专题3.1 等式和不等式的基本性质（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题3.1 等式和不等式的基本性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：等式和不等式的基本性质 4 考点二：利用不等式比较大小 5 考点三：利用不等式求取值范围 6 【考纲要求】 1.掌握等式性质，熟练掌握常用等式变形的相关计算：完全平方、平方差、完全立方、立方和差、三个数的完全平方 2.会比较两个数、式子的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用． 【考向预测】 1.不等式的基本性质应用 2.比较大小 3.利用不等式的性质求参数范围 【知识导图】 【知识清单】 1.等式的性质 (1)对称性:若=，则=. (2)传递性:若=，=，则=. (3)可加性:若=，则+ =+. (4)可乘性:若=，则=;若 =，=d，则= 2.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 - >0>， - =0=, - <0<. (2)作商法 , , , 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 3.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 【考点分类剖析】 考点一：等式和不等式的基本性质 例1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若实数，且，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D．-2 【变式探究】2．已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 例2．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式探究】1．已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 例3．如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式探究】3．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点二：利用不等式比较大小 例1．已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式探究】3．已知，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 例3．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【变式探究】2．设＜＜＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 考点三：利用不等式求取值范围 例1．指数函数是减函数，则二次函数顶点横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【变式探究】2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】3．已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（    ） A．(1，3) B． C． D． 例3．某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（    ） A．7 B．9 C．12 D．15 【变式探究】1．地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在1000km以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层，再上面就是星际空间了.平流层是指地面以上10km到50km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三角形的形状不变，请你构建不等关系，求出它第三条高长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 例4．不等式组的解集在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式探究】2．不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 等式和不等式的基本性质 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 4 考点一：等式和不等式的基本性质 4 考点二：利用不等式比较大小 8 考点三：利用不等式求取值范围 12 【考纲要求】 1.掌握等式性质，熟练掌握常用等式变形的相关计算：完全平方、平方差、完全立方、立方和差、三个数的完全平方 2.会比较两个数、式子的大小. 3.理解不等式的性质，并能简单应用． 【考向预测】 1.不等式的基本性质应用 2.比较大小 3.利用不等式的性质求参数范围 【知识导图】 【知识清单】 1.等式的性质 (1)对称性:若=，则=. (2)传递性:若=，=，则=. (3)可加性:若=，则+ =+. (4)可乘性:若=，则=;若 =，=d，则= 2.两个实数比较大小的方法 (1)作差法 - >0>， - =0=, - <0<. (2)作商法 , , , 作差法比较大小的步骤是： （1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论. 作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是： （1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 3.不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 【考点分类剖析】 考点一：等式和不等式的基本性质 例1．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项分解因式可得答案. 【详解】对于A，应该是，故A错误     对于B，应该是，故B错误； 对于C，，故C 错误；     对于D，，故D正确. 故选：D. 【变式探究】1．若实数，且，，则代数式的值为（    ） A． B． C． D．-2 【答案】A 【分析】首先根据题意得到为方程的两个不相等的根，再利用根系关系求解即可. 【详解】因为若实数，且，， 所以为方程的两个不相等的根. 所以，. 所以 . 故选：A 【变式探究】2．已知实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将等式整理成完全平方之和等于0，即可求解. 【详解】由题可知， 则， 则，则，解得， 检验各选项可知只有B选项成立. 故选：B. 例2．下列式子中变形错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据等式的性质，逐项验证即可. 【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确； 对于选项，没有说明，故不正确； 对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确； 对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确； 故选：. 【变式探究】1．已知等式，则下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可 【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误； 对于B，两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确； 对于C，当，，满足，但得不到，故错误； 对于D，当时，无法得到，故错误； 故选：B 【变式探究】2．下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】取，可判断A； 或，可判断B；取，可判断C；利用等式的性质，可判断D 【详解】选项A，当时，显然不成立； 选项B，如果，那么或，显然不成立； 选项C，当时，无意义，不成立； 选项D，如果，则，故，即，成立 故选：D 例3．如果，，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】如果，， 对于A，，，故A错误； 对于B，，即，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，，即，故D错误. 故选：C. 【变式探究】1．已知，且，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对ACD举反例即可判断，对B根据不等式性质即可判断. 【详解】对A，取，则满足，但，故A错误； 对B，根据不等式性质，故B正确； 对C，取，则，故C错误； 对D，取，则，故D错误. 故选：B. 【变式探究】2．