限时规范训练(13) 第2章 第8讲 对数函数（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(十三) A级　基础落实练 1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)等于(　　) A．log2x　　 B．　 C．logx　　 D．2x－2 解析：A　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax， 又f(2)＝1，即loga2＝1， 所以a＝2.故f(x)＝log2x. 2．(2024·北京西城区期末)已知函数f(x)＝lg |x|，则f(x)(　　) A．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 D．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 解析：C　由已知可得，f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．又f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x＞0时，f(x)＝lg x，因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．故选C． 3．(2021·天津卷)设a＝log20.3，b＝log0.4，c＝0.40.3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a＜b＜c　　 B．c＜a＜b C．b＜c＜a　　 D．a＜c＜b 解析：D　∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0. ∵log0.4＝－log20.4＝log2＞log22＝1， ∴b＞1. ∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1， ∴a＜c＜b. 4．对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是(　　) 解析：A　若0＜a＜1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递减，又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向下， 对称轴为直线x＝＜0，则对称轴在y轴左侧，故C，D错误；若a＞1，则函数y＝logax在(0，＋∞)上单调递增，又函数y＝(a－1)x2－x的图象开口向上，且对称轴为直线x＝＞0，则对称轴在y轴右侧，故B错误，A正确．故选A． 5．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2023x＋log2023x，则在R上方程f(x)＝0的实根个数为(　　) A．1　　 B．3　 C．2　　 D．2023 解析：B　①当x＞0时，令f(x)＝0，即2023x＝－log2023x，在同一坐标系中作出函数y1＝2023x， y2＝－log2023x的示意图，如图， 函数y1＝2023x为增函数，y2＝－log2023x为减函数， 可知两个图象有且只有一个交点P，横坐标记为x0，即当x＞0时方程f(x)＝0有且只有一个实根x0.②因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x＜0时，方程f(x)＝0也有一个实根－x0.③又因为f(x)是R上的奇函数，f(0)＝0，所以0也是方程f(x)＝0的根． 综上所述，方程f(x)＝0有3个实根．故选B． 6．(2024·泸州模拟)若函数y＝f(x)与y＝5x互为反函数，则y＝f(x2－2x)的单调递减区间是________． 解析：因为y＝f(x)与y＝5x互为反函数， 所以f(x)＝log5x，则f(x2－2x)＝log5(x2－2x)． 设μ＝x2－2x，则f(μ)＝log5μ， 由x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2， 因为f(μ)＝log5μ在其定义域上单调递增， 又μ＝x2－2x在(－∞，0)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增， 所以y＝f(x2－2x)的单调递减区间是(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 7．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________． 解析：依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝(log2x＋)2－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立， 所以函数f(x)的最小值为－. 答案：－ 8．已知f(x)＝|log2x|，若0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，则4ab＝________． 解析：∵f(a)＝f(b)， ∴|log2a|＝|log2b|. 作出函数图象， 由图可得0＜a＜1＜b，∴－log2a＝log2b， ∴log2a＋log2b＝0， ∴log2ab＝0，∴ab＝1，∴4ab＝4. 答案：4 9．若函数f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则实数a的取值范围为________． 解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a＜2，即a∈[1，2)． 答案：[1，2) 10．已知函数f(x)＝log2(a为常数)是奇函数． (1)求a的值与函数f(x)的定义域； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)因为函数f(x)＝log2是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以log2＝－log2， 即log2＝log2， 所以a＝1，f(x)＝log2， 令>0，解得x<－1或x>1， 所以函数f(x)的定义域为{x|x<－1或x>1}． (2)f(x)＋log2(x－1)＝log2(1＋x)， 当x>1时，x＋1>2，所以log2(1＋x)>log22＝1. 因为当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log2(x－1)>m恒成立， 所以m≤1，所以m的取值范围是(－∞，1]． 11．已知函数f(x)＝log(x2－2ax＋3)． (1)若函数f(x)的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a的值； (2)若函数f(x)的定义域为R，值域为(－∞，－1]，求实数a的值； (3)若函数f(x)在(－∞，－1]上为增函数，求实数a的取值范围． 解：(1)依题意知x2－2ax＋3＞0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，∴方程x2－2ax＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3，根据根与系数的关系得2a＝1＋3，解得a＝2，即实数a的值为2. (2)∵函数f(x)的值域为(－∞，－1]， ∴f(x)max＝－1，又f(x)＝log(x2－2ax＋3)， 而函数f(x)的定义域为R，∴u＝x2－2ax＋3的最小值umin＝2. 而u＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2， ∴3－a2＝2，解得a2＝1，即a＝±1， ∴实数a的值为1或－1. (3)∵f(x)＝log(x2－2ax＋3)在(－∞，－1]上为增函数，函数y＝logu在u∈(0，＋∞)上是减函数，∴函数u＝x2－2ax＋3在(－∞，－1]上为减函数且u＞0， ∴解得即a≥－1，故实数a的取值范围为[－1，＋∞)． B级　能力提升练 12．(2023·苏州、常熟抽测)如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是(　　) A．(1－a)＞(1－a) B．log(1－a)(1＋a)＞0 C．(1－a)3＞(1＋a)2 D．(1－a)1＋a＞1 解析：A　因为0＜a＜1，所以y＝(1－a)x是减函数，又＜，所以(1－a)＞(1－a)， 因为0＜1－a＜1，1＋a＞1， 所以log(1－a)(1＋a)＜0，0＜(1－a)3＜1， (1＋a)2＞1，0＜(1－a)1＋a＜1， 所以(1－a)3＜(1＋a)2，故选A． 13．(多选)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　) A．f(x)在(0，2)上单调递增 B．f(x)在(0，2)上的最大值为0 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析：BC　f(x)＝ln x＋ln(2－x)，定义域为(0，2)， f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)， 令t＝－x2＋2x，y＝ln t， ∵t＝－x2＋2x，x∈(0，2)，在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，故A不正确； f(x)max＝f(1)＝0，故B正确； ∵f(1＋x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)， f(1－x)＝ln(1－x)＋ln(1＋x)， ∴f(1＋x)＝f(1－x)， ∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，D不正确． 14．已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1)当x∈[1，4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1，4]，不等式f(x2)·f()＞k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)h(x)＝(4－2log2x)log2x ＝2－2(log2x－1)2. 因为x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]， 故函数h(x)的值域为[0，2]． (2)由f(x2)·f()＞k·g(x)， 得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x， 令t＝log2x，因为x∈[1，4]， 所以t＝log2x∈[0，2]， 所以(3－4t)(3－t)＞k·t对一切t∈[0，2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0，2]时，k＜恒成立，即k＜4t＋－15， 因为4t＋≥12，当且仅当4t＝， 即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3. 所以k＜－3. 综上，实数k的取值范围为(－∞，－3)． 学科网（北京）股份有限公司 $$