专题2.11 数轴中的动态问题【九大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学上册举一反三系列（苏科版2024）

专题2.11 数轴中的动态问题【九大题型】 【苏科版2024】 【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】 1 【题型2 数轴动点中的相遇问题】 7 【题型3 数轴动点中的中点问题】 12 【题型4 数轴动点中的相距问题】 19 【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】 24 【题型6 数轴动点中的定值问题】 32 【题型7 数轴动点中的折返问题】 37 【题型8 数轴动点中的规律问题】 42 【题型9 数轴动点中的新定义问题】 46 知识点：数轴中的动态问题主要解题步骤 1)画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2)写点——写出所有点表示的数: 一般用含有t的代数式表示, 向右运动用“+”表示, 向左运动用“-”表示； 3)表示距离——右-左,若无法判定两点的左右需加绝对值； 4)列式求解——根据条件列方程或代数式,求值。 注意: 要注意动点是否会来回往返运动。 【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】 【例1】（23-24七年级·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1)① ②或 (2)①，② (3)当时，，当时，，当时，，当时， 【分析】此题主要考查有理数与数轴的应用， （）①根据、两点之间的距离公式即可求解； ②根据及、两点之间的距离公式分情况讨论即可求解； （）①根据绝对值的非负性即可求解； ②根据代数式的含义为点到和的距离之和，故可得到取最小值时，相应的整数的值，即可求解； （）根据点位置分情况讨论，用含的式子表示的长，即可求解． 解题的关键是根据题意分类讨论求解． 【详解】（1）①∵点表示数，点表示数， ∴、两点之间的距离表示为； ②点表示数，点表示数， ∵， ∴ ∴或 ∴或 故答案为：①；②或； （2）①∵， ∴，， ∴，， ②代数式的含义为点到和的距离之和， ∴当整数的值为这个值时，的最小值为， 即相应的整数的个数为个； 故答案为：①；；②； （3）在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是， ∴点表示的数是，点表示的数是，、之间的距离， ∵点的运动速度始终保持每秒个单位长度，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，，当时，，当时， 【变式1-1】（23-24七年级·湖南长沙·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． (1)a=______；c=______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 【答案】(1)，9 (2) (3)1，12 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）先求出AB的中点表示的数，由此即可得到答案； （3）分图3-1，图3-2，图3-3，图3-4四种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：-3；9； （2）解：∵点A表示的数为-3，点B表示的数为1， ∴AB中点表示的数为-1， ∴点C到AB中点的距离为10， ∴点C与数-1-10=-11表示的点重合， 故答案为：-11； （3）解：由题意得 ， ∴代数式的值即为点P到A、B、C三点的距离和， 如图3-1所示，当点P在A点左侧时 如图3-2所示，当点P在线段AB上时， 如图3-3所示，当点P在线段BC上时， 如图3-4所示，当点P在C点右侧时， ∴综上所述，当P与B点重合时，． 【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键． 【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，， （1）_____________，_________________; （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合. （3）在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时____________，最小值为__________________. （4）在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示） 【答案】（1），；（2）；（3）；；（4）. 【分析】（1）根据两个非负数的和为零则这两个数均为零即可得出答案； （2）先求出AB=3，则折点为AB的中点，故折点表示的数为B点表示的数减去AB，即折点表示的数为：1-×3=-0.5，再求出C点与折点的距离为：8-(-0.5)=8.5，所以C点对应的数为-0.5-8.5=-9； （3）当P与点B重合时，即当x=b时，|x-a|+|x-b|+|x-c|取得最小值； （4）分小球乙碰到挡板之前和之后，即当0≤t≤3.5，t＞3.5时，表示出甲、乙两小球之间的距离d即可. 【详解】解：（1），， ， ，； 故答案为：，； （2）因为，， 所以AB=1-(-2)=3， 将数轴折叠，使得点与点重合， 所以对折点为AB的中点， 所以对折点表示的数为：1-×3=-0.5， C点与对折点的距离为：8-(-0.5)=8.5，所以C点对应的数为-0.5-8.5=-9， 即点C与数-9表示的点重合， 故答案为：-9； （3）当x=b=1时， |x-a|+|x-b|+|x-c|=|x-(-2)|+|x-1|+|x-8|=10为最小值； 故答案为：1；10； （4）秒后，甲的位置是，乙的位置是， . 【点睛】此题考查是列代数式，数轴上两点之间的距离，掌握数轴上两点之间的距离求法是解决问题的关键． 【变式1-3】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题 (1)请直接写出a，b，c的值：________；________；________； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）    (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)，1，5 (2)当时，原式；②当时，原式 (3)不变， 【分析】（1）根据最小的正整数时1，即可得出b的值，根据绝对值和平方的非负性，即可得出a和c是值； （2）根据题意进行分类讨论，①当时，②当时即可求解； （3）先得出t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为，再得出和的表达式，计算即可． 【详解】（1）解：∵最小的正整数是1， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：，1，5； （2）解：①当时，， ∴ ， ②当时，， ∴ ； （3）解：∵，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动， ∴t秒后，点A表示的数为；点B表示的数为；点C表示的数为， ∴，， ∴， ∴的值不变，恒为2． 【点睛】本题主要考查了绝对值的非负性，绝对值的计算，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握几个非负数相加和为0，则这几个非负数分别为0；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0；以及数轴上两点之间距离的计算方法． 【题型2 数轴动点中的相遇问题】 【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．    (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是　　（用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)；； (2)①6秒；②3秒或9秒． 【分析】（1）由已知得，则，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是； （2）由题意可得点Q表示的数为．①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即，解得．②点P与点Q间的距离为6个单位长度，则，根据绝对值的几何意义有，解得或． 【详解】（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴， ∵A，B两点间的距离为12， ∴， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P运动t秒的长度为， 所以点P所表示的数为：； 故答案为：；． （2）∵动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴运动t秒时，点Q表示的数为：． ①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即 ， 解得：， ∴当点P运动6秒时，点P与点Q相遇； ②点P与点Q间的距离为6个单位长度，则， 即， 解得：或， ∴当点P运动3秒或9秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 【点睛】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键． 【变式2-1】（23-24七年级·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【答案】(1)；． (2)当点运动秒时，点与点相遇． 【分析】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据题意得出各线段之间的等量关系是解题关键． （1）由题意知，，因为点在原点左边，从而得出数轴上点表示的数；动点从点出发沿数轴向左匀速运动，根据题意则得出点表示的数； （2）设点运动秒时追上点，根据题意列方程，解得值． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， 又∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； 点P运动t秒的长度为， ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：． （2）设点运动秒时追上点， 根据题意，得，         解得：，                        答：当点运动秒时，点与点相遇． 【变式2-2】（23-24七年级·福建三明·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，是数轴上一点，且.    （1）直接写出数轴上点表示的数； （2）动点从出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点从点 出发，以每秒个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． （3）动点从出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点从点 出发，以每秒个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若 三点同时出发，当点遇上点后立即返回向点运动，遇到点后则停止运动．求点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【答案】（1）-4；（2）当t=5时，P，R两点会相遇；（3）行驶的路程是个单位长度． 【分析】（1）根据AC的距离和点A表示的数即可求出结论； （2）先求出BC的长度，然后根据题意列出方程即可求出结论； （3）先求出AB的长，然后求出点P遇上点的时间，并求出此时点P与点Q的距离，从而求出P、Q的相遇时间，然后即可求出结论． 【详解】解：（1）∵数轴上点表示的数为，，点C在点A左侧 ∴点C表示的数为4－8=-4； （2）∵点表示的数为，点C表示的数为-4 ∴BC=1－（-4）=5 由题意可得3t-2t=5 解得：t=5 答：当t=1时，P，R两点会相遇； （3）由题意可得：AB=4－1=3 点P遇上点的时间为：5÷（3－2）=5（秒） 此时点P与点Q的距离为3＋（3－1）×5=13 ∴P、Q的相遇时间为13÷（3+1）=（秒） ∴点从开始运动到停止运动，行驶的路程是3×（5＋）=个单位长度 答：点从开始运动到停止运动，行驶的路程是个单位长度． 【点睛】此题考查的是数轴与动点问题，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键． 【变式2-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）如图，已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数． (1)的值为______，的值为______； (2)动点，分别同时从点，出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为． ①若点，在点处相遇，求的值； ②若点的运动速度是点的2倍，当点，之间的距离为2时，求此时的值． 【答案】(1)；； (2)①；②或0； 【分析】（1）由绝对值的意义，数轴的定义，相反数的定义进行计算，即可求出答案； （2）①利用行程问题，即可求出答案； ②根据题意，进行分类讨论：当P、Q在相遇之前距离为2时；当P、Q在相遇之后距离为2时；分别求出答案即可． 【详解】（1）解：根据题意，则 ∵， ∴， ∵点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数， ∴，解得：， ∴； 故答案为：，； （2）解：①根据题意，则 ，，， ∵点，在点处相遇， ∴运动的时间为：（秒）， ∴， ∴； ②∵点的运动速度是点的2倍， ∴点Q的速度是每秒2个单位； 当P、Q在相遇之前距离为2时； ∴运动的时间为：（秒）， ∴； 当P、Q在相遇之后距离为2时； ∴运动的时间为：（秒）， ∴； 综合上述，的值为或0； 【点睛】本题考查了数轴上表示的数，数轴上的动点问题，绝对值的意义，相反数的定义等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题． 【题型3 数轴动点中的中点问题】 【例3】（23-24七年级·全国·假期作业）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 【答案】(1)；1；7 (2)点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度 【分析】（1）本题主要考查了非负数的性质，根据有理数的特征、非负数的性质即可解答；掌握几个非负数的和为0，则每个非负数都为0成为解题的关键； （2）本题主要考查了数轴上的动点问题，先求出点Q表示的数是，进而得到，然后分当点P在和上两种情况解答即可；掌握数轴上的动点问题成为解题的关键． 【详解】（1）解：因为b是最小的正整数，所以． 因为，所以，． 故答案为；1；7． （2）解：因为点Q运动到的位置恰好是线段的中点， 所以点Q表示的数是，此时， 由，可分两种情况： ①当点P在上时，得， 此时； 所以点P运动的时间为， 所以点Q的运动速度； ②当点P在上时，得， 此时， 所以点P的运动时间是， 所以点Q的运动速度， 综上，点Q的运动速度是每秒个单位长度或者每秒个单位长度． 【变式3-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图，在数轴上有三点，分别表示有理数，，，且，，满足式子；如图：动点从点出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点运动5秒后，长度为6个单位的线段（为线段左端点且与点重合，为线段右端点）从点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点到达点后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点运动时间为秒． (1)求，，的值； (2)当______秒时，点与点重合，并求出此时线段上点所表示的数； (3)记线段的中点为，在运动过程中，当点与点的距离为1个单位时，求的值． 【答案】(1)，， (2)22秒，11 (3)或15 【分析】（1）根据绝对值的非负的性质求解即可； （2）结合（1）确定之间的距离，然后根据点运动的速度可计算当秒时，点与点重合；当秒时，线段的运动时间为秒，即可确定线段从运动到所用时间为秒，结合数轴上点起始位置所表示数为，即可确定线段运动17秒后，点所表示数为； （3）由点为线段的中点，首先确定点的起始位置所表示数为，然后结合在运动过程中点所表示数为，分，，三个阶段逐一分析计算即可获得答案． 【详解】（1）解：， ，，， ，，， ，，； （2）所表示数为，所表示数为14， ， 点从运动到所用时间为秒， 即当秒时，点与点重合； 线段的运动时间为秒， 线段从运动到所用时间为秒， 数轴上点起始位置所表示数为， 线段运动17秒后，点所表示数为； （3）点的起始位置所表示数为：； 在运动过程中，点所表示数为：， ①当时，点所表示数为：， ，（舍），（舍）； ②当时，点所表示数为：， ，，； ③当时，点所表示数为：， ，，． 综上所述，或15． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质、数轴与有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上动点问题等知识，理解题意，运用数形结合和分类讨论的思想分析问题是解题关键． 【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据绝对值的非负性，数轴上两点间的距离公式计算即可． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m，则点M用时为，，点N用时为，根据题意，得，计算即可． （3）根据线段中点的性质求出点D的坐标，设时间为t，分五种情况进行讨论，分别求出每种情况下点M和点N的坐标，再根据两点间的距离公式求出和，令，解方程即可得出答案． 【详解】（1）∵A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足， ∴， 故A表示的数是，C表示的数是， ∴， 故答案为：． （2）设M，N相遇于点P，且点P表示的数为m， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时无法相遇； ②当点M在上，点N在上时，无法相遇； ③当点M在上，点N在上时， 则，， ∴点M用时为，点N用时为， 根据题意，得， 解得， 故相遇点在数轴上所对应的数． （3）∵A表示的数是，点B表示的数是10，C表示的数是，点D为线段中点， ∴点D表示的数是5； 设运动t秒时， ， ①当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ②当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 无解； ③当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ④当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； ⑤当点M在上，点N在上时，点M表示的数为，点N表示的数为， 此时，， ∵， ∴， 解得； 综上所述，当或或或时，． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，点表示的有理数，分类思想，熟练掌握两点间距离公式的计算是解决本题的关键. 【变式3-3】（23-24七年级·广东广州·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) 或或；存在，． 【分析】（）求出的长度和中点，然后求出中点到点的距离即中点到点的重合点的距离，即可求得点的重合点； （）分别以为中点，列出方程求解即可；使的值为定值，列出等式中的含项合并为，从而求出的值． 【详解】（1）， ， ∴的中点表示的数为：， ∵， 点B的重合点为， 故答案为：； （2）解：由题意可知，秒时，点所在的数为：，点所在的数为：，点所在的数为：， （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则 ， 解得； （）若为中点， 则， 解得； 综上，当或或时，三点中恰有一点为另外两点的中点； 假设存在． ∵在右侧，在右侧， ∴，， ∴， 当即时， ，为定值， 故存在常数使的值为定值． 【点睛】此题考查了数轴上两点间距离，数轴上动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是能用两点间的距离公式列出方程． 【题型4 数轴动点中的相距问题】 【例4】（2024七年级·全国·专题练习）如图1，已知线段，点C为线段上的一点，点D、E分别是和的中点．    (1)若，则的长为______； (2)若，求的长； (3)动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？ 【答案】(1)的长为12； (2)的长为12； (3)当或时，之间的距离为6； 【分析】（1）由，，则，由点D、E分别是和的中点，则，即可得到答案； （2）由，，则，由点D、E分别是和的中点，则，即可得到答案； （3）由，则或，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵点D、E分别是和的中点， ， ，即的长为12； （2）解：∵，， ， ∵点D、E分别是和的中点， ， ，即的长为12； （3）解：， 如图，   ， 如图，    ∴， 或， 解得：或， ∴当或时，之间的距离为6； 【点睛】本题考查了线段的中点，线段的和差倍分，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式． 