平分，，则 ． 【答案】35 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，利用角平分线的定义得出，，利用三角形外角的性质得出，，进而得出，即可求解． 【详解】解∶∵，分别平分，， ∴，， ∴， 又， ∴， 又， ∴， 故答案为∶35． 18．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，且平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/112度 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线是解答本题的关键，属于中考常考题型．连接，根据折叠的性质及三角形外角的性质求出，再由角平分线及三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 沿折叠， ，， ，， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 故答案为：． 三、解答题 19．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知：如图所示， ， 交于点C， 垂足为E，   求 的大小． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角、垂直定义、三角形内角和定理等知识点，根据平行线的性质得出，求出，即可求出，根据垂直求出，即可求出答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（22-23八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，点C为的边延长线上的一点，点D为边上一点，交于点F，已知，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】此题考查的是三角形的内角和定理的应用．根据三角形的内角和定理可求出，然后再根据三角形的内角和定理即可求出结论． 【详解】解：在中，，， ∴， 在中，，， ∴， 答：的度数为． 21．（23-24八年级上·山西运城·期末）如图，在中，平分，P为线段上的一点，过点P作交的延长线于点E．若，，求的度数． 【答案】94° 【分析】由得，从而求得，根据三角形外角的性质可求得，再根据角平分线的定义可求得，从而根据三角形的内角和定理求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】本题考查垂直的定义，角平分线，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质． 22．（22-23八年级·全国·课堂例题）如图，在中，是边上的高，E是边上一点，交于点M，且．求证：是直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质与判定；由是边上的高，得；再由，即可得结论成立． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 23．（23-24八年级上·河北唐山·期中）夕夕同学要证明“任意一个三角形的内角和一定等于”是正确的，她的想法是利用平行线的性质与平角的定义来证明．下面夕夕已经写出了已知和求证，请你按夕夕的想法完成证明． 如图，已知：． 求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及平角的定义：先由平行线的性质得到内错角相等，再结合平角是，即可作答，作出的辅助线是解题的关键 【详解】证明：如图1，过点作． ∵， ∴，， ∵， ∴ 24．（22-23八年级上·广西桂林·期中）如图，中，，，平分，于D，，交于F，求： (1)的度数； (2)当平分时，，若，，，请用含m，n，a的代数式表示的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了三角形的内角和以及角平分线的定义，一元一次方程的应用． （1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，根据角平分线的定义求得的度数，则可以求解，然后在中，利用内角和定理即可求得的度数； （2）设，则，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ∵，且，，， ∴， ∴， ∴，即． 25．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）由折叠，得，． ． ． ． ． 26．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，点为上一点，过点作于点． (1)当平分，且时，求的度数； (2)当点是中点，，且的面积为，求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可； （）由点是中点得，又，从而求解； 此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形的性质，等面积法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵点是中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$