第03讲 不等式的基本性质及区间（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第3讲 不等式的基本性质及区间 【考纲要求】 1.不等式的基本性质：掌握判断两个数(式)大小的“作差比较法”,了解不等式的基本性质。 2.区间：理解区间的概念。 1. 不等式的基本性质 （1）实数的大小 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 （2）不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 8 取倒数 不可逆 2．区间 （1）区间的概念 设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 考点1 不等式的基本性质 例1：已知，下列式子不一定成立的是（ ） A． B． C. D． 【答案】D 【解析】不等式的两边同乘以（或除以）同一个负数，不等式的符号要变号；不等式的两边同乘以同一个正数后再加上同一个正数，不等式的符号不变号.在选项D中，m的取值可能是正数，也可能是负数，还可能是0，因此不等式的符号不能确定. 变式1：若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．2a＞b＋2 B．a＋1＞b＋1 C．－a＞－b D．|a| ＞ |b| 【答案】B 【解析】∵a＞b，∴a＋1＞b＋1，故选B． 变式2：如果x＜y，那么下列不等式正确的是(　　) A．2x＜2y B．－2x＜－2y C．x－1＞y－1 D．x＋1＞y＋1 【答案】A 【解析】本题考查了不等式的性质，其中A项两边同乘以一个正数，不等号方向应该不变，所以正确，B项两边同时乘以一个负数，不等号方向应该改编，C、D两选项不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变． 例2：已知a，b，c，d为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，若，，，，不等式不成立； 对于B，取，，，，不等式不成立； 对于C，因为且，，所以由不等式的同项可加性，，不等式成立； 对于D，当，时，不等式不成立. 变式1：若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，，又，知：，但无法确定符号，错误； 对于B，，，故，正确； 对于C，由，知，即，正确； 对于D，由，有，正确； 变式2：如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由选项可知，仅需要比较三个数的大小，显然， ，所以最大，由可得，，所以，即，可得. 例3：已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞－b，则c－a＜c＋b C．若a＞b，c＜d，则＞ D．若a2＞b2，则－a＜－b 【答案】B　 【解析】选项A，若a＝4，b＝2，c＝5，显然不成立，选项C不满足倒数不等式的条件，如a＞b＞0，c＜0＜d时，不成立；选项D只有a＞b＞0时才可以．否则如a＝－1，b＝0时不成立. 变式1：:若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(　　) A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0 【答案】D　 【解析】由a＞0，d＜0，且abcd＜0，知bc＞0， 又∵b＞c，∴0＜c＜b或c＜b＜0. 变式2：下列结论中不正确的个数是（    ） （1）若，则       （2）若，则 （3）若，则     （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】对（1），当时，显然，故（1）错误； 对（2），若，满足，但，故（2）错误； 对（3），取，满足，但，故（3）错误； 对（4），取，满足，但，故（4）错误；则（1）（2）（3）（4）都不正确. 变式3：若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，当时，，故A错误；对于B，当时，，故B错误；对于C，，由，则，故C正确；对于D，当时，，则，故D错误. 变式4：若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确； 对于B选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，若，，则，B选项错误； 对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误； 对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误. 考点2：实数比较大小 例1：已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【解析】由题得，故选：B. 变式1：设，，则，的大小关系为 . 【答案】 【解析】，，，，、的大小关系为；故答案为：. 变式2：已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，，，故选：. 考点3：不等式性质应用 例1：设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 【答案】A 【解析】 M－N＝x2＋x＋1＝(x＋)2＋＞0. ∴M＞N. 变式：已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，．，，． 例2：比较 x2＋3与2x 的大小； 【解析】(x2＋3)－2x＝x2－2x＋3＝2＋2≥2＞0，∴x2＋3＞2x. 变式1：若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是(　　) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M≥－5 D．M≤－5 【答案】A　 【解析】M－(－5)＝x2＋y2＋4x－2y＋5＝(x＋2)2＋(y－1)2， ∵x≠－2，y≠1，∴(x＋2)2＞0，(y－1)2＞0，因此(x＋2)2＋(y－1)2＞0. 故M＞－5. 变式2：已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 【解析】(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2 ＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)， ∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴(a－b)2＞0，a＋b＞0.∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＞0， 即a3＋b3＞a2b＋ab2. 例3：已知1＜a＜4,2＜b＜8.试求2a＋3b与a－b的取值范围． 【解析】　∵1＜a＜4,2＜b＜8， ∴2＜2a＜8,6＜3b＜24 ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8， ∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4， ∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)，即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)． 变式1：已知，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，由，得.故选：A. 变式:2：已知1＜a＜4,2＜b＜8，求的取值范围． 【解析】∵2＜b＜8，∴＜＜， 而1＜a＜4， ∴1×＜a·＜4×，即＜＜2. 故的取值范围是(，2)． 变式3：设α∈，β∈[，则2α－的范围是(　　) A. B．[ [ C. D．( 【答案】D 【解析】　0＜2α＜π，0≤≤， ∴－≤－≤0，由同向不等式相加得到－＜2α－＜π. 