第2章 第8讲 对数函数（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第8讲　对数函数 　1.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数． 1．对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)． 2．对数函数的图象与性质 y＝logax，a>1 y＝logax，0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 过定点(1，0)，即当x＝1时，y＝0 当x>1时，y>0； 当0<x<1时，y<0 当x>1时，y<0； 当0<x<1时，y>0 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 3．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换，它们的图象关于y＝x对称． 常用结论 1．对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的图象恒过点(1，0)，(a，1)，(，－1)． 2．如图给出4个对数函数的图象， 则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　) (2)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　) (3)当x＞1时，若logax＞logbx，则a＜b.(　　) (4)函数y＝log2x与y＝log的图象重合．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．回源教材 (1)设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则(　　) A．a＞b＞c　　　　　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a　　 D．c＞b＞a 解析：A　法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图可知，当x＝6时，log0.26＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c. 法二：易知0＞log60.4＞log60.3＞log60.2， 所以 ＜＜， 即log0.46＜log0.36＜log0.26， 即a＞b＞c. (2)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　) 解析：D　当0＜a＜1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递减， 于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递增， 函数y＝loga(x＋)的图象过定点(，0)，在(－，＋∞)上单调递减， 因此，D中的两个图象符合． 当a＞1时，函数y＝ax的图象过定点(0，1)，在R上单调递增， 于是函数y＝的图象过定点(0，1)，在R上单调递减，函数y＝loga(x＋)的图象过定点(，0)，在(－，＋∞)上单调递增， 显然A，B，C三个选项都不符合，故选D． (3)函数y＝的定义域为________． 解析：要使函数有意义， 则需解得＜x≤1. 答案：(，1] 　对数函数的图象及应用 例1　(1)(2024·通辽模拟)若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga|x＋k|的大致图象是(　　) 解析：B　因为函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a＞0，a≠1)在R上是奇函数， 所以f(0)＝0，所以k＝2，经检验，k＝2满足题意， 因为f(x)为减函数，所以0＜a＜1，则g(x)＝loga|x＋2|(0＜a＜1)． 由g(－4－x)＝loga|－4－x＋2|＝loga|x＋2|＝g(x)，可知g(x)的图象关于直线x＝－2轴对称，排除选项C，D；又g(0)＝loga|0＋2|＝loga2＜0，可知选项A错误， 所以g(x)的大致图象为B．故选B． (2)当x∈(0，1)时，不等式x2＜loga(x＋1)(其中a＞0且a≠1)恒成立，则a的取值范围为(　　) A．(0，)　　　　 B．(，1) C．(1，2)　　 D．(1，2] 解析：D　作出函数y＝x2与y＝loga(x＋1)的图象如图，要使当x∈(0，1)时，不等式x2＜loga(x＋1)恒成立，则a＞1且loga(1＋1)＝loga2≥1，解得1＜a≤2.∴a的取值范围为(1，2]． 反思感悟 1．在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． 2．对于较复杂的指数或对数不等式有解或恒成立问题，可借助函数图象解决，具体步骤如下： (1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)． (2)在同一平面直角坐标系内作出函数y＝f(x)及函数y＝g(x)的图象． (3)观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数，由此确定参数的取值或不等式的解的情况． 训练1　(1)函数f(x)＝loga|x|＋1(0＜a＜1)的图象大致为(　　) 解析：A　由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y轴对称．设g(x)＝loga|x|，先画出x＞0时，g(x)的图象(图略)，然后根据g(x)的图象关于y轴对称画出x＜0时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上平移一个单位长度即得f(x)的图象，结合图象知选A． (2)若方程4x＝logax在(0，]上有解，则实数a的取值范围为________． 解析：若方程4x＝logax在(0，]上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在(0，]上有交点，由图象知解得0＜a≤. 答案：(0，] 　对数函数的性质及应用 　比较对数式的大小 例2　(2024·武汉质检)已知a＝log30.5，b＝log3π，c＝log43，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　 B．b＜a＜c C．a＜c＜b　　 D．c＜a＜b 解析：C　a＝log30.5＜log31＝0，即a＜0； b＝log3π＞log33＝1，即b＞1； 0＝log41＜log43＜log44＝1，即0＜c＜1， ∴a＜c＜b. 反思感悟 比较对数函数值大小的方法 单调 性法 在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底 中间量 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 　解对数方程、不等式 例3　已知不等式logx(2x2＋1)＜logx(3x)＜0成立，则实数x的取值范围是________． 