第6章 3.2 离散型随机变量的方差-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

3.2 离散型随机变量的方差 白题 基础过关 限时:25 min 题组1 离散型随机变量的方差与标准差 x012 1. 下列说法不正确的是 -_ 一。 A. 离散型随机变量的方差越大,随机变量越 b 稳定 若EX=1.则 ( B. 若a是常数,则Da三( __ #A.-## C. 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏 离于均值的平均程度 D. 随机变量的方差和标准差越小,则偏离变 C.FY=2 量的平均程度越小 7.(2024·陕西渭南高二期末)随机变量X的分 2. 已知随机变量的分布列如下表,则的标 布列如下表,则E(2X-1)= ) ,D(2X- 准差为 ( 1)= -n ,2 5 X 0 2 p 0.4 0.1 P 0.3 P 0.3 A.3.56 B.3.2 C.3.2 D. /3.56 题组3 离散型随机变量的方差的应用 3.(2024·陕西西安高二月考)已知随机变量X 8.(2023·江苏南通高二期中)投资甲、乙两种 的分布列如下表,则DX= ( ) 股票,每股收益(单位:元)分别如下表 X -2 )2 甲种股票收益分布列 乙种股票收益分布列 #。 收益 2 。 收益 P n 2 概率 0.10.3 0.6 概率 0.20.50.3 A.2 B.3 C.4 D.5 则下列说法正确的是 ( 题组2 离散型随机变量的方差的性质 ) A. 投资甲种股票期望收益大 4.(2024·河南南阳高二期末)已知随机变量X. Y满足Y=-2X.且DX=2.则DY= B. 投资乙种股票期望收益大 ) C.4 D.-4 B.8 A.16 C. 投资甲种股票的风险更高 5. 记i.n为两个离散型随机变量,则下列结论 D. 投资乙种股票的风险更高 不正确的是 ) ( 9. 学习强国新开通一项“争上游答题”栏目,其 A. E(2+1)=2Fg+1 B.D(n-2)=Dm 规则是比赛两局,首局胜利积3分,第二局胜 C. E(f+n)=Fg+Em D. D(f+)=Dg+Dn 利积2分,失败均积1分,某人每局比赛胜利 6.(多选)(2024·浙江杭州高三月考)已知两个 离散型随机变量X.V.满足Y=2X-1.其中x 则D叫= 的分布列如下; 第六章 黑白题139 应用提优 限时:50min 1.已知随机变量满足P(=x)=ax+b(x=-1,0.1). 2.(2024·江苏镇江高三月考)若随机变量X服 6.将3只小球放入3个盒子中,盒子的容量不 从两点分布,其中P(X=0)= 限,且每个小球落入盒子的概率相等,记X为 为随机变量X的均值与方差,则下列结论 分配后所剩空盒子的个数,Y为分配后不空 不正确的是 __~ ( 盒子的个数,则 , ) A. P(X=1)=EX B. E(3X+2)=4 A. EX=EY.DX=DY ~。 D. DX= C. D(3X+2)=4 B. EX=EY.DXDY C. EXEY.DX=DY 3.(2024·辽宁辽阳高二期末)小明参加某射击 D. FXEY.DXDY 比赛,射中得1分,未射中扣1分,已知他每次 7. 某高科技公司所有雇员的工资情况如下表 所示. ) X.则DX= 年薪/万元 13595 80 70 60 52 40 31 人数 该公司雇员年薪的标准差约为 万元. 4.(2024·河南周口高三期末)已知随机变量】 (结果保留一位小数 满足E(1-X)=5.D(1-X)=5.则下列说法正 ) 8.若X是离散型随机变量,P(X=x)= 2 确的是 ( 3 A. EX=-5.DX=5 B. EX=-4.DX=5 C. EX=-5.DX=-5 ,则x+x。的值为 D. FX=-4./DX=-4 5.(2023·安徽滁州高二期末)设0<m<1.随机 9.已知随机变量的所有可能取值为n,n.其中 变量的分布列为 $$P( =m)=P(=n)= m+n 0 n 1 当D取最小值时,mn= 2a-1 (sC P 10.(2024·浙江杭州高二期中)根据历史资料 3 显示,某种慢性疾病患者的自然痊愈率为 则当n在(0.1)上增大时 5%.为试验一种新药,在有关部门批准后,医 院将此药给10位病人服用,试验方案为:若 这10人中至少有2人痊愈,则认为该药有 选择性必修第一册·BS 黑白题140 效,提高了治愈率;否则认为该药无效 用频率估计概率 (1)如果在该次试验中有5人痊愈,院方欲 (1)试估计该网站新闻点击量“下降”的 从参加该次试验的10人中随机选2人 概率; 了解服药期间的感受,记抽到痊愈的人 (2)从样本中的前15天和后15天中各随机 的个数为X,求X的分布列 抽取1天,记X表示其中该网站新闻点 (2)在第(1)题的条件下求随机变量X的期 击量“上涨”的天数,求X的分布列和数 望与方差. 学期望EX: (3)如果新药有效,将治愈率提高到了50%. (3)从样本给出的30天中任取1天,用“{=1” 求通过试验却认定新药无效的概率P并 表示该天新闻点击量“上涨”,“Z=0”表示 根据P的值解释该试验方案的合理性 该天新闻点击量“下降”或“不变”,然后继 (参考结论:通常认为发生概率小于5% 续统计接下来的10天的新闻点击量,其中 的事件可视为小概率事件) 有6天“上涨”3天“下降”、1天“不变”,相 应地,从这40天中任取1天,用“n=1”表示 该天新闻点击量“上涨”,“n=0”表示该天 新闻点击量“下降”或“不变”,直接写出方 差D,D.大小关系. 11.(2024·江西上饶高二期末)某网站为研究 新闻点击量的变化情况,收集得到了该网站 压轴挑战 连续30天的新闻点击量变化数据,如下表所 已知随机变量的分布列(如表).则下列说 示.在描述新闻点击量变化时,用“个”表示 法正确的是 ) “上涨”,即当天新闻点击量比前一天新闻点 1 击量高:用“”表示“下降”,即当天新闻点 击量比前一天新闻点击量低;用“-”表示“不 _2 & 变”,即当天新闻点击量与前一天新闻点击 量相同. 时段 新闻点击量 第1天 副第 C.对任意x.yE(0.1),D<E 15天 D.存在x,ye(0,1),p1 第16天 到第 30天 进阶突破 拨高练12 第六章 黑白题141AC码1 所以居=2x故答案为 15 cicicic 10' 102 ·6,X=2x9 6 162 10. 63 解析：由P(5=x)=x+b(x=-1,0.1),可得P(专=-1)= EY=2x 9 6 6+1x3、3 0× 82心EE1,E,X+6y=车◆3 22=4 6-a.P(5=0)=6,P(专=1)=a+b.所以b-a+b+a+b=3弘=1.则b= 枚A正确，C正确： 3,又k=-lx(6-a)+0x+1x(a+b)=2a= 3,则a= 故容案 当=2时，P(X=1)=PY=3-CC CC 1 6 为1 ccc 63 P(X=2)=P(Y=2)= 11,解：(1)甲学校获胜分三种情况：胜胜，胜平，平胜，则甲学校获胜的 cccc 概率为P=0.4×0.6+04×0.2+0.1×0.6=0.38 P(X=3)=P(Y=1)= (2)X所有可能取值为0,2,4.5.7,10. 1 1 P(X=0)=(1-0.4-01)×(1-0.6-0.2)=0.1. .E2X=1x- 4+2×2+3x×4=2, P(X=2)=0.1×(1-0.6-0.2)+(1-0.4-0.1)×0.2=0.12. P(X=4)=0.1×0,2=002. 5/=3x1 =2.,E,X=E,Y,故B正确： P(X=5)=0.4×(1-0.6-0.2)+(1-0.4-0.1)×0.6=0.38. 4 P(X=7)=0.4×0.2+0.1×0.6=0.14. c3C31 当=3时.P(X■0)=P(y=4)= P(X=10)=04×0.6=0.24 CC 16' 所以X的分布列为 P(X=1)=P(Y=3)= 2 457 10 8 CcCc号9 x0.10.120.020.380.140.24 P(X=2)=P(y=2)= CC 16' EX=0×0.1+2x0.12+4×0.02+5×0.38+7×0.14+10×0.24=5.6. 93 12.解：(1)根据表格可知X的所有可能取值为20.30.40.50.60.且 ∴.E,X=0x 3001.PX=30)=0=02,P(K=40)= 6 12 P(X=20) =0.4. .E,X>E,X,故D错误故选ABC 30 3.2离散型随机变量的方差 P(X=50)= 30 =0.2,P(X=60)= 3 =0.1,所以X的分布列为 30 白题 基础过关 X2030405060 1,A解析：方差反映了随机变量偏离于均值的平均程度，方差越大，随 机变量越不稳定，故A错误，C正确：常数的方差为0，故B正确：标准 P0.10.20.40.201 差等于方差的算术平方根，故随机变量的方差和标准差越小，则偏离 EX=20x0.1+30×0,2+40×0.4+50×0.2+60x0.1=40. 变量的平均程度越小，即D正确.故选A (2)①当n=55时，设Y,为“超市销售该酸奶所得的利润”， 2.D解析：由分布列的性质得0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,.E艺=1× 当X=20时，Y,=2×20-1×35=5: 0.4+3×0.1+5×05=3.2,DE=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+ 当X=30时，Y1=2×30-1×25=35: (5-3.2)2×0.5=3.56-6的标准差为区=√3.56.故选D. 当X=40时.Y,=2×40-1×15=65 3.A解析：由 当X=50时，Y,=2×50-1×5=95: 6 2=1解得4= 号则=(-2x。x2 当X=60时，Y,=2×55+1×5=115. 所以Y,的分布列为 1,=(-20x名1-1)x(2-1x 2放选 4,B解析：由题可知DN=D(-2X)=4DX=8.故选B. ,535 6595115 5.D解析：设陛=P1++…+P,+…+nP,设Y=2E+1,y也是随 P0.10.20.40.20.1 机变量，因为P(Y=2+1)=P(E=),所以EY=(2G,+1)P1+(2 1)p2+…+(2E+1)B+…+(2n+1)n.=2(61P,+62P2+…+6:+…+ EY,=5×0.1+35×0,2+65×04+95×0.2+115×0.1=64. ②当n=6①时，设Y,为“超市销售该酸奶所得的利润”，则 P）+(P1+P+…++…+抄)=2+1，故A正确.同理C正确. 当X=20时.Y2=2×20-1×40=0: 根据期望的性质，E(T-2)=E72, 当X=30时，y2=2×30-1×30=30: 面Dm=(,-Bn)p],所以D(-2)=Dm,故B正确。 当X=40时，2=2×40-1×20=60： 当X=50时，Y2=2×50-1×10=90: D(+n)=2[(+n),-E(+m)n小， 当X=60时.Y2=2×60=120. 所以X的分布列为 面+例=名[(-)n1+[(n,-6n)p,],不一定相等，故 D错误故选D. 030 6090120 6.AD解折：由分布列的性质，可得。a+b=1,解得a+b= 6 ① P0.10.2 0.40.20.1 Ey2=0x0.1+30x02+60x0.4+90×0.2+120×0.1=60,EY1>EY2,放应 因为-1，所以01r2石1.即6=号 ②.联立①②解得 选4=55. 压轴桃战 3心成=(0-1)2× 6+《11)2×气+(2一1》×。。1 63 ABC解析：X表示交换后甲盒子中的红球数，Y表示交换后乙盒子中 4 的红球数 因为y=2-L,所以=2EX-1=1,D=4DN=4×3=3故 CC 9 选ABD 当i=1时，则P(X=2)=P(Y=2)= CICI 16 7,12.4解析：由题知，p=1-0.3-0.3=04.EX=0×0.3+1×04+2× Cc1 0.3=1.DX=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6.E(2X P(X=4)=P(Y=0)= GC16' 1)=2EX-1=1,D(2X-1)=4DX=2.4.故答案为1,2.4. cicx2-8 8,C解析：投资甲种股票收益的期望X=-1×0.1+0×0.3+2×0.6= 3 P(X=3)=P(Y=1) 1.1.Dx=(-1-1.1)2x0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29. cicl 投资乙种股票收益的期望EY=0×0.2+1×0.5+2×0.3=L,1,DY=(0 选择性必修第一册·BS黑白题08阳 1.1)2×0.2+(1-1.1)2×0.5+(2-1.1)2×0.3=0.49.故EX=EY,DX>Dy 6.C解析：因为一共有3个盒子，所以X+Y=3.因此EX=E(3-)=3- 故投资甲、乙两种股票的期望收益相等，投资甲种股票比投资乙种股 EY.DX=D(3-Y)=(-1)2DY=DY.由题意可知：X=0.1.2.P(X=0)= 票的风险高，故选C A31 15 96 =6=2PX=2)=3x3x327g,P(X=1)=1-P(X 解析：的可能取值为5,43,2，P(=5)=年×年16P( 3×3x3279 0-P(X=2)=121.2 号号号号02=所 (4()期g=x 3 3 9 6*36+2x16 -=号-号放适C 7.25.5解析：年薪的平均数为×(135+95+80×2+70+60×3+52×4+ 25 40+31×12)=50.4(万元). 所以孩公司雅员年薪的方差为5×[(135-504)2+(95-504)2+28 (80-50.4)2+(70-50.4)2+3×(60-50.4)2+4×(52-50.4)2+(40 黑题 应用提优 50.4)2+12×(31-50.4)21=647,76. 1.B解析：根据题意可得分布列如下： 所以该公司雇员年薪的标准差约为√647.7石-25.5（万元）. -1 0 1 21 4 3+3=3 b-a b a+b 8.3解析：13满足 g=lx(6-o)+0+1Xe+6)=号解得a 1 6 由(6-a)+b+(a+b)=1,解得6=了 解得或 3 x3=2 2 1<11=1,=2.故1+1=3故答 w名）八甘(0）广(）》广g放 x2=3 案为3 选B. 2.C解析：随机变量X服从两点分布，其中P(X=0)=子一P(X= 9.1 4 解析：由分布列的性质得m”,m”=1,即m+n=1, 22 m+n min (m+a)2 1 -子x=x1x号子=(0)×(-号）广 所以E=m· 2+ 2 2 2 3g在A中，P(X=)=L,故A正确：在B中，E(3+2) 22 3E42=4,放B正确：在C中，D(3+2)=90=9x -=2.故C错 误：在D中.D:号，放D正确放选C 当且仅当m=,时等号成立，此时mn=故答案为)， 四方法总结 10.解：(1)X的可能取值为0.1.2.P(X■0)▣ S=号Pap 当a,b均为常数时，对于a【+b有如下结论： 1当a=0时.Dh=0,即常数的方差等于0. CC 5 C2 .P(X=2)= 2.当a=1时，D(X+b)=D心，即随机变量与常数之和的方差等于随机 Cio =9,放X的分布列为 变量的方差， 3.当b=0时，D(aX)=2DX.即随机变量与常数之积的方差等千这个 常数的平方与这个随机麦量方差的乘积 3解桥：由g意可知，不的取值可能为-20,2.因为代=2)-子× 92 5 2 2 (2)EX=0x =1.DX=(0-1)2× +(1-1)2x 9 2-10x号 4 9 (3)新药无效的情况有：10人中1人痊愈.10人中0人痊愈.故P= c(仔）x(})Pc(台x八(g）广0-1005.. 11 所以通过试验却认定新药无效为小概率事件，该试验方案合理 4.B解析：因为E(aX+b)=aEX+b,所以E(1-X)=E(-X+1)=-EX+ 11.解：(1)30天中，有10天点击量下降.故估计该网站新闻点击量“下 1=5,所以Ex=-4.因为D(aX+b)=2DX,所以D(1-X)=D(-X 1)=(-1)2DX=5.所以DX=5.故选B 降的概率为9号 5D解折：曲题知号21.解得a=1.所以体=0号号 (2)前15天中，有5天的点击量“上涨”，后15天中.有7天的点击 333 量上接，放的可能取值为0,2.湖PK=0)=治名总 577 子(2-m+1号[（）广子]由=次函数性质可知 =音8品器P=2小-言名石收的 分布列为 在(0，)）上单调适减，在（分1上单调遥增，所以当m=立 16 22 7 时，有最小值故选D 45 45 参考答案黑白题089 74 1×46245 四方法总结 :重伯努利试验慨率求法的三个步聚： (3)D<D。解析：由(2)知，样本给出的30天中点击量“上涨"的 (1)判断：依据n重伯努利试验的特征，判新所给试验是否为独立重 天数务2故g-号号代g00号则g导 2 复试险： (2)分析：判断所求率件是否霸婴分拆： *02 3 (3)计算：就每个事件依据n重伯努利试验的概率公式求解，最后利 用互斥事件概率加法公式计算。 点击量上旅的天数为12+6=18，故P(刀=1)= 18.9 ,P(n=0) 4020 9 ,11 9 42解标：G(兮）广（位）广-心（仔）”（位）”即G C,.k+(k+1)=5,k=2故答案为2 9121199 5.C解析：①某同学投篮的命中率为0.6.该同学投篮10次，是一个独 立重复试验，所以他10次投篮命中的次数X是一个随机变量，且X一 B(10,0.6),所以①正确： 压轴桃战 ②某彩票中奖概率为，某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中 C解析：依题意可得使=2y,x=1, 奖的概率都为P,相当于做了8次独立重复试验，中奖张数X是一个 2四}即移≤宁放A8超： 随机变量，且X-B(8,P),所以2正确： 2 ③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球 对于C,D选项： 方法一： 为止.它不是一个独立重复试验，因为当X=1时.概率为了，当X= E=(x-2y)3y+(2g)2x 2时，摄率为宁宁当和3时为宁宁 -X- =(1-2y)2x2y+(1-2x)22x =[(1-2y)2x+(1-2x)2y]w =[(2x-1)2x+(1-2x)2yjx 依次类推，即每次试验模到白球的概率不相等，所以X不服从B(, =(1-2x)2(x+y)r=(1-2x2x 0<x<1,.-1<2x-1<1,.0≤(2x-1)2<1. 2,所以③错误故选C 1 ∴，即心<联，放C成立 四方法总结 判断随机变量是否取从二项分布的条件： =12)x≤w≤=，放D错误 (1)每次试险中，事件发生的概事是相同的： 4 方法二： (2)各次试殓中的事件是相豆独立的： D=(x2y+y2x)-(2g)2=y(x*y-4)=(1-4y), (3)每次试验只有两种结果：事件是么发生，要么不发生： (4)随机变量是n重伯努利试验中事件发生的次数。 D-=y(1-4xy-2)=-r(1+4y). >0,DE-E陕<0故C成立 6.B解析：因为随机变量-B(2,P),所以P(E≥1)=1-P(=0)=1- 令1周传-40-4）广石 p)产号解得p=所以~B(,写）则P(≥21 即≤6放D错误做选C =o-==1(）广-c(号）八(-0 §4二项分布与超几何分布 故选B. 7.A解析：该地在该季节中连续三天内，至少有两天出现大潮包括两 4.1二项分布 白题 础过关 天政三天现大篇，有两天出宽大清的概率为G(侣)广：兮专 1,ABC解析：A,C符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是独立重复 试验：B是相互独立事件，但是甲射中10环”与“乙射中9环”的概 有三天大的为（）厂 2)·所以至少有两天出现大 米不一定相同，因此不是独立重复试验：D中在相同的条件下，甲射 击10次，是独立重复试验故选ABC 潮的概率为4,8.20 9277做选A 四方法总结 40 1,n重伯努利试数具有如下共同特征： (1)同一个伯势利试验重复做n次： 1240 (2)各次试验的结果相互独立 2.n重伯努科试贻的条作： 9.BC解析：由题意得4Cp3+Cp2(1-p)=p3+3p2= 因为雨数 7 (1)每次试验都是在相同条件下进行的： (2)任何一次试险中某事件发生的概率相等： (3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 九小=+时在0.)上单调莲瑞，斯（行）子所以p=宁 3 2.B解析：由题意可知，重复进行10次该试验，恰好有3次试验未成 故A错误：因为X=仰之，DN=p(1-P)=手，故B.C正确：所以 功，说明7次成功，3次未成功，所以所求概率为Cmp(1-P).故 EY-1=E(2X+1)-1=2EX+1-1=3.DY=22DX=3.则EY-1=DY,故 选B D错误故选BC. 3.了解析：设事件A每次出现的概率为P,记“事件A至少出现1次 10.C解析：根据题意得随机变量满足二项分布，即X-B(4,0.8),所 以方差DX=4x0.8×(1-0.8)=0.64,所以X的标准差为√DN=0.8. 为事件M,则M表示其对立事件“事件A出现0次”，P()=1 故选C. r0=1-pP-号所以pP=分所以1=子解 5 11.A解析：由题意得 即4 P=故答案为 5 解得P= 4”故选A p(1-p)=16 H=5. 选择性必修第一册·BS黑白题090