专题2.3 指数与指数函数（考点精讲）-【中职专用】2025年对口招生数学一轮复习讲练测（安徽专用）

专题2.3 指数与指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 6 考点一：指数与指数幂的运算 6 考点二：指数函数的概念 7 考点三：指数函数的定义域和值域 8 考点四：指数函数的图象与性质 9 考点五：指数函数的应用 12 【考纲要求】 1．通过对有理数指数幂（a>0，m，n为正整数，且n>1）、实数指数幂ax（a>0，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 【考向预测】 1.指数的基本运算 2.指数函数的定义、定义域、值域 3.指数函数的图象和性质 4.指数函数的应用 【知识导图】 【知识清单】 1.根式 （1）方根的定义与性质 定义 如果xn=a(a∈R，n＞1，n∈N*），那么x叫做a的n次方根 性质 整数a的偶次方根有两个，他们互为相反数，正、负偶次方根分别表示（n为偶数，a＞0） 负数没有偶次方根（即负数的偶次方根无意义） 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为（n为奇数，a∈R） 0的任何次方根都是0（n∈N*，n＞1） 正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根（n∈N*，n＞） （2）根式的定义与性质 定义 当有意义时，式子叫做根式，n叫做根指数，叫做被开方数 性质 （1） a（n为奇数）， （2） |a|（n为偶数）； 2.分数指数幂及其运算 （1）分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义： 正数的负分数指数幂的意义： 特别地，0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. （2）指数概念的扩充: 引入分数指数幂的概念后，就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充，当a＞0，p是一个无理数时，ap是一个确定的实数.这样，指数概念就扩充到了整个实数范围. （3）有理数指数幂的运算性质： 有理数指数幂的运算性质在形式上与整数指数幂的运算性质完全一样，即： 其中a＞0，b＞0，r,s∈Q. 以上三条运算性质同样适合无理数指数幂. 整数指数幂扩充到实数指数幂的运算性质对比如下： 整数指数幂运算 底数、指数取值范围 实数指数幂运算 底数、指数取值范围 m ，n∈Z a∈R r，a,s∈R，且a＞0，b＞0 m ，n∈Z a∈R r，a,s∈R，且a＞0，b＞0 n∈Z，a∈R， b∈R r，a,b∈R，且a＞0，b＞0 3．指数函数的定义和性质 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是． 指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： 图象 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）过定点，即时 （4）在上是增函数 （4）在上是减函数 4.与指数函数相关的定义域及值域问题 （1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式. （2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。 5.指数式的大小比较 （1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较 （2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较. （3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较. 【考点分类剖析】 考点一：指数与指数幂的运算 例1．下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式探究】1．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 例2． （    ） A． B． C． D． 【变式探究】下列各式中正确的一项是（    ） A． B． C． D． 例3．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式探究】1．代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．用分数指数幂表示得到的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．已知，则（    ） A．5 B． C． D． 【变式探究】1．若，则＝（　　） A． B． C．5 D．25 【变式探究】2．已知，则的值(    ) A． B． C． D． 考点二：指数函数的概念 例1．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 例2．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【变式探究】已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 例3．如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【变式探究】2．若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 例4．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【变式探究】1．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【变式探究】2．指数函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．4 考点三：指数函数的定义域和值域 例1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】y＝2x－1的定义域是（    ） A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】4．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 例3．函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 例4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数，的值域是(    ) A． B． C． D． 【变式探究】2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例5．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为(　　) A． B． C． D． 考点四：指数函数的图象与性质 例1．图像过点的函数是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．函数，，且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 例2．四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 【变式探究】1．函数（，且）的图象可能是（    ）. A． B． C．   D． 【变式探究】2．若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 例3．函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 【变式探究】1．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．函数在上的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 例4．