下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】AB选项，举出反例；CD选项，利用不等式的性质进行判断；C由，可得，即可判断出；D利用不等式的基本性质即可判断出. 【详解】A选项，若，不等式两边同除以得，，A错误； B选项，不妨设，满足，但，B错误； C选项，，不等式两边同时减去一个数，不等号不变，所以，故C错误； D选项，∵，∴，平方得，D正确. 故选：D. 【变式探究】3．下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】取特殊值结合不等式的性质，逐项判断即可. 【详解】对于A,若取， 则，即，故A错误； 对于B，令，则有，故B错误； 对于C，令，则有，故C错误； 对于D，根据不等式性质可知D正确， 故选:D. 考点二：利用不等式比较大小 例1．已知，，则，，的大小关系式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式的性质即可判断． 【详解】∵，， ∴，，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式探究】1．已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了．将这一事实表示成一个不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】糖水变甜，表示糖的浓度变大，代入数据得到答案. 【详解】糖水变甜，表示糖的浓度变大，即. 故选：B. 【变式探究】2．实数a，b，c在数轴上对应的点A，B，C如图所示，下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴点的位置以及不等式相关性质直接求解. 【详解】对于A，由数轴可得，，， 所以，，则，故选项A错误； 对于B，由，，，得，故选项B错误； 对于C，因为，即，又，所以， 又，所以，故选项C错误； 对于D，因为，，且由图可知，即， 所以，又，所以，故选项D正确． 故选：D 例2．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项. 【详解】因为，所以.， 因为， 且，所以，所以，所以.故. 故选： A 【变式探究】1．已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用作差法计算即可. 【详解】， 当且仅当时取得等号，所以. 故选：D 【变式探究】2．已知，，，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】利用作差比较法可得答案. 【详解】因为 ， 所以. 故选：A. 【变式探究】3．已知，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】根据作差法比大小求解即可. 【详解】因为，， 所以， 因为，所以， 所以，即. 故选：A 例3．若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差、作商法即可判断A、B的正误，由不等式的性质可判断C、D的正误. 【详解】A：，又，知：，但无法确定符号，错误； B：，，故，正确； C：由，知，即，正确； D：由，有，正确； 故选：A 【变式探究】1．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 【变式探究】2．设＜＜＜1，则(　　) A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 【答案】C 【分析】先由题得到0＜a＜b＜1，再比较选项数的大小. 【详解】∵＜＜＜1， ∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa. ∵＝，,0＜＜1，a＞0，∴＜1. ∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba. 故答案为C 【点睛】（1）本题主要考查比较法和指数函数的性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差. 考点三：利用不等式求取值范围 例1．指数函数是减函数，则二次函数顶点横坐标的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数单调性有，结合二次函数顶点横坐标为求范围. 【详解】由题设，则二次函数顶点横坐标为. 故选：C 【变式探究】1．函数的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】利用配方法整理分母，结合不等式的性质，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 【变式探究】2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数值域的求解方法求解. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，因为，所以，故B正确； 对于C，，当且仅当即时等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以，故，过于，故D错误. 故选：B 例2．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用不等式的性质即可求得结果. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以.即的取值范围为. 故选：A. 【变式探究】1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 则， 故选：C 【变式探究】2．若，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质求解. 【详解】∵，∴，， 又，∴， 故选：B. 【变式探究】3．已知－3<a<－2，3<b<4，则的取值范围为（    ） A．(1，3) B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围. 【详解】因为－3<a<－2，所以a2∈(4，9)，而3<b<4，故的取值范围为(1，3)，故选：A． 例3．某班有学生参加才艺比赛，每人参加一个比赛，参加书法比赛的人数多于参加唱歌比赛的人数，参加唱歌比赛的人数多于参加折纸比赛的人数，参加折纸比赛的人数的两倍多于参加书法比赛的人数，则参加这三项比赛的人数至少为（    ） A．7 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】利用不等式的性质求出参加各项比赛的最少人数即可求出. 【详解】设参加书法、唱歌、折纸比赛的人数分别为，，，且，，为正整数， 则由题意得，，，可得， 即，所以，，故参加这三项比赛的人数至少为． 故选：C. 【变式探究】1．地球表面被很厚的大气层包围，大气层的厚度大约在1000km以上，整个大气层高度不同表现出不同的特点，分为对流层、平流层、中间层、暖层和散逸层，再上面就是星际空间了.平流层是指地面以上10km到50km的区域，下述不等式中，x能表示平流层高度的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得，利用不等式的性质即可求解. 【详解】解：平流层是指地球表面以上10km到50km的区域， 若x能表示平流层高度，则，所以， 即， 故选：A. 【变式探究】2．已知某个三角形的两条高长度分别为5和10，该三角形的形状不变，请你构建不等关系，求出它第三条高长度的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的面积为，第三条高为，根据三角形面积公式及高表示出三条边，根据三角形三边关系列出不等式组，求解即可． 【详解】设，边上的高为，边上的高为，边上的高为，的面积为，则， 所以，显然， 因为， 所以，即，解得， 故选：C． 例4．不等式组的解集在数轴上应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式组解得，然后在数轴上表示；注意实心点、空心点的区别：实心表示包含2 (≤2)，空心表示不包含1 (＞1) 【详解】 ∵解不等式(1)得： 解不等式(2)得： ∴不等式组的解集为 在数轴上表示不等式组的解集如下 故选：C 【点睛】本题考查了解不等式、数轴表示不等式解集；数轴上表示解集时注意实心点与空心点的区别 【变式探究】1．在一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】分别解两个不等式，然后求交集得不等式组的解集，写出其中的整数即得． 【详解】解不等式2x＋1＞0，得x＞－.解不等式x－5≤0，得x≤5，所以不等式组的解集为，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个． 故选：C． 【点睛】本题考查解一元不等式组，解题时可分别解不等式，然后求交集． 【变式探究】2．不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简不等式组得到，结合不等式的解集，得出不等式，求解即可得到m的取值范围. 【详解】,可化为 因为不等式组的解集是 所以，解得： 故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$