专题2.4 对数与对数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题2.4 对数与对数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：对数的概念及运算 5 考点二：对数函数的概念及定义域 8 考点三：对数函数的图像 11 考点四：对数函数的单调性和值域 15 【考纲要求】 1．理解指数对数的联系与互化，从而了解反函数的概念. 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 3．了解对数函数的实际意义，会画对数函数的图象. 4．理解对数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 【考向预测】 1.对数的基本运算 2.对数函数的定义、定义域、值域 3.对数函数的图象和性质 【知识导图】 【知识清单】 1．对数的概念 一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作： （ a— 底数， N— 真数，— 对数式） 说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2．两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数, ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , ． 3．对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数 （2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式： 4.对数的运算性质 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有： 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍 说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是(0,＋∞) 4) 特别注意： 5.对数函数 （1）对数函数的概念：一般地，形如的函数叫对数函数. （2）对数函数的图像和性质。 图像 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是增函数 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是减函数 （3）指对数函数性质比较 图象特征 函数性质 共性 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1） 0<a<1 自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度较慢； a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1 图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢， 到了某一值后增长速度极快； 6.反函数： 一般地,设A,B分别为函数y=的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一也是一个函数(即对任意一个,都有唯一的与之对应),那么就称函数是函数y=的反函数,记作.在中，y是自变量,x是y的函数,习惯上改写成的形式. 指数函数(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。 【考点分类剖析】 考点一：对数的概念及运算 例1．若（且），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的定义将指数化为对数. 【详解】因为（且），所以. 故选：A. 【变式探究】1．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：C． 【变式探究】2．若，则等于（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】C 【分析】利用对数的运算法则及指对数互化可得，进而即得. 【详解】由，可得，即， 所以. 故选：C 【变式探究】3．将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数式的含义，将对数式转化为指数式. 【详解】把对数式化成指数式，为． 故选：A． 例2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算可以计算A,C选项；根据对数的运算性质可以计算B选项；对数的真数部分要大于0，据此可以判断D选项. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B对； 对于C，，C错； 对于D，对数的真数部分要大于0，D错. 故选：B 【变式探究】1．计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质及对数恒等式计算即可 【详解】 故选：A 【变式探究】2．（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算性质计算得解. 【详解】. 故选：A 例3．函数则（    ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据分段函数的性质，代入即可求解. 【详解】, 故选：B 【变式探究】设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】根据给定的分段函数，判断代入求出函数值. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 例4．的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据换底公式的结论运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：B. 【变式探究】1．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换底公式判断A，将根式化成分数指数幂，再根据幂的运算法则计算B，根据指数幂的运算法则判断C，根据对数的性质判断D. 【详解】对于选项A，由换底公式可得，故A不正确； 对于选项B，，故B选项错误； 对于选项C，错误，正确的应该是，故C不正确； 对于选项D，，故D正确． 故选：D． 【变式探究】2．若,则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由换底公式将表示为,再将代入,再用指数的运算法则写为底数为5的式子,再用对数恒等式计算出结果即可. 【详解】解:由题知, , . 故选：A 考点二：对数函数的概念及定义域 例1．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数， 所以只有选项C满足定义. 故选：C. 【变式探究】1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】依据对数函数的定义即可判断. 【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数， 其中x是自变量，a是常数， 易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数； ③中，是对数函数；④中，是对数函数； ⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数. 故选：C. 【变式探究】2．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数函数定义，逐项判断作答. 【详解】函数，的真数不是自变量，它们不是对数函数，AB不是； 函数是对数函数，C是； 函数的底数含有参数，而的值不能保证是不等于1的正数，D不是. 故选：C 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】由 且. 故选：C 【变式探究】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组可得函数的定义域. 