已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知函数且，若对于任意恒成立，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 例5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】1．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式探究】2．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】3．设，则（    ） A． B． C． D． 考点五：指数函数的应用 例1．某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【变式探究】1．第1次从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足，则至少要连续进行以上操作（    ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【变式探究】2．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过小时，这种细菌由个可繁殖(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 例2．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（、为常量）.若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10中的保鲜时间约是（    ） A．49h B．56h C．64h D．76h 【变式探究】1．全球变暖使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%，按此规律，设2018年的冬季冰盖面积为m，从2018年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是（    ）． A． B． C． D． 【变式探究】2．2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（    ）（参考数据：） A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年 【变式探究】3．我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 指数与指数函数 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识导图】 2 【知识清单】 3 【考点分类剖析】 6 考点一：指数与指数幂的运算 6 考点二：指数函数的概念 10 考点三：指数函数的定义域和值域 13 考点四：指数函数的图象与性质 17 考点五：指数函数的应用 23 【考纲要求】 1．通过对有理数指数幂（a>0，m，n为正整数，且n>1）、实数指数幂ax（a>0，x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 2．了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3．理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 【考向预测】 1.指数的基本运算 2.指数函数的定义、定义域、值域 3.指数函数的图象和性质 4.指数函数的应用 【知识导图】 【知识清单】 1.根式 （1）方根的定义与性质 定义 如果xn=a(a∈R，n＞1，n∈N*），那么x叫做a的n次方根 性质 整数a的偶次方根有两个，他们互为相反数，正、负偶次方根分别表示（n为偶数，a＞0） 负数没有偶次方根（即负数的偶次方根无意义） 正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，都表示为（n为奇数，a∈R） 0的任何次方根都是0（n∈N*，n＞1） 正数a的正的n次方根叫做a的n次算术根（n∈N*，n＞） （2）根式的定义与性质 定义 当有意义时，式子叫做根式，n叫做根指数，叫做被开方数 性质 （1） a（n为奇数）， （2） |a|（n为偶数）； 2.分数指数幂及其运算 （1）分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义： 正数的负分数指数幂的意义： 特别地，0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. （2）指数概念的扩充: 引入分数指数幂的概念后，就实现了由整数指数幂向有理数指数幂的扩充，当a＞0，p是一个无理数时，ap是一个确定的实数.这样，指数概念就扩充到了整个实数范围. （3）有理数指数幂的运算性质： 有理数指数幂的运算性质在形式上与整数指数幂的运算性质完全一样，即： 其中a＞0，b＞0，r,s∈Q. 以上三条运算性质同样适合无理数指数幂. 整数指数幂扩充到实数指数幂的运算性质对比如下： 整数指数幂运算 底数、指数取值范围 实数指数幂运算 底数、指数取值范围 m ，n∈Z a∈R r，a,s∈R，且a＞0，b＞0 m ，n∈Z a∈R r，a,s∈R，且a＞0，b＞0 n∈Z，a∈R， b∈R r，a,b∈R，且a＞0，b＞0 3．指数函数的定义和性质 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，叫底数，函数定义域是． 指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质： 图象 性质 （1）定义域： （2）值域： （3）过定点，即时 （4）在上是增函数 （4）在上是减函数 4.与指数函数相关的定义域及值域问题 （1）求由指数函数构成的复合函数的定义域时,可能涉及解指数不等式(即未知数在指数上的不等式),解指数不等式的基本方法是把不等式两边化为同底数幂的形式,利用指数函数的单调性将幂的形式转化为熟悉的不等式. （2）求由指数函数构成的复合函数的值域,一般用换元法即可,但应注意中间变量的值域以及指数函数的单调性。 5.指数式的大小比较 （1）比较同底不同指数幂的大小,利用函数单调性进行比较 （2）比较不同底同指数幂的大小，可利用两个不同底指数函数图象间的关系,结合单调性进行比较. （3）比较既不同底又不同指数幂的大小，可利用中间量结合函数的单调性进行比较. 【考点分类剖析】 考点一：指数与指数幂的运算 例1．下列运算中，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】AB选项，根据指数运算法则计算出答案；CD选项，根据指数运算和对数运算法则进行计算. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：A 【变式探究】1．下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的运算性质得到. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以，从而，故D正确. 故选：D 【变式探究】2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算法则和根式运算法则得到答案. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，当时，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误． 故选：B． 【变式探究】3．下列运算结果中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数幂的运算性质和分数的运算性质逐个分析判断. 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确， 故选：D 例2． （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算，可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 【变式探究】下列各式中正确的一项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂的运算性质，逐项判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：C. 