例4：已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 【证明】∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0， 又∵a＞b＞0， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜，又∵e＜0， ∴＞. 变式1：已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp. 【证明】∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp. ∴－ap＜－bp， 又m＞n，即n＜m. ∴n－ap＜m－bp. 变式2：若－1＜a＜b＜0，试比较，，a2，b2的大小． 【解析】∵－1＜a＜b＜0， ∴－a＞－b＞0， ∴a2＞b2＞0. ∵a＜b＜0， ∴a·＜b·＜0， 即0＞＞， ∴a2＞b2＞＞. 考点4：区间的表示 例1：设集合，则 . 【答案】 【解析】由于，所以，故答案为：. 变式1：若全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得，所以，故选：B. 变式2：已知，，则的范围是 . 【答案】 【解析】，，，故答案为：. 变式3：已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】，，，，即的取值范围是，故答案为：.: 例2：已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，解得，即. 变式：已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，解得，故，即. 例2：函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可知，，解得，故的定义域为. 变式：已知，，且，则实数a的取值范围为 . 【答案】 ( , a] 【解析】因为，所以。故答案为： ( , a] 例3：已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；；(2) 【解析】解：(1)若，则，，则，. (2)若，则，因为，，所以，解得. 变式：已知集合，． （1）在①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2). 【解析】（1）选择①，当时，，因为，所以； 选择②，当时，，因为，所以； 选择③．当时，，因为，所以． （2）若，则，因为，，所以，解得，即的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 不等式的基本性质及区间 【考纲要求】 1.不等式的基本性质：掌握判断两个数(式)大小的“作差比较法”,了解不等式的基本性质。 2.区间：理解区间的概念。 1. 不等式的基本性质 （1）实数的大小 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔a－b>0. a＝b⇔a－b＝0. a<b⇔a－b<0 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小 （2）不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 8 取倒数 不可逆 2．区间 （1）区间的概念 设a，b是两个实数，且a＜b，则有下表： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半闭区间 (a，b] (2)实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”．如： 符号 [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 集合 {x|x≥a} x＞a {x|x≤a} {x|x＜a} 考点1：不等式的基本性质 例1：已知，下列式子不一定成立的是（ ） A． B． C. D． 变式1：若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ） A．2a＞b＋2 B．a＋1＞b＋1 C．－a＞－b D．|a| ＞ |b| 变式2：如果x＜y，那么下列不等式正确的是(　　) A．2x＜2y B．－2x＜－2y C．x－1＞y－1 D．x＋1＞y＋1 例2：已知a，b，c，d为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式1：若，下列不等式中不一定成立的是（　　） A． B． C． D． 变式2：如果，，那么下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 例3：已知：a，b，c，d∈R，则下列命题中必成立的是(　　) A．若a＞b，c＞b，则a＞c B．若a＞－b，则c－a＜c＋b C．若a＞b，c＜d，则＞ D．若a2＞b2，则－a＜－b 变式1：:若abcd＜0，且a＞0，b＞c，d＜0，则(　　) A．b＜0，c＜0 B．b＞0，c＞0 C．b＞0，c＜0 D．0＜c＜b或c＜b＜0 变式2：下列结论中不正确的个数是（    ） （1）若，则       （2）若，则 （3）若，则     （4）若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3：若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 变式4：若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（       ） A． B． C． D． 考点2：实数比较大小 例1：已知则的大小关系为（     ） A． B． C． D．无法判断 变式1：设，，则，的大小关系为 . 变式2：已知，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 考点3：不等式性质应用 例1：设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　　) A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．与x有关 变式：已知 ，那么 的大小关系是（       ） A． B． C． D． 例2：比较 x2＋3与2x 的大小； 变式1：若x≠－2且y≠1，则M＝x2＋y2＋4x－2y的值与－5的大小关系是(　　) A．M＞－5 B．M＜－5 C．M≥－5 D．M≤－5 变式2：已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小． 例3：已知1＜a＜4,2＜b＜8.试求 2a＋3b 与a－b的取值范围． 变式1：已知，，求的取值范围． 变式2：已知1＜a＜4,2＜b＜8，求 的取值范围． 变式3：设α∈，β∈[，求2α－的范围． 例4：已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 变式1：已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp. 变式2：若－1＜a＜b＜0，试比较 ， ， a2， b2的大小． 考点4 区间的表示 例1：设集合，则 . 变式1：若全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 变式2：已知，，则的范围是 . 变式3：已知，，则的取值范围是 . 例2：已知集合，，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式：已知集合，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例2：函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式：已知，，且，则实数a的取值范围为 . 例3：已知集合，. （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围. 变式：已知集合，． （1）在①，②，③这三个条件中选择一个作为已知条件，求； （2）若，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$