限时规范训练(8) 第2章 第3讲 函数的奇偶性、周期性（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 限时规范训练（八） A级基础落实练 1.(多选)下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是() A.y=23+4x B.y=x+sin(-x) C.y=log2x D.y=2x-2-x 解析：ABD对于A,定义域为R,且一x)=一2x3一4x=一x),故为奇函 数， 又y'=6x2+40,所以y=2x3+4x在(0,1)上单调递增，故A满足题意； 对于B,定义域为R,(一x)=一x十sinx=一x),故为奇函数， 又y=1一cosx≥0，且y不恒为0， 所以y=x十sim(一x)在(0,1)上单调递增，故B满足题意： 对于C,定义域为xx≠0}，（一x)=log2x=x),故为偶函数，故C不满足 題意； 对于D,定义域为R,一x)=2x一2=一x),为奇函数， 又y'=24n2十2一1n2>0,所以y=2x一2-x在(0,1)上单调递增，故D满足 题意. 2.(2023·福建联合测评)已知x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，)= ex-2,则n2)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 解析：B因为x)是定义在R上的奇函数，且ln2>0,所以n2)=一(-ln 2)=-f1n12)=-(e-ln12-2)=0.故选B 3.(2024河南名校联盟模拟)若函数x)是定义在R上的周期为2的奇函数， 当0<x<1时，x)=4,则一52)+2)等于() A.0 B.2 C.4 D.-2 解析：Dx)是定义在R上的奇函数， 0)=0,又x)在R上的周期为2， .∴2)=0)=0，-52)=-12) ·独家授权侵权必究。 令学科网书城国 品牌书店，知名数辅·正版资源 b2XXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 2) =-12)=-4 =-2, …-52)+2)=-2. 4.己知奇函数x)与偶函数g(x)满足x)十g(x)=1x一1，则x)=() A.1x2-1 B.11-x2 C.xx2-1 D.x1-x2 解析：C由x)+g()=1x一1可得-x)十g(-x)=1一x一1， 又x),g(x)分别为奇，偶函数， 所以g(x)-x)=1-x一1， 由f(x)十g(x)=1x-I1-x-1), 解得x)=xx2一1，故选C. 5.设奇函数fx)在(0，十∞)上为单调递增函数，且2)=0，则不等式f (一x)-f(x)x≥0的解集为() A.[-2,0]U[2,+∞) B.(-∞，-2]U(0,2] C.(-∞，-2]U[2,+∞) D.[-2,0)U(0,2] 解析：D由题意可得，奇函数)在(0，十∞)和（一∞，0）上都为单调递增 函数，且一2)=2)=0，函数图象示意图如图所示， f(x 故不等式f(-一x)-f(x)x≥0，即一2f(x)x≥0，即f(x)x≤0， 结合x)的示意图可得它的解集为{一2≤x<0或0<x≤2}，故选D 6.(2024洛阳模拟)已知x)是定义在R上的奇函数，若x十32)为偶函数且 1)=2,则2022)+2023)+2024)=() A.-2 B.0 C.2 D.4 ◆独家授权侵权必究· 令学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：D因为)是定义在R上的奇函数，所以一x)=一x),且O)=0 又x+32)为偶函数，则一x+32)=x+32),则x十3)=一x),则x+3) =一x),则x十6)=一x+3)=x),所以x)是以6为周期的周期函数. 由1)=2，得2)=1)=2， f2022)=f6×337)=f0)=0, 2023)=f6×337+1)=f1)=2, 2024)=6×337+2)=2)=2, 所以2022)+f2023)+2024)=4.故选D. 7.(2024深圳测试)设a∈R,函数y=x)是定义在R上的奇函数，且当x >0时，x)=(c一1)十1.若y=x)是R上的增函数，则a的取值范围为( ) A.(0,1) B.(0,1 C.(0,0.5) D.(0,0.5] 解析：B因为函数y=x)是定义在R上的奇函数，所以函数y=x)的图象 关于原点对称，且0)=0.当心0时，函数x)=a(x一1)十1=ax十1一a,当x<0 时，一x0,则-x)=一ar十1一a,则w)=一一x)=ax十a一1，即当x0时， 函数x)=ar十a-1,所以x)=ax十a一1，x<0,0,x=0,ax+1一a,x>0.因为 函数y=x)是R上的增函数，则有a>0,1一a≥0，a一1≤0，解得0<a≤1，所以 实数a的取值范围为(0，I],故选B. 8.(多选)2024皖云吉黑四省联考)已知x)是定义在R上的偶函数，gx)是 定义在R上的奇函数，且x),g(x)在（一∞，0]上单调递减，则(） A./1)2) B.g1)g(2) C.g(1)g2) D.gg(1)水g(g(2) 解析：BD因为x)是定义在R上的偶函数，g(w)是定义在R上的奇函数， 且两函数在（一∞，0]上单调递减，所以x)在[0，十∞）上单调递增，g(x)在0，十 ∞)上单调递减，g(x)在R上单调递减， 所以1)2)，g(0)=0>g1)Pg(2), 所以g(1)g(2),g(1)Pg(2),g(g(1)广g(g(2》,所以BD正确，C错误， 若1)P2,则1)P2),A错误.故选BD, 9.写出一个同时满足①②的函数x)= ①x)是偶函数，②x十 ·独家授权侵权必究 令学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2)=一x) 解析：因为fx+2)=一x),所以x)=一一2)，故x十2)=x一2)，可知 函数x)的最小正周期为4，结合函数为偶函数，可以构造x)=cosπ2x 答案：cos页2x(答案不唯一) 10.