【变式4-1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足． (1)求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离． (2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？ (3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？ 【答案】(1)，，A与B之间的距离为12个单位长度 (2)6秒 (3)2秒或4秒 【分析】（1）根据绝对值的非负性求出a、b，再利用AB=求解即可； （2）根据运动距离÷速度=时间求解即可； （3）分点P、Q相遇前和相遇后两种情况求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以点A与点B之间的距离为． （2）解：因为A、B两点之间的距离为12个单位长度， 所以秒， 答：点P运动6秒后到达B点． （3）解：由题意，有两种情况： P、Q相遇前：（秒）， P、Q相遇后：（秒）， 所以运动2秒或4秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度． 【点睛】本题考查绝对值、数轴，理解绝对值的非负性，会利用数形结合思想和分类讨论思想解决数轴上的动点问题是解答的关键． 【变式4-2】（23-24七年级·吉林长春·期中）在数轴上，O表示原点，A、B两点分别表示﹣8和2． (1)求出线段AB的长度； (2)动点P从A出发沿数轴向右运动，速度为每秒5个单位长度；同时点Q从B出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，当P、Q重合时，两点同时停止运动．设两点运动时间为t秒，用含有t的式子表示线段PQ的长； (3)在(2)的条件下，t为何值时，点P、点Q到原点O的距离相等． 【答案】(1)AB＝10；(2) PQ＝10﹣2t且0≤t≤5；(3)为0.75、5时，点P、点Q到原点O的距离相等． 【分析】（1）用点A到原点O的距离加上点B到原点O的距离，即可求出线段AB的长度． （2）用线段AB的长度减去动点P向右运动的长度，再加上动点Q向右运动的长度，用含有t的代数式表示线段PQ的长即可． （3）根据题意，分两种情况：①点P、点Q重合时；②点P、点Q在原点O的两侧时；求出t为何值时，点P、点Q到原点O的距离相等即可． 【详解】(1)AB＝OA+OB＝8+2＝10, (2)PQ＝10﹣5t+3t＝10﹣2t, 由10﹣2t≥0， 解得0≤t≤5． (3)①点P、点Q重合时， 由10﹣2t＝0， 解得t＝5． ②点P、点Q在原点O的两侧时， OP＝8﹣5t, OQ＝2+3t, 由8﹣5t＝2+3t, 解得t＝0.75, 所以t为0.75、5时，点P、点Q到原点O的距离相等． 【点睛】本题考查负数的意义和应用，两点间的距离的求法，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握． 【变式4-3】（23-24七年级·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)，，，． 【分析】（）根据题意求得时，点的位置，进而求得两点距离； （）先表示出点的位置表示的数，进而求得两点距离； （）根据题意，列一元一次方程，解方程求解即可； （）分点到达点之前，和点到达点之后，两种情形，根据两点距离为，建立一元一次方程解方程求解即可； 此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点距离问题，一元一次方程的应用，数形结合是解题的关键． 【详解】（1）∵、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒， ∴时，点表示的数为， ∴当点运动秒时，，，， 故答案为：，，； （2）依题意，当点运动了秒时， 则，点表示的数为， ∴，， 故答案为：，，； （3）∵， ∴， 即或， 解得：， ∴点表示的数为； （4）根据题意，设经过秒后、两点之间的距离为个单位长度，点运动到点需要的时间为：（秒） 当点未到达点，    此时，，则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得：或， ∴点表示的数为或； 当点从点返回后，    此时，， 则点表示的数为，点表示的数为， 则， 即或， 解得或， ∴点表示的数为或， 综上所述，点表示的数为，，，． 【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】 【例5】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；22 (2)经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点 (3)存在，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或 【分析】（1）根据非负数的性质，求出结果即可； （2）根据题意画出图形，分两种情况求出运动时间即可； （3）设运动的时间为秒，先求出点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为，根据得出；分三种情况进行讨论，求出x的值，然后求出点P表示的数即可． 【详解】（1）解：， ，， ，． 故答案是：；22． （2）解：如图1所示：    图1， 的三等分点为，，所以点到达的三等分点是或， 情形①：， 则运动的时间； 情形②：， 则运动的时间． 因此经过2秒或4秒，点恰巧到达线段的三等分点． （3）解：存在；    图2 理由：设运动的时间为秒， 点对应的数为， 点对应的数为，点对应的数为，点对应的数为， 则， ， 由得； ①当时，， 解得：， 此时点对应的数为； ②当时，， 解得且， 此时点对应的数为； ③当时，， 解得且，舍去； 综上可知，当运动的时间为3秒或秒时，会使得，此时点对应的数为7或． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，数轴上两点间的距离，用数轴上点表示有理数，绝对值方程，数轴上的动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离，列出相应的算式或方程． 【变式5-1】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足．    (1)则___________，___________，点A和点B之间的距离是___________； (2)动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后，以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；在上述过程中，点P从点C到点B，停留片刻后，再从点B到点C，共用了2秒． ①求C点表示的数c； ②设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？ 【答案】(1)，12，20 (2)①7；②、、3、4 【分析】（1）根据，可得：，，据此分别求出、的值，再根据两点之间的距离计算即可． （2）①设，根据题意，可得：，据此求出点表示的数即可．②利用分类讨论的数学思想，分点在点左边，点在点的右边分别求解即可解答本题． 【详解】（1）解：， ，， 解得，，， 则点A和点B之间的距离是， 故答案为：，12，20； （2）①设， 则， 解得，， ， 即点表示的数是7； ②， 到、、三点的距离之和为23个单位，只要即可， 当点在点左边时， 由到时，， 由到时，， 当点在点的右侧时， 由到时，， 由到时，， 答：为、、3、4时，点到、、三点的距离之和为23个单位． 【点睛】本题考查数轴、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答． 【变式5-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出、两点之间的距离___； (2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数； (3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值． 【答案】(1)22 (2)或 (3)当时的运动时间的值为2或秒 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求出、两点之间的距离； （2）设点表示的数为．分两种情况：①点在线段上；②点在线段的延长线上．根据列出关于的方程，求解即可； （3）根据点的运动方向分两种情况：①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动；②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，根据列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：、两点之间的距离是：； （2）解：设点表示的数为．分两种情况： ①当点在线段上时， ， ， 解得； ②当点在线段的延长线上时， ， ， 解得． 综上所述，点表示的数为或； （3）解：分两种情况： ①当时，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ， ， 解得，符合题意； ②当时，点从原点开始以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动， 此时点表示的数为，点表示的数为， ， ， 当时，， 解得； 当时，， 解得，不符合题意，舍去； 综上所述，当时的运动时间的值为2或秒． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，结合动点考查了两点间的距离，以及路程、速度与时间关系的应用，理解题意，找到相等关系进行正确分类是解题的关键． 【变式5-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，数轴上点、对应的数分别是、，并且．    (1)求、两点之间距离． (2)若两动点、同时从原点出发，点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点到点的距离是点到点距离的倍？ (3)点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点从点出发沿数轴向右运动，当点运动秒时，点与点在点相遇，此时点和点的距离为个单位长度，点和点的距离为个单位长度，求点的速度． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)点的速度为或 【分析】（1）根据平方数，绝对值的非负性可求出的值，再根据两点之间的距离的计算方法即可求解； （2）根据点，点的运动，设运动时间为秒，用含的式子表示点到点的距离，点到点距离，根据题意列式求解即可； （3）根据点的运动关系可以求出点对应的数字，及的值，根据动点运动的规律分别求出点所对应的数字，并表示它们的距离，根据行程问题的数量关系的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：中，，， ∴，解得，；，解得，， ∴、两点之间距离为． （2）解：点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，设运动时间为秒，点对应的数是，点对应的数是， ∴点到点的距离为，点到点距离为， ∴①时，则， ∴，解得，； ②，且，即时， ∴，解得， ③，时， ∴，解得，； 综上所述，点到点的距离是点到点距离的倍时，运动时间为秒或秒． （3）解：点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，设点对应的数是， ∴①点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动， ∴，解得，， ∴点到点的距离为，点到点的距离为， ∵点从点到点的速度为个单位长度/秒， ∴， ∵、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、， ∴点对应的数字是，点对应的数字是， 此时，点从点向右运动，点从点向左运动，且点从点向右运动， ∴①当点运动秒时，点运动的路程为，则此时点对应的数字为， ∵此时点和点的距离为个单位长度， ∴，则或（不符合题意，舍去）， ∴点与点的距离为， ∴点的速度为； ②当点运动秒时，点运动的路程为，则点对应的点的数字是， ∴点从点运动到的路程为， ∴点的速度为； 综上所述，点的速度为或． 【点睛】本题主要考查数轴上动点与距离的综合，掌握数轴上两点之间的距离的表示，动点的运动与数字的对应关系，行程问题的数量关系是解题的关键． 【题型6 数轴动点中的定值问题】 【例6】（23-24七年级·广东汕头·期中）如图，在数轴上A点表示数－3，B点表示数b，C点表示数c，且b.c满足 （1）b= ，c= ． （2）若使C．B两点的距离是A．B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度． （3）点A．B．C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒； ①点A．B．C表示的数分别是 . . （用含m.t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当m为何值时，2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求出此时2d1－d2的值． 【答案】（1）b=-1，c=4； (2) 1或9； （3）①-3-mt；-1+2t；4+5t；②m=4；2d1－d2的值为12． 【分析】（1）由，根据平方及绝对值的非负性可得b+1=0，c-4=0，据此可求得b、c的值； ； （2）先求出AB和BC的长度，结合数轴即可得出点C向左移动的距离，有两解； （3）①结合路程=时间×速度写出答案； ②根据①先表示出d1、d2，从而表示出2d1-d2，然后根据2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变得出t的系数为0，即可求出m的值，继而求出2d1－d2的值. 【详解】解：（1）∵ ∴b+1=0，c-4=0 ∴b=-1，c=4 (2)由数轴可知：AB= 2， ∴B C=4， ∴点C向左移动后的数是3或-5 ∴需将点C向左移动1或9个单位； 故答案是：1或9； （3）①点A表示的数是-3-mt；点B表示的数是-1+2t；点C所表示的数是4+5t． 故答案是：-3-mt；-1+2t；4+5t； ②∵点A表示的数是-3-mt；点B表示的数是-1+2t；点C所表示的数是4+5， ∴d1=4+5t-(-1+2t)=3t+5，d2=-1+2t-(-3-mt)=（m+2）t+2， ∴2d1-d2=2（3t+5）-[（m+2）t+2]=（4-m）t+12， ∵2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变 ∴4-m=0， ∴m=4， 故当m=4时，2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变，此时2d1－d2的值为12． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离及动点问题，掌握距离公式及平移规律是解决问题的关键.本题体现了数形结合的数学思想． 【变式6-1】（23-24七年级·安徽芜湖·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查有关数轴的问题，关键是掌握在数轴上两点距离的表示方法． （1）由非负数的概念即可求解； （2）在数轴上应用两点间距离公式，即可求解； （3）表示出的长度，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴或； （3）解：假设存在符合条件的k值， ∵经过t秒点A表示的数是，点B表示的数是， ∴，， ∴， 由题意，， ∴， 即存在符合条件的k值． 【变式6-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 【答案】(1) (2)2或4 (3)，6 【分析】（1）根据非负数的性质求出，，再根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客P与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解； 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得，， ∴此时刻快车头A与慢车头C之间相距单位长度， 故答案为：； （2）解：①当相遇前相距8个单位长度， （秒）， ②当相遇后相距8个单位长度， （秒） 答：再行驶秒或秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； 故答案为：4或8； （3）解：∵， 当P在之间时，是定值4， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是秒，定值是单位长度． 故答案为：，6． 【变式6-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．    (1) ， ． (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由． 【答案】(1)， (2)再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度 (3)正确，这个时间是0.625秒，定值是8单位长度 【分析】（1）根据非负数的性质求出，即可得到答案； （2）根据时间路程和速度和，列式计算即可求解； （3）由于，只需要是定值，从快车上乘客与慢车相遇到完全离开之间都满足是定值，依此分析即可求解． 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 故答案为：，16； （2）解：此时刻快车头与慢车头之间相距（单位长度）； （秒）或（秒）， 答：再行驶2秒或4秒两列火车行驶到车头相距8个单位长度； （3）解：正确， ， 当在之间时，是定值5， （秒）， 此时（单位长度）， 故这个时间是0.625秒，定值是8单位长度． 【点睛】本题考查了两点的距离、数轴、绝对值和偶次方的非负性，知道数轴上任意两点的距离等于右边的数减去左边的数的差，熟练掌握行程问题的等量关系：时间路程速度，根据数形结合的思想理解和解决问题． 【题型7 数轴动点中的折返问题】 【例7】（23-24七年级·湖北荆州·期末）如图，A、B、P是数轴上的三个点，P是AB的中点，A、B所对应的数值分别为-20和40． （1）试求P点对应的数值；若点A、B对应的数值分别是a和b，试用a、b的代数式表示P点在数轴上所对应的数值； （2）若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s，3个单位长度/s，设运动时间为t． ①求整个运动过程中，P点所运动的路程． ②若P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，试写出该过程中，P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t的式子表示）； ③在②的条件下，是否存在时间t，使P点刚好在A、B两点间距离的中点上，如果存在，请求出t值，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析. 【分析】(1)根据数轴上两点间的距离公式结合A、B两点表示的数，即可得出结论； (2) ①点P运动的时间与A、B相遇所用时间相等，根据路程=速度×时间即可求得； ②由P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，可知开始时点P是和点A相向而行的； ③点P与点A的距离越来越小，而点P与点B的距离越来越大，不存在PA=PB的时候. 【详解】解：（1）∵A、B所对应的数值分别为-20和40， ∴AB=40-(-20)=60， ∵P是AB的中点， ∴AP=60=30， ∴点P表示的数是-20+30=10； ∵如图，点A、B对应的数值分别是a和b， ∴AB=b-a， ∵P是AB的中点， ∴AP=(b-a) ∴点P表示的数是a+(b-a) =(a+b). （2）①点A和点B相向而行，相遇的时间为=20（秒），此即整个过程中点P运动的时间． 所以，点P的运动路程为3×20=60（单位长度），故答案是60个单位长度． ②由P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，可知开始时点P是和点A相向而行的．所以这个过程中0≤t≤7.5．P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值为10-3t． 故答案是：10-3t，0≤t≤7.5． ③不存在． 由②可知，点P是和点A相向而行的，整个过程中，点P与点A的距离越来越小，而点P与点B的距离越来越大，所以不存在相等的时候． 故答案为（1）10，(a+b)；（2）①60个单位长度；②10-3t，0≤t≤7.5；③不存在，理由见解析. 【点睛】本题考查了数轴上点与点的距离和动点问题. 【变式7-1】（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且． （1）求，，，的值； （2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【答案】（1），，，；（2）点C的运动速度为每秒2个单位；（3）或20；（4），，． 