【详解】由 . 所以函数的定义域为 故选：B 例3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由被开方数大于等于0及真数大于0计算即可得. 【详解】要使函数有意义需满足，解得，则函数的定义域为. 故选：A. 【变式探究】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数与根式的定义域求解即可 【详解】由题意，，解得 故选：D 例4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对数函数的真数大于0，然后解不等式得出答案. 【详解】由题意知，，即， 所以或. 故选：C. 【变式探究】函数的定义域为（    ） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】可直接求出函数的定义域进行判断. 【详解】由题得，解得，即函数的定义域为. 故选： 考点三：对数函数的图像 例1．如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可. 【详解】依题意，函数的图象分别过定点， 它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一. 故选：D 【变式探究】1．在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 【变式探究】2．已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（    ） A． B．C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象易得，结合指对数函数性质判断函数图象. 【详解】由幂函数图象知：， 所以与在各自定义域内都递减，显然只有D满足. 故选：D 例2．函数（，且）的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数所过定点，令即可求解. 【详解】因为对数函数（，且）的图象过定点， 所以令，解得， 此时，即的图象过定点． 故选：C． 【变式探究】函数（且）的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数图象过定点，故可令，求解即可． 【详解】由对数函数的性质，令，即，此时， 故函数的图象恒过定点. 故选：B． 例3．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解. 【详解】因为函数为减函数，所以 又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即 又因为函数图象与轴有交点，所以，所以， 故选：D 【变式探究】1．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【答案】D 【分析】根据对数函数的图象与单调性确定大小． 【详解】y＝logax的图象在（0，＋∞）上是上升的，所以底数a＞1，函数y＝logbx，y＝logcx的图象在（0，＋∞）上都是下降的，因此b，c∈（0，1），又易知c＞b，故a＞c＞b. 故选：D． 【变式探究】2．函数的图像如图所示，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可结合对数函数的性质以及图像得出结果. 【详解】当时，对数函数是减函数， 当时，对数函数是增函数， 则结合图像可知，， 故选：A. 【点睛】本题考查对数函数的性质，主要考查根据函数图像判断对数函数的底数的取值范围，考查数形结合思想，是简单题. 考点四：对数函数的单调性和值域 例1．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复合函数单调性、结合对数函数单调性求解即得. 【详解】显然函数在上是增函数，而函数在上是减函数， 因此对数函数在上单调递减，则， 所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式探究】1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性可得且，解之即可求解. 【详解】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减， 所以且，解得． 即实数a的取值范围为 故选：B 【变式探究】2．若定义在内的函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质，列出不等式，即可得出结果. 【详解】当时，则， 因为函数， 故，即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查由对数函数的性质求参数，属于基础题型. 【变式探究】3．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知函数是由和复合而来，由复合函数单调性结论，只要在区间上单调递增且即可． 【详解】解：令，由题意知：在区间上单调递增且， ∴，解得：， 则实数的取值范围是， 故选：A． 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性和一元二次方程根的分布，换元法是解决本类问题的关键，属于基础题． 例2．已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解． 【详解】因为在上递减，， 所以，解得， 即的取值范围是 ． 故选：A． 【变式探究】1．若，则a的取值范围是（    ） A．(1，3) B．(0，1)(3，) C．(0，1) (1，3) D．（0，1） 【答案】B 【解析】对分两种情况讨论，利用对数函数的单调性解不等式得解. 【详解】当时，； 当时，. 综合得a的取值范围是(0，1)(3，). 故选：B 【点睛】方法点睛：解指数对数不等式时，如果底数的范围没有确定，一般要分和两种情况讨论. 【变式探究】2．若，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对a分两种情况讨论，利用对数函数的单调性解不等式得解. 【详解】当a＞1时，，所以，所以a＞1； 当0＜a＜1时，，所以，所以. 综合得. 故选：D 【点睛】本题主要考查对数函数不等式的解法，考查对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 例3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 则，所以. 故选：D. 【变式探究】1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性比较大小可得答案. 【详解】因为， ， 所以. 故选：D. 【变式探究】2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用对数函数的性质求得的大小关系和所在范围，再利用指数函数的性质求得b的范围，即可得到的大小关系. 【详解】由在上单调递增，且， 可得，则， 由在上单调递减，且， 则，则， 的大小关系为. 故选：D 【变式探究】3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】， ， ， 所以， 又因为，所以， 故选:A. 例4．函数在上的值域是（    ） A．R B．(－∞，1] C．[0，1] D．[0，＋∞) 【答案】C 【分析】先判断函数为单调增函数，其值域将区间端点带入即可. 【详解】因为函数为单调增函数， 所以在上的值域为 故选：C 【变式探究】1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的值域为可得的值域为. 【详解】由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为， 则的值域为， 故选：A. 【变式探究】2．若函数的定义域是，则函数值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据的单调性求得正确答案. 【详解】根据复合函数单调性同增异减可知在上递增， ， 即. 故选：A 【变式探究】3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质可求原函数的值域. 