第2章 第5讲 二次函数与幂函数（word教师用书）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

第5讲　二次函数与幂函数 　1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)． 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 　幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限．图象若与坐标轴有交点，则一定交于坐标原点． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)． (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点． 3．二次函数的图象与性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R 值域 [，＋∞) (－∞，] 单调性 在[－，＋∞)上单调递增； 在(－∞，－]上单调递减 在(－∞，－]上单调递增； 在[－，＋∞)上单调递减 奇偶性 当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数 顶点 (－，) 对称性 图象关于直线x＝－成轴对称图形 常用结论 1．一般地，对于幂函数f(x)＝x(m∈Z，n∈N*，m与n互质)，当m为偶数时，f(x)为偶函数；当m，n均为奇数时，f(x)为奇函数；当n为偶数时，f(x)为非奇非偶函数． 2．幂函数的图象：在第一象限内，在直线x＝1右侧，其指数越大，图象越高，即“指大图高”． 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)函数y＝2x是幂函数．(　　) (2)当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增．(　　) (3)当n是偶数时，幂函数y＝x(m，n∈Z，且m是奇数)是偶函数．(　　) (4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．回源教材 (1)已知幂函数f(x)的图象过点(2，)，则f(4)的值是(　　) A．64　　 B．4　 C．　　 D． 解析：D　设f(x)＝xα，由f(2)＝2α＝，得α＝－1，则f(x)＝x－1，故f(4)＝4－1＝. (2)函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1，2]的值域为(　　) A．[－6，2]　　 B．[－6，1] C．[0，2]　　 D．[0，1] 解析：A　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1， 则f(x)在[－1，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，∴f(x)max＝f(1)＝2， f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6， 即f(x)的值域为[－6，2]． (3)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系为________． 解析：由幂函数、指数函数的单调性知0.30.4＜0.30.3，0.40.3＞0.30.3，即c＜b＜a. 答案：c＜b＜a 　幂函数的图象与性质 1．(多选)下列说法正确的是(　　) A．若幂函数的图象经过点(，2)，则其解析式为y＝x－3 B．若函数f(x)＝x－，则f(x)在区间(－∞，0)上单调递减 C．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1) D．若函数f(x)＝，则对于任意的x1，x2∈[0，＋∞)，都有≤f() 解析：CD　若幂函数的图象经过点(，2)，则其解析式为y＝x－，故A错误．函数f(x)＝x－是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，故其在(－∞，0)上单调递增，故B错误．幂函数y＝xα(α>0)的图象始终经过点(0，0)和(1，1)，故C正确．作出y＝的图象(图略)，易知≤f()成立，D正确． 2．已知幂函数y＝x(p，q∈N*，q＞1且p，q互质)的图象如图所示，则(　　) A．p，q均为奇数，且＞1 B．q为偶数，p为奇数，且＞1 C．q为奇数，p为偶数，且＞1 D．q为奇数，p为偶数，且0＜＜1 解析：D　由幂函数的图象关于y轴对称，可知该函数为偶函数，所以p为偶数，则q为奇数． 因为幂函数y＝x的图象在第一象限内向上凸起， 且在(0，＋∞)上单调递增， 所以0＜＜1. 3．若a＝()，b＝()，c＝()，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a＜b＜c　　 B．c＜a＜b　　　　 C．b＜c＜a　　 D．b＜a＜c 解析D　因为y＝x在第一象限内是增函数， 所以a＝()＞b＝()， 因为y＝()x是减函数， 所以a＝()＜c＝()，所以b＜a＜c. 反思感悟 1．幂函数y＝xα(α∈R)只有一个参数α，因此只需一个条件可确定解析式． 2．在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴． 3．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 　二次函数的解析式 例1　已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式． 解：法一(利用“一般式”解题)： 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二(利用“顶点式”解题)： 设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝＝， 所以m＝. 又根据题意，函数有最大值8， 所以n＝8， 所以f(x)＝a(x－)2＋8. 因为f(2)＝－1，所以a(2－)2＋8＝－1， 解得a＝－4， 所以f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三(利用“零点式”解题 )： 由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8. 解得a＝－4. 故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 反思感悟 求二次函数解析式的三个策略 (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式． (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式． (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式． 训练1　(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于(　　) A．x2－2x＋1　　 B．x2＋2x＋1 C．2x2－2x＋1　　 D．2x2＋2x－1 解析：B　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则f′(x)＝2ax＋b，由f(x)＝x2＋f′(x)－1， 可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋(b－1)， 所以解得 因此，f(x)＝x2＋2x＋1. (2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________． 