【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可； （2）设点C运动速度为x，由题意得：，即可得解； （3）根据题意分别表示出AC，BD，在进行分类讨论计算即可； （4）根据点A，C相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可； 【详解】（1）∵， ∴， ∴，，，； （2）设点C运动速度为x，由题意得： ， 解得：， ∴点C的运动速度为每秒2个单位； （3）t秒时，点A数为，点B数为-12，点C数为，点D数为， ∴，， ∵， ∴①时，，解得：； ②20-2t＜0时，即t＞10，，解得：； ∴或20． （4）C点运动到A点所需时间为，所以A，C相遇时间，由（2）得时，A，C相遇点为，A到C再从C返回到A，用时； ①第一次从点C出发时，若与C相遇，根据题意得，＜10，此时相遇数为；②第二次与C点相遇，得，解得＜10，此时相遇点为； ∴A，C相遇时对应的数为：，，． 【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键． 【变式7-2】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期中）数轴上给定两点A、B，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，若数轴上有两点M、N，线段的中点在线段上（线段的中点可以与A或B点重合），则称M点与N点关于线段对称，请回答下列问题： (1)数轴上，点O为原点，点C、D、E表示的数分别为-3、6、7，则点_____与点O关于线段AB对称； (2)数轴上，点F表示的数为x，G为线段上一点，若点F与点G关于线段对称，则x的最小值为______，最大值为______； (3)动点P从-9开始以每秒4个单位长度，向数轴正方向移动时，同时，线段以每秒1个单位长度，向数轴正方向移动，动点Q从5开始以每秒1个单位长度，向数轴负方向移动；当P、Q相遇时，分别以原速立即返回起点，回到起点后运动结束，设移动的时间为t，则t满足______时，P与Q始终关于线段对称． 【答案】(1)D (2)-5；7 (3) 【分析】（1）根据题目关于对称定义的解析，找出点O关于对称解的可能情况，即可得到答案． （2）与（1）做法一样，找出点G关于对称解的情况，找出最小值与最大值即可． （3）把t的取值范围分3种情况去分析，找出它们中点的表示数，即可解出答案． 【详解】（1）点O关于点B对称时，， 另一点与B的距离也是3，B点表示数为3， 另一点表示数为6， 故为D． （2）分析题目得：当G位于点A，关于点B对称时有最大值， ， B点表示数为3， 另一点表示数为7． 当G位于点B，关于点A对称时有最大值， ， A点表示数为-1， 另一点表示数为-5． 故x的最小值为-5，最大值为7． （3）根据题意得：相遇时间为（s），相遇于表示数为2.2处，则回到原点的时间也是2.8s， 总共消耗时间为5.6s， 设消耗的时间为t，当，则的中点为 A点的表示数为，B点的表示数为， ，解得， ． 当时，则的中点为， A点的表示数为，B点的表示数为， ，解得， ． 当时，不是线段要去掉， 故答案为． 【点睛】主要考查了轴对称相关知识以及两点间的距离和数轴联系，做这类题目一定要把所有情况考虑完整． 【变式7-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且 (1)则______，______；若点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒______个单位长度； (2)，两点以（）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； (3)，两点以（）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动，当点停止运动时，点也停止运动，在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)，，． 【分析】（1）根据平方数和绝对值的非负性计算即可求得、的值，进而可求得点的运动速度； （2）根据题意分别表示出，，在进行分类讨论计算即可； （3）根据点，相遇的时间不同进行分类讨论并计算即可． 【详解】（1）∵， ∴，， ∴，； ， （个单位长度）， ∴的运动速度为（个单位长度）， 故答案为：，，； （2）解：秒时，点数为，点数为，点数为，点数为， ∴，， ∵， ∴①≥时，，解得：； ②时，即，，解得：； ∴或． （3）解：点运动到点所需时间为，所以，相遇时间，由（）得 时，，相遇点为，到再从返回到，用时； ①第一次从点出发时，若与相遇，根据题意得，此时相遇数为；②第二次与点相遇，得，解得，此时相遇点为； ∴，相遇时对应的数为：，，． 【点睛】本题主要考查了数轴的动点问题，准确分析计算是解题的关键． 【题型8 数轴动点中的规律问题】 【例8】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米） （1）求B地在数轴上表示的数； （2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由； （3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？ 【答案】（1）12或-28；（2）相等；（3）70米. 【分析】（1）到A地距离为20的点有两个，分别位于A点左侧、右侧.依据数轴两点距离即可求得点B坐标 （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算分别求出点P、Q相对A点移动的距离即可得到答案 （3）根据100为偶数可得在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】解：（1），． 答：地在数轴上表示的数是12或． （2）令小乌龟从A地出发，前进为“+”，后退为“-”，则： 第五次行进后相对A的位置为：， 第六次行进后相对A的位置为：， 因为点、与点的距离都是3米， 所以点、点到地的距离相等； （3）若地在原点的右侧，前进为“+”，后退为“-”， 则当为100时，它在数轴上表示的数为： ， ∵B点表示的为12. ∴AB的距离为（米． 答：小乌龟到达的点与点之间的距离是70米． 【点睛】本题考查了数轴和有理数加减法的实际应用，解题的关键是明确题意，发现题目中的规律，用正负数表示相反意义的量. 【变式8-1】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…按照这种移动规律进行下去，第51次移动到点，那么点A51所表示的数为（　　） A．﹣74 B．﹣77 C．﹣80 D．﹣83 【答案】B 【分析】序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少 ，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加，即可解答． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点,则表示的数，1−3=−2； 第2次从点A1向右移动6个单位长度至点,则表示的数为−2+6=4； 第3次从点A2向左移动9个单位长度至点 ,则表示的数为4−9=−5； 第4次从点A3向右移动12个单位长度至点 ,则表示的数为−5+12=7； 第5次从点A4向左移动15个单位长度至点,则表示的数为7−15=−8； …； 则点 表示： 故选B． 【变式8-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）一组数0，2，4，8，12，18，…中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…，则第8个数的值是 ，数轴上现有一点从原点出发，依次以此组数中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为-2；第3秒点向右跳4个单位，记为，点表示的数为2；…按此规律跳跃，点表示的数为 ． 【答案】 32 30 【分析】第8个数为偶数项，代入偶数项的公式即可得出答案；根据数的规律写出前11个数的值，再结合点的跳跃规律即可得出答案. 【详解】∵第8个数为偶数项 ∴第8个数为：； 由题可知，第4秒点向左跳8个单位，记为，点表示的数为-6； 第5秒点向右跳12个单位，记为，点表示的数为6； … 第11秒点向右跳60个单位，记为，点表示的数为30; 故答案为32，30. 【点睛】本题考查的是找规律，难度较高，找出两种规律并巧妙结合是解决本题的关键. 【变式8-3】（23-24七年级·北京·期中）如图，已知A地在数轴上表示的数为－16，AB两地相距50个单位长度．小明从A地出发去B地，以每分钟2个单位长度的速度行进，第一次他向左1单位长度，第二次向右2单位长度，第三次再向左3单位长度，第四次又向右4单位长度…，按此规律行进． （1）求出B地在数轴上表示的数； （2）若B地在原点的右侧，经过第8次行进后小明到达点P，此时点P与点B相距几个单位长度？8次运动完成后一共经过了几分钟？ （3）若经过n次（n为正整数）行进后，小明到达点Q，请你直接写出：点Q在数轴上表示的数应如何表示？ 【答案】（1）B地在数轴上表示的数为－66或34；（2）点P与点B相距46个单位长度，8次运动完成后一共经过了18分钟；（3）当n为奇数时，点Q表示的数为；当n为偶数时，点Q表示的数为． 【分析】（1）由题意可得B点位于A的左侧或右侧，AB两地相距50单位长度，A在数轴上表示的数为-16，据此可得B在数轴上表示的数； （2）根据题意可以发现奇数次运动和偶数次运动是有规律的，从而得出第八次行进后到达点P，此时点P与B相距几个单位长度和八次运动完成后一共经过了几分； （3）根据题意可以发现奇数次运动和偶数次运动是有规律的，从而可以写出n为偶数和奇数时，在数轴上Q表示的数是什么. 【详解】（1）－16－50＝－66或－16＋50＝34 答：B地在数轴上表示的数为－66或34； （2）∵B地在原点的右侧，∴B地在数轴上表示的数为34， 第8次运动到点P为 ＝－16＋4＝－12， ∴点P与点B相距的单位长度为34－(－12)＝46， 8次运动完成后经过的时间为：(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)÷2＝36÷2＝18（分钟）， 答：点P与点B相距46个单位长度，8次运动完成后一共经过了18分钟； （3）第1次运动到点：－16－1，第2次为：－16＋1，第3次为：－16＋1－3＝－16－2， 第4次为：－16＋2，……照此规律： 当n为奇数时，点Q表示的数为 ＝ ＝； 当n为偶数时，点Q表示的数为 【点睛】本题 主要考查了数轴上的动点问题，熟练掌握相关概念及规律是解题关键. 【题型9 数轴动点中的新定义问题】 【例9】（23-24七年级·浙江台州·期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ； ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ． 