限时规范训练(5) 第1章 第5讲 一元二次方程、不等式（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(五) A级　基础落实练 1．不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　) A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞) C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞) 解析：A　由－x2＋3x＋10>0得x2－3x－10<0，解得－2<x<5. 2．关于x的不等式x2＋px－2<0的解集是(q，1)，则p＋q的值为(　　) A．－2　　 B．－1　　 C．1　　 D．2 解析：B　依题意得q，1是方程x2＋px－2＝0的两个根，∴q＋1＝－p，即p＋q＝－1. 3．已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(0，1] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：A　当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，恒成立； 当k≠0时，要满足关于x的不等式 kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立， 只需解得0<k≤1. 综上，k的取值范围是[0，1]. 4．(2023·湖南师大附中第一次月考)已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，且对于∀x∈[1，5]，不等式bx2＋amx＋2c>0恒成立，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，4]　　 B．(－∞，4) C．[13，＋∞)　　 D．(－∞，13) 解析：B　由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|－2<x<3}，可知－2，3为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，故a<0且－＝－2＋3＝1，＝(－2)×3＝－6，即b＝－a，c＝－6a，则不等式bx2＋amx＋2c>0即为－ax2＋amx－12a>0，由于a<0，x∈[1，5]，则上式可转化为m<x＋在[1，5]上恒成立，又x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时等号成立，故m<4.故选B. 5．(2024·巴蜀中学期末)若关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}，则关于x的不等式＞0的解集是(　　) A．(－3，－2)∪(4，＋∞) B．(－3，2)∪(4，＋∞) C．(－∞，－3)∪(2，4) D．(－∞，－2)∪(3，4) 解析：B　因为关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1<x<2}，所以x2＋px＋q＝0的两根是－1，2，由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2，所以>0可转化为>0，解得－3<x<2或x>4.所以原不等式的解集为(－3，2)∪(4，＋∞).故选B. 6．(多选)(2024·长治质检)已知函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则(　　) A．a2－b2≤4 B．a2＋≥4 C．若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0 D．若不等式x2＋ax＋b<c的解集为(x1，x2)，且|x1－x2|＝4，则c＝4 解析：ABD　根据题意，函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，则Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b(b>0). 对于A，a2－b2－4＝4b－b2－4＝－(b2－4b＋4)＝－(b－2)2≤0，即有a2－b2≤4，故A正确；对于B，a2＋＝4b＋≥2＝4，当且仅当4b＝，即b＝时等号成立，故B正确；对于C，由x1，x2为方程x2＋ax－b＝0的两根，可得x1x2＝－b<0，故C错误；对于D，由x1，x2为方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝4c＝16，解得c＝4，故D正确． 7．不等式>x的解集是________． 解析：不等式>x化为以下两个不等式组或 解即 解得x<－1， 解即 解得1<x<5， 所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1，5). 答案：(－∞，－1)∪(1，5) 8．(2024·合肥模拟)若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1，3]恒成立，则a的最小值为________． 解析：∵当x∈[1，3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立， ∴a≥－恒成立， 又当x∈[1，3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号． ∴－≤－4， ∴a≥－4，故a的最小值为－4. 答案：－4 9．已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为________． 解析：把不等式的左端看成关于a的函数， 记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)>0对于任意的a∈[－1，1]恒成立， 得f(－1)＝x2－5x＋6>0， 且f(1)＝x2－3x＋2>0， 解不等式组得x<1或x>3. 答案：(－∞，1)∪(3，＋∞) 10．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6. (1)解关于a的不等式f(1)>0； (2)若不等式f(x)>b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值． 解：(1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6 ＝－a2＋6a＋3>0， 解得3－2<a<3＋2. ∴不等式的解集为{a|3－2<a<3＋2}． (2)∵f(x)>b的解集为(－1，3)， ∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3， ∴解得 故a的值为3±，b的值为－3. 11．设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对于x∈[1，3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)依题意知，mx2－mx－1<0恒成立， 若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则∴－4<m<0. ∴实数m的取值范围是(－4，0]. (2)法一：当m＝0时，f(x)＝－1<0恒成立． 当m≠0时，该函数图象的对称轴是直线x＝， ∴f(x)＝mx2－mx－1在x∈[1，3]上是单调函数， 当m>0时，f(x)在[1，3]上单调递增，要使f(x)<0在x∈[1，3]上恒成立，只要f(3)<0， 则9m－3m－1<0，得m<，即0<m<. 当m<0时，f(x)在[1，3]上单调递减，要使f(x)<0在x∈[1，3]上恒成立，只要f(1)<0. 此时f(1)＝－1<0，显然成立． 综上所述，m的取值范围是. 法二：f(x)＝m(x2－x)－1，x∈[1，3]. ①当x＝1时，f(1)＝－1<0恒成立， 则m∈R. ②当x≠1时，即x∈(1，3]时，x2－x>0. ∴要使f(x)<0恒成立，只需m<恒成立．设t＝x2－x， 又t＝x2－x＝－在(1，3]上单调递增． ∴0<t≤6，则≥，∴m<. 综合①②知，实数m的取值范围是. B级　能力提升练 12．(2024·潍坊一中期中)若关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集不为空集，则实数a的取值范围为(　　) A． B． C．(－∞，－2)∪ D．(－∞，－2]∪ 解析：C　根据题意，分两种情况讨论： ①当a2－4＝0，即a＝±2时，若a＝2，则原不等式为4x－1≥0，解得x≥，则不等式的解集为，不是空集； 若a＝－2，则原不等式为－1≥0，无解，不符合题意． ②当a2－4≠0，即a≠±2时， 若(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则有解得－2<a<，则当不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集不为空集时，有a<－2或a≥且a≠2. 综上可得，实数a的取值范围为(－∞，－2)∪. 13．(2024·石家庄模拟)设关于x的不等式ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16≥0(a∈Z)只有有限个整数解，且0是其中一个解，则a的取值是________，不等式的全部整数解的和为________． 解析：若a＝0，则原不等式为8x＋16≥0， 即x≥－2，显然原不等式的整数解有无数个，不符合题意，故a≠0. 设y＝ax2＋8(a＋1)x＋7a＋16(a≠0)，其图象为抛物线，对于任意一个给定的a值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足y≥0的整数解是有限个，所以a<0. 因为0为其中一个解，所以7a＋16≥0， 即a≥－，所以－≤a<0， 又a∈Z，所以a＝－2或a＝－1. 若a＝－2，则不等式为－2x2－8x＋2≥0， 解得－2－≤x≤－2， 因为x为整数，所以x＝－4，－3，－2，－1，0； 若a＝－1，则不等式为－x2＋9≥0， 解得－3≤x≤3， 因为x为整数， 所以x＝－3，－2，－1，0，1，2，3. 所以不等式的全部整数解的和为－10. 答案：－2或－1　－10 14．解关于x的不等式ax2－(2a＋1)x＋2<0(a∈R). 解：原不等式可化为(ax－1)(x－2)<0. ①当a>0时，原不等式可化为a(x－2)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·<0. 因为方程(x－2)＝0的两个根分别是2，，所以当0<a<时，2<，则原不等式的解集是；当a＝时，原不等式的解集是∅； 当a>时，<2，则原不等式的解集是. ②当a＝0时，原不等式为－(x－2)<0，解得x>2， 即原不等式的解集是{x|x>2}． ③当a<0时，原不等式可以化为a(x－2)<0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x－2)·>0，由于<2.故原不等式的解集是. 综上所述，当a<0时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x>2}；当0<a<时，不等式的解集为； 当a＝时，不等式的解集为∅；当a>时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$