解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， 所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称． 又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 所以f(x)＝0的两根为2－＝1和2＋＝3， 所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0)， 因此设f(x)＝a(x－1)(x－3)． 又点(4，3)在y＝f(x)的图象上， 所以3a＝3，则a＝1， 故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3. 答案：x2－4x＋3 　二次函数的图象与性质 　二次函数的图象 例2　设abc＞0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 解析：D　因为abc＞0， 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，那么可知， 在A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意； B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意； C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意； D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意． 　二次函数的单调性与最值 例3　(2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1. (1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； (2)若a＞0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式． 解：(1)当a＞0时， f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足≥2，a＞0，解得0＜a≤. 当a＜0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝＜0， 所以f(x)在区间[1，2]上单调递减需满足a＜0， 综上，a的取值范围是(－∞，0)∪(0，]． (2)①当0＜＜1，即a＞时， f(x)在区间[1，2]上单调递增， 此时g(a)＝f(1)＝3a－2. ②当1≤≤2，即≤a≤时， f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，此时g(a)＝f()＝2a－－1. ③当＞2，即0＜a＜时， f(x)在区间[1，2]上单调递减， 此时g(a)＝f(2)＝6a－3， 综上所述，g(a)＝ 反思感悟 1．分析二次函数图象问题要抓住三点： 一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象，反之，也能从图象中得到以上信息． 2．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论． 训练2　(1)函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[－3，0)　　 B．(－∞，－3] C．[－2，0]　　 D．[－3，0] 解析：D　当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意． 当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝， 由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a＜0. 综上，a的取值范围为[－3，0]． (2)(2024·厦门模拟)函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可以是(　　) 解析：C　若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A，D； 对于选项B，由直线可知a＞0，b＞0，从而－＜0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B． 训练3　设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值． 解：f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为x＝1. 当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数， 所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1； 当t＜1＜t＋1，即0＜t＜1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x＝1处取得最小值，最小值为f(1)＝1； (1)　　　　　　　(2)　　　 　　　(3) 当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数， 所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2. 综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1， 当0＜t＜1时，f(x)min＝1， 当t≥1时，f(x)min＝t2－2t＋2. 　几类特殊函数 　对勾函数、飘带函数 1．对勾函数y＝ax＋(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性：奇函数． ②单调性： 单调递增区间：(－∞，－)，(　，＋∞)； 单调递减区间：(－，0)，(0, )． ③渐近线：y＝ax和x＝0. (2)图象 2．飘带函数y＝ax－(a＞0，b＞0) (1)性质 ①奇偶性：奇函数． ②单调性：在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增． ③渐近线：x＝0. (2)图象 例1　(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　) A．当a＞0时，f(x)在定义域上单调递增 B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞) C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) D．当a＞0时，f(x)的值域为R 解析：BCD　当a＞0时，f(x)＝x－，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．则f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，当x→0＋时，f(x)→－∞，故f(x)的值域为R，故A错误，D正确； 当a＝－4时，f(x)＝x＋为对勾函数，其单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，故B正确； 当x＞0时，x＋≥2＝4(当且仅当x＝2时取等号)， 当x＜0时， x＋＝－ ≤－2＝－4(当且仅当x＝－2时取等号)． 故f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)， 故C正确． 训练1　形如f(x)＝x＋(a＞0)的函数，我们称之为“对勾函数”，“对勾函数”具有如下性质：该函数在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．