例3．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C. 【变式探究】1．代数式化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由指数函数的运算性质化简即可. 【详解】， 故选：A 【变式探究】2．将写成根式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分数指数幂与根式的互化，即可解题. 【详解】. 故选：D 【变式探究】3．用分数指数幂表示得到的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分数指数幂的运算法则求解即可. 【详解】. 故选：D. 例4．已知，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断所求式子范围，后平方求值即可. 【详解】易知，而 故 故选：D 【变式探究】1．若，则＝（　　） A． B． C．5 D．25 【答案】B 【分析】根据指数幂的运算律求解. 【详解】. 故选:B. 【变式探究】2．已知，则的值(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数的运算性质即可求得. 【详解】因为，所以 . 故选：D. 考点二：指数函数的概念 例1．下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式； 对B，符合定义； 对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 故选：B. 【变式探究】1．指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知得出，进一步结合指数函数性质即可逐一判断各个选项. 【详解】∵，∴，， 若设指数函数，（且），则易知：， 所以当时，；当时，； 故只有才可能是该指数函数经过的点． 故选：C． 【变式探究】2．给出下列函数，其中是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的定义逐个选项分析即可. 【详解】对于A，是幂函数，故错误， 对于B，显然前面系数不为1，故错误， 对于C，显然前面系数不为1，故错误， 对于D，符合指数函数定义，故正确. 故选：D 例2．已知函数，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用给定的分段函数，依次代入计算即得. 【详解】函数，则，所以. 故选：C 【变式探究】已知函数，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】先求出，进而可得出答案. 【详解】由，得， 所以. 故选：A. 例3．如果函数 的图象经过点 ，那么实数 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把给定的点代入指数函数解析式求解即得. 【详解】由函数 的图象经过点 ，得，解得， 所以数 的值为2. 故选：A 【变式探究】1．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指数函数的知识求得正确答案. 【详解】由指数函数的概念，得且，解得． 故选：B 【变式探究】2．若函数是指数函数，则等于（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的定义求解即可. 【详解】因为函数是指数函数， 所以. 故选：C 例4．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 【变式探究】1．已知指数函数的图像经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点，可得，解得， 所以， 故选：A. 【变式探究】2．指数函数的图象经过点，则a的值是（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值. 【详解】因为的图象经过点， 所以，解得， 故选：B. 考点三：指数函数的定义域和值域 例1．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质即可得出选项. 【详解】指数函数的定义域为. 故选：D. 【变式探究】y＝2x－1的定义域是（    ） A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞) C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 【答案】A 【分析】根据实数指数幂的意义可得解. 【详解】因为， 所以， 故选：A 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义域定义求解即可. 【详解】要使得函数有意义， 则，，，解得. 故函数的定义域为. 故选：D. 【变式探究】1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解相应指数不等式求得集合A,然后求交集. 【详解】由，得， 则． 故选：A. 【变式探究】2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的被开方式非负，列出不等式，求解不等式可得答案. 【详解】由题意得，即，解得． 故选：C. 【变式探究】3．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数有意义的条件计算即可得. 【详解】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为. 故选：B. 【变式探究】4．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分母不等于，解出即可. 【详解】因为， 所以. 故选： 例3．函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 【变式探究】函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直接利用指数函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 即函数的值域是， 故选：C. 例4．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】依题意， 令，则， 因为单调递减，且 所以， 所以 . 故选：A. 【变式探究】1．函数，的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，求出g(t)的值域，再根据指数函数单调性求f(x)值域. 【详解】令， 则， 则， 故选：A. 【变式探究】2．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由二次函数的性质，求出，再由指数函数的性质，即可得出结果. 【详解】由二次函数的性质可知， 因此，即函数的值域为. 故选：D. 【变式探究】3．若函数在区间上的最大值比最小值大4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由指数函数的单调性可得最大值和最小值，列方程可得结果. 【详解】∵在R上单调递增，∴在 上单调递增， ∴当x=2时，取得最小值为4；当x=a时，取得最大值为 ， ∴，解得：a=3. 故选：C. 例5．已知当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】解：根据指数函数性质知，解得． 故选：C． 【变式探究】函数在区间上的最大值比最小值大，则的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数为单调函数，根据已知条件构造方程，解方程可得答案． 【详解】∵函数f(x)＝ax(0＜a＜1)在区间[0，2]上为单调递减函数， ∴， ∵最大值比最小值大， ∴1﹣ ， 解得a 故选：A． 考点四：指数函数的图象与性质 例1．