【详解】设，则，故， 故的值域为， 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 对数与对数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：对数的概念及运算 5 考点二：对数函数的概念及定义域 6 考点三：对数函数的图像 7 考点四：对数函数的单调性和值域 9 【考纲要求】 1．理解指数对数的联系与互化，从而了解反函数的概念. 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． 3．了解对数函数的实际意义，会画对数函数的图象. 4．理解对数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 【考向预测】 1.对数的基本运算 2.对数函数的定义、定义域、值域 3.对数函数的图象和性质 【知识导图】 【知识清单】 1．对数的概念 一般地，如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作： （ a— 底数， N— 真数，— 对数式） 说明：1. 注意底数的限制，a>0且a≠1；2. 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2．两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数, ； （2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , ． 3．对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论：（1）负数和零没有对数 （2）logaa=1, loga1=0 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0 （3）对数恒等式： 4.对数的运算性质 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有： 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍 说明: 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是(0,＋∞) 4) 特别注意： 5.对数函数 （1）对数函数的概念：一般地，形如的函数叫对数函数. （2）对数函数的图像和性质。 图像 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是增函数 （1）定义域： （2）值域： （3）图像过定点： （4）在上是减函数 （3）指对数函数性质比较 图象特征 函数性质 共性 向x轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+ 图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都过定点（0，1） 过定点（0，1） 0<a<1 自左向右看，图象逐渐下降 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 当x>0时,0<y<1; 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 当x<0时,y>1 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始减小极快， 到了某一值后减小速度较慢； a>1 自左向右看，图象逐渐上升 增函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 当x>0时,y>1; 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 当x<0时,0<y<1 图象上升趋势是越来越陡 函数值开始增长较慢， 到了某一值后增长速度极快； 6.反函数： 一般地,设A,B分别为函数y=的定义域和值域,如果由函数y=f(x)可解得唯一也是一个函数(即对任意一个,都有唯一的与之对应),那么就称函数是函数y=的反函数,记作.在中，y是自变量,x是y的函数,习惯上改写成的形式. 指数函数(a>0,且a≠1)与对数函数互为反函数，互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。 【考点分类剖析】 考点一：对数的概念及运算 例1．若（且），则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若，则等于（    ） A． B．6 C． D．3 【变式探究】3．将化成指数式可表示为（    ） A． B． C． D． 例2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．计算等于（    ） A．－1 B． C．3 D．－5 【变式探究】2．（    ） A． B．1 C． D． 例3．函数则（    ） A． B． C． D．9 【变式探究】设函数，则的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D． 例4．的值是（    ） A．1 B． C． D．2 【变式探究】1．下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若,则的值为（    ） A． B． C． D． 考点二：对数函数的概念及定义域 例1．下列函数是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ） A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥ 【变式探究】2．下列函数，其中为对数函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例4．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的定义域为（    ） A．且 B． C． D． 考点三：对数函数的图像 例1．如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式探究】1．在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知函数的图象如图所示，则函数与在同一坐标系中的图像是（    ） A． B．C． D． 例2．函数（，且）的图象一定过点（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数（且）的图象恒过定点（    ） A． B． C． D． 例3．已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式探究】1．如图是三个对数函数的图象，则a、b、c的大小关系是（    ） A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞c＞b 【变式探究】2．函数的图像如图所示，则实数的可能取值为（    ） A． B． C． D． 考点四：对数函数的单调性和值域 例1．若函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若定义在内的函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例2．已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式探究】1．若，则a的取值范围是（    ） A．(1，3) B．(0，1)(3，) C．(0，1) (1，3) D．（0，1） 【变式探究】2．若，则的取值范围是 A． B． C． D． 例3．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 例4．函数在上的值域是（    ） A．R B．(－∞，1] C．[0，1] D．[0，＋∞) 【变式探究】1．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．若函数的定义域是，则函数值域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$