第三讲 工程问题之工资分配型（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第三讲 工程问题之工资分配型 【知识梳理】 基本关系式: 工作总量=工作时间×工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 甲乙合作效率和=甲的效率+乙的效率 解题方法：求出工作量，按工作量分钱 解题步骤： 求各自的工作效率 求各自的工作天数 求各自的工作量：工作量=工作效率×工作天数 分钱：工资=工作量×总钱数 【例题精讲与精练】 【例题1】(湖南博才培圣中学小升初招生)甲、乙、丙三个工程队合作完成一项工程，完成工作量的比是4:5:2。已知按工作量分配劳务费后，甲队比丙队多得8000元。这项工程的劳务费总数是多少? 【例题精练】 1、甲、乙、丙三人合作修一条路，他们约定两人两人地轮流做。首先甲、乙合修5天完成了，然后乙、丙二人合修2天完成了余下的，最后甲、丙二人合修5天完成全部工程。整条路的维修费用是32000元，按工作量算，甲应得工钱多少元？ 2、甲，乙两人加工同一批零件，工作时间与加工零件的个数的关系如下图： （1）甲工作1小时加工______个零件；甲的工作效率比乙高______。 （2）甲，乙合作加工同一批零件，甲单独加工6小时后，已经加工与还未加工零件个数比是9∶25，未加工的零件由甲，乙两人共同完成，完成任务后两人共得工钱6800元，按照加工零件的数量分工钱，甲，乙各分得工钱多少元？ 【例题2】一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元。现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？ 【例题精练】 1、有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面。每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面。 （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积。 （2）某老板现有40个这样的房间需要粉刷，若请3名师傅带3名徒弟去，需要几天完成？ （3）已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务。问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 3、某项工程，由甲、乙两队承包，天可以完成，需支付2208元；由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付2400元；由甲、丙两队承包，天可以完成，需支付2400元，如果要求总工程款尽量少，应选择哪些工程队合作，每天需支付多少费用？ 【例题3】甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资。按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元。实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元。那么两队原计划完成修路任务要多少天？ 【例题精练】 1、 一项工程由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元：由乙队承担，需工期100天，工程费用80万。为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续工作到工程完成。结算时，共支出工程费用88万元。问：甲、乙两队合作了多少天？ 2、一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元。 （1）甲、乙两个工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ （2）现要求最迟5个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金。 3、一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元。实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，由另一个队继续到工程完成。结算时，共支出工程费用86.5万元。那么甲、乙两队合作了( )天。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三讲 工程问题之工资分配型 【知识梳理】 基本关系式: 工作总量=工作时间×工作效率 工作效率=工作总量÷工作时间 工作时间=工作总量÷工作效率 甲乙合作效率和=甲的效率+乙的效率 解题方法：求出工作量，按工作量分钱 解题步骤： 求各自的工作效率 求各自的工作天数 求各自的工作量：工作量=工作效率×工作天数 分钱：工资=工作量×总钱数 【例题精讲与精练】 【例题1】(湖南博才培圣中学小升初招生)甲、乙、丙三个工程队合作完成一项工程，完成工作量的比是4:5:2。