2024年秋季新高二开学考数学模拟卷-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年秋季学期新高二开学考数学试卷 考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 日期：2024年8月 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的共轭复数是(    ) A. B. C. D. 2.命题“，”的否定是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 3.已知函数恰有两个零点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 4.已知函数的图象部分如图所示，则的解析式是(    ) A. B. C. D. 5.从某地区抽取户居民进行月用电量调查，发现用电量都在至之间．将数据分组后得到如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第百分位数是(    ) 分组 合计 频率 A. B. C. D. 6.为解决某校午餐路途拥挤问题，计划修建从教学楼直达食堂的空中走廊现结合以下设计草图提出问题：已知，两点分别代表食堂与教学楼出入口，点为点正上方一标志物，对应水平面，现测得，，，设，则(    ) A. B. C. D. 7.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下列说法：；若抽取人，则平均用时一定为小时；若从每周使用时间在，三组内的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为其中正确的序号是(    ) A. B. C. D. 8.已知正四棱锥底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥的底面正方形边长为，其内切球的表面积为，动点在正方形内运动，且满足，则动点形成轨迹的周长为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的有(    ) A. 平面 B. 异面直线与所成角的大小是 C. 球的表面积是 D. 点到平面的距离是 10.已知为坐标原点，点，，，，则(    ) A. B. C. D. 11.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品产量单位：，其频率分布直方图如图所示．    根据频率分布直方图，下列说法正确的是     A. 新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 B. 新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 C. 新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值 D. 新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，若满足，则实数           ． 13. 已知正数，满足，则的最小值是           ． 14.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： 和是互斥事件但不是对立事件；    和是互斥事件也是对立事件； ；    ． 其中，正确结论的序号是           请把你认为正确结论的序号都写上 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知． 求； 若，求面积的最大值． 16.本小题分 “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了道，乙同学猜对了道，丙同学猜对了道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等． 任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； 任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值． 17. 本小题分 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，． 求证：平面； 求证：平面； 在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 18.本小题分 已知函数是定义在上的奇函数，且． 确定函数的解析式； 用定义证明在上是增函数： 解关于的不等式． 19.本小题分 给定三棱锥，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，称为的阶等距集． 若为三棱锥，满足，，求出的阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积求出其中的一个即可 如图所示，是棱长为的正四面体． (ⅰ)若为的阶等距平面且阶等距集为，求的所有可能取值以及相对应的的个数 (ⅱ)已知是的阶等距平面，点与点，，分别位于两侧是否存在，使的阶等距集为，其中点到的距离为若存在，求出截所得的平面多边形的最大边长若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2024年秋季学期新高二开学考数学试卷 考试范围：必修一、必修二； 考试时间：120分钟； 日期：2024年8月 题号 一 二 三 四 总分 得分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.