已知函数f(x)＝x＋(a＞0)在[2，4]上的最大值比最小值大1，则a＝________． 解析：由对勾函数的性质，可得f(x)在(0，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增． ①当≤2，即0＜a≤4时，f(x)在[2，4]上单调递增，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f(2)＝4＋－2－＝2－＝1，解得a＝4. ②当≥4，即a≥16时，f(x)在[2，4]上单调递减，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f(4)＝2＋－4－＝－2＝1，解得a＝12(舍去)． ③当2＜＜4，即4＜a＜16时，f(x)在[2，)上单调递减，在(，4]上单调递增，f(x)min＝f()＝2，f(x)max＝f(2)或f(4)． 当f(x)max＝f(2)时，f(x)max－f(x)min＝f(2)－f()＝2＋－2＝1， 解得＝2＋或＝2－(舍去)，则a＝6＋4，经验证，符合题意． 当f(x)max＝f(4)时，f(x)max－f(x)min＝f(4)－f()＝4＋－2＝1， 解得＝6或＝2，即a＝36(舍去)或a＝4(舍去)． 综上，a的值为4或6＋4. 答案：4或6＋4 　高斯函数、狄利克雷函数、最值函数 1．高斯函数y＝[x] (1)定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数． (2)性质 ①定义域：R；值域：Z. ②不具有单调性、奇偶性、周期性． (3)图象 2．狄利克雷函数D(x)＝的性质 (1)定义域R；值域{0，1}． (2)奇偶性：偶函数． (3)周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期． (4)无法画出函数的图象，但其图象客观存在． 3．最值函数的概念 设min{a，b}＝max{a，b}＝ 直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样的，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数． 例2　(1)(多选)(2024·金华调研)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，函数g(x)＝[f(x)]，则下列命题中为真命题的是(　　) A．g(x)图象关于x＝0对称 B．f(x)是奇函数 C．f(x)在R上是增函数 D．g(x)的值域是{－1，0，1} 解析：BC　根据题意，知f(x)＝－＝－＝－. ∵g(1)＝[f(1)]＝＝0， g(－1)＝[f(－1)]＝＝－1， ∴g(1)≠g(－1)，g(1)≠－g(－1)， ∴函数y＝g(x)既不是奇函数也不是偶函数，不关于直线x＝0对称，A错误； y＝f(x)的定义域为R， ∵f(－x)＝－＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，B正确； 任取x1＞x2， f(x1)－f(x2)＝(－)－(－)＝－＝， ∵x1＞x2，则e x1＞e x2，即e x1－e x2＞0， ∴f(x1)＞f(x2)，∴f(x)＝－在R上是增函数，C正确； ∵ex＞0，∴1＋ex＞1， ∴0＜＜1，则－＜－＜， 即－＜f(x)＜，∴g(x)＝[f(x)]的值域为{－1，0}，D错误． (2)(多选)(2024·济南质检)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数f(x)＝称为狄利克雷函数，则关于函数f(x)的叙述，正确的是(　　) A．函数y＝f(x)的图象是两条直线 B．f(f(x))＝1 C．f()＞f(1) D．∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x) 解析：BD　　对于A，函数y＝f(x)的图象是断续的点集，不是两条直线，A错误； 对于B，当x为有理数时，f(x)＝1， 所以f(f(x))＝f(1)＝1， 当x为无理数时，f(x)＝0，f(f(x))＝f(0)＝1，B正确； 对于C，f()＝0，f(1)＝1， 所以f(1)＞f()，C错误； 对于D，由题意，函数定义域为R，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数， 若x是有理数，则x＋T也是有理数； 若x是无理数，则x＋T也是无理数； 所以根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T， f(x＋T)＝f(x)对∀x∈R恒成立， 故f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)＝f(1－x)， 所以∀x∈R，都有f(1－x)＝f(2＋x)， D正确． (3)若函数f(x)＝(x，t∈R)的最大值记为g(t)，则函数g(t)的最小值为________． 解析：设u＝sin x＋＝(sin x＋3)＋－3， 由3＋sin x∈[2，4]，故u∈， 原题可化为φ(u)＝|u＋t|的最大值记为g(t)， 于是g(t)＝max ＝max，g(t)的图象如图所示， 由得 即g(t)的最小值为. 答案： 训练2　设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1，已知函数f(x)＝4x－－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　) A．　　 B．{－1，0，1} C．{－1，0，1，2}　　 D．{0，1，2} 解析：B　f(x)＝4x－－3×2x＋4(0＜x＜2)， 令t＝2x，t∈(1，4)， 可得g(t)＝t2－3t＋4＝(t－3)2－， g(t)在(1，3]上递减，在[3，4)上递增， 当t＝3时，g(t)有最小值g(3)＝－， 又因为g(1)＝，g(4)＝0， 所以当t∈(1，4)时，g(t)∈， 即函数f(x)的值域为， 当f(x)∈时，[f(x)]＝－1； f(x)∈[0，1)时，[f(x)]＝0； f(x)∈时，[f(x)]＝1. 所以y＝[f(x)]的值域是{－1，0，1}． 　一次分式函数 1．定义：我们把形如y＝(a≠0，ad≠bc)的函数称为一次分式函数． 2．图象 　　 3．性质 (1)定义域：；值域； (2)对称中心：(－，)； (3)渐近线方程：x＝－和y＝； (4)单调性：当ad＞bc时，函数在区间(－∞，－)和(－，＋∞)分别单调递减；当ad＜bc时，函数在区间(－∞，－)和(－，＋∞)分别单调递增． 例3　已知函数f(x)＝，其中a∈R. (1)当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求a的值； (2)若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围． 解：(1)f(x)＝＝＝a＋， 所以f(x)的对称中心为点(－1，a)， 由题意得a＝3. (2)由f(x)＝知直线x＝－1为f(x)的一条渐近线，又由一次分式函数的性质知，当且仅当1×(2－a)＞1×a， 即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减， 故a的取值范围是(－∞，1)． 训练3　函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于(　　) A．2　　 B．4　 C．6　　 D．8 解析：D　函数y＝与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象均关于点(1，0)成中心对称， 从图象可知两函数共有8个交点，均关于点(1，0)成中心对称，即横坐标之和等于8. 学科网（北京）股份有限公司 $$