图像过点的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数，对数函数和幂函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，当时，，符合题意； 对于B中，当时，，不符合题意； 对于C中，当时，，不符合题意； 对于D中，当时，无意义，不符合题意. 故选：A. 【变式探究】1．函数的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的性质确定定点坐标即可. 【详解】令，则，故函数图象过定点. 故选：D 【变式探究】2．函数，，且的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数型函数的性质，令，代入即可得. 【详解】令，即，有，故其过定点. 故选：D. 例2．四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 【答案】D 【分析】根据指数函数的图象性质求解. 【详解】当时，， 所以图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和， 故选:D. 【变式探究】1．函数（，且）的图象可能是（    ）. A． B． C．   D． 【答案】C 【分析】利用指数函数的图象和性质以及图象的平移变换进行判断. 【详解】因为函数（，且）， 当时，是增函数，并且恒过定点， 又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确； 当时，是减函数，并且恒过定点， 又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误. 故选：C. 【变式探究】2．若，则函数与的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和一次函数的图象性质求解. 【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为 故只有A项正确． 故选：A. 例3．函数在区间上的最大值（    ） A．125 B．25 C． D． 【答案】A 【分析】判断函数的单调性，利用单调性求出最大值即得. 【详解】函数在R上单调递减， 所以当时，. 故选：A 【变式探究】1．下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数、指数函数、幂函数和对数函数的奇偶性与单调性依次判断即可. 【详解】A：二次函数图象的对称轴为，为非奇非偶函数， 且函数在上单调递增，在上单调递增，故A不符合题意； B：指数函数在R上单调递减，为非奇非偶函数，故B不符合题意； C：幂函数在上单调递减，且， 为奇函数，故C符合题意； D：函数，定义域为，且， 所以该函数为偶函数，且在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意. 故选：C 【变式探究】2．函数在上的最大值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【分析】 利用指数函数单调性，求出函数最大值作答. 【详解】 函数在上单调递减， 所以当时，. 故选：D 例4．已知函数，则函数单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指数型复合函数的单调性求解. 【详解】令在单调递增，单调递减， 所以函数在单调递减，单调递增， 故选:C. 【变式探究】1．已知在上是减函数，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】令，则， 因为在上是减函数，由复合函数的单调性知， 函数与的单调性相反； 又因为单调递减， 所以需在上单调递增. 函数的对称轴为，所以只需要， 故选:A. 【变式探究】2．已知函数且，若对于任意恒成立，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据，求出的值域，再利用指数函数的单调性即可求解. 【详解】由，， 即， 的单调递增区间为. 故选：A 例5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在R上增函数，所以，即， 又在R上减函数，所以，即， 所以. 故选：B. 【变式探究】1．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂指数函数的单调性判断指数幂的大小. 【详解】由为减函数，故 ， 由为增函数，故 ， 所以. 故选：C 【变式探究】2．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性和中间值比较出大小关系. 【详解】因为在R上单调递减，， 所以，故， ，故. 故选：C 【变式探究】3．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：A 考点五：指数函数的应用 例1．某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据指数式的运算求解. 【详解】由题可知，所以， 经过天，数量变为原来的16倍，即， 则有，解得， 故选:C. 【变式探究】1．第1次从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满，第2次再从该容器中倒出，又用水填满；…．若要使容器中的纯酒精不足，则至少要连续进行以上操作（    ） A．3次 B．4次 C．5次 D．6次 【答案】B 【分析】计算出4次后，容器中的纯酒精小于，得到答案. 【详解】进行1次后，容器中的纯酒精为；进行2次后，容器中的纯酒精为； 进行3次后，容器中的纯酒精为；进行4次后，容器中的纯酒精为． 故连续进行4次后，容器中的纯酒精不足． 故选：B 【变式探究】2．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂为两个)，经过小时，这种细菌由个可繁殖(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据题意，建立该种细菌分裂的个数的数学模型，求出经过3小时，细菌分裂6次的细菌个数即可． 【详解】根据题意知，该种细菌分裂的个数满足指数函数； 经过3小时，细菌分裂6次，x＝6， 细菌分裂的个数为y＝26＝64． 故选：D． 例2．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（、为常量）.若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10中的保鲜时间约是（    ） A．49h B．56h C．64h D．76h 【答案】C 【分析】由题意，建立方程组，结合指数式的运算性质，利用整体思想，可得答案. 【详解】由题意，可得，解得，则. 故选：C. 【变式探究】1．全球变暖使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%，按此规律，设2018年的冬季冰盖面积为m，从2018年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用衰减指数函数模型求解. 【详解】设北冰洋冬季冰盖面积的年龄均变化率为，则， 所以， 从2018年起，经过x年后冬季冰盖面积， 故选:A. 【变式探究】2．2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（    ）（参考数据：） A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式，求出，从而求出正确答案. 【详解】由题意得：，解得：，故选A. 故选：A 【变式探究】3．我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，设平均每年的增长率为，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的总产值为，我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的倍，然后根据平均增长率的定义列等式即可. 【详解】本题为增长率模型函数，为指数函数形式. 设年总产值为，由于我国工农业总产值从年到年的年间翻了两番，说明年的工农业总产值是年工农业总产值的，则. 故选D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$