复数的共轭复数是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查复数的运算与共轭复数，属于基础题． 首先要对所给的复数进行整理，分子和分母同乘以分母的共轭复数，化简到最简形式，把得到的复数虚部变为相反数，得到要求的共轭复数． 【解答】解：复数， 共轭复数是， 故选：． 2.命题“，”的否定是  (    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了命题的否定，属于基础题． 破解含有量词的命题的否定需两步骤：一是把全称量词改为存在量词，或把存在量词改为全称量词二是对结论进行否定． 【解答】解：把全称量词改为存在量词，并否定结论， 则原命题的否定为“，”， 故选A． 3.已知函数恰有两个零点，则的取值范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了分段函数，函数的零点与方程的根的关系，属于基础题． 当时，显然有一个零点，要使函数恰有两个零点，则必有一个零点，结合的单调性，列式可得结果． 【解答】 解：函数 当时，显然有一个零点，所以要使函数恰有两个零点，则必有一个零点， 又在上单调递增， 所以，解得． 故本题选C． 4.已知函数的图象部分如图所示，则的解析式是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查三角函数的图象和性质，需要学生熟练掌握公式，属于基础题． 根据图象求出，和，即可求函数的解析式． 【解答】 解：由图象可知， ， 过最高点， ，，即， ， ， 的解析式为． 故选：． 5.从某地区抽取户居民进行月用电量调查，发现用电量都在至之间．将数据分组后得到如表所示的频率分布表，估计此地区月均用电量的第百分位数是(    ) 分组 合计 频率 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了频率分布表，百分位数，学生的数学运算能力，属于基础题． 利用百分位数的概念，即可解出． 【解答】 解：由频率分表可知，数据均匀分布， 所以第百分位数是，， 故选：． 6.为解决某校午餐路途拥挤问题，计划修建从教学楼直达食堂的空中走廊现结合以下设计草图提出问题：已知，两点分别代表食堂与教学楼出入口，点为点正上方一标志物，对应水平面，现测得，，，设，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查解三角形的实际应用，属于中档题． 因为，则，再结合三角形求解即可． 【解答】 解：在中，因为，， 所以，． 由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以． 因为， 所以． 7.某学校随机抽取了部分学生，对他们每周使用手机的时间进行统计，得到如下的频率分布直方图．则下列说法：；若抽取人，则平均用时一定为小时；若从每周使用时间在，三组内的学生中用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行访谈，则应从使用时间在内的学生中选取的人数为其中正确的序号是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 利用频率和为判断；根据平均数的计算判断；利用分层抽样的性质判断。 【解答】 解：由频率分布直方图得：  对于，，解得，故正确；  对于，根据频率分布直方图可估计出平均值为， 所以估计抽取人的平均用时为小时，的说法太绝对，故错误； 对于，从每周使用时间在，，三组内的学生中用分层抽样的方法选取人进行访谈，  则应从使用时间在内的学生中选取的人数为：，故正确．  8.已知正四棱锥底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥的底面正方形边长为，其内切球的表面积为，动点在正方形内运动，且满足，则动点形成轨迹的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了正四棱锥内切球，与圆有关的轨迹问题，属于中档题． 先求出球的半径，连接与，设交点为，取的中点，连接，，，根据等体积法得，，在中，，点在以点为圆心，为半径的圆上，求其周长即可． 【解答】 解：设内切球的半径为，则，， 如图，连接与，设交点为，取的中点，连接，，， 根据等体积法得， ，整理得， 又，解得，， ，，， 在中，， 点在以点为圆心，为半径的圆上，其周长为． 故选C． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.如图，在三棱柱中，，是等边三角形，点为该三棱柱外接球的球心，则下列命题正确的有(    ) A. 平面 B. 异面直线与所成角的大小是 C. 球的表面积是 D. 点到平面的距离是 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查棱柱的切接问题，棱柱的结构特征，异面直线所成的角，点到平面的距离，具有一定的综合性． 【解答】解：如图，因为球是三棱柱的外接球，所以该三棱柱为直三棱柱，即平面，则A正确因为，所以是异面直线与所成的角因为，所以，所以，则B错误． 设外接圆的圆心为，连接，，，由题意可得，，则球的半径，从而球的表面积是，故C正确． 设外接圆的半径为，由题意可得，则由正弦定理可得，则点到平面的距离，故D正确． 10.已知为坐标原点，点，，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查平面向量数量积的坐标运算，向量模的坐标表示，考查三角函数的恒等变换，属于中档题． 根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可． 【解答】 解：，，，，，， 对于，，，A正确； 对于，， ， 因为不一定相等，所以，不一定相等，B错误； 对于，；  ，C正确； 对于，，，  与不一定相等，D错误． 