第十七章 勾股定理 典型例题 2023-2024学年人教版数学八年级下册

第十七章 勾股定理 典型例题 2023-2024人教版八年级下册 17.1勾股定理 1.利用勾股定理进行计算 （1）利用勾股定理求线段长 ①在不能直接使用勾股定理得出线段的长度时：常利用方程求解。先设出合适的未知数，然后在直角三角形中，运用勾股定理找相等关系建立方程，最后解方程得出答案 1.如图，在△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求边BC上的高AD的长 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AD=1，BD=2，求高CD的长． 第1题图 第2题图 ②不含直角三角形，但有特殊角度时：通过做高，将非直角三角形转化为直角三角形，利用勾股定理求解。在做高时，如果有特殊角30°，45°，60°，就过特殊角一边上的点作另一边的垂线；若没有特殊角，而出现了钝角150°，135°，120°时，往往反向延长钝角的一边得到特殊角。再按特殊角情况作垂线。注意不要将特殊角“破换掉” 3.如图，已知△ABC中，∠C=60°，AB=14，AC=10，求BC的长 4.如图，已知△ABC中，∠B=120°，AB=4,BC=2，求AC的长 5.如图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求AD的长 6.把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB=，则CD=　 　 ★7.已知△ABC中,∠A=60°，BC=a，AC=b，AB=c，AP是BC边上的中线，则AP的长是（ ） A． B． C． D． 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 ③对于没有给出图形的题目，一般需要分类讨论 8.已知在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，求△ABC的周长为 9.已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为 ④图形中有线段相等时：可能需要构造全等三角形求解 10.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠C=90°，AB=AD=9，AE⊥BC于E，AE=8，则CD的长为　　 11.在正方形ABCD中，∠EAF=45°，点E,F分别在边BC、CD上，若边长为6，BE=2，求EF的长 第9题图 第10题图 （2）利用勾股定理求面积 12.如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为，若，则 13.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，DF∥AB，交AC于F，∠DCE=30°，AB=DC=5，BC=13，求AC的长和四边形ABCD的面积． 2.利用勾股定理证明 14.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，求证 15.如图，AD是△ABC的中线，试证明： 第8题图 第9题图 3.利用勾股定理解决图形折叠问题 解题技巧：在新增的直角三角形中利用勾股定理列方程求解：根据折叠前后，重合的图形全等，得到相等的线段、相等的角。在新增的三角形中，利用折叠的性质，表示出各边长，列方程求解 16.如图在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上，与点B’重合，AE为折痕，则EB’= 17.如图，已知长方形ABCD中，AB=8cm，BC=10cm，在CD上取一点E，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，则CE的长为 18.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为 4.利用勾股定理解决最短路径问题 （1）平面内的最短路径问题 19.如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事所走的最短路程是多少？ 20.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．∠AOB=30°，AB=，点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为 ★21.求的最小值 （2）几何体表面的最短路径问题 解题技巧：将求立体图形上两点的距离转化为求平面内两点间的距离 22.如图，已知圆柱的高为80cm，底面半径R为10cm，轴截面有P，Q两点，PA=40cm，=30cm，则在圆柱侧面上P，Q两点间的最短距离是多少？ 23.透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为 12cm,底面周长为 10cm,在容器内壁离容器底部 3cm 的点 B 处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器 外壁,且离容器上沿 3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（ ） A.13cm B.cm C.cm D.cm 5.利用勾股定理解决实际问题 24.如图，河的两岸l1与l2互相平行，A、B是l1上的两点，C、D是l2上的两点，某同学在A处测得∠CAB=90°，∠DAB=30°，再沿AB方向走20米到达点E（即AE=20），测得∠DEB=60°．求：C，D两点间的距离． 25.小明听说“武黄城际列车”已经开通，便设计了如下问题：如图，以往从黄石A坐客车到武昌客运站B，现在可以在A坐城际列车到武汉青山站C，再从青山站C坐市内公共汽车到武昌客运站B．设AB=80km，BC=20km，∠ABC=120°．请你帮助小明解决以下问题： （1）求A、C之间的距离；（参考数据=4.6） （2）若客车的平均速度是60km/h，市内的公共汽车的平均速度为40km/h，城际列车的平均速度为180km/h，为了最短时间到达武昌客运站，小明应该选择哪种乘车方案？请说明理由．（不计候车时间） 26.去年某省将地处A，B两地的两所大学合并成一所综合性大学，为了方便A，B两地师生的交往，学校准备在相距2 km的A、B两地之间修筑一条笔直公路（如下图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°的方向，B地西偏北45°方向的C处有一个半径为0.7 km的公园，问计划修筑的这条公路会不会穿过公园？为什么？ 6.利用勾股定理探求规律 27.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2016个等腰直角三角形的斜边长是 28.如图，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，……已知正方形ABCD的面积S1为1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…，Sn(n为正整数)，那么第8个正方形的面积S8＝ ，第n个正方形的面积Sn＝ 7.利用勾股定理解决动点问题 29.如图所示，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=8，BC=6，P,Q是△ABC上的两个动点，点P从A开始沿AC方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点Q从点C开始沿CBA方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设运动的时间为t秒 （1）出发2秒后，求线段PQ的长 （2）t为何值时，△APB能形成等腰三角形 （3）当点Q在边BA上运动时，求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间 30. 如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒． (1). 出发2秒后，求△ABP的周长． (2). 问t满足什么条件时，△BCP为直角三角形？ (3). 另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？ 17.2勾股定理的逆定理 1.利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状 1.若△ABC的三边长a，b，c满足ac2-bc2=（a-b）（a2+b2），则△ABC是（ ） A.等腰三角形 B.直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 2.已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )． (A)一定是等边三角形 (B)一定是等腰三角形 (C)一定是直角三角形 (D)形状无法确定 2.勾股定理及逆定理的综合应用 （1）求面积 如图，已知AB⊥BC，AB=2，BC=，CD=5,DA=4，求四边形ABCD的面积 有如图所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积 （2）求边长 如图，在△ABC中，D为BC的中点，AB=26，AD=12,AC=10,求BC的长 （3）求角度 如图所示，在7×4的网格中，A,B,C是格点，则∠ABC= A.105° B.120° C.135° D.150° 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,P是△ABC内的一点，且PB=1,PC=2,PA=3,求∠BPC的度数 如图，已知△ABC是等边三角形，AP=,BP=2,CP=1,求∠APC的度数 3.利用勾股定理的逆定理解决实际问题 如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时50分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得距离C艇12海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？ 学科网（北京）股份有限公司 $$