限时规范训练(16) 第2章 第11讲 函数模型及其应用（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(十六) A级　基础落实练 1．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(　　) x 1.992 3 4 5.15 6.126 y 1.517 4.0418 7.5 12 18.01 A．y＝2x－2　　 B．y＝(x2－1) C．y＝log2x　　 D．y＝logx 解析：B　由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大得越来越快，分析选项可知B符合，故选B． 2．据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭(ln 2≈0.7，ln 3≈1.1)(　　) A．1530只　　 B．1636只 C．1830只　　 D．1930只 解析：B　∵第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y(只)近似满足y＝klog3(x＋1)， 且当x＝2时，y＝1000， ∴1000＝klog33，解得k＝1000， ∴当x＝5时，y＝1000×log36＝1000×(log33＋log32)＝1000×(1＋)≈1636. 3．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为(　　) A．3.75元/瓶　　 B．7.5元/瓶 C．12元/瓶　　 D．6元/瓶 解析：D　设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)(400＋×40)＝80(x－3)·(9－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值． 4．(多选)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 解析：BD　在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，甲从家到公园的时间是30 min，B正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确． 5．(2024·潍坊期末)由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验标准》(GB/T19522－2010)于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如图，且该图表示的函数模型为f(x)＝则该人喝1瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车(时间以整小时计算)？(参考数据：ln 15≈2.71，ln 30≈3.40)(　　) 车辆驾驶人员血液酒精含量阈值 驾驶行为类型 阈值(mg/100 mL) 饮酒后驾车 ≥20，<80 醉酒后驾车 ≥80 A．5 h　　 B．6 h C．7 h　　 D．8 h 解析：B　由题意可知当酒精含量阈值低于20时才可以开车，结合分段函数建立不等式90e－0.5x＋14<20，解得x>5.42，取整数，故为6个小时．故选B． 6．(2024·连云港质检)某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为(　　) A．8　　 B．10 C．12　　 D．13 解析：B　设该企业需要更新设备的年数为x(x∈N*)，设备年平均费用为y万元， 则x年的设备维护费用为 2＋4＋6＋…＋2x＝＝x(x＋1)， 所以x年的平均费用 y＝ ＝x＋＋≥2＋＝(万元)， 当且仅当x＝10时，等号成立， 因此，为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为10. 7．如图所示，学校要建造一面靠墙(墙足够长)的2个面积相同的矩形花圃，如果可供建造围墙的材料总长是60 m，要所建造的每个花圃的面积最大，则宽x应为________m. 解析：设每个花圃的面积为y，则y＝x·＝－x2＋30x＝－(x－10)2＋150(0<x<20)，所以当x＝10时，y最大． 答案：10 8．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为________元． 解析：由题可知：折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式， y＝ ∵y＝30>25，∴x>1100， ∴0.1(x－1100)＋25＝30，解得x＝1150，1150－30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元． 答案：1120 9．2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N随时间T(单位：年)的衰变规律满足N＝N0·2(N0表示碳14原有的质量 )，则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的至，据此推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到________年之间．(参考数据：lg 2≈0.3，lg 7≈0.84，lg 3≈0.48) 解析：∵N＝N0·2，∴当T＝5730时， N＝N0·2－1＝N0， ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的. 由题意可知2>，两边同时取以2为底的对数得log22>log2，∴>＝≈－1.2，∴T<6876， ∴推测良渚古城存在的时期距今约在5730年到6876年之间． 答案：　6876 10．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋blog3(其中a，b是实数)．据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a，b的值； (2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s，此时耗氧量为30个单位，故有a＋blog3＝0，即a＋b＝0. 当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s， 故有a＋blog3＝1，即a＋2b＝1. 解方程组得 取a，b的值分别为－1和1. (2)由(1)知，v＝－1＋log3. 所以要使飞行速度不低于2 m/s，则有v≥2， 故－1＋log3≥2，解得Q≥270. 所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s时，其耗氧量至少要270个单位． 11．某公司生产某种电子仪器的固定成本为2万元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月生产量为x(单位：台)，已知总收入R(单位：元)满足函数： R＝ (1)将利润P表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？(总收入＝总成本＋利润) 解：(1)由题知，利润P＝ (2)当0≤x≤200时，P＝－(x－300)2＋10 000， 所以当x＝200时，P有最大值5000； 当x＞200时，P＝150 000－100x－≤150 000－2＝50 000，当且仅当x＝500时，等号成立， 所以当x＝500时，P有最大值50 000. 综上，当月产量为500台时，公司所获利润最大，最大利润为5万元． B级　能力提升练 12．大气压强p＝，它的单位是“帕斯卡”(Pa，1 Pa＝1 N/m2)，大气压强p(Pa)随海拔高度h(m)的变化规律是p＝p0e－kh(k＝0.000 126 m－1)，p0是海平面大气压强．已知在某高山A1，A2两处测得的大气压强分别为p1，p2，＝，那么A1，A2两处的海拔高度的差约为(参考数据：ln 3≈1.099)(　　) A．660 m　　 B．2340 m C．6600 m　　 D．8722 m 解析：D　设A1，A2两处的海拔高度分别为h1，h2， 则＝＝＝e0.000 126(h2－h1)， ∴0.000 126(h2－h1)＝ln＝－ln 3≈－1.099， 得h2－h1＝－≈－8722(m)． ∴A1，A2两处的海拔高度的差约为8722 m. 13．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0<a<12)，不考虑树的粗细．现用16 m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD，设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u＝f(a)(单位：m2)的图象大致是(　　) 解析：B　设AD长为x，则CD长为16－x. 因为要将P点围在矩形ABCD内， 所以a≤x≤12， 则矩形ABCD的面积为x(16－x)． 当0<a≤8时，当且仅当x＝8时，u＝64； 当8<a<12时，u＝a(16－a)， 所以u＝ 分段画出函数图象，可得其形状与B选项中图象接近． 14．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元．根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位： 万元)满足P＝4－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＝ 设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元)． (1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益； (2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？ 解：(1)当x＝128，即甲城市投资128万元时，乙城市投资112万元， 所以f(128)＝4×－6＋×112＋2＝88(万元)． 因此，此时公司的总收益为88万元． (2)由题意知，甲城市投资x万元，则乙城市投资(240－x)万元， 依题意得 解得80≤x≤160， 当80≤x<120，即120<240－x≤160时， f(x)＝4－6＋32 ＝4＋26<26＋16； 当120≤x≤160, 即80≤240－x≤120时， f(x)＝4－6＋(240－x)＋2 ＝－x＋4＋56. 令t＝，则t∈[2，4]， 所以y＝－t2＋4t＋56＝－(t－8)2＋88. 当t＝8，即x＝128时，y取最大值88. 因为88－(26＋16)＝2×(31－8)>0， 故f(x)的最大值为88. 因此，当甲城市投资128万元，乙城市投资112万元时，总收益最大，且最大收益为88万元． 学科网（北京）股份有限公司 $$