故选：． 11.如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了个网箱，测量各箱水产品产量单位：，其频率分布直方图如图所示．    根据频率分布直方图，下列说法正确的是     A. 新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 B. 新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 C. 新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值 D. 新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 【答案】BCD  【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力． 利用频率分布直方图的性质结合选项进行计算，得出正确结论． 【解答】 解：对于，旧养殖法的平均数 所以 新养殖法的平均数 所以 因为， 所以新网箱产量的方差的估计值低于旧网箱产量的方差的估计值，故A错误． 对于，旧养殖法中，左边个矩形的面积和为，左边个矩形的面积和为，所以其中位数在和之间． 新养殖法中，左边三个矩形的面积和为，左边个矩形的面积和为，所以其中位数在和之间所以新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值，所以B正确． 对于，因为，，所以新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值，故 C正确． 对于，旧网箱频率最高组总产量估计值为， 新网箱频率最高组的总产量的估计值为， 所以新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合，，若满足，则实数          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了集合集合的交集与并集的性质，属于基础题． 由，可得，从而问题得解． 【解答】 解：由于，所以， 所以， 故答案为． 13.已知正数，满足，则的最小值是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，考查解不含参的一元二次不等式，属于拔高题． 由题意可得，则，化简可得，换元，令，并结合基本不等式可得，解不等式可求出的最小值，即可得出的最小值． 【解答】 解：因为， 所以， 所以 ， 令， 因为，均为正数， 所以， 则， 则， 而， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 解得，或负值舍去， 所以， 即，当且仅当时，即时等号成立， 即的最小值为． 14.据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考科目某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件“选择生物学科”，“选择一门理科学科”，“选择政治学科”，“选择一门文科学科”，现给出以下四个结论： 和是互斥事件但不是对立事件；    和是互斥事件也是对立事件； ；    ． 其中，正确结论的序号是          请把你认为正确结论的序号都写上 【答案】  【解析】【分析】 本题考查互斥事件，对立事件，属于基础题． 根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可． 【解答】 解：事件 “选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”， 所以事件  “选择政治学科”，包含于事件  ， 故事件 可以同时发生，不是互斥事件，故不正确； 事件“选择一门理科学科”，与事件 “选择一门文科学科”， 不能同时发生，且必有一个事件发生，故  和  是互斥事件，也是对立事件，故正确； 由题意可知  ，所以  ，故不正确； 事件“选择生物学科”，与事件“选择一门文科学科”， 不能同时发生，故  和  是互斥事件，所以 ，故正确． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 的内角，，的对边分别为，，，已知． 求； 若，求面积的最大值． 【答案】解：由已知得， 即， 由正弦边角关系得， 由余弦定理得， 又， 所以． 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以 故三角形的面积最大值为  【解析】本题主要考查了正弦定理，二倍角公式，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题． 由正弦定理得，然后根据余弦定理求出结果． 根据题意得到，然后通过三角形面积公式求出结果． 16.本小题分 “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了道，乙同学猜对了道，丙同学猜对了道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等． 任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； 任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值． 