解析：原不等式⇔①或② 解不等式组①得＜x＜， 不等式组②无解， 所以实数x的取值范围是(，)． 答案：(，) 反思感悟 常见的对数不等式的类型及解题方法 (1)解形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，常借助函数y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论． (2)解形如logaf(x)＞b的不等式，应先将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助函数y＝logax的单调性求解． (3)解形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式，利用对数函数的单调性“脱去”对数符号，同时应保证真数大于零． 　对数函数性质的综合应用 例4　(2024·武汉模拟)函数f(x)＝loga(3－2ax)在区间[1，2]上单调递增，则实数a的取值范围为(　　) A．(0，1)　　 B．(，1) C．(0，)　　 D．(1，＋∞) 解析：C　设u(x)＝3－2ax(a＞0且a≠1)， 则u(x)是减函数，要使得函数f(x)＝loga(3－2ax)在[1，2]上单调递增， 只需y＝logau为减函数，且满足u(x)＝3－2ax＞0在x∈[1，2]上恒成立， 所以解得0＜a＜， 所以实数a的取值范围为(0，)． 反思感悟 解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0，1)，还是a∈(1，＋∞)． (2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行． (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性． 训练2　(1)设a＝log412，b＝log515，c＝log618，则(　　) A．a＞b＞c　　 B．b＞c＞a C．a＞c＞b　　 D．c＞b＞a 解析：A　a＝1＋log43，b＝1＋log53，c＝1＋log63， ∵log43＞log53＞log63，∴a＞b＞c. (2)若函数f(x)＝loga(x2－ax＋)(a＞0，且a≠1)有最小值，则实数a的取值范围是________． 解析：令u(x)＝x2－ax＋＝(x－)2＋－，则u(x)有最小值－， 欲使函数f(x)＝loga(x2－ax＋)有最小值， 则有 解得1＜a＜，即实数a的取值范围为(1，)． 答案：(1，) (3)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f(1)＝2，则不等式f(log2x)＞2的解集为________． 解析：因为定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，f(1)＝2，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，f(－1)＝f(1)＝2，因此不等式f(log2x)＞2可化为f(log2x)＞f(1)，所以log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜，即不等式f(log2x)＞2的解集为(0，)∪(2，＋∞)． 答案：(0，)∪(2，＋∞) 　指数、对数、幂大小比较的方法 　利用图象与性质比较大小 比较大小时，若题设涉及指数式、对数式，则应考虑指数函数、对数函数的图象与性质，此外，要特别注意数字“0”和“1”等在比较大小问题中的桥梁作用． 例1　若a＝()－0.3，b＝log52，c＝e－，则(　　) A．a＜b＜c　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a　　 D．c＜b＜a 解析：C　结合指数函数y＝()x的图象易知a＝()－0.3＞1；结合对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上单调递增可知b＝log52＜log5＝；又c＝e－＝∈(，1)，所以b＜c＜a.故选C． 训练1　设a＝5－0.7，b＝log，c＝lg ，则这三个数之间的大小关系是(　　) A．a＞b＞c　　 B．a＞c＞b C．b＞c＞a　　 D．b＞a＞c 解析：D　结合函数y＝5x，y＝logx，y＝lg x的图象(图略)易知0＜a＝5－0.7＜50＝1，b＝log＞log＝1，c＝lg ＜lg 1＝0，所以b＞a＞c.故选D． 　三元变量的比较大小问题 比较大小时，若题设涉及三个指数式连等，或三个对数式连等，则可利用特例法求解，也可在设元变形的基础上，灵活运用相关函数的性质求解． 例2　设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z＞0，则，，的大小关系不可能是(　　) A．＜＜　　 B．＜＜ C．＝＝　　 D．＜＜ 解析：B　法一：取x＝2，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝3，z＝5，此时易知＝＝，此时选项C正确． 取x＝4，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝9，z＝25，此时易知＜＜，此时选项A正确． 取x＝，则由log2x＝log3y＝log5z得y＝，z＝，此时易知＜＜，此时选项D正确． 综上，利用排除法可知本题应选B． 法二：设log2x＝log3y＝log5z＝k， 则x＝2k，y＝3k，z＝5k， 所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1. 又易知k＞0，接下来对k与1的大小关系加以讨论． 若k＝1，则＝1，＝1，＝1，所以＝＝，所以选项C有可能正确． 若0＜k＜1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递减可得2k－1＞3k－1＞5k－1，所以＜＜，所以选项D有可能正确． 若k＞1，则根据函数f(t)＝tk－1在(0，＋∞)上单调递增可得2k－1＜3k－1＜5k－1，所以＜＜，所以选项A有可能正确． 综上，利用排除法可知应选B． 训练2　设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则(　　) A．3y＜2x＜5z　　 B．2x＜3y＜5z C．3y＜5z＜2x　　 D．5z＜2x＜3y 解析：A　法一：中间值法 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1，则x＝，y＝，z＝. 所以3y＝，2x＝，5z＝ . 因为＝＞＝，＝＞＝， 所以lg ＞lg ＞lg ＞0. 又k＞1，所以lg k＞0，所以3y＜2x＜5z. 法二：特值法 取z＝1，则由2x＝3y＝5得x＝log25，y＝log35，所以2x＝log225＜log232＝5z，3y＝log3125＜log3243＝5z，所以5z最大． 取y＝1，则由2x＝3得x＝log23，所以2x＝log29＞3y. 综上可得，3y＜2x＜5z，故选A． 学科网（北京）股份有限公司 $$