限时规范训练(17) 第3章 第1讲 导数的概念及其意义、导数的运算（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(十七) A级　基础落实练 1．(多选)下列求导运算正确的是(　　) A．若f(x)＝sin(2x＋3)，则f′(x)＝2cos(2x＋3) B．若f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝e－2x＋1 C．若f(x)＝，则f′(x)＝ D．若f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1 解析：ACD　f(x)＝sin(2x＋3)，f′(x)＝cos(2x＋3)·(2x＋3)′＝2cos(2x＋3)，故A正确； f(x)＝e－2x＋1，则f′(x)＝－2e－2x＋1，故B错误； f(x)＝，f′(x)＝＝，故C正确； f(x)＝xln x，f′(x)＝(x)′ln x＋x(ln x)′＝ln x＋1，故D正确． 2．(2023·皖豫名校第二次联考)已知函数f(x)＝ax3－x＋b，若f′(x)为f(x)的导函数，f′(1)＝2，且f(1)＝5，则b＝(　　) A．5　　 B．4 C．3　　 D．2 解析：A　因为f′(x)＝3ax2－1，所以 解得a＝1，b＝5.故选A． 3．(2024·宜春月考)曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线如图所示，则f(1)＋f′(1)＝(　　) A．0　　 B．　　　　 C．　　 D．－ 解析：A　因为切线过点(2，0)和(0，－1)，所以f′(1)＝＝， 所以切线方程为y＝x－1， 令x＝1，则y＝－，所以f(1)＝－， 所以f(1)＋f′(1)＝－＋＝0. 故选A． 4．(2024·佛山禅城区第二次调研)曲线f(x)＝xe2x－1在点P(，f())处的切线方程为(　　) A．6x－4y－1＝0　　 B．6x－4y－5＝0 C．4x－2y－1＝0　　 D．4x－2y－3＝0 解析：C　因为f(x)＝xe2x－1，所以f′(x)＝e2x－1＋2xe2x－1＝(2x＋1)e2x－1.设切线的斜率为k，则k＝f′()＝2，又f()＝，故所求切线方程为y＝2(x－)＋，化简得4x－2y－1＝0.故选C． 5．(2024·山西部分学校联考)若函数f(x)＝ex＋ln x＋a的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y＝kx－1，则a＝(　　) A．1　　 B．0 C．－1　　 D．e 解析：B　因为f′(x)＝ex＋，所以f′(1)＝e＋1，设切线的斜率为k，故k＝e＋1.又f(1)＝e＋a＝k－1＝e，所以a＝0.故选B． 6．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则点P的坐标为(　　) A．(1，3)　　 B．(－1，3) C．(－1，3)或(1，1)　　 D．(－1，3)或(1，3) 解析：D　设切点P(x0，y0)， 由f′(x)＝3x2－1， 可得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－1， 所以3x－1＝2，解得x0＝±1， 当x0＝1时，可得f(1)＝3，此时P(1，3)； 当x0＝－1时，可得f(－1)＝3， 此时P(－1，3)． 7．若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．3或－1 解析：D　设在函数f(x)＝ln x上的切点为(x1，y1)，∴k＝＝1，解得x1＝1， 故切点为(1，0)，可求出切线方程为y＝x－1， 此切线和g(x)＝x2＋ax也相切， 故x2＋ax＝x－1， 化简得x2＋(a－1)x＋1＝0， 只需满足Δ＝(a－1)2－4＝0， 解得a＝－1或3. 8．已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　) A．a＝e，b＝－1　　 B．a＝e，b＝1 C．a＝e－1，b＝1　　 D．a＝e－1，b＝－1 解析：D　因为y′＝aex＋ln x＋1， 所以k＝y′|x＝1＝ae＋1， 所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为 y－ae＝(ae＋1)(x－1)， 即y＝(ae＋1)x－1. 所以解得 9．已知函数f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，则a＝________． 解析：∵f′(x)＝＋excos x－exsin x＝＋excos x－exsin x， ∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2. 答案：2 10．(2024·西安长安区模拟)函数f(x)＝ex－e－x＋ax2的导函数为f′(x)，若f′(x)是偶函数，则实数a＝________，此时，曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为________． 解析：由题知f′(x)＝ex＋e－x＋2ax，因为f′(x)是偶函数，所以f′(－x)＝f′(x)在x∈R上恒成立，则e－x＋ex－2ax＝ex＋e－x＋2ax在x∈R上恒成立，故a＝0. 因为f(0)＝0，f′(0)＝2， 所以曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x. 答案：0　y＝2x 11．(2024·南通期末)已知函数f(x)＝x3－2x2＋2x，则曲线y＝f(x)经过点A(1，1)的切线方程是________． 解析：设切点为(t，t3－2t2＋2t)，由题知f′(x)＝3x2－4x＋2，所以切线的斜率k＝3t2－4t＋2，所以切线方程为y－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(x－t)．因为切线过点A(1，1)，所以1－(t3－2t2＋2t)＝(3t2－4t＋2)(1－t)，即(t－1)2(2t－1)＝0，解得t＝或t＝1，所以斜率k＝或k＝1，又切线过点A(1，1)，得切线方程为3x－4y＋1＝0或x－y＝0. 答案：3x－4y＋1＝0或x－y＝0 12．(2024·福州普通高中第二次质量检测)已知曲线f(x)＝x3－3x2＋6x＋2在点P处的切线与在点Q处的切线平行，若点P的纵坐标为1，则点Q的纵坐标为________． 解析：法一：f(x)＝x3－3x2＋6x＋2， 则f′(x)＝3x2－6x＋6， 设P(m，1)，Q(n，f(n))，依题意f′(m)＝f′(n)，所以3m2－6m＋6＝3n2－6n＋6， 则m2－n2＝2(m－n)，显然m≠n，则m＋n＝2. 因为f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)＋6， 所以f(x)的图象关于点(1，6)中心对称， 所以点P与点Q关于点(1，6)对称，所以＝6，则f(n)＝11， 所以点Q的纵坐标为11. 法二：f(x)＝x3－3x2＋6x＋2， 则f′(x)＝3x2－6x＋6， 因为f′(x)＝3(x－1)2＋3>0， 所以f(x)在R上单调递增， 令x3－3x2＋6x＋2＝1，设其根为xP，则x－3x＋6xP＝－1. 因为曲线f(x)在点P处的切线与在点Q处的切线平行， 所以f′(x)＝k(k为切线斜率)存在两实根，其中一个为xP，设另一个为xQ. 即3x2－6x＋6＝k的两根分别为xP，xQ，由根与系数的关系得xP＋xQ＝2，则xQ＝2－xP， 所以f(xQ)＝x－3x＋6xQ＋2＝(2－xP)3－3(2－xP)2＋6(2－xP)＋2＝－x＋6x－12xP＋8－3x＋12xP－12＋12－6xP＋2＝－(x－3x＋6xP)＋10＝11， 所以点Q的纵坐标为11. 答案：11 B级　能力提升练 13．(多选)(2024·温州普通高中第一次适应考)若函数y＝f(x)的图象上存在两个不同的点P，Q，使得f(x)的图象在这两点处的切线重合，则称函数y＝f(x)为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是(　　) A．f(x)＝sin x＋cos x　　　 B．f(x)＝sin(cos x) C．f(x)＝x＋sin x　　　 D．f(x)＝x2＋sin x 解析：ABC　对于A，f(x)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，则f′(x)＝cos(x＋)，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值，直线y＝是函数图象的切线，且过点(2kπ＋，)，k∈Z，故A正确； 对于B，f(x)＝sin(cos x)，则f′(x)＝－sin xcos(cos x)，当x＝2kπ，k∈Z时，f′(x)＝0，f(x)取得最大值sin 1，直线y＝sin 1是函数图象的切线，且过点(2kπ，sin 1)，k∈Z，故B正确； 对于C，f(x)＝x＋sin x，则f′(x)＝1＋cos x，当x＝2kπ＋，k∈Z时，f′(x)＝1，f(x)＝2kπ＋＋1，k∈Z，过点(2kπ＋，2kπ＋＋1)，k∈Z的切线方程是y－(2kπ＋＋1)＝x－(2kπ＋)，k∈Z，即y＝x＋1， 因此该切线过f(x)图象上的两个以上的点，故C正确； 对于D，f(x)＝x2＋sin x，则f′(x)＝2x＋cos x，令g(x)＝f′(x)＝2x＋cos x， 则g′(x)＝2－sin x>0在R上恒成立，所以g(x)即f′(x)是R上的增函数，因此函数图象上不存在两点，使它们的切线斜率相等，即不存在切线过图象上的两点，故D错误． 14．已知曲线y＝ex在点(x1，ex1)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　) A．－1　　 B．－2 C．1　　 D．2 解析：B　已知曲线y＝ex在点(x1，ex1)处的切线方程为y－e x1＝e x1 (x－x1)， 即y＝ex1x－e x1x1＋e x1， 曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x－1＋ln x2， 由题意得 解得x2＝，e x1－ex1x1＝－1＋ln x2＝－1＋ln ＝－1－x1，则ex1＝， 又x2＝，所以x2＝， 所以x2－1＝－1＝， 所以(x1＋1)(x2－1)＝－2. 15．若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________． 解析：y＝ln x＋2的切线为y＝·x＋ln x1＋1(设切点横坐标为x1)，y＝ln(x＋1)的切线为y＝x＋ln(x2＋1)－(设切点横坐标为x2)， ∴ 解得x1＝，x2＝－， ∴b＝ln x1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln 2 16．曲线y＝－(x<0)与曲线y＝ln x的公切线的条数为________条． 解析：设(x1，y1)是公切线和曲线y＝－的切点，则切线斜率k1＝， 切线方程为y＋＝(x－x1)， 整理得y＝·x－. 设(x2，y2)是公切线和曲线y＝ln x的切点， 则切线斜率k2＝， 切线方程为y－ln x2＝(x－x2)， 整理得y＝·x＋ln x2－1. 令＝，－＝ln x2－1， 消去x2得－＝ln x－1. 设t＝－x1>0， 即2ln t－－1＝0，只需探究此方程解的个数．易知函数f(x)＝2ln x－－1在(0，＋∞)上单调递增， f(1)＝－3<0，f(e)＝1－>0， 于是f(x)＝0有唯一解， 于是两曲线的公切线的条数为1. 答案：1 学科网（北京）股份有限公司 $$