【答案】 解：设“甲猜对灯谜”为事件，“乙猜对灯谜”为事件，“任选一道灯谜，甲，乙两位同学恰有一个人猜对”为事件， 由题意得， ，， 且事件、相互独立， 则 ， 所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为； 设“丙猜对灯谜”为事件， “任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件， 则由题意，事件、、相互独立， ， 解得．  【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，利用加法公式计算古典概型，属于中档题． 设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可； (2) 利用相互独立事件概率乘法公式即可求出的值． 17.本小题分 如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，． 求证：平面； 求证：平面； 在棱上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】解：连结交于，连结． 在中，因为，分别为，中点， 所以C.     又因为平面，平面， 所以平面     因为侧棱底面，平面， 所以． 又因为为棱中点，，所以． 因为，，平面． 所以平面平面． 所以． 因为为棱中点，，所以． 又因为，所以在和中， ． 所以， 即． 所以． 因为，，平面  所以平面                         当点为中点时，即，平面平面C. 设中点为，连结，． 因为，分别为，中点， 所以，且． 又因为为中点， 所以，且， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为平面， 所以平面． 又因为平面，所以平面平面  【解析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和转化思想，属于中档题． 连结交于，连结，可证，又平面，平面，即可证明平面； 易证，又可证，由，，，可求，从而可证，从而证明平面； 当点为中点时，可证平面平面，设中点为，连结，，可证，由平面，可证平面，即可证明平面平面． 18.本小题分 已知函数是定义在上的奇函数，且． 确定函数的解析式； 用定义证明在上是增函数： 解关于的不等式． 【答案】解：函数是定义在上的奇函数， 则，即有， 且，则，解得，， 经检验符合题意， 则函数的解析式： 证明：任取， 则， 由于，则，，， ， ， ， 在上是增函数． 解：由于奇函数在上是增函数， 则不等式， 即为， 即有 解得 则有， 即等式的解集为  【解析】本题考查函数的解析式的求法和单调性的证明和运用：解不等式，考查运算能力，属于中档题． 由奇函数得，求得，再由已知，得到方程，解出，即可得到解析式； 运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤； 运用奇偶性和单调性，得到不等式即为，得到不等式组，解出即可． 19.本小题分 给定三棱锥，设的四个顶点到平面的距离所构成的集合为，若中元素的个数为，则称为的阶等距平面，称为的阶等距集． 若为三棱锥，满足，，求出的阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积求出其中的一个即可 如图所示，是棱长为的正四面体． (ⅰ)若为的阶等距平面且阶等距集为，求的所有可能取值以及相对应的的个数 (ⅱ)已知是的阶等距平面，点与点，，分别位于两侧是否存在，使的阶等距集为，其中点到的距离为若存在，求出截所得的平面多边形的最大边长若不存在，说明理由． 【答案】解：如图，可将三棱锥扩展成长方体， 由，可得 取、、、的中点分别为、、、，连接、、、， 可知，， 则四边形为平行四边形， 由，平面，平面， 可得平面，同理可得平面， 则点、点到平面的距离相等，点、点到平面的距离相等， 又线段的中点在平面上， 则点、点到平面的距离相等， 即三棱锥的四个顶点到平面的距离相等， 可知平面是三棱锥的一个阶等距平面， ，， 又，，则， 可得， 则四边形的面积为， 即的一个阶等距平面截该三棱锥所得到的截面面积为． 如图，当点、在平面一侧，点、在平面另一侧时， 可知平面过棱、、、的中点， 此时， 同理可知，当点、在平面一侧，点、在平面另一侧时，， 当点、在平面一侧，点、在平面另一侧时，， 综上可知，当时，相对应的有个； 如图，当点与点，，在平面的两侧时， 可知此时平面过棱、、的中点， 此时点到平面的距离等于点到平面距离的一半， 而点到平面的距离为， 则， 同理可知，当点与点，，在平面的两侧时，， 当点与点，，在平面的两侧时，， 当点与点，，在平面的两侧时，， 综上可知，当时，相对应的有个． 由上可知，或， 当时，相对应的有个；当时，相对应的有个． (ⅱ)根据对称性，不妨设点到平面的距离为，点到平面的距离为，点到的距离为， 取线段上靠近点的三等分点为，线段上靠近点的四等分点为，线段上靠近点的五等分点为，连接，，， 则，，， 设点到平面的距离为， 则点到平面的距离为，点到平面的距离为，点到平面的距离为， 因此平面即为的阶等距平面，且使得的阶等距集为， 即存在满足条件的平面，截的截面为三角形， ，，， 由余弦定理可得， ， ， 因为， 则三角形中最大边长为， 故存在满足条件的，且截所得的平面多边形的最大边长为．  【解析】本题考查了新定义问题，点到平面的距离，几何体的截面问题，属于难题． 可将三棱锥扩展成长方体，取、、、的中点分别为、、、，可推出平面是三棱锥的一个阶等距平面，求得四边形的面积即可； 当点与点，，在平面的两侧时，结合图形可得到的情况以及，同理可推出相应的个数；当点与点，，在平面的两侧时，结合图形可得到的情况以及，同理可推出相应的个数； (ⅱ)取线段上靠近点的三等分点为，线段上靠近点的四等分点为，线段上靠近点的五等分点为，连接，，，可推出平面即为的阶等距平面，且使得的阶等距集为，再利用余弦定理求得三角形三边边长即可． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$