(2023·全国甲卷)若x)=(x一1)P+ax+sin(+r2)为偶函数，则a= 解析：因为x)=(x-1)P+ax十simc+n2)=(x一1)2+ax+cosx为偶函数， 定义域为R, 所以-π2)=fπ2)，即(-刀2-1)2-π2a十cos(-n2)=(π2-1)2+2@ +c0sπ2， 则πa=(π2+1)2-(n2-1)2=2元，故a=2, 此时x)=(x-1)2+2x十cosx=x2+1+cosx, 所以f-x)=(-x)2+1十cos(-x)=x2+1十cosx=x), 又定义域为R,故x)为偶函数，所以a=2. 答案：2 11.若函数fx)=ex一ex,则不等式fnx)+fnx一1)>0的解集是 解析：因为fx)=e一ex,定义域为R,且一x)=一(e一e)=一fx),故 其为奇函数，又y=e,y=一ex均为增函数，故)为R上的增函数， 则原不等式等价于n>1一nx),也即ln>1-nx,整理得n心12， 解得x心e,故不等式的解集为(e,十c∞). 答案：(e,十o∞) 12.(2024西安模拟)已知定义在R上的奇函数x)满足x十1)=1一x),且 当x∈0,11时，x)=2-m,则2023) 解析：因为定义在R上的奇函数)，当x∈[0,1]时，x)=2x一m, 所以0)=20-m=0,解得m=1,且1-x)=一x一1)， 又x+1)=1一x),所以x+1)=一x-1), 用x一2代替x得x一1)=一x一3)， 故x+1)=x-3), 故x)为周期为4的函数， ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名数辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以2023)=j505×4+3)=3), x+1)=1-x)中，令x=2得3)=-1)， 其中-1)=一1)=-(2-1)=-1， 所以2023)=3)=-1. 答案：一1 B级能力提升练 13.(2024廊坊模拟)已知定义域为R的函数x)满足：x,y∈R,x十y)十f (x一y)=x)y),且1)=1，则下列结论错误的是( ) A.0)=2 B.x)为偶函数 C.(x)为奇函数 D.2)=-1 解析：C因为Hx,y∈R,fx十y)十x一y)=xy), 取x=1,y=0可得1)+1)=10)， 又1)=1，所以0)=2，A对： 取x=0,y=x可得x)十一x)=f0x), 因为0)=2，所以一x)=x), 所以)为偶函数，C错，B对： 取x=1,y=1可得2)+f0)=1)1), 又1)=1,0)=2， 所以2)=一1，D对. 14.(多选)2024威海模拟)已知函数x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记 gx)=(x,若x十2)为偶函数，g(x)为奇函数，则() A.fx)=4-x) B.g(x)=-g(4-x) C.x)=-fx+4) D.g(x)=g(x+4) 解析：ABD由(x十2)为偶函数，得2一x)=2十x),所以由2一x代替x 得x)=4一x),故A正确. 对x)=4一x)左、右两侧分别求导，可得x)=一(4一x),所以g(x)=一g (4一x),故B正确」 因为gx)为奇函数，所以g(x)=一g(一x),又g(x)=一g(4一x),所以一g(一x) =一g(4-x),即g(-x)=g(4一x),则g(x)=gx十4)，故D正确. ·独家授权侵权必究· 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 令x)=cos元x,则x十2)=cos[π(c十2]=cos(r十2π)=cos元r为偶函数，g (x)=f)=一元sim元x为奇函数，满足题干，当x=1时，1)=cos元=-1，x+4) =5)=cos5π=cosπ=一1，所以1)≠一1+4)，即存在x=1,使得x)=一f (c十4)不成立，故C错误 15.(2024郑州模拟)已知函数x)满足：对于任意1，x2∈（一∞，+∞）， 且1≠x2,不等式f(x1)一f(x2)x1一x22恒成立.若x)是奇函数，且f (a)>2a,则实数a的取值范围是 解析：因为对于任意的x1,2∈（一∞，十∞），且≠x2,都有f(x1)一f(x2) x1-x2<2, 不妨设>x2,则)一x2)2x1-2x2,即x)一2x1<x2)-2x2, 所以g(x)=f)一2x在R上单调递减， 又y=x)是定义域为R的奇函数，所以0)=0，则g(0)=0)一0=0， 因为fa)>2a,所以ad)-2a>0,即g(a)>g(0), 因为g(x)=x)一2x在R上单调递减， 所以0，即不等式a)>2a的解集为{da0},故实数a的取值范围为（一∞， 0) 答案：（一∞，0） 16.(2024青岛模拟)设x)为定义在整数集上的函数，1)=1,2)=0,1 (一1)0，对任意的整数x,y均有x十y)=x)1一y)十1一x(y),则55)= 解析：令x=y=1,则2)=10)+0)1)=20)=0，…0)=0： 令x=2,y=-1,则1)=f2)+(-1)=(-1)=1,又-1)0，-1) =一1： 令y=1,则x十1)=x)0)十1一x)1)=1一x),∴x)关于直线x=1对称： 令y=一x,则0)=x)1+x)+1一x/(-x)=[/x)+一x)1/1+x)=0, 1十x)=0不恒成立，∴x)十（一x)=0恒成立，∴x)为奇函数， ·x+2)=-x)=一)，x+4)=一fx+2)=fx), .x)是周期为4的周期函数，∴.55)=4×14-1)=(-1)=-1。 答案：-1 ◆独家授权侵权必究· 令学科网书城国 品牌书店，知名数辅·正版资源 b2xXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 ◆独家授权侵权必究·