限时规范训练(11) 第2章 第6讲 指数与对数的运算（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(十一) A级　基础落实练 1．若代数式＋有意义，则＋2＝(　　) A．2　　 B．3　 C．2x－1　　 D．x－2 解析：B　由＋有意义， 得解得≤x≤2. 所以x－2≤0，2x－1≥0， 所以＋2＝＋2|x－2|＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3. 2．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　) A．25　　 B．5　 C．　　 D． 解析：C　因为2a＝5，b＝log83， 即23b＝3， 所以4a－3b＝＝＝＝. 3．某品牌计算器在计算对数logab时需按“log(a，b)”．某学生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则下列结论正确的是(　　) A．a＝2b　　 B．b＝2a C．a＝b2　　 D．b＝a2 解析：C　由题意，得logba＝4·logab，所以＝，即(ln a)2＝(2ln b)2.因为a>1且b>1，所以ln a＝2ln b，即a＝b2.故选C． 4．(2024·河西区期末)计算2log32－log3＋(－1)0＋log38－25log53的结果为(　　) A．－7　　 B．－3 C．0　　 D．－6 解析：D　原式＝ log34－log3＋log38＋1－52log53 ＝log3(4××8)＋1－5log59 ＝log39＋1－9＝－6. 5．点声源亦称为“球面声源”或“简单声源”，为机械声源中最基本的辐射体，点声源在空间中传播时，衰减量ΔL与传播距离r(单位：米)的关系视为ΔL＝10lg(单位：dB)，取lg 5≈0.7，则r从5米变化到80米时，衰减量的增加值约为(　　) A．18 dB　　 B．20 dB C．24 dB　　 D．27 dB 解析：C　当r＝5时，ΔL1＝10lg，当r＝80时，ΔL2＝10lg 1600π，则衰减量的增加值约为ΔL2－ΔL1＝10lg 1600π－10lg＝80lg 2＝80(lg 10－lg 5)≈80×(1－0.7)＝24.故选C． 6．(多选)下列运算中，正确的是(　　) A．2log2－()＝－2 B．若a＋＝14，则＋＝4 C．若log73＝a，log74＝b，则log742＝1＋＋ D．若4a＝6b＝9c，则＋＝ 解析：AB　对于A，2 log2－()＝－＝－＝－2，正确； 对于B，因为a＋＝14，所以＋＝＝＝4.正确； 对于C，因为log73＝a，log74＝b，所以log742＝log77＋log73＋log72＝1＋log73＋log74＝1＋a＋，不正确； 对于D，当a＝b＝c＝0时，4a＝6b＝9c成立，但＋＝无意义，不正确．故选AB． 7．(2024·淮北模拟)计算：()－2＋4log2＋4＝________． 解析：()－2＋4log2＋4＝22＋22log2＋()4＝4＋2＋4＝10. 答案：10 8．计算：()－＋eln 3＋log－log34·log23＝________． 解析：原式＝()3×(－)＋3－log2(2)－2log32·log23＝＋3－－2＝3. 答案：3 9．若ex＝2020，e－y＝1010，则x＋y＝________． 解析：ex＝2020，e－y＝1010，则＝＝2，即ex＋y＝2，则x＋y＝ln 2. 答案：ln 2 10．计算下列各式： (1)(lg 2)2＋lg 5·lg 20； (2)4－log23·log8； (3)8＋(－)0＋(1.5)－4·－[(－2)4]. 解：(1)原式＝(lg 2)2＋lg 5·lg(4×5) ＝(lg 2)2＋2lg 5·lg 2＋(lg 5)2 ＝(lg 2＋lg 5)2＝1. (2)原式＝4log22＋3log23·log32＝4＋3＝7. (3)原式＝2＋1＋()－4·()－4＝3＋－4＝－. 11．某工厂产生的废气，过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是正的常数．如果在前5 h消除了10%的污染物，请解决下列问题： (1)10 h后还剩百分之几的污染物？ (2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h)？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 解：(1)由P＝P0e－kt可知，当t＝0时，P＝P0；当t＝5时，P＝(1－10%)P0，于是有(1－10%)P0＝P0e－5k，解得k＝－ln 0.9，那么P＝P0·0.9，所以当t＝10时，P＝0.81P0，即10 h后还剩下81%的污染物． (2)当P＝50%P0时，0.5P0＝P00.9，解得t＝5log0.90.5＝－5log0.92＝－5×＝－5×≈33，即污染物减少50%大约需要花33 h. B级　能力提升练 12．(2024·海淀区月考)2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动．在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈的结论．根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 29，计算结果取整数)(　　) A．189　　 B．186　 C．145　　 D．109 解析：C　由题意知，小于数字x的素数个数大约可以表示为π(x)≈，则估计1000以内的素数的个数为π(1000)≈＝≈≈145.故选C． 13．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声响时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与参考声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lg，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x dm满足关系式y＝2x，现知A同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50 dm，若A同学大喝一声的声强大约相当于10个B同学同时大喝一声的声强，则B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为________dm. 解析：设B同学的声强为m W/m2，喷出泉水高度为x dm， 则A同学的声强为10m W/m2，喷出泉水高度为50 dm， 由10lg＝2x，得lg m－lg m0＝0.2x，　① ∵10lg＝2×50， ∴1＋lg m－lg m0＝10，② ①－②得－1＝0.2x－10，解得x＝45(dm)， ∴B同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为45 dm. 答案：45 14．(1)当x＝，y＝2－时，求(x－y－)·(x＋xy－＋y－)的值； (2)若a2x＝－1，求的值． 解：(1)因为x＝ ，y＝2－，所以原式＝x2－y－1＝2＋－＝1＋. (2)由a2x＝－1，得a－2x＝＋1，所以＝a2x＋a－2x－1＝2－1. 学科网（北京）股份有限公司 $$