已知按工作量分配劳务费后，甲队比丙队多得8000元。这项工程的劳务费总数是多少? 答案：44000元 【解析】把这项工程平均分成4+5+2=1份；这项工程的劳务费总数为: 8000÷(-)=8000÷=44000(元) 【例题精练】 1、甲、乙、丙三人合作修一条路，他们约定两人两人地轮流做。首先甲、乙合修5天完成了，然后乙、丙二人合修2天完成了余下的，最后甲、丙二人合修5天完成全部工程。整条路的维修费用是32000元，按工作量算，甲应得工钱多少元？ 答案：甲、乙的效率和为： 乙、丙的效率和为： 甲、丙的效率和为： 甲的效率为： （元） 答：甲应得工钱15200元。 2、甲，乙两人加工同一批零件，工作时间与加工零件的个数的关系如下图： （1）甲工作1小时加工______个零件；甲的工作效率比乙高______。 （2）甲，乙合作加工同一批零件，甲单独加工6小时后，已经加工与还未加工零件个数比是9∶25，未加工的零件由甲，乙两人共同完成，完成任务后两人共得工钱6800元，按照加工零件的数量分工钱，甲，乙各分得工钱多少元？ 答案：（1）75；20；（2）甲：4800元；乙：2000元 【详解】（1）通过观察折线图可知，甲工作2小时加工150个零件，乙工作3小时加工150个零件；甲工作1小时加工零件：150÷2＝75（个），乙工作1小时加工零件：150÷3＝50（个），（75－50）÷50＝25÷50＝0.5＝50%，甲的工作效率比乙高50%。 （2）总零件数量：（6×75）÷ ＝450× ＝1700（个） 未加工零件数：1700× ＝1700× ＝1250（个） 剩余零件共同加工完成时间：1250÷（75＋50） ＝1250÷125 ＝10（小时） 甲工作量：（10＋6）×75 ＝16×75 ＝1200（个） 乙工作量：10×50＝500（个） 甲工钱：6800×＝4800（元） 乙工钱：6800－4800＝2000（元） 答：甲分得工钱4800元，乙分得工钱2000元。 【例题2】一项工程，如果由甲、乙、丙共同工作，45天可以完成，需付工程款2700元；如果由甲、乙、丁共同工作，40天可以完成，需付工程款2800元；如果由乙、丙、丁共同工作，36天可以完成，需付工程款2880元；如果由甲、丙、丁共同工作，30天可以完成，需付工程款2700元。现决定将工程承包给某一工程队，确保工程要在100天以内完成，且支付的工程款尽量的少，那么应该将工程交给哪一个工程队，支付的工程款是多少元？ 答案：丙；2700元 【分析】根据题目给出的四种情况，可以求出甲、乙、丙、丁各自的工作效率，以及各自每天所需要的费用，然后考虑甲、乙、丙、丁各自单独施工所需要的总费用，选出费用最少的。 【详解】（1）甲、乙、丙、丁的工效和是： （+++）÷3= 甲的工效是：-=；乙的工效是：-= 丙的工效是：-=；丁的工效是-=。 可见甲、乙、丙、丁完成工程需要的时间分别为120天、360天、90天和72天。要确保工程在100天以内完成，只能选择丙队或丁队。然后比较选择丙队或丁队应支付的工款。 （2）甲、乙、丙每天需要的工程款2700÷45=60元； 甲、乙、丁每天需要的工程款2800÷40=70元； 乙、丙、丁每天需要的工程款2880÷36=80元； 甲、丙、丁每天需要的工程款2700÷30=90元。 甲、乙、丙、丁每天需要的工程款的总和为： （60+70+80+90）÷3=100（元 甲、乙、丙、丁每天需要的工程款分别是100-80=20（元）；100-90=10（元）；100-70=30（元）；100-60=40（元）。如果由丙队独自完成整项工程，那么需要支付 30×90=2700元；如果由丁队来完成，需要支付40×72=2880元。将两者进行比较，丙队的总工程款更少； 答：工程应该交给丙，需要2700元。 【例题精练】 1、有一些相同的房间需要粉刷一天，4名师傅去粉刷8个房间，结果其中有40平方米的墙面未来得及刷；同样的时间6名徒弟刷9个房间的墙面。每名师傅比徒弟一天多刷20平方米的墙面。 （1）求每个房间需要粉刷的墙面面积。 （2）某老板现有40个这样的房间需要粉刷，若请3名师傅带3名徒弟去，需要几天完成？ （3）已知每名师傅、每名徒弟每天的工资分别是85元、65元，老板要求在3天内完成40个房间的粉刷任务。问：如何在10个人以内雇佣人员最合算？最低费用是多少？（10人不一定全部雇佣） 答案：（1）60平方米 （2）4天 （3）9名徒弟；1755元 【详解】（1）解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是平方米。 －＝20 ×12－×12＝20×12 3（8－40）－18＝240 24－120－18＝240 6－120＝240 6－120＋120＝240＋120 6＝360 6÷6＝360÷6 ＝60 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是60平方米。 （2）每名师傅每天粉刷墙面的面积为： ＝ ＝110（平方米） 每名徒弟每天粉刷墙面的面积为：110－20＝90（平方米） 40个这样的房间粉刷墙面需用时： （40×60）÷（110×3＋90×3） ＝2400÷（330＋270） ＝2400÷600 ＝4（天） 答：需要4天完成。 （3）40个这样的房间3天完成粉刷，每天需粉刷的面积： 40×60÷3 ＝2400÷3 ＝800（平方米） 情况一：全部雇佣师傅粉刷，需要人数： 800÷110＝7（名）……30（平方米） 师傅需：7＋1＝8（人） 一天的费用：85×8＝680（元） 情况二：全部雇佣徒弟粉刷，需要人数： 800÷90＝8（名）……80（平方米） 徒弟需：8＋1＝9（人） 一天的费用：65×9＝585（元） 情况三：雇佣4名师傅，还需徒弟： （800－110×4）÷90 ＝（800－440） ÷90 ＝360÷90 ＝4（名） 一天的费用： 85×4＋65×4 ＝340＋260 ＝600（元） 585＜600＜680 雇佣9名徒弟粉刷3天的费用： 585×3＝1755（元） 答：雇佣9名徒弟粉刷最合算，最低费用是1755元。 3、某项工程，由甲、乙两队承包，天可以完成，需支付2208元；由乙、丙两队承包，天可以完成，需支付2400元；由甲、丙两队承包，天可以完成，需支付2400元，如果要求总工程款尽量少，应选择哪些工程队合作，每天需支付多少费用？ 答案：乙、丙队合作；640元。 【分析】根据题意，用两队合作时每天需支付的费用除以天数，求出两队合作时每天需支付的费用，再相加，即是三队合作时每天需支付费用的2倍，除以2，即可求出三队合作时每天需支付的费用；然后比较大小，选择每天需支付费用最少的合作工程队。 【解答】解：甲、乙合作每天需支付： ＝920（元） 乙、丙合作每天需支付： ＝640（元） 甲、丙合作每天需支付： ＝840（元） 三队合作每天需支付： （920+640+840）÷2 ＝2400÷2 ＝1200（元） 640＜840＜920＜1200 答：应选择乙、丙两队合作；每天需要支付640元。 【例题3】甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资。按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元。实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元。那么两队原计划完成修路任务要多少天？ 答案：8400-5040=3360（元） 3360：5040=2：3 提效后：（3360+960）：（5040-960）=18：17 设甲原来工效为“2”,乙原来工效为“3” 设甲提高效率后还需要x天完成，得 （2×4+4x）：（3×4+3x）=18：17 X= （2×4+4×）：（3×4+3×）=60 60÷（2+3）=12(天) 【例题精练】 1、 一项工程由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元：由乙队承担，需工期100天，工程费用80万。为了节省工期和费用，实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，撤出一个队，由另一个队继续工作到工程完成。结算时，共支出工程费用88万元。问：甲、乙两队合作了多少天？ 答案：解：设甲、乙两队共合作了x天，甲队完成的工作量是x，乙队完成的工作量是（1－x）。 x×100＋（1－x）×80＝88 x＋80－x＝88 x＋80＝88 x＋80－80＝88－80 x＝8 x÷＝8÷ x＝32 答：甲、乙两队合作了32天。 2、一项工程，若请甲工程队单独做需4个月完成，每月要耗资9万元；若请乙工程队单独做需6个月完成，每月耗资5万元。 （1）甲、乙两个工程队合作需几个月完成？耗资多少万元？ （2）现要求最迟5个月完成此项工程，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度节省资金。 答案：解：（1）1÷（） ＝1 ＝2.4（个） 2.4×（9+5） ＝2.4×14 ＝33.6（万元） 答：甲、乙两工程队合作需2.4个月完成，耗资33.6万元。 （2）9×4＝36万元，5×6＝30万元，即乙工程队耗资较少，为了节省资金，应尽量请乙队来做； （1） （个） 所以可让则可让甲乙可合做个月后，再让乙独做54个月，这样既保证按时完成任务，又最大限度节省资金。 3、一项工程，由甲队承担，需工期80天，工程费用100万元；由乙队承担，需工期100天，工程费用80万元。实际施工时，甲、乙两队合作若干天后，由另一个队继续到工程完成。结算时，共支出工程费用86.5万元。那么甲、乙两队合作了( )天。 答案：26 【分析】本题设甲乙合干的天数是x天，其实甲乙各干了x天，就可以表示出甲的工作量，从而也可以求出乙的工作量，在相应的工作量下可以表示出各自的费用，把费用加在一起就是86.5万元，依此即可求解。 【详解】解：设甲乙合干的天数是x天，则甲队工作x天，甲队完成的工作量为，乙队完成的工作量为（1－）。 根据题意得： 100×＋80×（1－）＝86.5 x＋80－x＝86.5 x＋80＝86.5 x＋80－80＝86.5－80 x＝6.5 x÷＝6.5÷ x＝6.5×4 x＝26 甲乙共合作了26天。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$