限时规范训练(4) 第1章 第4讲 基本不等式（word课时作业）-【高考领航】2025年高考数学大一轮复习

限时规范训练(四) A级　基础落实练 1．下列函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝ C．y＝ex＋e－x D．y＝sin x＋ 解析：C　当x<0时，y＝x＋<0，故A错误； y＝＝＋≥2， 当且仅当＝， 即x2＝－1时取等号， 又x2≠－1，故B错误； y＝ex＋e－x≥2＝2， 当且仅当ex＝e－x， 即x＝0时取等号，故C正确； 当x∈时，sin x∈(0，1)， y＝sin x＋≥2， 当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，因为sin x∈(0，1)，故D错误． 2．已知a>0，b>0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　) A．　　 B．4　　 C．　　 D．2 解析：D　由题意得4＝2a＋b≥2， 即2≥，两边平方得4≥2ab， ∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立， ∴ab的最大值为2. 3．(2024·六安金寨县青山中学期末)已知x>2，y＝4x＋，则y的最小值为(　　) A．8　　 B．10　　 C．12　　 D．14 解析：C　∵x>2，∴y＝4x＋＝4(x－2)＋＋8≥2＋8＝12，当且仅当4(x－2)＝，即x＝时取等号，故选C. 4．(2024·长沙雅礼中学第三次月考)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为(　　) A．36　　 B．25　　 C．16　　 D．9 解析：B　法一：由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10，则(1＋x)(2＋y)≤＝25，当且仅当1＋x＝2＋y，即x＝4，y＝3时等号成立，所以(1＋x)(2＋y)的最大值为25.故选B. 法二：因为x＋y＝7，所以y＝7－x，因为x>0，y>0，所以0<x<7，则(1＋x)(2＋y)＝(1＋x)(9－x)＝－x2＋8x＋9＝－(x－4)2＋25≤25，所以当x＝4，y＝3时，(1＋x)(2＋y)取得最大值25.故选B. 5．(2023·忻州联考(二))已知0<a<2，则＋的最小值是(　　) A．4　　 B．6　　 C．8　　 D．16 解析：C　因为0<a<2，所以>0，>0，则＋＝[a＋(2－a)]＝＝5＋≥5＋＝8，当且仅当＝，即a＝时等号成立，所以＋的最小值为8. 6．(多选)(2024·安徽名校联考)已知实数a，b满足a>b>0且a＋b＝2，则下列结论中正确的有(　　) A．a2＋b2>2　　 B．＋≥9 C．ln a＋ln b>0　　 D．a＋>b＋ 解析：AB　对于A，因为a>b>0且a＋b＝2，由基本不等式a2＋b2>2ab，得a2＋b2＝[a2＋b2＋(a2＋b2)]>(a2＋b2＋2ab)＝(a＋b)2＝2，故A正确； 对于B，＋＝(a＋b)＝≥＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，故B正确； 对于C，ln a＋ln b＝ln (ab)<ln ＝ln 1＝0，故C错误； 对于D，因为ab<＝1，所以0<ab<1，所以－＝(a－b)＋＝(a－b)＝<0，故D错误．故选AB. 7．当x>0时，y＝的最小值为________． 解析：当x>0时，y＝＝＋＋≥2＋＝. 当且仅当x＝2时，等号成立．故最小值为. 答案： 8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元． 解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝万元，由于x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元． 答案：8 9．(2024·张家口部分学校期中)已知a>0，b>0，且有a2＋4ab＝，则a＋2b的最小值为__________． 解析：(a＋2b)2＝a2＋4ab＋4b2＝＋4b2≥2＝16，当且仅当＝4b2，即b＝，a＝4－2时取等号，由于a>0，b>0，所以a＋2b≥4，所以a＋2b的最小值为4. 答案：4 10．(1)当x<时，求函数y＝x＋的最大值； (2)已知0<x<2，求函数y＝x的最大值． 解：(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋. 当x<时，有3－2x>0， 所以＋≥2＝4， 当且仅当＝，即x＝－时，取等号． 于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－. (2)因为0<x<2，所以4－x2>0， 则y＝x＝≤＝2， 当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，取等号， 所以y＝x的最大值为2. 11．已知x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)∵xy＝2x＋8y≥2， 即xy≥8，即xy≥64， 当且仅当2x＝8y， 即x＝16，y＝4时，等号成立， ∴xy的最小值为64. (2)由2x＋8y＝xy，得＋＝1， 则x＋y＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当＝， 即x＝12，y＝6时等号成立， 所以x＋y的最小值为18. B级　能力提升练 12．(多选)(2024·南京六校联考)已知a>0，b>0，且＋＝1，则(　　) A．a＋2b≥3＋2　　 B．＋≥2 C．＋≤　　 D．＋≥2 解析：ABD　对于A，a＋2b＝(a＋2b)＝3＋＋≥3＋2，当且仅当＝，即a＝1＋，b＝1＋时等号成立，故A正确； 对于B，由＋＝1(a>0，b>0)可得(a－1)·(b－1)＝1(a>1，b>1)，所以＋＝b－1＋≥2，当且仅当b－1＝，即a＝1＋，b＝＋1时等号成立，故B正确； 对于C，当＝，＝时，＋＝＋＝>，故C错误； 对于D，由＋＝1≥2，得≥2，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立． 又＋≥2，当且仅当＝，即a＝b＝2时等号成立，所以＋≥2，故D正确．故选ABD. 13．(2023·河南名校联考)已知x>0，y≥0，且x＋2y＝1.若m2－m≤－恒成立，则满足条件的整数m的个数是(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5 解析：C　因为x>0，y≥0，且x＋2y＝1，所以－＝－＝－＝－＝＋－10≥2－10＝－2，当且仅当＝，即x＝1，y＝0时等号成立，则m2－m≤－2，即m2－5m＋4≤0，解得1≤m≤4，所以整数m可取1，2，3，4，共4个．故选C. 14．中华人民共和国第十四届运动会在陕西省举办，某公益团队联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润＝售价－供货价格． (1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ (2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？ 解：(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)， 供货单价为50＋＝52(元)， 总利润为5×(100－52)＝240(万元). (2)设售价为x元，则销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元， 单套利润为x－50－＝元，因为15－0.1x>0， 所以0<x<150. 所以单套利润为y＝x－50－ ＝－＋100 ≤100－2＝80， 当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号， 所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元． 学科网（北京）股份有限公司 $$