【答案】(1) (2)， (3)①，②，， 【分析】（1）根据新定义求解； （2）根据新定义设未知数列方程求解； （3）①依题意，设B表示的数为，根据新定义得，再结合m为整数，即可作答； ②依题意，得点C和点D分别表示的数为，，根据新定义列不等式组求解，结合n为整数，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， 所以则点M表示的数为； 故答案为：； （2）解：设点A表示的数为， 因为A、B两点的距离为9（A在B的左侧）， 所以点B表示的数为， 因为A、B两点的“雅中点M”表示的数为2， 故， 解得，那么， 所以点A表示的数为，点B表示的数为， 故答案为：； （3）解：①依题意，设B表示的数为， 因为设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”， 所以， 因为m为整数， 所以为整数， 则或 故整数m的值为：，， 故答案为：； ②因为点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离， 所以点C和点D分别表示的数为，， ∵O可以为点A与点B的“雅中点”， ∴， 故， 因为B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）， 所以B表示的数为， 所以， 即， 解得， 因为n为整数， 则，，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，结合数形结合思想、方程思想和不等式思想都是解题的关键． 【变式9-1】（23-24七年级·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不存在，理由见解析 【分析】（1）求出表示的数，再画图即可； （2）①根据已知可得运动后表示的数；②分两种情况：当，表示的数是，当时，表示的数是，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点； 表示的数是，如图：    （2）①点表示的数为， 故答案为：； ②不存在恰好与原点重合，理由如下： 表示的数是， 当时，， 表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合； 当时，表示的数是， 此时不存在恰好与原点重合， 综上所述，不存在恰好与原点重合． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题的关键是用含的代数式表示点运动后所表示的数． 【变式9-2】（23-24七年级·北京朝阳·期中）阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2． (1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称； (2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程； (3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______． 【答案】(1)C (2)线段长度的最小值为； (3)，3 【分析】（1）根据径向对称的定义直接求解即可； （2）设点N所对应的数为m，点A和点F的中点所对应的数为，若最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时； （3）设线段上有一点T，T点表示的数是x，由题意可得，求出x的范围是，当L点运动到表示1的数时，t的值最小，当K点运动到表示5的数时，t的值最大． 【详解】（1）解：∵点A表示的数为，点B，C表示的数分别为，4， ∴点A和点B的中点表示的数为，点A与点C的中点表示的数为， ∵点O为原点，点M表示的数为2， ∴点C与点A关于线段径向对称； 故答案为：C； （2）解：设点N所对应的数为m， ∵点A表示的数为，点F表示的数为6， ∴点A和点F的中点所对应的数为， 若最小，则点A和点F的中点与点N重合，此时； ∴线段长度的最小值为； （3）解：K点运动后表示的数是，L点运动后表示的数是， 设线段上有一点T，T点表示的数是x， ∴的中点， ∵T点与A点关于线段径向对称， ∴在线段上， ∴， ∴， 当L点运动到表示1的数时，， 解得， 当K点运动到表示5的数时，， 解得， ∴t的最小值为，最大值为3， 故答案为：，3． 【点睛】本题考查有理数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，弄清定义是解题的关键． 【变式9-3】（23-24七年级·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)G；－4或－16 (2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件， 故答案是：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16． 故答案为：－4或－16； （2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6， 当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧， 当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.11 数轴中的动态问题【九大题型】 【苏科版2024】 【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】 1 【题型2 数轴动点中的相遇问题】 3 【题型3 数轴动点中的中点问题】 4 【题型4 数轴动点中的相距问题】 5 【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】 7 【题型6 数轴动点中的定值问题】 8 【题型7 数轴动点中的折返问题】 10 【题型8 数轴动点中的规律问题】 12 【题型9 数轴动点中的新定义问题】 13 知识点：数轴中的动态问题主要解题步骤 1)画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2)写点——写出所有点表示的数: 一般用含有t的代数式表示, 向右运动用“+”表示, 向左运动用“-”表示； 3)表示距离——右-左,若无法判定两点的左右需加绝对值； 4)列式求解——根据条件列方程或代数式,求值。 注意: 要注意动点是否会来回往返运动。 【题型1 数轴动点中的绝对值的最小值问题】 【例1】（23-24七年级·江苏扬州·期末）阅读下面材料：若已知点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为，则． 回答下列问题： (1)①点表示数，点表示数，则、两点之间的距离表示为______； ②点表示数，点表示数，如果，那么的值为______； (2)①如果，那么______，______； ②当代数式取最小值时，相应的整数的个数为______； (3)在数轴上，点表示的数是最大的负整数、是原点、在的右侧且到的距离是，动点沿数轴从点开始运动，到达点后立刻返回，再回到点时停止运动．在此过程中，点的运动速度始终保持每秒个单位长度，设点的运动时间为秒．在整个运动过程中，请直接用含的代数式表示． 【变式1-1】（23-24七年级·湖南长沙·期末）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：，． (1)a=______；c=______； (2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数______表示的点重合； (3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式取得最小值时，此时x=______，最小值为______． 【变式1-2】（23-24七年级·广东深圳·期末）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，且，满足，， （1）_____________，_________________; （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数 表示的点重合. （3）在（1）（2）的条件下，若点为数轴上一动点，其对应的数为，当代数式取得最小值时，此时____________，最小值为__________________. （4）在（1）（2）的条件下，若在点处放一挡板，一小球甲从点处以个单位秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点处以个单位秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看做一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为（秒），请表示出甲、乙两小球之间的距离（用的代数式表示） 【变式1-3】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题 (1)请直接写出a，b，c的值：________；________；________； (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即时），请化简式子：（请写出化简过程）    (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为，点A与点B之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【题型2 数轴动点中的相遇问题】 【例2】（23-24七年级·河南郑州·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为12．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．    (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是　　（用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 【变式2-1】（23-24七年级·甘肃兰州·期末）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．    (1)数轴上点表示的数是_______，点表示的数是_______用含的代数式表示； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：当点运动多少秒时，点与点相遇？ 【变式2-2】（23-24七年级·福建三明·期中）如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，是数轴上一点，且.    （1）直接写出数轴上点表示的数； （2）动点从出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点从点 出发，以每秒个单位长度沿数轴向左匀速运动，求当t为何值时P，R两点会相遇． （3）动点从出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点从点 出发，以每秒个单位长度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若 三点同时出发，当点遇上点后立即返回向点运动，遇到点后则停止运动．求点从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？ 【变式2-3】（23-24七年级·河北石家庄·阶段练习）如图，已知数轴上，，三个点表示的数分别是，，，且，若点沿数轴向右移动12个单位长度后到达点，且点，表示的数互为相反数． (1)的值为______，的值为______； (2)动点，分别同时从点，出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动，点以每秒个单位长度的速度向终点移动，点表示的数为． ①若点，在点处相遇，求的值； ②若点的运动速度是点的2倍，当点，之间的距离为2时，求此时的值． 【题型3 数轴动点中的中点问题】 【例3】（23-24七年级·全国·假期作业）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足． (1)______，______，______． (2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度．（注：点O为数轴原点） 【变式3-1】（23-24七年级·湖北武汉·期中）如图，在数轴上有三点，分别表示有理数，，，且，，满足式子；如图：动点从点出发，以2个单位/秒的速度一直向右运动，点运动5秒后，长度为6个单位的线段（为线段左端点且与点重合，为线段右端点）从点出发以3个单位/秒的速度向右运动，当点到达点后，线段立即以同样的速度返回向左运动，当点到达点后线段再以同样的速度向右运动，如此往返．设点运动时间为秒． (1)求，，的值； (2)当______秒时，点与点重合，并求出此时线段上点所表示的数； (3)记线段的中点为，在运动过程中，当点与点的距离为1个单位时，求的值． 【变式3-2】（23-24七年级·湖北武汉·阶段练习）已知A，B，C三点在数轴上所对应的数分别为a，b，18，且a、b满足.动点M从点A出发，以2个单位长度/秒的速度向右运动，同时，动点N从点C出发，以1个单位长度/秒的速度向左运动，线段为“变速区”，规则为：从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点B运动到点O期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速.当点M到达点C时，两点都停止运动.设运动的时间为t秒.    (1) ， ， ； (2)M，N两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数. (3)点D为线段中点，当t为多少秒时，？ 【变式3-3】（23-24七年级·广东广州·期中）如图：在数轴上点表示数，点表示数，点表示数．    (1)若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与______表示的点重合； (2)若点、点和点分别以每秒个单位、个单位长度和个单位长度的速度在数轴上同时向左运动． 若秒钟过后，三点中恰有一点为另外两点的中点，求值； ②当点在点右侧时，是否存在常数，使的值为定值，若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 【题型4 数轴动点中的相距问题】 【例4】（2024七年级·全国·专题练习）如图1，已知线段，点C为线段上的一点，点D、E分别是和的中点．    (1)若，则的长为______； (2)若，求的长； (3)动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，Q点以P点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少秒时P，Q之间的距离为6？ 【变式4-1】（23-24七年级·河南周口·阶段练习）在数轴上点A表示a，点B表示b，且a、b满足． (1)求a，b的值，并计算点A与点B之间的距离． (2)若动点P从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，运动几秒后，点P到达B点？ (3)若动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动几秒后，P、Q两点间的距离为4个单位长度？ 【变式4-2】（23-24七年级·吉林长春·期中）在数轴上，O表示原点，A、B两点分别表示﹣8和2． (1)求出线段AB的长度； (2)动点P从A出发沿数轴向右运动，速度为每秒5个单位长度；同时点Q从B出发，沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，当P、Q重合时，两点同时停止运动．设两点运动时间为t秒，用含有t的式子表示线段PQ的长； (3)在(2)的条件下，t为何值时，点P、点Q到原点O的距离相等． 【变式4-3】（23-24七年级·福建三明·期中）已知数轴上有、、三个点，分别表示有理数、、，动点从出发，以每秒个单位长度的速度向终点移动，设移动时间为秒．若用，，分别表示点与点、点、点的距离，试回答以下问题．    (1)当点运动秒时，______，______，______； (2)当点运动了秒时，请用含的代数式表示到点、点、点的距离：______，______，______； (3)经过几秒后，点到点、点的距离相等？此时点表示的数是多少？ (4)当点运动到点时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样速度返回，运动到终点．在点开始运动后，、两点之间的距离能否为个单位长度？如果能，请直接写出点表示的数；如果不能，请说明理由． 【题型5 数轴动点中的和差倍分问题】 【例5】（23-24七年级·江西南昌·期末）已知数轴上的两点A，所表示的数分别是和，为数轴上的原点，如果有理数，满足．    (1)请直接写出和的值，_______，_______； (2)若点是一个动点，以每秒5个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，请问经过多长时间，点恰巧到达线段的三等分点？ (3)若点是线段的中点，点以每秒3个单位长度的速度从点开始向右运动，同时点以每秒5个单位长度的速度从点A出发向右运动，点以每秒4个单位长度的速度从点开始向左运动；点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】（23-24七年级·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，且a、b满足．    (1)则___________，___________，点A和点B之间的距离是___________； (2)动点P从A点出发，以每秒10个单位的速度沿数轴向右运动，到达B点停留片刻后，以每秒6个单位的速度沿数轴返回到A点，共用了6秒；在上述过程中，点P从点C到点B，停留片刻后，再从点B到点C，共用了2秒． ①求C点表示的数c； ②设运动时间为t秒，求t为何值时，点P到A、B、C三点的距离之和为23个单位？ 【变式5-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）如图1，、两点在数轴上对应的数分别为和6． (1)直接写出、两点之间的距离___； (2)若在数轴上存在一点，使得，求点表示的数； (3)如图2，现有动点、，若点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，当点到达原点后立即以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，求：当时的运动时间的值． 【变式5-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，数轴上点、对应的数分别是、，并且．    (1)求、两点之间距离． (2)若两动点、同时从原点出发，点以个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，点以个单位长度/秒的速度向右运动，问运动多少秒时点到点的距离是点到点距离的倍？ (3)点是数轴上、之间一点，、两点同时从点出发，沿数轴分别向左、右运动，运动时间为秒时，、两点恰好分别到达点、，又运动秒时，、两点分别到达点、，接下来调转方向保持原来速度不变相向而行，同时点从点出发沿数轴向右运动，当点运动秒时，点与点在点相遇，此时点和点的距离为个单位长度，点和点的距离为个单位长度，求点的速度． 【题型6 数轴动点中的定值问题】 【例6】（23-24七年级·广东汕头·期中）如图，在数轴上A点表示数－3，B点表示数b，C点表示数c，且b.c满足 （1）b= ，c= ． （2）若使C．B两点的距离是A．B两点的距离的2倍，则需将点C向左移动 个单位长度． （3）点A．B．C开始在数轴上运动，若点A以每秒m个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，设运动时间为t秒； ①点A．B．C表示的数分别是 . . （用含m.t的代数式表示）； ②若点B与点C之间的距离表示为d1，点A与点B之间的距离表示为d2，当m为何值时，2d1－d2的值不会随着时间t的变化而改变，并求出此时2d1－d2的值． 【变式6-1】（23-24七年级·安徽芜湖·期中）唐代文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无”，当代印度诗人泰戈尔也写道：“世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅；而是尚未相遇，便注定无法相聚”．距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点P，Q在数轴上分别表示有理数p，q，P，Q两点之间的距离表示为．例如，在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；有理数5与对应的两点之间的距离为；…；解决问题： 已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，且满足，． (1)分别求a，b，c的值； (2)若点D在数轴上对应的数为x，当A、D间距离是B、C间距离的4倍时，请求出x的值； (3)若点A和点B分别以每秒2个单位长度和每秒1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒，是否存在一个常数k，使得的值在一定时间范围内不随运动时间t的改变而改变？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【变式6-2】（23-24七年级·江苏无锡·期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），如图，以两车之间的某点O为原点，此时快车头A在数轴上表示的数是a，慢车头C在数轴上表示的数是，与互为相反数．（忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．） (1)求此时刻快车头A与慢车头C之间相距 单位长度． (2)从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶 秒两列火车的车头A、C相距8个单位长度． (3)在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客P，他的位置P到两列火车头A、C的距离和加上到两列火车尾B、D的距离和是一个不变的值（即为定值）．则这段时间t是 秒，定值是 单位长度． 【变式6-3】（23-24七年级·江苏南通·阶段练习）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车头在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是．若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速行驶，．    (1) ， ． (2)从此时刻开始算起，问再行驶多少秒钟两列火车行驶到车头相距8个单位长度？ (3)此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟，他的位置到两列火车头的距离和加上到两列火车尾的距离和是一个不变的值（即为定值）．你认为学生发现的这一结论是否正确？若正确，求出这个时间定值；若不正确，请说明理由． 【题型7 数轴动点中的折返问题】 【例7】（23-24七年级·湖北荆州·期末）如图，A、B、P是数轴上的三个点，P是AB的中点，A、B所对应的数值分别为-20和40． （1）试求P点对应的数值；若点A、B对应的数值分别是a和b，试用a、b的代数式表示P点在数轴上所对应的数值； （2）若A、B、P三点同时一起在数轴上做匀速直线运动，A、B两点相向而行，P点在动点A和B之间做触点折返运动（即P点在运动过程中触碰到A、B任意一点就改变运动方向，向相反方向运动，速度不变，触点时间忽略不计），直至A、B两点相遇，停止运动．如果A、B、P运动的速度分别是1个单位长度/s，2个单位长度/s，3个单位长度/s，设运动时间为t． ①求整个运动过程中，P点所运动的路程． ②若P点用最短的时间首次碰到A点，且与B点未碰到，试写出该过程中，P点经过t秒钟后，在数轴上对应的数值（用含t的式子表示）； ③在②的条件下，是否存在时间t，使P点刚好在A、B两点间距离的中点上，如果存在，请求出t值，如果不存在，请说明理由． 【变式7-1】（23-24七年级·重庆九龙坡·期末）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且． （1）求，，，的值； （2）点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒4个单位长度，求点的运动速度； （3），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒1个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； （4），两点以（2）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的2倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动．当点停止运动时，点也停止运动．在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【变式7-2】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期中）数轴上给定两点A、B，点A表示的数为-1，点B表示的数为3，若数轴上有两点M、N，线段的中点在线段上（线段的中点可以与A或B点重合），则称M点与N点关于线段对称，请回答下列问题： (1)数轴上，点O为原点，点C、D、E表示的数分别为-3、6、7，则点_____与点O关于线段AB对称； (2)数轴上，点F表示的数为x，G为线段上一点，若点F与点G关于线段对称，则x的最小值为______，最大值为______； (3)动点P从-9开始以每秒4个单位长度，向数轴正方向移动时，同时，线段以每秒1个单位长度，向数轴正方向移动，动点Q从5开始以每秒1个单位长度，向数轴负方向移动；当P、Q相遇时，分别以原速立即返回起点，回到起点后运动结束，设移动的时间为t，则t满足______时，P与Q始终关于线段对称． 【变式7-3】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）已知数轴上的点，，，所表示的数分别是，，，，且 (1)则______，______；若点，沿数轴同时出发相向匀速运动，秒后两点相遇，点的速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒______个单位长度； (2)，两点以（）中的速度从起始位置同时出发，向数轴正方向运动，与此同时，点以每秒个单位长度的速度向数轴正方向开始运动，在秒时有，求的值； (3)，两点以（）中的速度从起始位置同时出发相向匀速运动，当点运动到点起始位置时，迅速以原来速度的倍返回；到达出发点后，保持改后的速度又折返向点起始位置方向运动；当点运动到点起始位置时马上停止运动，当点停止运动时，点也停止运动，在此运动过程中，，两点相遇，求点，相遇时在数轴上对应的数（请直接写出答案）． 【题型8 数轴动点中的规律问题】 【例8】（23-24七年级·陕西西安·阶段练习）如图，已知A、B两地在数轴上相距20米，A地在数轴上表示的点为-8，小乌龟从A地出发沿数轴往B地方向前进，第一次前进1米，第二次后退2米，第三次再前进3米，第四次又后退4米，……，按此规律行进，（数轴的一个单位长度等于1米） （1）求B地在数轴上表示的数； （2）若B地在原点的左侧，经过第五次行进后小乌龟到达点P，第六次行进后到达点Q，则点P和点Q到点A的距离相等吗？请说明理由； （3）若B地在原点的右侧，那么经过30次行进后，小乌龟到达的点与点B之间的距离是多少米？ 【变式8-1】（23-24七年级·全国·课后作业）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿数轴做如下移动，第一次将点A向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，…按照这种移动规律进行下去，第51次移动到点，那么点A51所表示的数为（　　） A．﹣74 B．﹣77 C．﹣80 D．﹣83 【变式8-2】（23-24七年级·辽宁沈阳·期末）一组数0，2，4，8，12，18，…中的奇数项和偶数项分别用代数式，表示，如第1个数为，第2个数为，第3个数为，…，则第8个数的值是 ，数轴上现有一点从原点出发，依次以此组数中的数为距离向左右来回跳跃．第1秒时，点在原点，记为；第2秒点向左跳2个单位，记为，此时点表示的数为-2；第3秒点向右跳4个单位，记为，点表示的数为2；…按此规律跳跃，点表示的数为 ． 【变式8-3】（23-24七年级·北京·期中）如图，已知A地在数轴上表示的数为－16，AB两地相距50个单位长度．小明从A地出发去B地，以每分钟2个单位长度的速度行进，第一次他向左1单位长度，第二次向右2单位长度，第三次再向左3单位长度，第四次又向右4单位长度…，按此规律行进． （1）求出B地在数轴上表示的数； （2）若B地在原点的右侧，经过第8次行进后小明到达点P，此时点P与点B相距几个单位长度？8次运动完成后一共经过了几分钟？ （3）若经过n次（n为正整数）行进后，小明到达点Q，请你直接写出：点Q在数轴上表示的数应如何表示？ 【题型9 数轴动点中的新定义问题】 【例9】（23-24七年级·浙江台州·期中）阅读以下材料：我们给出如下定义：数轴上给定不重合两点A，B，若数轴上存在一点M，使得点M到点A的距离等于点M到点B的距离，则称点M为点A与点B的“雅中点”．解答下列问题： (1)若点A表示的数为，点B表示的数为1，点M为点A与点B的“雅中点”，则点M表示的数为 ； (2)若A、B两点的“雅中点M”表示的数为2，A、B两点的距离为9（A在B的左侧），则点A表示的数为 ，点B表示的数为 ； (3)点A表示的数为，点O为数轴原点，点C，D表示的数分别是，，且B为线段上一点（点B可与C、D两点重合）． ①设点M表示的数为，若点M可以为点A与点B的“雅中点”，则m可取得整数有 ； ②若点C和点D向数轴正半轴方向移动相同距离，使得点O可以为点A与点B的“雅中点”，则n的所有整数值为 ． 【变式9-1】（23-24七年级·福建福州·期中）在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动3个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．    (1)在图中画出当时，点关于点的“联动点”； (2)点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示5的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒． ①点表示的数为__________（用含的式子表示）； ②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”佮好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式9-2】（23-24七年级·北京朝阳·期中）阅读下列材料：若数轴上点A、点B表示的数分别为a，b，则线段的中点表示的数为．基于此，我们给出如下定义：数轴上给定两点A，B以及一条线段，若线段的中点R在线段上（点R能与点P或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称．例：如图所示，点A，P，Q，B所表示的数为1，2，5，7，那么线段的中点R所表示的数为＝4，所以点R在线段上，则点A与点B关于线段径向对称．解答下列问题：如图1，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为−1，点M表示的数为2． (1)点B，C分别表示的数为，4，在B，C两点中，点______与点A关于线段径向对称； (2)点N是数轴上一个动点，点F表示的数为6，点A与点F关于线段径向对称，求线段长度的最小值，并写出求解过程； (3)在数轴上，动点K从表示的点出发，以每秒3个单位长度的速度向右移动，动点L从表示的点出发，以每秒2个单位长度的速度向右移动．点K和L同时出发，设移动的时间为t秒（t＞0），若线段上至少存在一点与点A关于线段径向对称，则直接写出t能取到的最小值为______，能取到的最大值为______． 【变式9-3】（23-24七年级·北京房山·期中）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $