第2章 2.1 双曲线及其标准方程-【学霸黑白题】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册(北师大版2019)

§2双曲线 2.1 双仙线及其标准方程 白题 基础过关 限时：55min 题组1双曲线定义的理解 5.经过点P(-3,27)和点Q(-62,-7),且焦 1.相距1400m的A,B两个哨所，哨兵听到炮弹 点在y轴上的双曲线的标准方程是 爆炸声的时间相差3s,已知声速是340m/s, 6.焦点在x轴上的双曲线经过点P(42,-3), 则炮弹爆炸点所在的曲线是 ( 且点Q(0,5)与两焦点的连线互相垂直，则此 A.椭圆 B.双曲线 双曲线的标准方程为 C.双曲线的一支 D.抛物线 题组3双曲线定义及标准方程 2.(2024·河南洛阳高二月考)已知F1,F2是平 7.已知定点A,B且IAB1=4,动点P满足|PAI- 面内两个不同的定点，则“1IMF,1-MF,I|为 IPBI=3,则1PA1的最小值是 () 定值”是“动点M的轨迹是双曲线”的( c D.5 A.充分不必要条件 8.(2024·江苏徐州高二月考)已知双曲线的 B.必要不充分条件 左右焦点分别为F,F2,在左支上过点F,的 C.充要条件 弦AB的长为5，若2a=8,则△ABF2的周长是 D.既不充分也不必要条件 ( 题组2双曲线标准方程的求解 A.16 B.18 C.21 D.26 3.设动点P到点A(-5,0)的距离与它到点B(5, 0)的距离的差等于6，则点P的轨迹方程是 9已知双尚线” 59=1的左支上一点M到右焦 ( 点F,的距离为18，N是线段MF,的中点， B.r 0为坐标原点，则1ON1等于 () 916 9161 A.4 B.2 C.1 n号 c564-) =1(x≥3) 916 10.(2024·辽宁大连高二月考)若方程mx2+ 4.(2024·山东青岛二中高二月考)与椭圆C: (1-m)y2=1表示焦点在y轴上的双曲线，则 实数m的取值范围是 1561共焦点且过点P(2,2)的双曲线的 题组4双曲线中的焦点三角形问题 标准方程为 11.若F,F2是双曲线8x2-y2=8的两焦点，点P 6号 在该双曲线上，且△PF,F,是等腰三角形，则 631 B △PF,F,的周长为 A.17 B.16 c361 9161 C.20 D.16或20 第二章黑白题041 位巴泡双线6号 5=1(a>0,b>0)的左、右 16.已知△ABC的两个顶点A,B分别为椭圆 x2+5y2=5的左焦点和右焦点，且三个内 焦点分别为F1,F,过点F,的直线与双曲线 的右支相交于A,B两点，IBFI=21BF2I= 角4，B,C清是关系式血B-血A:宁C 41AF2I,△ABF的周长为10，则双曲线C的 (1)求线段AB的长度： 焦距为 ( (2)求顶点C的轨迹方程， A.3 B.7 c.22 D.67 5 13.(2024·山东泰安一中高二月考)设F1,F 是双线写子1的两个熊点，P是该双曲 线上一点，且IPF,1:1PF21=2:1,则 △PF,F,的面积等于 14.已知F,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦 点，点P在C上，∠F,PF2=60°，给出以下 结论： ①c=1,b=1,a=√2：②1FF1=22: 17.如图，已知定圆F,:x2+y2+10x+24=0,定圆 ③1PF,I·IPFI=4:④△PF,F的面积为3. F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定圆F1,F 其中正确的是 (填序号) 都外切，求动圆圆心M的轨迹方程。 重难聚焦 题组5双曲线的轨迹问题 15.已知点A,B的坐标分别是(-5,0)，(5,0)， 直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之 积是。求点M的轨迹方程，并由点M的轨 迹方程判断轨迹的形状， 选择性必修第一册BS黑白题042 黑题 应用提优 很时：60min 1(2024·河南许昌高二期末)若方程 +4 现震中P在双曲线 =1(a>0)的右支 a2132 y2 m一71表示双曲线，则m的取值范围是 上，且∠APB=则P到公路1的距离为 A.(-0,-7)U(4,+e) B.(-7,4) C.(-∞，-4)U(7,+∞)》 D.(-4,7) 11w 22 2(2024·辽宁沈和高二期末)若双曲线 A. 7 km B. km 7 1上一点P到其右焦点的距离是8，则点P到 D2 -km 其左焦点的距离是 ( A.4 B.10 5.(2024·广东汕头高二期中)已知F是双曲线 C.2或10 D.4或12 C:x2。=1的右焦点，P是C的左支上一 3.(多选)(2024·江苏扬州高二期中)已知m,n 为两个不相等的非零实数，则方程mx-y+n=0 点，A(0,√7)，则IPAI+1PF1的最小值为 与nx2+my2=mn所表示的曲线不可能是 A.5 B.6 C.7 D.8 6.(2024·浙江温州中学高二期中)双曲线C: xy 25示=1(6>0)的左，右焦点分别为F,R,A 为双曲线C的左支上一点，直线AF,与双曲 线C的右支交于点B,且IABI=15,∠F,AF2 3则1A1+1A5,1= ( A.10 B.26 C.25 D.23 4.(2024·安微合肥高二月考)在一次地震发生 7(2024·福建龙岩高二月考)已知椭圆 后，通过两个地震台站的位置和其接收到的 信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一 1(a,b,>0),双曲线 =1(a2>0,b2>0), 支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线 a 的两个焦点.已知地震台站A,B在公路1上(I 椭圆与双曲线有公共焦点F,F2,P是椭圆与 双曲线的一个公共点，且∠F,PF2=60°，则下 为直线)，且A,B相距28km,以AB的中点为 列结论正确的是 原点O,直线l为x轴，1km为单位长度建立 ( 平面直角坐标系如图所示，在一次地震发生 A.b=b2 B.b=362 后，根据A,B两站收到的信息，并通过计算发 C.b=2b2 D.b1=√2b 第二章黑白题043 8.(2024·天津和平区高二期中)已知双曲线 (1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直 x2-=1(b>0)的焦距为4，则6= 角坐标系（如图），根据题设条件求观察 员所有可能出现的位置的轨迹方程， 9.(2024·山西长治高二期末)在双曲线型冷却 (2)若已知C点与A点接收到信号的时间相 塔（如图）的建设过程中，人员、物料的运输一 同，求观察员遇险地点的坐标，以及与监 直是困扰施工的难题，经实践探索设计出“附 测中心O的距离。 墙升降机”，其结构如图所示，安装之后附着 (3)若监测点C信号失灵，现立即以监测点 在冷却塔的外侧，通过升降吊笼完成输送任 C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证 务.假设该冷却塔的最小半径为12m,上口半 有救援希望，扫描半径r至少是多少 径为13m,下口半径为25m.高为55m,附墙 千米？ 升降机轨道在A点以下与冷却塔贴合，从A 点到顶端B点是竖直的，则AB的长约为 m(结果保留整数) 0已知F,上分别是双曲线E:1(o>0 的左、右焦点，过点F,的直线与双曲线E的 左、右两支分别交于A,B两点，若 IBF,I:IAB I IAF,I =5 12 13, △ABF2的面积为 11.很多代数问题可以转化为几何问题加以解 决，例如，与√(x-a)+(y-b)户相关的代数问 题，可以转化为点A(x,y)与点B(a,b)之间 的距离的儿何问题.结合上述观点，可得方 程12+10x+26-x2-10x+261=6的 解为 12.如图，某野生保护区监测中心设置在点O 处，正西、正东、正北处有三个监测点A,B, 压轴挑战 C,且10A1=10B1=10C1=30千米，一名野 生动物观察员在保护区遇险，发出求救信 (2024,淘南衡和高二期中)已知双曲线E:号 号，三个监测点均收到求救信号，A点接收到 y2=1的左、右焦点分别为F,2,过点F,的直 信号的时间比B点接收到信号的时间早/ 线与双曲线E的左支交于A,B两点，若A店· 秒（注：信号每秒传播V。千米）： AF,=0,则△ABF,的内切圆周长为 选择性必修第一册：BS黑白题044的离心率e的取值范围是<，故选B 56 3 Ke<- 2 65 7C解折：对选项A,方程a2-2=2(0,1,40),化简为 12,42 13+5 京(>0,1，a≠0).当0<<1时.则 y >2,方程x2 压轴桃战 2t2=1表 ABD解析：如图，对于A项：因为点P(,点，)在箱圆内部，所以2 示焦点在y轴上的椭圆，故A错误对选项C,设P(x,y),椭圆的焦点 在x轴上，1PQ12=y2,1AQ1·|BQ1=(x+a)(a-x)=a2-x2,M= 云亡因为为含致所似V的监与P点在指调上的位混 2 故A项正确：对于B项：IQF,1+1QP1=4-1QF1+IQP1,当Q在x轴下 方，且P,Q.F2三点共线时，1QF,+1QP1有最大值4+1PF21,由e= 无关设P(x,y),椭圆的焦点在y抽上，PQ12=x2,1AQ1·1BQ1= ()层小.w 2 一=k因为M=k为常 a2 6 数，所以M的值与P点在椭圆上的位置无关，鳏上，M的值与P点在 所以010的最大值为4故B项正确：对于C项，设 2 角圆上的位置无关枚C正确对述项B,当椭圆。+一三1的焦点在 Q(x),若0，·0F=0,即(-c-x,-y)·(c-x,y)=0,得x2+y2=2, 即点？在以原点为圆心，半径为c的圆上，又由A项知e=。e(0, x轴上时，M= =一.当侧圆 2 2得c=me(0,2),又因为2<2<4，得6e(52),所以rh,所以 该例与椭圆无交点，故C项错误：对于D项：1QF,1+1QF2|=2=4。 a 00片·(00a)uo1+10,0=4(2: 1的焦点在y轴上时，M=k,e= k =√-k=小-M,综上，e I1OFl,t0F,I） 88)(+288).当且仅当 OF 1OFT QF1=1QF21=2时取等号，故D项正确.故选ABD 1-,故B错误对选项D.因为=√-，所以M越来越小.椭圆 的离心率越来越大，故D错误故选C 8.33-5解析：因为伞柄底端正好位于该 椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长 b=2,在△ABC中，∠B=60°，∠C= 45,1AC1=4,曲正弦定理得BC.AC sin A sin BB 2a 4 i(180-609-45)n60 sin 60cos 45+cos 60sin 459 §2双曲线 4× w32,12 2.1双曲线及其标准方程 4 sin6002= 2*222 3,所以。= a=2+ 白题 是础过关 5 2 1.B解析：设M是炮弹堰爆非点所在的曲线上任意一点，则 a2-62 11MA1-1MB11=3×340=1020<1400.所以炮弹爆炸点所在的曲线 21 =33-5.故答案为33-5. 02 是双曲线.故选B, W2+ 3 2.B解析：充分性：当“1IMF,1-1MF,11为定值”，但11MF,1- IMF,I川≥1F,F,1时，动点M的执迹不是双曲线，不满足充分性：必 3 9.解：(1)因为F(-1,0),M1, ,则右焦点F(1,0),e=1,根据 要性：双曲线上的动点M满足“11MF,1-1MF,II为定值”，满足必要 性因此“MF,1-1F1为定值“是“动点M的轨迹是双曲线”的 椭圆的定义有2a= 必要不充分条件，故选B. 3.D解析：由题意，点P的轨迹应为以A(-5.0),B(5,0)为焦点的双 0-1(0=4.所以a=2.6=V=5.所以辐圆的 曲线的右支.由c=5,a=3,知公=16六点P的轨速方程为。二 916 标准方程为”上 1(x≥3) 4+3= 4.C解析：由避意，不妨设所求双曲线的标准方程为二 3 261,则c 2)在APE5中，=LPP,=,s∠PE,=,则∠P啡，， /15-6=3,即椭圆与所求双曲线的公共焦点为F,(-3,0),F:(3,0) 4 ∠P,为锐角，所以m∠PF52=。,m∠PF,R,=,所见 由双曲线的定义可知1|PF,1-1PF211=1√(2+3)+2- (2-3)+21=33-3=23=2n<2e=6=1F,F2l,所以=3，e= 453w1256 n∠FPF,=n(LPE,+LPf,)=了*6+方×8"S,曲正 .6:9-36,所以所求双曲线的标准方程为。。1赦选 弦定理得：= IFF2I in∠FPF2 a 2a IPF l+IPF3I sin Z PF3F+sinPFF= 5. 255=1解析：设双曲线的方程为m2+心2=1(m<0),则 参考答案黑白题025 中，利用余弦定理可知1FF22=(1PF,-1PF21)2+1PF,1: (9m+28n=1,解得 (72m+49n=1, 故双曲线的标准方程为兰二 n225 25751 P,lPFP所=4.△所，与的面积为宁P所，1 IPF,1·sin∠F,PF,=√3.故正确的是②6④. 6.2 ·169=1解折：设焦点为F(-c,0),(e,0)(e>0.则由05,1 重难聚焦 55 15.解：设M(x,y),,点A,B的坐标分别是(-5,0).(5.0)，，直线AM QF,得ow1·kow2=-1,心 =-1.e=5.设双曲线的标准方 -c 程为 的斜率k一本5年-5)，同理，直线W的斜率6m专红≠ 京F=1(>0,6>0).双线过点P(42,-3) 329 a2= +55-259x≠士5)，化简得点M的轨迹 5)w·k= .y。2.4 又：2=02462=25,02=16，心2=9.双曲线的标准方程为67 方程是式上 是501(x≠±5)心点的镜迹是以原点为中心，焦点在 号1故答案为后号 9 7.C解析：由题意知，动点P的轨迹是以定 x轴上的双曲线（不包括两个项点）： 点A,B为焦点的双曲线的右支（如图），从图 16.解：（山）将稀侧方程化成标准形式为号=1口=5，心=1，c2。 上不难发现，IPAI的最小值是图中AP的长 a2-b2=4.则A(-2.0).B(2.0),所以14B1=4 度，即at=子放法C (2)sin B-sin A=- 2mC,由正弦定理得1CA1-1CB1= 8.D解析：如图.由双曲线的定义知， 1AF,I-1AFI=8①.IBF,1-1BF,1=8②.又1AF,I+1BF,I=1AB1= 2AB1=2<1AB1=4,即动点C到两定点A,B的距离之差为定 53,所以由①②3得1AF:1+1BF1=21,故△ABF:的周长为 值.动点C的轨迹是双曲线的右支（去掉顶点），且e=2a'■1， 1AF,1+1BF21+|AB1=26.故选D, ·'=-a=3…顶点C的轨迹方程为2 3=1(>1. 17.解：圆F:(x+5)2+y2=1.,.圆心F(-5,0),半径r=1圆F2 (x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R. 则有MF,I=R+1,1MF2I=R+4.IMF3I-F,1=3<FF2, 六点M的轨迹是以P为焦点的双曲线的左支，且a=,e=5, 9。A解析：因为双曲线 591左支上的点M到右熊点R,的距离 为18，所以点M到左焦点F:的距离1MF2|=18-10=8.又N是MF 6=e2-2.91 动调圆心份氧港方程为一产=1（ 的中点，0是F月的中点，所以0N=2F,1=4故选人 3 2 10.(-,0)解析：因为方程m2+(1-m)y2=1表示焦点在y轴上的 黑题 应用提优 双曲线，所以-m0解得m<0,所以实数m的取值范围是(-云， m<0, 。》解新：若方程一二1表示的商线是焦点在：骑上的双 0).故答案为(-，0) 1.D解折：双面线8户=8可化为标准方程-号=1a=1c 线，则{m+>0解得-4长m<7:若方程之二 m-7<0, a+4m一71表示的曲线是焦 3,IF,F2|=2c=6'点P在该双曲线上，且△PF,F2是等腰三角 点在y轴上的双曲线，则m40无解综上所述，-4长m<7.赦选D. (m-7>0. 形，IPF,I=IF,F2I=6或IPF:I=F,F,I=6.当1PF,I=6时，根 2.D解析：由双曲线的方程可得a2=4,b2=12,所以a=2,c2=4+12= 据双曲线的定义有1PF:I=1PF,1-2a=6-2=4,△PF,F的周长 16,可得c=4.设右焦点为，左焦点为"，当点P在左支上时，则 为6+6+4=16：同理当1PF,1=6时，△PF,F,的周长为6+6+8=20. 1PF1≥a+c=6,所以1PF'1=1PF1-2a=8-2×2=4:当点P在右支上 12.C解析：设1AF,1=m,则IBF,1=2m.BF,1=4m.由双曲线的定义 时.1PF1=1PF1+2a=8+2×2=12,故选D. AF:1-lAFI =IBF I-18F2 I 2a=2m...IAF:I =3m.a=m. ,∴.m+2m+3m+4m=10,解得m=1,在△AF,F2和△BF,F2中. 3.ABD解析：r+m=m变形得到二，上=1，对于A,双曲线然点 用n mLF54+os∠FF,B=0由余弦定理得c+1=942+416 在y轴上，故n>0,m<0,此时x-y+n=0应该经过第一，二，四象限， 4e 8e 故A选项错误：对于B,椭园焦点在y轴上，故n>m>0,此时-y+ 0,解得c=2T 可得双曲线的距为放毒C =0经过第一，二，三象限，放B选项错误：对于C,双曲线交点在x 轴上，故m>0,n<0,此时mry+n=0应该经过第一，三、四象限.故C 132解桥：由双商线号1，.可得。5.62，州6=V厅 选项正确：对于D,椭圆焦点在x轴上，故m>n>0.此时mr-y+n=0经 过第一，二，三象限，故D选项错误故选ABD, 3因为P是该双曲线上一点，且1PF,I:PF,|=2:1,所以 4D解析：设双曲线号-1(0>0)的焦距为2x,由题意，得 2 1PF,I-1PF:I=25,即1PF,1=45,1PF21=25.在△PF,F2中，可 得m∠F,Pg,PF,,1-1B454(25)3-2 IAB1=28=2.所以a2+132■c2=196.解得4■8.所以1PA1- 21PF:IIPFI 2×45×2w5 1PB1=2a=16由∠APB=要及余弦定理，得1P12+1PBP 3 子可得∠5P片，=子，所以△PF,的面积S=子PR,1· 21PA1·1PB1· 2红=1AB12,即(1PA1-1PB1)2+31PA1· 3 IPF1in∠F,PF=2x4v5x25×5=2故答案为12 PB=hB2,所以P·Pm=I6,△B的面积S=号P: 14.②③④解析：不妨设点P在双曲线C的右支上，“1PF,1- 1PF31=2a=2,IF,F:I=2e=2w2.又，'∠F,PF3=60°，，在△F,PF3 1Pg1·n2=445设P到公路1的距离为h,则S=了AB1·A日 3 选择性必修第一册·BS黑白题026 45,所以：2即P到公路1的距离为25n放店 1√/(x+5)+(1-0)-(x-5)+(1-0)1=6,其几何意义为平面 7 内一点(x,1)与两定点(-5,0).(50)距离之差的绝对值为6.而平 5.B解桥：由双曲线方程2-。=1可知a=1,e=3,故右焦点F(3 面内与两定点(-50)，(5.0)距离之差的绝对值为6的点的轨迹是 0),左焦点F,(-3,0).当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义 知IPFI-1PF,1=2,所以PFI=1PF,1+2.从而1PA1+1PF1=IPA1+ 双黄线，设孩双钱的方程为三子=1(o>0,60),限1。 PF,1+2≥1AF,1+2又1AF,1=√32+(-7)2=4为定值.所以 23-94该双周线的方程是号名1令，1，解得 1PAI+1PF1≥6.当1PA1+1PF1=6时，此时点P在线段AF,与双曲线 的交点处（三点共线时距离蔬短），故选B. 3 已数答案为：3 4 6.B解析：由题设知IAF,I-1AFI=1BF,1-1BF21■2a=10.令1BF,1= x,则1AF,=x+15-I0=x+5.IBF,1=x+10.在△ABF,中，IAB=I5. 12.解：(1)设观察员可能出现的位置的所在点为P(x,y).因为A点接 ∠RA,=于，则s∠FA5= 1AB12+IAF 12-18F1 1 收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秘，故1PB一 21ABIIAFI 所以 225+(x+5)2-(x+10)21 30(x+5) 2解得x=3,故1AF,1=8,则1A1=18, x。=40<1AB1=60,放点P的坐标满足双曲线的定义，设 Va 所以1AF,1+1AF,1=26.故选B. 双尚线方程为子上 9。=1(x<0),由题可知2a=40,2=60,解得 7.B解析：不妨设点P在第一象限，山椭圆和双曲线的定义，得 PF,1+1P,=2解得1PF,1=,+2PE=a-由余弦定 a20,e=30,心=2-2=50，赦点P的轨迹方程为01(x<0 (1PF1-lPF21=2a2 理得IFF12=1PF,12+1PF212-21PF,1·1PF,1c%60°，∴.42 (2)因为A(-30,0).C(0.30),设AC的垂直平分线方程为y=kx. (ato户+(a-m)2-2x号（a,+aa,-m=2a+2a-(a- 则=0一二0。-1，则4G的垂直平分线方程为y=-,联立 30-0 00 a+3a,即a-c2=3c2-3a,b=36,即b1=3h故选B. r 8店解折：因为双曲线一卡=1(b>0)的盘距为4，所以1+。 01(x<0)可得=2000，放x=-205,y=205,故观察员遇脸 地点的坐标为(-205,205)，与监测中心0的距离为 (传）广-4得6=5食佳已合去.故容案后 √(-205)2+(205)2=200（千米）. (3)设轨迹上一点为P(x,y),则1PC1=+(-30)= 9.20解析：根据双曲线的对称性，在玲冷却塔的轴截面所在平面建立平 面直角坐标系如图所示， -+90.义因为品1，可得=00，代人可 2 得1Pc15子-60*130=(80 9 +800≥√800= D寸D: 20厅，当且仅当，-时，1C取得最小值20反.放扫情半径r至少 是20、2千米 使最小圆的直径DD在x轴上，圆心与原点重合.此时上，下口的直径 压轴挑战 CC.BB都平行于x轴，且1BB1=2×13=26(m).1CC1=2×25= 0m.设双周线的方程为后-卡=1(o>0,>01.期B(1, 2(5-√3)解析：如图，设内切圆半径为R,切点分别为N,M.P,由 题意得a2=3.b2=1.则e2=4.a=3,c=2,所以1F,F21=2e=4.由双曲 C(25,为)(y1>0,2<0).因为直径D0是实轴，又B,C两点都在双曲 线定义有1AF2I-1AF,1=1BF1-1BF,1=25.又因为A店·AF=0即 132 122621 5 2,所以1A5P+1M5,P=1R5户，因此1A5,1+1A5,1= LFAB= 线上，所以 2525 解得。 (12242=1, =48T 因为y-力=55，所以 2(1AF212+1AFI2)-(1AF2I-1AF1)2=√2×42-(23)2=25，从 126 5 商△B,的内切调半径R=子（1B1+1A,1-职，) 12 6=55,解得6-245，所以双曲线方程为二广二 12224.51,所 以一吕×245票两为双偷线关于：输对称.所以112 5 之(1M+A,)-子(BF,-BF,)=5-3,所以△AB5,的内切 厕周长为2πR=2(5-√3)m.故答案为2(5-3)π 245245 2412 =20(m).故答案为20. 10号解折：因为B,:M1:4,=5:12:13.所以上B 设1BF21=5x,则IAB1=12x,1AF21=I3x.由IBF,1-1BF2|= 1AF2I-IAF,I,得12x+1AF1-5x=13x-1AF,1,所以IAF,I=3x,则 1BF,1=15x由1BF,12+1BF212=1F,F2I2,得2502=4e2.又因为 22双曲线的简单几何性质 {B=20所以2=2.e5=云放△a,的 白题 基础过关 c2=m2+3. 1.C解折：由双曲线y户二=1，可得m>0,且4=1.b=m,因为双曲 面积S=子481B,1=302-号故答案为号 1.主3万解折：由1+10x+26-VP-10x+261=6,可得 线的实轴长是虚轴长的3倍，可得a=36,即1=3V而，解得m=号故 4 选C 参考答案黑白题027